第四章　三角形_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_03教案_全册教案（第2套）

七年级数学·下 新课标[北师]
第四章 三角形
1.理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线.
2.了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三
角形.
3.会证明三角形内角和等于180°,了解三角形外角的性质.
4.了解图形的全等,理解全等三角形的概念和性质,经历探索三角形全等条件的过程,掌握两个三角形全
等的条件,能应用三角形的全等解决一些实际问题.
5.在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形.
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步发展初
步的演绎推理能力和有条理表达的能力.
1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的兴趣.
3.使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.
三角形是最简单、最基本的几何图形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其
他图形的基础,在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实
世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.
学生在前面学习“相交线和平行线”的过程中,积累了一些初步的数学活动经验,空间观念、几何直观
与推理能力得到了初步的培养,这都为三角形的学习提供了有力的条件.本章的设计在总体上来看需要学生
掌握以下内容:在生动的问题情境、丰富的数学活动中,理解三角形的有关概念;在动手动脑的数学活动中,
探索三角形全等的条件,感悟数学的分类思想;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单说理相
结合,逐步而又恰当地提高学生数学推理能力,借助三角形和全等三角形的有关结论解决一些简单的实际问
题.为此,教材本章安排了5节内容:
第1节“认识三角形”,介绍三角形的有关概念、符号表示、三角形的重要线段,以及三角形三边之间
的关系、内角和等基本性质.
第2节“图形的全等”、第3节“探索三角形全等的条件”,在认识全等图形的基础上,理解全等三角
形的概念和性质,接着通过所设计的一系列的实践活动,探索三角形全等的条件.
第4节“用尺规作三角形”、第5节“利用三角形全等测距离”,教材以用尺规作三角形和利用三角
形全等测距离,体现全等三角形的应用.
教材中关于推理过程的描述,采用符合自然语言习惯的文字加符号的方式,一方面是降低学习难度,另一
方面也为八上学习证明(演绎推理的形式化表述)做铺垫.通过本章的学习,学生推理意识的树立以及推理经验的积累,为今后学习证明打下基础,在今后的学习中,
学生将在直观认识和简单说明理由的基础上,学习从几个基本事实出发,进行比较严格的证明.
【重点】 掌握三角形最基本的性质,探索并掌握两个三角形全等的条件,会利用三角形全等测距离.
【难点】 探索三角形全等的条件和运用三角形全等解决问题以及它的说理过程.
1.本章对三角形认识的教学目标与第一学段获得对简单平面图形的直观经验有所不同,应使学生通过
观察、操作、推理等手段认识三角形.在如落实“三角形任意两边的和大于第三边”“三角形内角和是
180°”等具体目标时,不仅要求学生积极参与各种形式的实践活动,而且要积极引导学生对活动过程和结果
进行判断分析、推理思考和抽象概括,让学生在学习知识的过程中提高能力.
2.重视实践活动,让学生在探索中获取知识.教学时,应给予学生充分的时间和空间,通过观察、操作、有
条理的思考、推理和交流,经历从现实空间抽象出几何图形、探索图形性质及其变化规律的过程,获得对图
形的认识,发展空间观念.
3.促进教学中的数学交流.教师要重视为学生创设交流的情境,提供“数学对话”的机会,鼓励学生用耳、
用口、用眼、用手去表达自己的思想和接受他人的思想.这样的过程有助于培养学生的参与意识,学会用不
同的方式探索、思考解释问题,不断提高自己的思维水平.
4.注重教具、学具和现代教学手段的运用,加强教学的直观性.几何图形的直观性为各种教学手段的运
用提供了广阔的空间,利用各种教具、学具和现代教学技术,可以使学生认识和探索图形的过程更具有趣味
性和挑战性,也是进一步发展学生空间观念和实践能力的有效途径.但在运用各种教学手段时,要注意切合
实际,易操作而有实效.一些农村学校由于经济困难,不能配备丰富多彩的教学用具,教师必须因地制宜充分
挖掘当地资源,积极发动学生制作.学生在制作过程中不但可以激发学习的兴趣而且可以加深对图形的认识.
5.对全等三角形概念分析的建议.通过图片的展示,使学生认识到全等形在生活中是广泛存在的,并鼓励
学生自己归纳它们的共同特征,引出全等形和全等三角形的概念.教学时应鼓励学生通过观察,用自己的语
言概括出全等三角形对应元素的确定方法,教师同时运用多媒体技术演示对应元素的确定方法,引导学生总
结在这个过程中需注意的问题和其中的规律.
