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2022年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）实数﹣2，0， ，2中，为负数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．2
2．（4分）截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记
数法表示为（ ）
A．3.677×102 B．3.677×105 C．3.677×106 D．0.3677×107
3．（4分）下列英文字母为轴对称图形的是（ ）
A．W B．L C．S D．Q
4．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x5＝x15
B．2x+3y＝5xy
C．（x﹣2）2＝x2﹣4
D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y
5．（4分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9．则这
组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．7.5，7 B．7.5，8 C．8，7 D．8，8
7．（4分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则
△DEF的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
8．（4分）化简 +a﹣2的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（4分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3
只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则
可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点
A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（ ）
A．28° B．50° C．56° D．62°
11．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，
B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝
3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝ ．其中
正确结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应
的位置上.
13．（4分）分解因式：2x2﹣8x＝ ．
14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数为 ．
15．（4分）一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为 ．
16．（4分）设x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x 2+x 2的值为 ．
1 2 1 2
17．（4分）将一组数 ，2， ，2 ，…，4 ，按下列方式进行排列：
，2， ，2 ；
，2 ， ，4；
…
若2的位置记为（1，2）， 的位置记为（2，3），则2 的位置记为 ．
18．（4分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，
若AB＝4，BC＝4 ，则PE+PB的最小值为 ．三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）计算：（3﹣ ）0﹣|﹣ |+ +2﹣2．
π
20．（8分）解方程： ＝ ．
21．（10分）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取
了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93
88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩/分 频数
A 95≤x≤100 3
B 90≤x＜95 9
C 85≤x＜90 ▲
D 80≤x＜85 2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 ，B所对应的扇形圆心角度数为 ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优
秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树
状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
22．（10分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A
处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为
45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： ≈1.41， ≈1.73）23．（10分）已知直线y＝x与反比例函数y＝ 的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝ 的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣
1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
24．（10分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资
金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个
小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改
造多少个老旧小区？
25．（10分）如图，AB为 O的直径，点C是 O上一点，CD与 O相切于点C，过点B作
BD⊥DC，连接AC，B⊙C． ⊙ ⊙
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，
C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请
说明理由．2022年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）实数﹣2，0， ，2中，为负数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．2
【分析】根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．
【解答】解：∵﹣2＜0
∴负数是：﹣2，
故选A．
【点评】本题主要考查实的分类，区分正负，解题的关键是熟知实数的性质：负数小于零．
2．（4分）截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记
数法表示为（ ）
A．3.677×102 B．3.677×105 C．3.677×106 D．0.3677×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：367.7万＝3677000＝3.677×106；
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
3．（4分）下列英文字母为轴对称图形的是（ ）
A．W B．L C．S D．Q
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、W是轴对称图形，符合题意；
B、L不是轴对称图形，不合题意；
C、S不是轴对称图形，不合题意；
D、Q不是轴对称图形，不合题意．故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
4．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x5＝x15
B．2x+3y＝5xy
C．（x﹣2）2＝x2﹣4
D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分
析选项即可知道答案．
【解答】解：A．x3•x5＝x15，根据同底数幂的乘法法则可知：x3•x5＝x8，故选项计算错误，不符
合题意；
B．2x+3y＝5xy，2x和3y不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C．（x﹣2）2＝x2﹣4，根据完全平方公式可得：（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故选项计算错误，不符
合题意；
D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法
则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项
式的法则．
5．（4分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
6．（4分）中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9．则这
组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．7.5，7 B．7.5，8 C．8，7 D．8，8
【分析】分别计算该组数据的众数、中位数后找到正确答案即可．
【解答】解：根据题意，
这组数据按从小到大排列为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，9；
∴中位数为：8；众数为8；
故选：D．
【点评】本题考查了中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数
的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
7．（4分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则
△DEF的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周
