文档内容
2022年四川省广安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，
2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4 B．a9÷a3＝a3
C． + ＝ D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
3．（3分）北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导
航系统，属于国家重要空间基础设施．截止2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百
余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×108 B．1.1×109 C．1.1×1010 D．1.1×1011
4．（3分）如图所示，几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．相似三角形的面积的比等于相似比
C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．（3分）某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠
废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：26 30 28 28 30 32 34 30
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．30，30 B．29，28 C．28，30 D．30，28
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数
的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
8．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边
AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
9．（3分）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半
径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4 m2
B．圆柱的侧面积为1π0 m2
C．圆锥的母线AB长为π2.25m
D．圆锥的侧面积为5 m2
10．（3分）已知抛物线y＝πax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部
分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0； ②2c﹣3b＜0； ③5a+b+2c＝0；④若B（ ，
y ）、C（ ，y ）、D（ ，y ）是抛物线上的三点，则y ＜y ＜y ．其中正确结论的个数有（
1 2 3 1 2 3）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小： 3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
12．（3分）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 ．
13．（3分）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 象限．
14．（3分）若（a﹣3）2+ ＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
15．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，
水面宽8米．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A …是由多段90°的圆
1 1 1 1 2
心角所对的弧组成的．其中，弧DA 的圆心为A，半径为AD；弧A B 的圆心为B，半径为
1 1 1
BA ；弧B C 的圆心为C，半径为CB ；弧C D 的圆心为D，半径为DC …．弧DA 、弧
1 1 1 1 1 1 1 1
A B 、弧B C 、弧C D …的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C D 的长是
1 1 1 1 1 1 2022 2022
（结果保留 ）．
π三、简答题（第17题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：（ ﹣1）0+| ﹣2|+2cos30°﹣（ ）﹣1．
18．（6分）先化简：（ +x+2）÷ ，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
19．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m为常数，
m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤ 的解集．
20．（6分）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①
BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩
下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线
上，然后对该真命题进行证明．
已知： ， ．
求证： ．四、实践应用题（第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）
21．（6分）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单
位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条
形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次随机调查的学生共有 人，图1中m的值为 ．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A 、A 、A 和1名男生B．为了解他们在
1 2 3
家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图
法，求恰好抽到两名女生的概率，
22．（8分）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从
A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为
28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多
150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a
之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
23．（8分）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A
处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水
果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门
口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整
数）参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75
24．（8分）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1
的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在
余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴
对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形
视为同一种图形）
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，AB为 O的直径，D、E是 O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC
＝∠BAD． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线．
⊙
（2）若tan∠BED＝ ，AC＝9，求 O的半径．
⊙六、拓展探索题（10分）
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C
两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得
△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．2022年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，
2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C．﹣ D．
【分析】直接运用倒数的定义求解即可．
【解答】解：2022的倒数为 ．
故选：D．
【点评】本题考查了倒数的定义，即乘积是1的两个数互为倒数．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4 B．a9÷a3＝a3
C． + ＝ D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
