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2022年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要
求．
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备军．
截至2021年12月31日，全国共有共青团员7371.5万名，将7371.5万用科学记数法表示
为（ ）
A．0.73715×108 B．7.3715×108
C．7.3715×107 D．73.715×106
4．（3分）下列关于等边三角形的描述不正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形
D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
5．（3分）某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：
时间/h 2 3 4 5 6
人数 1 3 2 3 1关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是1
6．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、
天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的
正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣
3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣2 ，3） B．（0，1+2 ） C．（2﹣ ，3） D．（2﹣2 ，2+
）
7．（3分）正整数a、b分别满足 ＜a＜ 、 ＜b＜ ，则ba＝（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
8．（3分）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管
理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从
中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在
同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，
中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮
筒，需要多少千克锌？（ 的值取3.14）（ ）
πA．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
10．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，
设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的
坐标为（2 ，3），则图象最低点E的坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ，2）
11．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x ，0），B
1
（x ，0）两点．若﹣2＜x ＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x ＜4；②3a+2b＞0；③b2＞
2 1 2
a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+ ，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4（2+ ） B．4（ +1） C．8（ + ） D．4（ + +2）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（4分）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．
14．（4分）方程 ＝ 的解是 ．
15．（4分）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE
与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 ．
16．（4分）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量
船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．
航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平
行，则CD＝ 海里（计算结果不取近似值）．
17．（4分）已知关于x的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
18．（4分）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，
若AB＝2 ，CD＝2，则△ABE的面积为 ．三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（16分）（1）计算：2tan60°+| ﹣2|+（ ）﹣1﹣ ；
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝1，y＝100．
20．（12分）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居
民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家
庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，
部分信息如下：
月均用水量（t）2≤x＜3.5 3.5≤x＜5 5≤x＜6.5 6.5≤x＜8 8≤x＜9.5
频数 7 6
对应的扇形区 A B C D E
域
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收
费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并
说明理由．
21．（12分）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格
如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子批发价格（元/ 4 5 6 40
kg）
零售价格（元/ 5 6 8 50
kg）
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水
果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进
货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于 88kg，这两种
水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第
二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
22．（12分）如图，一次函数y＝k x+b与反比例函数y＝ 在第一象限交于M（2，8）、N两点，
1
NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时
点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
23．（12分）如图，AB为 O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 的中点，过点D作 O的
切线与AC的延长线交⊙于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E． ⊙
（1）求证：BC∥PF；
（2）若 O的半径为 ，DE＝1，求AE的长度；
（3）在⊙（2）的条件下，求△DCP的面积．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶
点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l
下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点
的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，平行四边形ABCD中，DB＝2 ，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出
发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F
相遇时停止运动．
（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为
秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大
值为多少？
（3）如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB
上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM，并说明理由．2022年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要