6.对全等三角形性质的教学建议.通过学生对全等三角形的观察,合作交流,从而得出找全等三角形的对
应边、对应角的性质,性质的熟练应用应该在能准确地判断全等三角形的对应元素的基础上.在教学过程中,
适当引导学生总结通过全等三角形的性质证明线段相等和角相等的常用方法.
7.探索三角形全等的条件是本章的重点内容,教学时应先用设问形式创设问题情境,设计一系列实践活
动,遵循启发式教学原则,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展
学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验,为以后的证明打下基础.
1 认识三角形 4课时
2 图形的全等 1课时
3 探索三角形全等的条件 3课时
4 用尺规作三角形 1课时
5 利用三角形全等测距离 1课时
回顾与思考 1课时1 认识三角形
1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.
2.认识等腰三角形,会按边对三角形分类,掌握三角形三边的关系.
3.正确理解三角形的角平分线、中线、高线的概念.
4.画出任意三角形的高.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.
在学生观察、操作、思考和交流的过程中,丰富学生的知识,激发学生进一步探索知识的激情,同时发展
他们的空间观念.
【重点】
1.三角形三边关系的探究和归纳.
2.了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线.
3.三角形高线的概念,会画任意三角形的高.
【难点】
1.三角形的中线,角平分线的定义及其性质的应用.
2.画钝角三角形、夹钝角的两边上的高和掌握三角形高的应用.
第 课时
1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.
2.经历实验活动的过程,得出“三角形内角和等于180°”,能应用三角形内角和来解决一些简单的求三
角形内角和问题.
3.会按角的大小关系对三角形分类;能从所给出的已知角中,判断出三角形的形状.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理和有条理地表达能力.让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协
作意识及数学表达能力.
【重点】 探究发现和验证“三角形的内角和是180°”这一规律的过程,并归纳总结出规律.
【难点】 发展推理能力和有条理地表达能力.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P81~83.
导入一:
[过渡语] 同学们喜欢看美丽的图画吗?下面请同学们欣赏几幅优美的画面,找一找这几幅图中有什么
共同点.
多媒体展示:
[处理方式] 三角形是最简单的多边形,是一种在我们生活中应用很广泛的图形,在生产实践、科学研
究和社会生活中随处可见,那么今天我们就来认识它.
[设计意图] 通过欣赏三角形有关的图片,创设一种宽松、和谐的学习氛围,让学生以轻松、愉快的心
态进入探究新知的过程.使学生能从生活中抽象出几何图形,感受到我们生活在几何图形的世界之中.培养
学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,学生能很好地找出生活中的三角形的实例,如植物的三角形
刺,还有图片中的房屋结构、热带鱼的形状、战机的外形等,这些充分体现了学生走进生活、感受数学的高
涨热情,在课堂上用源于学生身边的事物抽象出的三角形视频和图片展开教学,从而更大地激发学生学习数
学的兴趣.
导入二:
【活动内容】 (多媒体出示)
猜谜语:“形状似如山,稳定性能坚.三竿首位连,学问不简单.”(打一图形名称)欣赏图片认识生活中的
三角形.
[处理方式] 教师播放幻灯片,学生猜出谜底后欣赏图片,认识生活中的三角形,从而引出新课.引导性语
言:三角形是最简单的多边形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其他多边形的
基础,在解决实际问题中也有广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展
空间观念和推理能力都是非常重要的.[设计意图] 利用学生感兴趣的猜谜语和熟悉的生活图片入手,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,
激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也为新课的学习做好铺垫.
[过渡语] 三角形是一种最常见的几何图形之一.同学们,还记得三角形有哪些要素吗?下面让我们一起
探个究竟.
探究活动1 认识三角形及其基本要素
思路一
观察下面屋顶的结构:
出示问题:
(1)你能从左图中找出4个不同的三角形吗?与你的同伴交流各自找到的三角形.
(2)这些三角形有什么共同的特点?
[处理方式] 学生自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点).不在同
一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形可以用符号“△”表示,顶点是A,B,C
的三角形,记作△ABC.有时△ABC的三边也用a,b,c表示.顶点A所对的边BC用a表示,边AC,边AB分别用b,c
表示.
通过自学知道三角形ABC有三个角,分别为∠A,∠B,∠C.三条边分别为AB,BC,AC.三个顶点分别是A,B,C.
[设计意图] 通过学生的自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点)
等基础知识,体会用符号表示三角形的必要性,培养了学生自学、观察、分析能力及归纳总结的能力.