【分析】A．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；
C．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
D．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为3a2+2a2＝5a2，所以A选项运算不正确，故A选项不符合题意；
B．因为a9÷a3＝a9﹣3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C．因为 与 不是同类二次根式，不能进行合并计算，所以C选项运算不正确，故C选
项不符合题意；
D．因为（﹣3x2）3＝﹣27x6，所以D选项运算正确，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除
法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进
行求解是解决本题的关键．
3．（3分）北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导
航系统，属于国家重要空间基础设施．截止2022年3月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超11亿人口，请将11亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×108 B．1.1×109 C．1.1×1010 D．1.1×1011
【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位
的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜
10，n为正整数．】
【解答】解：11亿＝1100000000＝1.1×109．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握应用科学记数法—表示较
大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
4．（3分）如图所示，几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】应用简单组合体的三视图的判定方法进行判定即可得出答案．
【解答】解：几何体左视图为：
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的判定方法
进行求解是解决本题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．相似三角形的面积的比等于相似比
C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】直接利用矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论分别
分析得出答案．
【解答】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不合题意；
B．相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故此选项不合题意；
C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故此选项符合题意；
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推
论，正确掌握相关性质与方法是解题关键．
6．（3分）某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠
废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：
26 30 28 28 30 32 34 30
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．30，30 B．29，28 C．28，30 D．30，28
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为26、28、28、30、30、30、32、34，
所以这组数据的中位数为 ＝30，众数为30，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组
数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置
的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是
这组数据的中位数．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数
的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y
＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移
时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
8．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边
AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出
AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．
【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DF＝CF，AT＝TB，
∴DF＝AT，DF∥AT，
∴四边形ADFT是平行四边形，
∴AD＝FT＝2，
∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，
∴E，T关于AC对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT＝2，
∴PE+PF≥2，
∴PE+PF的最小值为2．故选：A．
【点评】本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会利用轴对称解决最短问题．
9．（3分）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半
径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4 m2
B．圆柱的侧面积为1π0 m2
C．圆锥的母线AB长为π2.25m
D．圆锥的侧面积为5 m2
【分析】利用圆的面积π公式对A选项进行判断；利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高可
对B选项进行判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，
这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积
公式可对D选项进行判断．
【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，
∴圆柱的底面积为4 m2，所以A选项不符合题意；
∵圆柱的高CD＝2.5πm，
∴圆柱的侧面积＝2 ×2×2.5＝10 （m2），所以B选项不符合题意；
∵底面圆半径DE＝π2m，即BC＝π2m，圆锥的高AC＝1.5m，
∴圆锥的母线长AB＝ ＝2.5（m），所以C选项符合题意；
∴圆锥的侧面积＝ ×2 ×2×2.5＝5 （m2），所以D选项不符合题意．
π π
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0； ②2c﹣3b＜0； ③5a+b+2c＝0；④若B（ ，
y ）、C（ ，y ）、D（ ，y ）是抛物线上的三点，则y ＜y ＜y ．其中正确结论的个数有（
1 2 3 1 2 3
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①正确，根据抛物线的位置，判断出a，b，c的符号，可得结论；
②③错误，利用对称轴公式，抛物线经过A（3，0），求出b，c与a的关系，判断即可；
④正确．利用图象法判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴1＝﹣ ，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，
5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，
观察图象可知，y ＜y ＜y ，故④正确，
1 2 3故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小： ＜ 3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】利用平方法比较大小即可．
【解答】解：∵（ ）2＝7，32＝9，
7＜9，
∴ ＜3．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．
12．（3分）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 1 0 ．
【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2
＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．
方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分
解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．