求．
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案．
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上向下看，可得如图：
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（3分）中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备军．
截至2021年12月31日，全国共有共青团员7371.5万名，将7371.5万用科学记数法表示为（ ）
A．0.73715×108 B．7.3715×108
C．7.3715×107 D．73.715×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：7371.5万＝7371.5×104＝7.3715×107；
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
4．（3分）下列关于等边三角形的描述不正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形
D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，
故A选项不符合题意；
三条高线的交点为等边三角形的重心，
∴对称轴的交点是其重心，
故B选项不符合题意；
等边三角形不是中心对称图形，
故C选项符合题意；
等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形等，熟练掌握这些知识
是解题的关键．
5．（3分）某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：
时间/h 2 3 4 5 6人数 1 3 2 3 1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是1
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
【解答】解：这组数据出现次数最多的是3和5，分别出现3次，所以众数是3和5，因此选
项A不符合题意；
这组数据的平均数为 ＝4，因此选项B正确，符合题意；
将这10个数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 ＝4，因此选项C不
符合题意；
这组数据的方差为 ×（[ 2﹣4）2+（3﹣4）2×3+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2×3+（6﹣4）2]＝1.4，因
此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算
方法是正确解答的前提．
6．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、
天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的
正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣
3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣2 ，3） B．（0，1+2 ） C．（2﹣ ，3） D．（2﹣2 ，2+
）
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝ ×120°＝60°，
∴CM＝ BC＝2，BM＝ BC＝2 ，
∴点C的横坐标为﹣（2 ﹣2）＝2﹣2 ，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣2 ，3），
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计
算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
7．（3分）正整数a、b分别满足 ＜a＜ 、 ＜b＜ ，则ba＝（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算ba．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ， ＜ ＜ ，
∴a＝4，b＝2．
∴24＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的估值，掌握立方根、平方根的意义，并能根据a、b的取值范围
确定a、b的值是解决本题的关键．
8．（3分）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管
理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从
中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在
同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用树状图把两名同学体验岗位所有可能的情况都表示出来，然后利用概率公式求解即可．
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 画 树 状 图 如 图 所 示 ，
由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况
共有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为 ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与画树状图法求概率，利用列表或树状图把所有可能的情况都
表示出来，再求出所关注的情况数，最后利用概率公式求出．
9．（3分）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，
中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮
筒，需要多少千克锌？（ 的值取3.14）（ ）
π
A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积 ，由题给图形的数据可分别求
出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg，可求
出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为： ＝0.5m．
∴圆锥的侧面积S ＝ ×0.3×0.5＝0.15 （m2），
1
∵圆柱的高为1m． π π
圆柱的侧面积S ＝2 ×0.3×1＝0.6 （m2），
2
∴浮筒的表面积＝2Sπ1 +S
2
＝0.9 （πm2），
∵每平方米用锌0.1kg， π
∴一个浮筒需用锌：0.9 ×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒π 需用锌：1000×0.9 ×0.1＝90 ≈282.6（kg）．
故选：A． π π
【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的
关键是了解几何体的构成，难度中等．
10．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，
设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的
坐标为（2 ，3），则图象最低点E的坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ，2）
【分析】由函数图象可得点F表示图1中点N与点B重合时，即可求BD，BM的长，由锐角
三角函数可求解．
【解答】解：如图，连接AC，MC，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC，AC垂直平分BD，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴AN＝CN，△ABC是等边三角形，
∴AN+MN＝CN+MN，
∴当点N在线段CM上时，AN+MN有最小值为CM的长，
∵点F的坐标为（2 ，3），
∴DB＝2 ，AB+BM＝3，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM，CM⊥AB，
∴2BM+BM＝3，
∴BM＝1，
∵tan∠ABC＝tan60°＝ ＝ ，
∴CM＝ ，
∵cos∠ABD＝cos30°＝ ＝ ，
∴BN'＝ ，
∴DN'＝ ，
∴点E的坐标为：（ ， ），
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，动点问题的函数图象，理解函数图象中点
表示的具体意义是解题的关键．
11．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x ，0），B
1（x ，0）两点．若﹣2＜x ＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x ＜4；②3a+2b＞0；③b2＞
2 1 2
a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛
物线与x轴的交点以及x＝﹣1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、
