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2022年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客
180000余人．人数180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106
3．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣1）2＝﹣2 B．（ + ）（ ﹣ ）＝1
C．a6÷a3＝a2 D．（﹣ ）0＝0
5．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（
）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数
是（ ） ⊙ ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是
（ ）
A．平均数是14 B．中位数是14.5
C．方差是3 D．众数是14
9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（4分）P为 O外一点，PT与 O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（ ）
⊙ ⊙A．5 B．5 C．8 D．9
11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成
一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三
角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
12．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，
形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝ ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：|﹣2|＝ ．
14．（4分）分解因式：m2+m＝ ．
15．（4分）化简： • + ＝ ．
16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做
好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出
100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
鱼池．（填甲或乙）
17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高
CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑
动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．
21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑
自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度
的3倍，求张老师骑车的速度．
22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（t 单位：小时），学校采用随机
抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分
为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解
决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小
时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画
树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象
相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，
求点C的坐标．
24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，
矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB
＝AB．我们还可以得到FC＝ ，EF＝ ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．
25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆
OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测
目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这
两个角相等的理由．
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角
∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高
PH．（ ≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，
决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角 、
，再测得E、F间的距离m，点O 、O 到地面的距离O E、O F均为1.5米．求PH（用 、α、
1 2 1 2
βm表示）． α β26．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出
抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取
值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经
过P（ ﹣c，y ），Q（1+3c，y ）两点，试比较y 、y 的大小．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
【分析】根据对顶角相等可得∠2＝∠1＝30°．
【解答】解：∵∠1＝30°，∠1与∠2是对顶角，
∴∠2＝∠1＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．
2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客
180000余人．人数180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：180000＝1.8×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）A． B．
C． D．
【分析】将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得
到的立体图形是圆体．
【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，
将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．
故选：A．
【点评】本题考查生活中的立体图形，理解“点动成线，线动成面，面动成体”，是正确判
断的前提．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣1）2＝﹣2 B．（ + ）（ ﹣ ）＝1
C．a6÷a3＝a2 D．（﹣ ）0＝0
【分析】根据有理数的乘方判断A选项；根据平方差公式判断B选项；根据同底数幂的除
法判断C选项；根据零指数幂判断D选项．
【解答】解：A、原式＝1，故该选项不符合题意；
B、原式＝（ ）2﹣（ ）2＝3﹣2＝1，故该选项符合题意；
C、原式＝a3，故该选项不符合题意；
D、原式＝1，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，平方差公式，同底数幂的除法，零指数幂，掌握（a+b）
（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
5．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（
）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
【分析】菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
【点评】本题考查的是菱形的性质，关于原点对称，掌握菱形对角线互相平分是解本题的
关键．
6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A，B，C都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以是轴对称图形．
故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数
是（ ） ⊙ ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得
∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
方法二：根据AB是 O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角
和，可以得到∠A的⊙度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，⊙
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．
8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是
（ ）
A．平均数是14 B．中位数是14.5
C．方差是3 D．众数是14
【分析】分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．
【解答】解：A选项，平均数＝（13+14+15+14+14+15）÷6＝14 （岁），故该选项不符合题意；
B选项，这组数据从小到大排序为：13，14，14，14，15，15，中位数＝ ＝14（岁），故
该选项不符合题意；
C选项，方差＝ ×（[ 13﹣14 ）2+（14﹣14 ）2×3+（15﹣14 ）2×2]＝ ，故该选项不符合
题意；
D选项，14出现的次数最多，众数是14岁，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握一组数据中出现次数最多的数
据叫做众数是解题的关键．
9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方
程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等
是解题的关键．
10．（4分）P为 O外一点，PT与 O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（ ）
A．5 ⊙ B．5 ⊙ C．8 D．9
【分析】根据切线的性质得到∠OTP＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得到OT的
值，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：方法一：如图，∵PT与 O相切于点T，
∴∠OTP＝90°， ⊙
又∵OP＝10，∠OPT＝30°，
∴OT＝ OP＝ ×10＝5，
∴PT＝ ＝ ＝5 ．
故选：A．
方法二：在Rt△OPT中，∵cosP＝ ，
∴PT＝OP•cos30°＝10× ＝5 ．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成
一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三
角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，
则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，
∵S△ABC ＝ •AC•BH，
∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为 ×4×4＝8；
解法二：过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，
∴S＝ •BC•AD＝ •2x•y＝xy，
∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，
∴xy≤8，
∴当且仅当x＝y＝2 时，菜园最大面积＝8米2；
方案3：半圆的半径＝ 米，
∴此时菜园最大面积＝ ＝ 米2＞8米2；
故选：C．
【点评】本题考查了计算几何图形的面积的问题，根据题意计算三个方案的边长及半径是
解本题的关键．
12．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，
形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝ ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，
得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在
A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性
求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐
标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后
列出方程求出a的值，判断出④正确．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD
＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣ ）2﹣4× ＝ ，
根据顶点坐标公式， ＝﹣2，
∴ ＝﹣8，即 ＝8，
∴CD2＝ ×8＝ ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴ ＝42＝16，
解得a＝ ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的
对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上
的情况．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：|﹣2|＝ 2 ．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|＝2．
故答案为：2．
【点评】解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0．