【即时训练】
根据右图填空:
(1)图中共有 个三角形,它们是 ;
(2)以AD为边的三角形有 ;
(3)在△ABD,△ABE,△ABC中∠B的对边分别是 .
[设计意图] 通过知识反馈进一步认识了三角形及其基本要素,巩固了三角形的表示法.
思路二
[过渡语] 请同学们打开课本81页,独立思考,完成以下问题,并与同伴交流.
(1)三角形的概念:
由不在 的三条线段 相接所组成的图形叫做 .(2)理解三角形的构成要素及符号表示:
三角形有 条边, 个内角和 个顶点.“三角形”可以用符号 表示,如
图中顶点是A,B,C的三角形,记作 .△ABC的三边为 ,有时也用 来表示.
[处理方式] 学生自主学习,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评,强调三角
形的概念要任意三条线段:
(1)不在同一直线上;
(2)首尾顺次相接.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主学习、
合作交流,对三角形的概念从感性认识上升到理性认识.
【即时训练】
图中有 个三角形,它们分别是 .
探究活动2 三角形的内角和
思路一
[过渡语] 请你来当法官:仔细阅读三角形红和三角形蓝的对话,看看谁说的有道理.
三角形蓝和三角形红见面了.
蓝炫耀地说:“我的面积比你大,所以我的内角和也比你大!”
红不服气地说:“那可不好说噢,你自己量量看!”
同学们,它们谁说的有道理?
在小学的时候我们用量角器量三角形的各角度数和用把三角形的三个角撕下来拼在一起的方法验证
了“三角形三个内角的和是180°”的结论.现在,我们只撕下三角形的一个角,同样可以得到一样的结论,看
看小明的做法,你能说出其中的道理吗?
(1)剪一个三角形纸片,如图(1),它的三个内角分别为∠1,∠2,∠3.
(2)将∠1撕下,按图(2)所示进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合,此
时∠1的另一条边b与∠3的边a平行吗?为什么?
(3)如图(3)所示,将∠3与∠2的公共边延长,它与b所夹的角为∠4,∠3与∠4有什么大小关系?为什么?现在
你能够确定三角形的内角和了吗?
[处理方式] 在图(2)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直
线平行,同旁内角互补可知∠2+∠1+∠3=180°,所以可以得到三角形的内角和等于180°.
在图(3)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直线平行同位角
相等可知∠3=∠4,因为∠2,∠1,∠4组成一个平角,所以∠2+∠1+∠4=180°,由于三角形的三个角分别与∠2,∠1,∠4
相等,所以可以得到三角形的内角和等于180°.结论:三角形三个内角的和等于180°.教师引导过A点作EF∥BC,根据两直线平行内错角相等知∠1=∠B,∠2=∠C.又因为∠1+∠2+∠3=180°,所
以∠BAC+∠B+∠C=180°.
[设计意图] 通过小组讨论、直观教具演示等手段,激发了学生学习的兴趣,另一方面使学生通过多角
度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时
在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今
后的几何证明打下基础.
思路二
以4人合作小组为单位,充分利用课前准备的任意三角形纸片,探索验证三角形内角和为180°的方法.然
后各小组选派代表展示设计的方案并陈述理由.
[处理方式]
1.可让学生合作探究,教师到各小组巡回指导,参与他们的讨论.
2.鼓励学生提出疑问,但是并不急于评判他们的答案,而是有针对性的启发和指导,引导学生在操作中自
觉思考.
3.让学生们主动思考能否利用平行线的有关事实说明理由.
4.让学生展示不同的验证方法.
[设计意图] 充分利用学生已有的知识和经验,并通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三
角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简
单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.
探究活动3 三角形分类
[过渡语] 下面我们共同做一个猜角的游戏,观察图(1)中的女孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什
么角?男孩呢?试着说说理由.
(学生带着浓厚的兴趣来完成游戏,完成后让学生先在小组内讨论交流)
图(2)中的男孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角?将所得的结果与图(1)的结果进行比较.
[处理方式] 根据上面的问题我们把三角形按角的大小分为三类:(1)锐角三角形;(2)直角三角形;(3)钝角
三角形.自学并讨论怎样判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形,直角三角形有什么特
殊的表示法?它的两个锐角之间有什么关系?它的三条边的名称是什么?
经过自学和讨论知道了三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角
三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.
如图所示.