对称轴，与y轴的交点以及a﹣b+c＜0，即可判断④．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x ＜﹣1，
1
∴3＜x ＜4，①正确，
2
∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，
∵a＞0，
∴3a+2b＜0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
由题意可知x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴a+c＜0，
∴b2﹣4ac＞a+c，
∴b2＞a+c+4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c＜0，∴a＞c，
∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴b＞c，
所以④错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想
的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
12．（3分）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，
∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+ ，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4（2+ ） B．4（ +1） C．8（ + ） D．4（ + +2）
【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH：EF
＝2： ；作∠ARH＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角”，先求
得FT的长，进而根据相似三角形求得ER，进而求得AE，于是得出∠AEH＝30°，进一步求
得结果．
【解答】解：如图1，
Rt△PMN中，∠P＝15°，NQ＝PQ，∠MQN＝30°，
设MN＝1，则PQ＝NQ＝2，MQ＝ ，PN＝ ，
∴cos15°＝ ，tan15°＝2﹣ ，
如图2，作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
设HK＝a，则EH＝2a，EK＝ ，
∴EF＝ EK＝ a，
∵∠EAH＝∠EBF＝90°，
∴∠R＝∠T＝75°，
∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°，
可得：FT＝ ＝ ＝2 ，AR＝AH•tan15°＝4﹣2 ，△FTE∽△ERH，
∴ ，
∴ ，
∴ER＝4，
∴AE＝ER﹣AR＝2 ，
∴tan∠AEH＝ ＝ ，
∴∠AEH＝30°，∴HG＝2AH＝4，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEH﹣∠HEF＝75°，
∴∠BEF＝∠T，
∴EF＝FT＝2 ，
∴EH+EF＝4+2 ＝2（2+ ），
∴2（EH+EF）＝4（2+ ），
∴四边形EFGH的周长为：4（2+ ），
故答案为：A．
【点评】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的
图形及其求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，
构造“一线三等角”及构造15°直角三角形求其三角函数值．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（4分）因式分解：3x3﹣12xy2＝ 3 x （ x + 2 y ）（ x ﹣ 2 y ） ．
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的
关键．
14．（4分）方程 ＝ 的解是 x ＝﹣ 3 ．
【分析】先在方程两边乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1）去分母，然后解整式方程即可．
【解答】解： ＝ ，
方程两边同乘（x﹣3）（x﹣1），得
x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x﹣3）（x﹣1）≠0，
∴方程的解为x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的解法，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，解分式方程
的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．15．（4分）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE
与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 110 ° ．
【分析】延长ED交CB的延长线于点G，利用三角形内角和定理可得求出∠E，∠C的度数，
再利用平行线的性质可求出∠G的度数，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：延长ED交CB的延长线于点G，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠G＝40°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，以及三角
形内角和定理是解题的关键．
16．（4分）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量
船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．
航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平
行，则CD＝ （ 5 ﹣ 5 ） 海里（计算结果不取近似值）．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AB＝10海里，∠FAD＝15°，∠FAC＝
45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝45°，从而可得∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，进而利用三角形内
角和定理求出∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，
设DE＝x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，
利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC＝5 海里，列出关于x的方程，
进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：
AB＝20× ＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝
45°，
∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，
∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10× ＝5 （海里），
设DE＝x海里，
在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ＝ x（海里），
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝45°，
在Rt△DEC中，CE＝ ＝x（海里），
DC＝ ＝ ＝ x（海里），∵AE+EC＝AC，
∴ x+x＝5 ，
∴x＝ ，
∴DC＝ x＝（5 ﹣5）海里，
故答案为：（5 ﹣5）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
17．（4分）已知关于x的不等式组 无解，则 的取值范围是 0 ＜ ≤
．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解
集可得答案．
【解答】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，
解不等式 ﹣3＜2﹣x，得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴m﹣3≥2，
∴m≥5，
∴0＜ ≤ ，
故答案为：0＜ ≤ ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（4分）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2 ，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据
三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而
求得AE，最后由三角形面积公式求得结果．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝ AB＝2 ，
∵∠ADC＝90°，CD＝2，
∴AD＝ ，
∵ ，
∴DF＝ ，
∴AF＝ ，
∴CF＝ ，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴ ，即 ，