长＝2△DEF的周长．
【解答】解：如图，点D，E，F分别为各边的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，EF＝ AB＝2，DF＝ AC＝4，
∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量
关系．
8．（4分）化简 +a﹣2的结果是（ ）A．1 B． C． D．
【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减法，把a﹣2看成分母是1的分数进行通分是解题的关键．
9．（4分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，
直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3
只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则
可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，
∴5x+2y＝19；
∵2头牛，3只羊共12两银子，
∴2x+3y＝12．
∴可列方程组为 ．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．
10．（4分）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点
A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（ ）A．28° B．50° C．56° D．62°
【分析】连接OB，由AO＝OB得，∠OAB＝∠OBA＝28°，∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝124°；
因为PA、PB分别切 O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和即可求出
∠APB． ⊙
【解答】解：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝28°，
∴∠AOB＝124°，
∵PA、PB分别切 O于点A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥⊙AB，
∴∠OAP+∠OBP＝180°，
∴∠APB+∠AOB＝180°；
∴∠APB＝56°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
11．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处
的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，
解得：m＞ ，
∴P（﹣m，m）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此
题的关键．
12．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，
B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝
3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝ ．其中
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可
知②正确；证明△GBH∽△EDC，得到 ，即 ，利用△HEC是等腰
直角三角形，求出 ，再证明△HGB∽△HDF即可求出EF＝3可知③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，求出 ，再证明∠DEC＝∠EFC，即可
知④正确．
【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，
∴∠EDC＝∠HBC，
∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，
∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDC＝135°，故①正确；
∵△EDC旋转得到△HBC，
∴EC＝HC，∠ECH＝90°，
∴∠HEC＝45°，
∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ECD＝∠ECF，
∴△EFC∽△DEC，
∴ ，
∴EC2＝CD•CF，故②正确；
设正方形边长为a，
∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，
∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，
∵∠GBH＝∠EDC＝135°，
∴△GBH∽△EDC，
∴ ，即 ，
∵△HEC是等腰直角三角形，
∴ ，
∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，
∴△HBG∽△HDF，
∴ ，即 ，解得：EF＝3，
∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；
过点E作EM⊥FD交FD于点M，
∴∠EDM＝45°，
∵ED＝HB＝2，
∴ ，
∵EF＝3，
∴ ，
∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝∠EFC，
∴ ，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解
题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应
的位置上.
13．（4分）分解因式：2x2﹣8x＝ 2 x （ x ﹣ 4 ） ．
【分析】直接提取公因式2x，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2x（x﹣4）．
故答案为：2x（x﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数为 110 ° ．
【分析】根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知∠3＝∠1，再借助
∠3与∠2为对顶角即可确定∠2的度数．
【解答】解：如下图，
∵a∥b，∠1＝110°，
∴∠3＝∠1＝110°，
∵∠3与∠2为对顶角，
∴∠2＝∠3＝110°．
故答案为：110°．
【点评】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是
解题的关键．
15．（4分）一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为 1 1 ．
【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程
求出n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意可得： ，
解得：n＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理
解并应用这两个公式是解题的关键．16．（4分）设x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x 2+x 2的值为 1 0 ．
1 2 1 2
【分析】由根与系数的关系，得到x +x ＝﹣2，x •x ＝﹣3，然后根据完全平方公式变形求
1 2 1 2
值，即可得到答案．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x •x ＝﹣3，
1 2 1 2
∴x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；
1 2 1 2 1 2
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键
是掌握韦达定理得到x +x ＝﹣2，x •x ＝﹣3．
1 2 1 2
17．（4分）将一组数 ，2， ，2 ，…，4 ，按下列方式进行排列：
，2， ，2 ；
，2 ， ，4；
…
若2的位置记为（1，2）， 的位置记为（2，3），则2 的位置记为 （ 4 ， 2 ） ．
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
【解答】解：题中数字可以化成：
， ， ， ；
， ， ， ；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵ ，28是第14个偶数，而14÷4＝3⋯2，
∴ 的位置记为（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，把被开方数全部
统一成二次根式的形式是解题的关键．
18．（4分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，
若AB＝4，BC＝4 ，则PE+PB的最小值为 6 ．
【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则
PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4 ，
∴tan∠ACB＝ ＝ ，
∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BF＝ BC＝2 ，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4 ，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E＝ ＝ ＝6，
∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性
质、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得
PE+PB有最小值．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）计算：（3﹣ ）0﹣|﹣ |+ +2﹣2．
π【分析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运
算法则计算即可．
【解答】解：（3﹣ ）0﹣|﹣ |+ +2﹣2
π
＝
＝7．
【点评】本题考查了零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数