【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝（a+b）（a﹣b）+2b+9
又∵a+b＝1，
∴原式＝a﹣b+2b+9
＝a+b+9
＝10．
方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10
＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．
又∵a+b＝1，
∴原式＝10．
【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
13．（3分）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 二 象限．
【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围，得到1＜m+2＜2，进而得到点
Q所在的象限．
【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴ ，
∴﹣1＜m＜0，
∴1＜m+2＜2，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，
故答案为：二．
【点评】本题考查了点的坐标，根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围是解题
的关键．
14．（3分）若（a﹣3）2+ ＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 1 1 或 1 3 ．
【分析】先求a，b．再求第三边c即可．
【解答】解：∵（a﹣3）2+ ＝0，（a﹣3）2≥0， ≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝3，b＝5，
设三角形的第三边为c，
当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，
当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，
故答案为：11或13．
【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．
15．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，
水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛
物线解析式得出y，即可得出答案．
【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平
面直角坐标系，O为原点，
由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，
把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
9a+2＝0，
解得：a＝﹣ ，
所以抛物线解析式为y＝﹣ x2+2，
当x＝4时，y＝﹣ ×16+2＝﹣ ，
∴水面下降 米，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式
是解决问题的关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A …是由多段90°的圆
1 1 1 1 2
心角所对的弧组成的．其中，弧DA 的圆心为A，半径为AD；弧A B 的圆心为B，半径为
1 1 1BA ；弧B C 的圆心为C，半径为CB ；弧C D 的圆心为D，半径为DC …．弧DA 、弧
1 1 1 1 1 1 1 1
A B 、弧B C 、弧C D …的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C D 的长是 202 2
1 1 1 1 1 1 2022 2022
（结果保留 ）． π
π
【分析】根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长 ，又因为AA 的半径为 ，
1
可知任何一段弧的弧长都是 的倍数，根据圆心以A，B，C，D四次一个循环，可得弧 D
n n
∁
的半径为 ，再根据弧长公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
的半径AA ＝ ；
1
的半径BB ＝AB+AA ＝ ；
1 1
的半径CC ＝CB+BB ＝ ；
1 1
的半径DD ＝＝CD+CC ＝ ；
1 1
的半径AA ＝AD+DD ＝ ；
2 1
的半径BB ＝AB+AA ＝ ；
2 2
的半径CC ＝BC+BB ＝ ；
2 2
的半径DD ＝CD+CC ＝ ；
2 2
•••
以此类推可知，弧 D 的半径为 ＝2n，
n n
∁即弧C D 的半径为DD ＝2n＝2×2022＝4044，
2022 2022 2022
∴弧C D 的长l＝ ＝ ＝2022 ．
2022 2022
π
故答案为：2022 ．
【点评】本题主要π考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应
用弧长的计算方法进行求解是解决本题的关键．
三、简答题（第17题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：（ ﹣1）0+| ﹣2|+2cos30°﹣（ ）﹣1．
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，
继而计算加减即可．
【解答】解：原式＝1+2﹣ +2× ﹣3
＝1+2﹣ + ﹣3
＝0．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角的三角函数值、零指数幂、
负整数指数幂的规定及绝对值的性质．
18．（6分）先化简：（ +x+2）÷ ，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计
算即可．
【解答】解：原式＝（ + ）•
＝ •
＝x，
∵x（x﹣2）≠0，
∴x≠0，x≠2，
当x＝1时，原式＝1，
当x＝3时，原式＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是
解题的关键．19．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m为常数，
m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤ 的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把点A（﹣4，3）代入函数y＝ （m为常数，m≠0）得：m＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式y＝﹣ ．
∴OA＝ ＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（﹣4，3）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式y＝﹣2x﹣5；
（2）当x＜0时，不等式kx+b≤ 的解集为﹣4≤x＜0．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求
解析式．
20．（6分）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①
BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩
下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线
上，然后对该真命题进行证明．
已知： ① BC ＝ AD ， ② ∠ ABC ＝∠ BAD ．
求证： ③ AC ＝ BD ．
【分析】先组成一个真命题，利用三角形全等的判定求解．
【解答】解：答案不唯一．
∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．
又∵AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查真假命题，及全等三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
四、实践应用题（第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）
21．（6分）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单
位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条
形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次随机调查的学生共有 4 0 人，图1中m的值为 1 5 ．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A 、A 、A 和1名男生B．为了解他们在
1 2 3
家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图
法，求恰好抽到两名女生的概率，
【分析】（1）由0.9h的人数及其所占百分比求出总人数，根据百分比之和为1可得m的值；
（2）总人数乘以1.2h对应的百分比可得答案；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机调查的学生共有4÷10%＝40（人），
m%＝1﹣（10%+7.5%+30%+37.5%）＝15%，即m＝15；
故答案为：40，15；
（2）1.2h的人数为40×15%＝6（人），
补全图形如下：（3）列表如下：
A A A B
1 2 3
A （A ，A ） （A ，A ） （B，A ）
1 2 1 3 1 1
