文档内容
2022年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
3．（4分）2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里
程约198000公里．数据198000用科学记数法表示为（ ）
A．198×103 B．1.98×104 C．1.98×105 D．1.98×106
4．（4分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉
字是（ ）
A．大 B．美 C．遂 D．宁
5．（4分）下列计算中正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a10÷（﹣a2）3＝a4 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4
6．（4分）若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
7．（4分）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）A． cm2 B． cm2 C．175 cm2 D．350 cm2
π π
8．（4分）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且
DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（4分）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
10．（4分）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与
BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位
数是 ．
12．（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝
．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正
方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 ．
14．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直
角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵
树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的
作 图 原 理 作 图 ， 则 第 六 代 勾 股 树 中 正 方 形 的 个 数 为 ．
15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的
取值范围是 ．三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
16．（7分）计算：tan30°+|1﹣ |+（ ﹣ ）0﹣（ ）﹣1+ ．
π
17．（7分）先化简，再求值：（1﹣ ）2÷ ，其中a＝4．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，
过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
19．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要
求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3
个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．
那么有哪几种购买方案？
20．（9分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青
少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图
统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样
滑冰运动的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从
这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中
恰有一项为自由式滑雪C的概率．
21．（9分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为
“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝ 上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取
值范围．
22．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一
平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶
坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶
到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）23．（10分）已知一次函数y ＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y ＝ 交于
1 2
B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y ＜y 时对应自变量x的取值范围；
1 2
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
24．（10分）如图 O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交 O于点D，连
接BD，CD，⊙过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． ⊙
（1）求证：PD是 O的切线；
（2）求证：△ABD⊙∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），
求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，
求点N的坐标．2022年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（ ）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数，属于基础题．
2．（4分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图
形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做
中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
叫做轴对称图形．
【解答】解：A．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（4分）2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里
程约198000公里．数据198000用科学记数法表示为（ ）
A．198×103 B．1.98×104 C．1.98×105 D．1.98×106
【分析】把较大的数表示成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可得出答
案．
【解答】解：198000＝1.98×105，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数小1是
解题的关键．
4．（4分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉
字是（ ）
A．大 B．美 C．遂 D．宁
【分析】根据图形，可以写出相对的字，本题得以解决．
【解答】解：由图可知，
我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对，
故选：B．
【点评】本题考查正方体相对的两个面上的文字，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
5．（4分）下列计算中正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a10÷（﹣a2）3＝a4 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据积的乘方判断B选项；根据幂的乘方和同
底数幂的除法判断C选项；根据平方差公式判断D选项．
【解答】解：A，原式＝a6，故该选项不符合题意；B，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；
C，原式＝a10÷（﹣a6）＝﹣a4，故该选项不符合题意；
D，原式＝（﹣a）2﹣22＝a2﹣4，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握（ab）n＝
anbn是解题的关键．
6．（4分）若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【分析】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，求出
m的值即可．
【解答】解： ＝ ，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，
即4﹣m＝0或x＝﹣ ＝﹣ ，
∴m＝4或m＝0，
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解
题的关键．
7．（4分）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）A． cm2 B． cm2 C．175 cm2 D．350 cm2
π π
【分析】先利用勾股定理计算出AC＝25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的
弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式可计
算出圆锥的侧面积．
【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝ ＝25（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积＝ ×2 ×7×25＝175 （cm2）．
π π
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理与圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（4分）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且
DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设AN＝a，根据DE∥BC，证
出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝ a，列出△DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设AN＝a，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝ a，
∴△DEF面积S＝ ×DE×MN
＝ × a•（6﹣a）
＝﹣ a2+4a
＝﹣ （a﹣3）2+6，
∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出△DEF面积S的函数表达式，根据
配方法求最值是解题的关键．
9．（4分）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将m2+3m＝2022整体代入代数式
求值是解题的关键．
10．（4分）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与
BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【分析】由四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，可得△ABG≌△CBE（SAS），即得∠BAG
＝∠BCE，即可证明∠POC＝90°，可判断①正确；取AC的中点K，可得AK＝CK＝OK＝
BK，即可得∠BOA＝∠BCA，从而△OBP∽△CAP，判断②正确，由∠AOC＝∠ADC＝
90°，可得A、O、C、D四点共圆，而AD＝CD，故∠AOD＝∠DOC＝45°，判断④正确，不能
证明OB平分∠CBG，即可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，解
题的关键是取AC的中点K，证明AK＝CK＝OK＝BK，从而得到A、B、O、C四点共圆．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位
数是 2 3 ．
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可写出相应的中位数．
【解答】解：将22，24，20，23，25按照从小到大排列是：20，22，23，24，25，
∴这五个数的中位数是23，
故答案为：23．
【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会求一组数据的中位数．
12．（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ 2 ．
【分析】根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从
而可以将所求式子化简．
【解答】解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣ +
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解答．
13．（4分）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正
方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4 ．
【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．
【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直
角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵
树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的
作 图 原 理 作 图 ， 则 第 六 代 勾 股 树 中 正 方 形 的 个 数 为 127 ．
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），
故答案为：127．
【点评】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的
取值范围是 ﹣ 4 ＜ m ＜ 0 ．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得
a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣ ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二
次函数与方程的关系．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