14．（4分）分解因式：m2+m＝ m （ m + 1 ） ．
【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
【解答】解：m2+m＝m（m+1）．
故答案为：m（m+1）．
【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分
解的关键是确定公因式．
15．（4分）化简： • + ＝ ．
【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．
【解答】解： • +
＝ +＝ +
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的
运算法则．
16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做
好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出
100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
甲 鱼池．（填甲或乙）
【分析】根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大
小即可．
【解答】解：由题意可得，
甲鱼池中的鱼苗数量约为：100÷ ＝2000（条），
乙鱼池中的鱼苗数量约为：100÷ ＝1000（条），
∵2000＞1000，
∴初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是求出两个鱼池中鱼苗的数量．
17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高
CD为2厘米，则镜面半径为 2 6 厘米．
【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以
求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，由题意可得：OC⊥AB，AC＝ AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以
半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑
动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 3 ．
【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边
形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．
解法二：设 AE＝x，则 BF＝3﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF＝ +
，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短
可得结论．
【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接
HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：HG'＝ ＝3 ，
即GE+CF的最小值为3 ．
解法二：∵AG＝ AD＝1，
设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，
由勾股定理得：EG+CF＝ + ，
如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，
P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，
∴EP+PQ＝ + ，
当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3 ，
即EG+CF的最小值是3 ．故答案为：3 ．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定GE+CF
最小时E，F位置是解题关键．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
【分析】先求出不等式的解集，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，
由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
∴在数轴上表示不等式组的解集为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式
的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．
【分析】要证明∠D＝∠E，只要证明△ABD≌△ACE即可，根据等边三角形的性质和SAS
可以证明△ABD≌△ACE，本题得以解决．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE＝120°，
在△ABD和△ACE中，
，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D＝∠E．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是证明
△ABD≌△ACE．
21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑
自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度
的3倍，求张老师骑车的速度．
【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间﹣汽车用的时间＝2，即可列出相应的分式方
程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，
由题意可得： ﹣2＝ ，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是15千米/小时．
【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应
的分式方程．
22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（t 单位：小时），学校采用随机
抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分
为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解
决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画
树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【分析】（1）利用抽查的学生总数＝A等级的人数÷对应的百分比计算，即可求D等级的人
数；
（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所
占的百分比，即可求解；
（3）设A等级2人分别用A ，A 表示，D等级2人分别用D ，D 表示，画出树状图，即可求
1 2 1 2
解．
【解答】解：（1）n＝ ＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
条形统计图补充如下：
（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×
＝900（人），
∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A ，A 表示，D等级2人分别用D ，D 表示，随机选出2人向老师
1 2 1 2
汇报兴趣活动情况的树状图如下：
∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，∴所求概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读
懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象
相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，
求点C的坐标．
【分析】（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y＝ 求出n的值即可得出其函数解析式，再
把B（m，﹣1）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，B两点的坐标代入一次函
数y＝kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；
（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC＝2AD可得DC＝6，从而得点C的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y＝﹣ ；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴ ，解得 ，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
【点评】本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此
题时要注意数形结合思想的运用．
24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，
矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB
＝AB．我们还可以得到FC＝ CD ，EF＝ AD ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间
的距离．
【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；
（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；
（3）由勾股定理可求BH的长，由相似三角形的性质可求解．
【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD；
（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，
∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，BH＝ ＝ ＝50（cm），
∵EG⊥BC，
∴CH∥EG，
∴△BCH∽△BGE，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴EG＝64，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定
和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆
OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这
两个角相等的理由．
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角
∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高
PH．（ ≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，
决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角 、
，再测得E、F间的距离m，点O 、O 到地面的距离O E、O F均为1.5米．求PH（用 、α、
1 2 1 2
βm表示）． α β
【分析】（1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含 、 、m的式子表示出PH．
【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°， α β∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝ ，
∴tan60°＝ ，
解得PQ＝5 米，
∴PH＝PQ+QH＝5 +1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O O ＝m，O E＝O F＝DH＝1.5米，
1 2 1 2
由图可得，tan ＝ ，tan ＝ ，
β α
∴O D＝ ，O D＝ ，
2 1
∵O O ＝O D﹣O D，
1 2 2 1
∴m＝ ﹣ ，
∴PD＝ ，
∴PH＝PD+DH＝（ +1.5）米．
【点评】本题考查解直角三角形—仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
26．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出
抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取
值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（ ﹣c，y ），Q（1+3c，y ）两点，试比较y 、y 的大小．
1 2 1 2
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，即可求解；
（2）由题意画出图象，结合图象可求解；
（3）结合题意分别求出a＝1，b＝﹣1﹣c，将点P，点Q坐标代入可求y ，y 的值，即可求解．
1 2
【解答】解：（1）由题意可得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x ＝0，x ＝﹣2，
1 2
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+ ，
∴﹣ ＝1+ ，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（ ﹣c，y ），Q（1+3c，y ），
1 2
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝ ﹣c时，则y ＝（ ﹣c）2﹣（1+c）（ ﹣c）+c＝2c2+ c﹣ ，
1
当x＝1+3c时，则y ＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
2
∴y ﹣y ＝（6c2+3c）﹣（2c2+ c﹣ ）＝4（c+ ）2﹣ ，
2 1∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣ ，
∴4（c+ ）2﹣ ＞0，
∴y ＞y ．
2 1
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的
思想，求出b与c的关系是解题的关键．
