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4.2 图形的全等
一、填空题
1.如图，BC平分∠ABD，AB=DB，P为BC上一点，要证∠CAP=∠CDP，应先证
_________≌___________；得__________=____________，
___________=___________；继而有△PAC≌__________，理由是___________.
2.如图，△ABD≌△ACE，AE=3cm，AC=5cm，则CD=___________cm.
3.若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、__________或__________与另
一个三角形完全重合.
4.如图，在△ABC和△DEF，若AB=DE，BE=CF,要使△ABC≌△DEF，还需添加一
个条件（只要写出一个就可以）是_________.
5.已知：如图，AB//CD，点O为AC的中点，则图中相等的线段（除OA=OC外）有
___________.
1 / 76.已知：如图AB//CD，AD//BC，点E，F分别为BD上两点，要使△BCF≌△DAE，还
需添加一个条件（只需一个条件）是__________.
7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠DAE，D为BE上一点，且
∠ADE+∠AEC=180°，则AD=_______.
8.在△ABC与△MNP中，①AB=MN，②BC=NP，③AC=MP，④∠A=∠M，
⑤∠B=∠N，⑥∠C=∠P，从这六个条件中任选三个条件，能判定△ABC与△MNP
全等的方法共有__________种.
9.铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距26km，C，D为两村庄（视为两点），
DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B(如图)，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁
路AB上建设一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应
建在距A站________km处.
2 / 7二、选择题：
10.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=56°，则高BD于BC的夹角为（ ）
A.28° B.34° C.68° D.62°
11.在ΔABC中，AB=3,AC=4,延长BC至D，使CD=BC,连接AD，则AD的取值范
围是（ ）
A.1<AD<7 B.2<AD<14 C.2.5<AD<5.5 D.5<AD<11
12.如图，在ΔABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB与
点E，且AB=6，则ΔDEB的周长为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
13.点P为ΔABC的外角平分线上一点（与C点不重合），则PA+PB与AC+BC的
大小关系为（ ）
A. PA+PB>AC+BC B. PA+PB=AC+BC
C. PA+PB<AC+BC D. 无法比较大小
14.已知如图，D是ΔABC边AB上一点，DF交AC与点E，DE=EF，FC//AB，若
BD=2，CF=5，则AB=（ ）
3 / 7A.1 B.3 C.5 D.7
15.如图，ΔABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角
形，使所作三角形与ΔABC全等，则这样的三角形最多可以画出（ ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
16.如图，在ΔABC中，AB=AC,高BD,CE交与点O，AO交BC于点F，则图中共
有全等三角形（ ）
A.7对 B.6对 C.5对 D.4对
17.如图，在ΔABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB
与点E，若ΔDEB的周长为10cm，则斜边AB的长为（ ）
A.8cm B.10cm C.12cm D.20cm
18.如图，ΔABC与ΔBDE均为等边三角形，AB<BD.若ΔABC不动，将ΔBDE绕
点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（ ）
4 / 7A.AE=CD B.AE>CD C.AE<CD D.无法确定
19.已知∠P=80°,过不在∠P上一点Q作QM，QN分别垂直与∠P的两边，垂足为
M，N则∠Q的度数等于（ ）
A.10° B.80° C.100° D.80°或100°
三、解答题
20.已知如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE为BC边上的中线，过点C
作CF⊥AE，垂足为F，在直线CD上截取CD=AE.
求证：（1）BD⊥BC；
（2）若AC=12cm，求BD的长.
21.探究题：“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”这一命题是
否成立？若成立，请证之；若不成立，请试举一反例，并将命题作适当改正，使之
成为一真命题.
5 / 722.能够互相重合的多边形叫做全等形，即如果两个多边形对应角相等，那么两个
多边形一定全等.但判定两个三角形全等只需三组对应量相等即可，如SAS，SSS
等，但如果要判定两个四边形全等仅有四组对应量相等是不够的，必须具备至少
五组对应量相等.
（1）请写出两个四边形全等的一种判定方法（五组量对应相等）____________.
（2）如图，简要证明你的判定方法是正确的.
（3）举例说明仅有四边相等的两个四边形不一定全等（画出图形并简要证明）.
6 / 7参考答案
1.ΔABC ΔDBC AC DC ∠ACP ∠DCP ΔPDC SAS
2.2 3.翻转 旋转 4.AC=DF 5.BO=DO，AB=DC 6.BF=DE
7.AE 8.10 9. km
10.A 11.D 12.B 13.A 14.D
15.B 16.A 17.B 18.A 19.D
20.（1）由∠DCB+∠AEC=90°,∠AEC+∠EAC=90°,得∠EAC=∠DCB，在
ΔDBC和ΔECA中,
可知ΔDBC≌ΔECA.有∠ACE=∠DBC=90°，故BD⊥BC.
（2）AC=BC，E是BC的中点，
故 ，
又ΔDBC≌ΔECA，EC=DB.
由AC=12cm，故EC=6cm，DB=6cm.
21.这个命题是假命题，举一反例即可.
22.（1）∠D=∠D′，AD=A′D′，DC=D′C′，BC=B′C′，AB=A′B′.
（2）连AC
在ΔADC和ΔA′D′C′中，
,
可得ΔADC≌ΔA′D′C′，
故AC=A′C′,
易证：ΔACB≌ΔA′C′B′,
从而获得四边形ABCD和四边形A′B′C′D′对应角，对应边均相等.
即四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′.
（3）举一凸四边形和一凹四边形.
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