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2022年四川省资阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小愿给出的四个选项中，只有一
个选项符合题意．
1．（4分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
2．（4分）如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上
的字是（ ）
A．文 B．明 C．城 D．市
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2
C．a2×a＝a3 D．（a2）3＝a5
4．（4分）按疫情防控要求，学校严格执行“一日三检”．小明记录某周周一至周五的晨检体
温（单位：℃）结果分别为：36.2，36.0，35.8，36.2，36.3．则这组数据的中位数和众数分别是
（ ）
A．36.0、36.2 B．36.2、36.2 C．35.8、36.2 D．35.8、36.1
5．（4分）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．（4分）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么 在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．（4分）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点
F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是（ ）
A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA
8．（4分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则
AE+OE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与 交于点
C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有
以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当
m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确
结论的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰
雪运动参与人数达到3.46亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．数
3.46亿用科学记数法表示为 ．
12．（4分）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已
选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 ．（填一种即可）
13．（4分）投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的
概率是 ．
14．（4分）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
15．（4分）如图，△ABC内接于 O，AB是直径，过点A作 O的切线AD．若∠B＝35°，则
∠DAC的度数是 度．⊙ ⊙
16．（4分）女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离y（千米）
与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前 分钟到达终点．三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）先化简，再求值． ，其中a＝﹣3．
18．（10分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．
学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的
不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表
法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
19．（10分）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种
型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各
10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购
买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
20．（10分）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2 ，求△BCD的面积．
21．（11分）如图，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数y ＝ 的图象交于点A（1，m）和点
1 2
B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当x＞0时，满足y ＞y 的x的取值范围；
1 2
（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它
的图象与平移后的一次函数图象无交点．
22．（11分）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如
图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前
进100 米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向
上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）23．（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边
上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最
大值，最大值是多少？
24．（13分）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应
点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得
以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．2022年四川省资阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小愿给出的四个选项中，只有一
个选项符合题意．
1．（4分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身
的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是
它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（4分）如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上
的字是（ ）
A．文 B．明 C．城 D．市
【分析】先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，
正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．
【解答】解：将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，
右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知
“创”字与“市”字相对．
故选：D．
【点评】本题主要考查了将正方体表面展开图还原，确定每个字在还原后的正方体的位置
是解题的关键．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2C．a2×a＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法
则即可求出答案．
【解答】解：A．2a与3b不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意
C．a2×a＝a3，故C符合题意
D．（a2 ）3＝a6，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关
运算法则及公式，本题属于基础题型．
4．（4分）按疫情防控要求，学校严格执行“一日三检”．小明记录某周周一至周五的晨检体
温（单位：℃）结果分别为：36.2，36.0，35.8，36.2，36.3．则这组数据的中位数和众数分别是
（ ）
A．36.0、36.2 B．36.2、36.2 C．35.8、36.2 D．35.8、36.1
【分析】根据中位数和众数的概念即可得出正确选项．
【解答】解：将小明周一至周五的体温数据从小到大排列为：35.8，36.0，36.2，36.2，36.3，
所以这组数据的中位数为：36.2，
众数为：36.2，
故选：B．
【点评】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数和众数的概念是解题的关键．
5．（4分）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的
同位角互为余角，即可求解．
【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定
理及性质进行推导．
6．（4分）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么 在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】由 ，再结合数轴即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，确定 的范围是解题的关键．
7．（4分）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点
F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是（ ）
A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA
【分析】根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．【解答】解：由题意可知，AM平分∠CAB，
∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；
∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C选项符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角
平分线的作图方法是本题的关键．
8．（4分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则
AE+OE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点
A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段
A'O的长度即可．
【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点
E，再作OF⊥AB交AB于点F，
∵A与A'关于BC对称，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，
此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，
∴ ，
∵A与A'关于BC对称，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中， ，
故选：D．
【点评】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长
度是解题关键．
9．（4分）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与 交于点
C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到∠COD＝60°，即可求出扇
形AOC的面积，再算出△AOC的面积，即可求出阴影部分面积．
【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴阴影部分的面积为： ＝ ﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
10．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有
以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当
m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确
结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①：根据二次函数的对称轴 ，c＝1，即可判断出abc＞0；
②：结合图象发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），∴ ，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵ ，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握
二次函数的图象和性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰
雪运动参与人数达到3.46亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．数
3.46亿用科学记数法表示为 3.46×1 0 8 ．
【分析】科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位
数少1，据此换算即可．
【解答】解：将数据3.46亿用科学记数法表示为346000000＝3.46×108，
故答案为：3.46×108．【点评】此题考查了用科学记数法表示较大的数，正确理解科学记数法的形式并运用是解
题的关键．
12．（4分）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已
选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 4 答案不唯一 ．（填一
种即可）
【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°＝360°，
∴正四边形可以，
正六边形的每个内角是120°，
∵2×60°+2×120°＝360°，
∴正六边形可以，
正十二边形的每个内角是150°，
∵1×60°+2×150°＝360°，
∴正十二边形可以，
故答案为：4答案不唯一．
【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的
多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．（4分）投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的
概率是 ．
【分析】在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率＝所求情