∴EF＝ ，∴AE＝ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三
角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（16分）（1）计算：2tan60°+| ﹣2|+（ ）﹣1﹣ ；
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝1，y＝100．
【分析】（1）先算负整数指数幂、化简二次根式，再化简绝对值代入特殊角的函数值，最后
算加减．
（2）按分式的运算法则先化简分式，再代入求值．
【解答】解：（1）原式＝2× +2﹣ +2022﹣
＝2 +2﹣ +2022﹣
＝2024；
（2）原式＝[ ﹣ ]÷
＝ ×
＝ ×
＝ ×
＝ ．
当x＝1，y＝100时．
原式＝100．
【点评】本题考查了实数的运算、分式的化简求值，牢记特殊角的三角函数值，掌握负整数指数幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．
20．（12分）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居
民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家
庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，
部分信息如下：
月均用水量（t）2≤x＜3.5 3.5≤x＜5 5≤x＜6.5 6.5≤x＜8 8≤x＜9.5
频数 7 6
对应的扇形区 A B C D E
域
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收
费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并
说明理由．
【分析】（1）根据题A的频数和百分比得到抽取的总数，进而求得B、C的频数即可补全频
数分布直方图，求出E的频数，360°乘以E所占的比例即可求解；
（2）由于50×60%＝30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30
户的家庭收费不受影响，而7+23＝30，故家庭月均用水量应该定为5吨．
【解答】解：（1）抽取的总数为：7÷14%＝50，
B的频数为：50×46%＝23，
C的频数为：50×24%＝12，
频数分布直方图如下：扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为：360°× ＝14.4°；
（2）要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过5吨的有7+23＝30（户），30÷50＝60%．
【点评】本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；
利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决
问题．
21．（12分）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格
如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/ 4 5 6 40
kg）
零售价格（元/ 5 6 8 50
kg）
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水
果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进
货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于 88kg，这两种
水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第
二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发
了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再
利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；（2）设购进mkg菠萝，则购进 kg苹果，根据“菠萝的进货量不低于88kg，且这两
种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于 m的一元
一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m， 均为正整数，即可得出
各进货方案．
【解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，
依题意得： ，
解得： ，
∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
（2）设购进mkg菠萝，则购进 kg苹果，
依题意得： ，
解得：88≤m＜100．
又∵m， 均为正整数，
∴m可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；
方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组．
22．（12分）如图，一次函数y＝k x+b与反比例函数y＝ 在第一象限交于M（2，8）、N两点，
1
NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出
（8+ ）•（m﹣2）＝30，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入y＝k x+b，进
1
一步求得一次函数的解析式；
（2）求出与直线MN平行且在第三象限内与反比例函数y＝ 有唯一公共点的坐标即为
点P的坐标，此时△PMN面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关
系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 过点M（2，8），
∴k ＝2×8＝16，
2
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
设N（m， ），
∵M（2，8），
∴S△OMB ＝ ＝8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴ （8+ ）•（m﹣2）＝30，解得m ＝8，m ＝﹣ （舍去），
1 2
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k x+b的图象经过点M、N，
1
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝ 有唯一公共点P时，△PMN的面
积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y＝ 在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n＝ （x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8＝ 的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y＝ ＝﹣4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点
C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN ＝S△MPC +S梯形MCQN ﹣S△PNQ
＝ ×6×12+ （12+6）×6﹣ ×12×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函
数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据
坐标得出相应线段的长是计算面积的关键．
23．（12分）如图，AB为 O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 的中点，过点D作 O的
切线与AC的延长线交⊙于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E． ⊙
（1）求证：BC∥PF；
（2）若 O的半径为 ，DE＝1，求AE的长度；
（3）在⊙（2）的条件下，求△DCP的面积．
【分析】（1）连接OD，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；
（2）连接OD，BD，设AE＝x，则AD＝1+x，利用相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾
股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论；
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得DH，CE
的长度，通过判定四边形CHDP为矩形得到△DCP为直角三角形和两直角边的长，利用
三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵D为劣弧 的中点，
∴ ，
∴OD⊥BC．
∵PF是 O的切线，
∴OD⊥⊙PF，
∴BC∥PF；
（2）连接OD，BD，如图，
设AE＝x，则AD＝1+x．
∵D为劣弧 的中点，
∴ ，
∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，∴ ，