16．（7分）计算：tan30°+|1﹣ |+（ ﹣ ）0﹣（ ）﹣1+ ．
π
【分析】根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方
根可以解答本题．
【解答】解：tan30°+|1﹣ |+（ ﹣ ）0﹣（ ）﹣1+
π
＝ +1﹣ +1﹣3+4
＝3．
【点评】本题考查实数的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数
指数幂和算术平方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（7分）先化简，再求值：（1﹣ ）2÷ ，其中a＝4．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
当a＝4时，
原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，
过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可．
（2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）．
（2）解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角
形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
19．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要
求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3
个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．
那么有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需
费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而
可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴ ，
解得30≤x≤33 ，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是
明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
20．（9分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青
少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行
了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图
统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 10 0 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样
滑冰运动的学生有 80 0 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从
这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中
恰有一项为自由式滑雪C的概率．
【分析】（1）由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的40%，可求出调查人数，用爱好
花样滑冰运动的学生占调查人数的40%，可估计2000名学生中，爱好花样滑冰运动的学
生人数；
（2）求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果数，然后
根据概率公式计算．
【解答】解：（1）∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%＝100（人），
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%＝800（人），
故答案为：100，800；
（2）∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%＝10（人），
∴爱好自由式滑雪的学生数为100﹣40﹣20﹣10＝30（人），
补全条形统计图如下：（3）
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：（A，C），（B，C），（D，C）（C，A），
（C，B），（C，D），一共6种等可能的结果，
∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）＝ ＝ ．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是 ．
【点评】本题考查统计与概率问题，解题的关键是用列表法或画树状图法，不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（9分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为
“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝ 上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取
值范围．【分析】（1）设双曲线y＝ 上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；
（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝
﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．
【解答】解：（1）设双曲线y＝ 上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝ ，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程的解，
∴双曲线y＝ 上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝ ，
∵a＞1，
∴0＜c＜9．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理
解题意，学会用转化的思想思考问题．
22．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一
平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶
坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶
到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）【分析】如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是
矩形，设EF＝a米，BF＝b米，构建方程组求解．
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP
是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝262，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝ ，
∴ ≈2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH＝ ＝ ＝ ，
∴ ≈1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
23．（10分）已知一次函数y ＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y ＝ 交于
1 2
B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y ＜y 时对应自变量x的取值范围；
1 2
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【分析】（1）根据B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y ＝ 的图象上，可以求得点B的
2
坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当
y ＜y 时对应自变量x的取值范围；
1 2
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，
即可计算出△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y ＝ 的图象上，
2
∴y ＝ ＝﹣3，
2
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y ＝ax﹣1的图象上，
1
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2） ，
解得 或 ，
∵一次函数y ＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y ＝ 交于B、C两点，B点的横坐标为﹣
1 2
2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y ＜y 时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
1 2
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD ＝S△ADE +S△DEC ＝ ＝2，
即△ACD的面积是2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解答．24．（10分）如图 O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交 O于点D，连
接BD，CD，⊙过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． ⊙
（1）求证：PD是 O的切线；
（2）求证：△ABD⊙∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
【分析】（1）想办法证明OD⊥PD即可；
（2）根据两个角相等证明△BAD∽△CDP；
（3）解法一：证明四边形ODGC是矩形，先根据等角的三角函数可得PG的长，最后根据
线段的和可得结论．
解法二：作辅助线，证明AM＝DM＝7，可得AD的长，同解法一可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是 O的切线．
（2）证明⊙：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是 O的直径，
⊙
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝ ＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5 ，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CP＝ ，
∴AP＝AC+CP＝8+ ＝ ，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AD2＝6× ＝98，∴AD＝7 ，
∵OE⊥AD，
∴DE＝ AD＝ ，
∴OE＝ ＝ ＝ ，
即点O到AD的距离是 ．
解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
则∠M＝∠CND＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，
∵A，B，D，C四点共圆，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴△DCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM，
同理得：AM＝AN，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AM＝DM＝7，
∴AD＝7 ，
由解法一可得：OE＝ ．
即点O到AD的距离是 ．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股
定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），
求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位
于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，
求点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
（2）如图，设D 为D关于直线AB的对称点，D 为D关于直线BC的对称点，连接D E，
1 2 1
D F，D D ．当D ，E．F．D 共线时，△DEF的周长最小，最小值为D D 的长；
2 1 2 1 2 1 2
（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点
N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．分三种情形：当AM＝AN时，当AM＝
MN时，当AN＝MN时，分别构建方程求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设D 为D关于直线AB的对称点，D 为D关于直线BC的对称点，连接D E，
1 2 1
D F，D D ．
2 1 2由对称性可知DE＝D E，DF＝D F，△DEF的周长＝D E+EF+D F，
1 2 1 2
∴当D ，E．F．D 共线时，△DEF的周长最小，最小值为D D 的长，
1 2 1 2
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD ，且D（0，﹣2），
2
∴D （1，﹣3），
2
∵D，D 关于x轴对称，
1
∴D （0，2），
1
∴D D ＝ ＝ ＝ ，
1 2
∴△DEF的周长的最小值为 ．
（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．
∴S△ABM ＝2d，
又∵S△AMN ＝2d，
∴S△ABM ＝S△AMN ，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，设直线BC的解析式为y＝kx+m，
则有 ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由 ，解得 或 ，
∴M（4，5），
∵点N在射线CB上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5 ，AN＝ ，MN＝ ，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5 ＝ ，解得t＝1± ，
当AM＝MN时，5 ＝ ，
解得t＝6± ，
当AN＝MN时， ＝ ，
解得t＝ ，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为 ，1+ ，6+ ，
∴点N的坐标为（ ， ）或（1+ ，﹣2+ ）或（6+ ，3+ ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问
题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用
分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