况数与总情况数之比求解即可．
【解答】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有
6面，
∴朝上的数字为偶数的概率为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一
次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝ 且0≤P（A）≤1．
14．（4分）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 6 ．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可
得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
15．（4分）如图，△ABC内接于 O，AB是直径，过点A作 O的切线AD．若∠B＝35°，则
∠DAC的度数是 3 5 度．⊙ ⊙
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根据切线的性质可得∠BAD
＝90°，即可求解．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∵AD与 O相切，
∴AB⊥A⊙D，即∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周
角是直角是解题的关键．
16．（4分）女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离y（千米）
与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前 1 分钟到达终点．【分析】根据图象求出20分钟后甲的速度，进而求出32分钟，甲和乙所处的交点位置，再
根据速度公式求出20分钟后乙的速度，进而求出达到终点时乙所需的时间，即可求出答
案．
【解答】解：由图象可知，甲20～35分钟的速度为： （千米/分钟），
∴在32分钟时，甲和乙所处的位置： （千米），
乙20分钟后的速度为： （千米/分钟），
∴乙到达终点的时间为： （分钟），
∴甲比乙提前：36﹣35＝1（分钟），
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数的应用，从图中获取所需信息是本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）先化简，再求值． ，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求
出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
当a＝﹣3时，
原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
18．（10分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．
学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的
不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表
法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生
人数，即可解决问题；
（2）用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
（3）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种．
再根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），
则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），
补全条形统计图如下：（2）愿意参加劳动社团的学生人数为： （人）；
（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为 ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不
重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题
是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种
型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各
10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购
买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，根据
“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即
可得出答案；（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）
个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，
根据题意得：10（x+20）+10x＝1760，
解得：x＝78，
∴x+20＝78+20＝98，
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，
根据题意得：98a+78（50﹣a）≤4500，
解得：a≤30，
∴a最大值是30，
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关
系和数量关系是本题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上
截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2 ，求△BCD的面积．
【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的
判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；
（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE
＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2 ）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合
题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
（2）解：∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，
设BE＝x，
∵EC＝AB＝3，BD＝2 ，
∴CD＝BC＝3+x，
∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，
∴（2 ）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，
整理得x2+3x﹣10＝0，
解得x ＝2，x ＝﹣5（不符合题意，舍去），
1 2
∴BE＝2，BC＝3+2＝5，
∴DE＝ ＝ ＝4，
∴S△BCD ＝ BC•DE＝ ×5×4＝10，
∴△BCD的面积为10．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程
的解法等知识与方法，证明三角形全等以及根据勾股定理列方程是解题的关键．
21．（11分）如图，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数y ＝ 的图象交于点A（1，m）和点
1 2
B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当x＞0时，满足y ＞y 的x的取值范围；
1 2
（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它
的图象与平移后的一次函数图象无交点．【分析】（1）将A、B两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当x＞0，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x的即可；
（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图象即可判断反比
例函数的系数k，进而得到反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）由题意得： ， ，
∴m＝6，n＝﹣3，
∴A（1，6），B（﹣3，﹣2），
由题意得： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝2x+4；
（2）由图象可知，当x＞0时，
一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x的值为x＞1，
当x＞0时，满足y ＞y 的x的取值范围为x＞1；
1 2
（3）一次函数y＝2x+4的图象平移后为y＝2x，
函数图象经过第一、三象限，
要使正比例函数y＝2x与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k＜0，
∴当k＝﹣1时，满足条件，
∴反比例函数的解析式为 （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次
函数与反比例函数的性质是解题的关键．
22．（11分）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如
图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100 米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向
上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道
AB的长．
【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴ （米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴ （米），
在Rt△BDE中，
∴ （米），∴ （米），
答：隧道AB的长为 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角
的三角函数值是解题的关键．
23．（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边
上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最
大值，最大值是多少？
【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；
（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝
ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，
即可求解；
（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据 ，可得 ，再证得
△ABM∽△ECG，可得 ，从而得到 ，再根据三角形的面
积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，
∴∠AMB＝∠EFB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABM∽△EBF；
（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
又∵AM是BC边上的高，
∴AM⊥AD，
∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，
∴四边形AMEN为矩形，
∴NE＝AM＝4，AN＝ME，
在Rt△ABM中， ，
又∵E为BC的中点，
∴ ，
∴ME＝AN＝2，
∴DN＝8，
在Rt△DNE中， ；
（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：
∵sinB＝ ＝ ，
∴ ，
∴EF＝ x，∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，
又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△ABM∽△ECG，
∴ ，
∴ ，
∴GC＝ （10﹣x），
∴DG＝DC+GC＝5+ （10﹣x），
∴y＝ EF•DG＝ × x•[5+ （10﹣x）]＝﹣ x2+ x＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，y有最大值为 ，
答：y＝﹣ x2+ x，当x＝ 时，y有最大值为 ．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，
矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二
次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．
24．（13分）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应
点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得
以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，再
把B（﹣1，0）代入即可得出答案；
（2）①过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，根据∠BAD＝∠BEA＝90°，又因为∠ABE＝
∠DBA，证明出△BAE∽△BDA，从而得出AB2＝BE⋅BD，将BD＝2（m+1），BE＝2，AE＝4
代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到C（7，﹣4），点M的横坐标为4，B（﹣1，0），要让以点B、C、M、Q为
顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以BC为边时，存在平行四边形为
BCMQ；2）当以BC为边时，存在平行四边形为BCQM；3）当以BC为对角线时，存在平行
四边形为BQCM；即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋转可得：BD＝2BP，AC＝2AP，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，
∴BE＝2，AE＝4，在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；
②由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，
∴C（7，﹣4），
∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（﹣4，y ）代入y＝﹣x2+2x+3，
1
解得：y ＝﹣21，
1
∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（12，y ）代入y＝﹣x2+2x+3，
2
解得：y ＝﹣117，
2
∴Q（12，﹣117），3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（2，y ）代入y＝﹣x2+2x+3，
3
得：y ＝3，
3
∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边
形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