∴CD2＝DE•AD＝1×（1+x）＝1+x．
∴BD2＝1+x．
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2．
∵ O的半径为 ，
∴⊙AB＝2 ．
∴ ，
解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），
∴AE＝3．
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，
由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝ ＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴cos∠DAB＝ ＝ ．
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝ ．
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，cos∠ADO＝ ，∴DH＝DE× ＝ ．
∴OH＝OD﹣DH＝ ﹣ ＝ ．
∴BH＝ ＝ ，
∴CH＝BH＝ ．
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，
∴四边形CHDP为矩形，
∴∠P＝90°，CP＝DH＝ ，DP＝CH＝ ，
∴△DCP的面积＝ CP•DP＝ ．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似
三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的边角关
系定理，连接OD，BD是解决此类问题常添加的辅助线．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶
点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l
下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点
的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可
得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出
AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE：AE＝1：3；再根据相似三角形的性
质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入抛物线的解析式，
则﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP＝OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
（3）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性可知，E（2，3），
∵A（﹣1，0），
∴AD＝2 ，DE＝ ，AE＝3 ．
∴AD2＝DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．
∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．
∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，
若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，
∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，
解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或 （舍）或﹣ ，
∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣ ， ）．
综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为
（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣ ， ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性
质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共圆是解题关键；第
（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD：AE的值是解题关键．
25．（14分）如图，平行四边形ABCD中，DB＝2 ，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出
发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F
相遇时停止运动．
（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为
秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 个单位每秒，运动时间为x
秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大
值为多少？（3）如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB
上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM，并说明理由．
【分析】（1）延长DF交CB的延长线于G，证明△AFD∽△BFG，则 ＝ ，求出BG的
长，再由AD∥CG，则 ＝ ，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，过点E作EH⊥AB交于
H，y＝ ×AF×EH＝ × x× x＝ x2；此时当x＝2时，y有最大值3；当2≤x≤
时，E点在BD上，F点在AB上，过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，y
＝ ×AF×EN＝﹣ x2+ x+ x；当x＝ 时，y有最大值2+ ；当 ≤x≤2
时，过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，y＝ ×AB×（EQ﹣PF）＝6+2
﹣x﹣ x；此时当x＝ 时，y有最大值2+ ；
（3）连接DH，求出AH＝1，可得AH⊥AB，由直角三角形的性质可得HM＝DM＝MF，则
EM＝ DF，可得EF∥BD．
【解答】解：（1）延长DF交CB的延长线于G，
∵平行四边形ABCD中，
∴CG∥AD，
∴∠A＝∠GBF，
∴△AFD∽△BFG，∴ ＝ ，
∵运动时间为 秒，
∴AF＝ ，
∵AB＝4，
∴BF＝ ，
∵AD＝2，
∴BG＝1，
∴CG＝3，
∵AD∥CG，
∴ ＝ ，
∵AE＝ ，
∴ED＝ ，
∴ ＝ ；
（2）当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，
由题意可知，AE＝x，AF＝ x，
∵DB＝2 ，AB＝4，AD＝2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝60°，
过点E作EH⊥AB交于H，
∴EH＝AE•sin60°＝ x，
∴y＝ ×AF×EH＝ × x× x＝ x2；
此时当x＝2时，y有最大值3；
当2≤x≤ 时，E点在BD上，F点在AB上，
过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，
∵AD+DE＝x，AD＝2，∴DE＝x﹣2，
∵BD＝2 ，
∴BE＝2 ﹣x+2，
在Rt△ABD中，DM＝ ，
∵EN∥DM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EN＝1+ ﹣ x，
∴y＝ ×AF×EN＝ ×（ x）×（1+ ﹣ x）＝﹣ x2+ x+ x；
此时当x＝ 时，y有最大值2+ ；
当 ≤x≤2 时，过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，
∴AB+BF＝ x，DA+DE＝x，
∵AB＝4，AD＝2，
∴BE＝2 ﹣x+2，BF＝ x﹣4，
∵PF∥DM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PF＝ x﹣2，
∵EQ∥DM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴EQ＝ +1﹣ x，
∴y＝ ×AB×（EQ﹣PF）＝ ×4×（ +1﹣ x﹣ x+2）＝6+2 ﹣x﹣ x；
此时当x＝ 时，y有最大值2+ ；综上所述：当0≤x≤2时，y＝ x2；当2≤x≤ 时，y＝﹣ x2+ x+ x；当
≤x≤2 时，y＝6+2 ﹣x﹣ x；y的最大值为2+ ；
（3）连接DH，
∵AH＝ HB，AB＝4，
∴AH＝1，
∴DH⊥AB，
∵M是DF的中点，
∴HM＝DM＝MF，
∵EM＝HM，
∴EM＝ DF，
∴△EDF是直角三角形，
∴EF⊥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF∥BD．【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的
性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