A （A ，A ） （A ，A ） （B，A ）
2 1 2 3 2 2
A （A ，A ） （A ，A ） （B，A ）
3 1 3 2 3 3
B （A ，B） （A ，B） （A ，B）
1 2 3
共有12种可能的结果，恰好抽到两名女生的有6种结果，
所以抽到两名女生的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的
概率．也考查了统计图．
22．（8分）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从
A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为
28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多
150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a
之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
【分析】（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，根据A、B两厂向甲乙两地
运送水泥共520吨列出方程，解方程即可；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，然后根据题意列出总费用w
关于a的函数解析式，并根据函数的性质求最值，以及此时a的值．
【解答】解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，
根据题意得：x+x+20＝520，
解得：x＝250，
此时x+20＝270，
答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥
（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，
由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣
28a+25a+750＝2a+16220，
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240﹣a≤150，
解得：a≥90，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝90时，总运费最低，
最低运费为：2×90+16220＝16400（元），
∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150
吨，B厂运往乙地水泥120吨，最低运费为16400元．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，求
得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
23．（8分）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A
处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水
果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门
口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整
数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75【分析】过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，可知四边形GDHB是矩形，
根据题意，在Rt△CDG中，根据DG＝CD•cos37°和CG＝CD•sin37°求出DG和CG的长，
再在Rt△ADH中，根据DH＝AH•tan65°求出DH的长，进一步即可求出BC的长．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
则四边形GDHB是矩形，
∴GD＝BH，DH＝GB，
根据题意，CD＝300米，∠CDG＝37°，
∴DG＝CD•cos37°≈300×0.80＝240（米），
CG＝CD•sin37°≈300×0.60＝180（米），
∴HB＝240米，
∵AB＝450米，∠DAH＝65°，
∴AH＝210米，
∴DH＝AH•tan65°≈210×2.14＝449.4（米），
∴BC＝CG+BG＝180+449.4＝629.4≈629（米），
∴菜园与果园之间的距离为629米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形运用三角函数是解题的关键．
24．（8分）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在
余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴
对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形
视为同一种图形）
【分析】利用轴对称图形，中心对称图形的性质，画出图形即可．
【解答】解：图形如图所示：
【点评】本题考查利用作图设计图案，等边三角形的判定和性质，轴对称图形，中心对称图
形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，AB为 O的直径，D、E是 O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC
＝∠BAD． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线．
⊙
（2）若tan∠BED＝ ，AC＝9，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；
（2）证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出 ＝ ，由比例线段求出
CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是 O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
⊙
（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝ ，
∴ ，
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△BDC∽△DAC，
∴ ＝ ，
∵AC＝9，∴ ，
∴CD＝6，
∴ ，
∴BC＝4，
∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5．
∴ O的半径为 ．
⊙
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角
定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
六、拓展探索题（10分）
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C
两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得
△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；
（2）存在．如图1中，设D（t， t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；
（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．
则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4），分三种情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分别求
解可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2+x﹣4；
（2）存在．
理由：如图1中，设D（t， t2+t﹣4），连接OD．
令y＝0，则 x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），C（2，0），
∵B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，∵S△ABD ＝S△AOD +S△OBD ﹣S△AOB ＝ ×4×（﹣ ﹣t+4）+ ×4×（﹣t）﹣ ×4×4＝﹣t2﹣4t
＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；
（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．
则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
当∠P AB＝90°时，△ANP 是等腰直角三角形，
1 1
∴AN＝NP ＝3，
1
∴P （﹣1，3），
1
当∠ABP ＝90°时，△BMP 是等腰直角三角形，可得P （﹣1，﹣5），
2 2 2
当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），
∴PJ＝ AB＝2 ，
∴12+（n+2）2＝（2 ）2，
解得n＝ ﹣2或﹣ ﹣2，
∴P （﹣1， ﹣2），P （﹣1，﹣ ﹣2），
3 4
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1， ﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题
的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴
题．