幂的运算法则，熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键．
20．（8分）解方程： ＝ ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ＝ ，
方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：
2x+1＝3（x﹣1），
解这个整式方程得：
x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝4是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解
分式方程需要检验．
21．（10分）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取
了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93
88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩/分 频数
A 95≤x≤100 3
B 90≤x＜95 9
C 85≤x＜90 ▲
D 80≤x＜85 2请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 6 ，B所对应的扇形圆心角度数为 162 ° ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优
秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树
状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据总人数为20人，减去A、B、D的频数即可求出C等级的频数；求出B等
级所占的百分比再乘以360°即可得到B对应的扇形圆心角的度数；
（2）求出成绩大于等于9（0分）的人数所占的百分比，然后再乘以1500即可得到成绩达到
优秀等级的人数；
（3）画出树状图即可求解．
【解答】解：（1）等级C的频数＝20﹣3﹣9﹣2＝6，
B所占的百分比为：9÷20×100%＝45%，
∴B所对应的扇形圆心角度数为：360×45%＝162°．
故答案是：6，162°；
（2）随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于90分的人数共有12人，其占样本人
数的百分比为：12÷20×100%＝60%，
∴1500名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：1500×60%＝900人．
（3）列出树状图如下所示：
共有6种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率P（一男一女） ＝ ．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解频数、扇形统计图的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22．（10分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A
处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为
45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【分析】在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，设CD为xm，则BD＝CD＝xm，AD＝BD+AB＝
（60+x）m，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan30°＝ ＝ ，解方程即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
设CD为xm，
∴BD＝CD＝xm，
∴AD＝BD+AB＝（60+x）m，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
tan∠CAD＝tan30°＝ ＝ ，
解得 ≈82．
答：此建筑物的高度约为82 m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是
解答本题的关键．
23．（10分）已知直线y＝x与反比例函数y＝ 的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝ 的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣
1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，即可根据A、B坐标证明
△AOE≌△BOF（SAS），得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐标即可得到OC＝
OD，即可证明△AOD≌△BOC．
【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入 中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为 ，
∵点A（1，m）在 的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；
（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．由（1）知，反比例函数的解析式为 ，
∵点B（n，﹣1）在 的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等
三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
24．（10分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资
金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个
小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改
造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金
额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之
取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于
2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可
得出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤ ，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式．
25．（10分）如图，AB为 O的直径，点C是 O上一点，CD与 O相切于点C，过点B作
BD⊥DC，连接AC，B⊙C． ⊙ ⊙
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，先证明OC∥BD，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可
证明结论成立；
（2）根据题目中的条件，可以得到∠ABC＝∠CBD，∠ACB＝∠D，从而可以得到
△ABC∽△CBD，利用相似三角形的性质即可求出BC的长度；
（3）先证明△AOC是等边三角形，然后求出扇形AOC和△AOC的面积，即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵CD与 O相切于点C，OC为半径，
∴OC⊥C⊙D，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OBC，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：如图2，∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△CBD，
∴ ，
∴BC2＝AB•BD，
∵BD＝3，AB＝4，
∴BC2＝3×4＝12，
∴ 或﹣2 （不符合题意，舍去），
∴BC的长为2 ；
（3）解：如图3，作CE⊥AO于E，连接OC，
∵AB是直径，AB＝4，
∴OA＝OC＝2，在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝2，
∴AO＝CO＝AC＝2，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵CE⊥OA，
∵OE＝ OA＝1，
∴ ，
∴阴影部分的面积为： ．
【点评】本题考查了圆的综合应用，掌握切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，
扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周
角定理，角平分线定义等知识是解决问题的关键．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，
C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三
角形，得 ，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质
求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角
线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×（﹣5）+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴ ，
∵a＝﹣1＜0，
∴当 时，PH最大为 ，∴此时PE最大为 ，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得 ，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得 ，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得 ，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与
几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合
是解题的关键．