通常我们用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC.把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的
两条边称为直角边.根据三角形的内角和等于180°,可知∠A+∠B+∠C=180°,又因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,
由此可知直角三角形的两个锐角互余.
[设计意图] 通过在游戏中对问题的解决,使学生有成就感,树立了学好数学的信心.特殊三角形的特殊
性质与其形状有关——直角三角形两个锐角互余.通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思
想.当只露出一个内角为锐角时,引导学生发现三种情况都是可以的,即两个锐角,一个锐角一个直角,一个钝
角一个锐角,从而使学生初步体会反证法的思想,为后面进一步研究反证法奠定基础.[知识拓展] 在一个三角形中,如果有一个角是钝角(或直角),这个三角形就是钝角(或直角)三角形,但是
在知道一个三角形的一个角是锐角时,却不能断定它是锐角三角形,因为任何三角形,包括钝角三角形和直角
三角形都有锐角.直角三角形两个锐角互余.
1.三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形三个内角的和等于180°.
3.三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是
钝角的三角形是钝角三角形.
4.直角三角形的两个锐角互余.
1.如图所示,三角形的个数是 ( )
A.3 B.4
C.2 D.6
解析:共有6个,分别为△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.故选D.
2.如图所示,以∠C为内角的三角形有 和 ,在这两个三角形中,∠C的对边分别为
和 .
答案:△ACD △ACB AD AB
3.直角三角形的一个锐角为70°,另一个锐角为 .
解析:根据直角三角形两锐角互余得到另一锐角为20°.故填20°.
4.在△ABC中,∠A=80°,∠B=20°,则△ABC是 三角形.
答案:锐角等腰
第1课时
探究活动1 认识三角形及其基本要素
探究活动2 三角形的内角和
探究活动3 三角形分类
一、教材作业
【必做题】教材第84页习题4.1知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第84页习题4.1问题解决第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.三角形三个内角中,锐角最多可以是( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2.如图所示,△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,∠B= .
3.如图所示,AD⊥BC,∠1=40°,∠2=30°,则∠B= ,∠C= .
4.在空白处填入“锐角”“直角”或“钝角”.
(1)如果三角形的三个内角都相等,那么这个三角形是 三角形;
(2)如果三角形的两个内角都小于40°,那么这个三角形是 三角形.
【能力提升】
5.(2015·菏泽中考)将一副直角三角尺按如图所示方式放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为 ( )
A.140° B.160°
C.170° D.150°
6.如图所示,已知△ABC中,∠1=27°,∠2=85°,∠3=38°,求∠4的度数.
【拓展探究】
7.一个零件的形状如图所示,按规定∠A等于90°,∠B和∠C分别等于32°和21°.检验工人只量得∠BDC=148°,
就断定这个零件不合格,请你说明零件不合格的理由.
【答案与解析】1.D(解析:根据三角形内角和为180度可知在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角,而锐角三角形的
三个内角都是锐角.故选D.)
2.40°(解析:根据三角形内角和为180度可知∠B=180°- 60°- 80°=40°.)
3.50° 60°(解析:因为AD⊥BC,所以△ABD和△ACD分别为直角三角形,所以∠B=90°- 40°=50°,∠C=90°-
30°=60°.)
4.(1)锐角 (2)钝角
5.B(解析:因为将一副直角三角尺按如图所示方式放置,∠AOD=20°,所以∠COA=90°- 20°=70°,所以∠BOC=90°
+70°=160°.故选B.)
6.解:由三角形内角和公式可求出∠ACB=180°- ∠1- ∠3=115°,由∠BCD为∠ACB的补角,得∠BCD=180°-
∠ACB=65°,∠CFD与∠2是对顶角,所以∠CFD=∠2=85°,再根据三角形内角和公式得∠4=180°- ∠BCD-
∠CFD=30°.
7.解:延长CD交AB于E,则∠DEB=180°- ∠DEA=∠A+∠C=111°,∠BDC=180°- ∠BDE=∠DEB+∠B=143°,即合格
零件的∠BDC应为143°,而此零件这个角为148°,因此可以判定这个零件不合格.
1.注意把握说理要求的度,只要求口头说明,不要求书面证明,鼓励他们用自己的语言进行讲述.
2.在教学过程中学生在教师创设的情境下,自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻
找客观真理、成为发现者,学生自始至终地参与这一探索过程,发展了学生的创新精神和实践能力.通过有
条理地表达三角形内角和为180°的推理过程,为今后的几何证明打下基础.
处理探究“三角形三个内角的和等于180°”时操作说理有点仓促,不应怕学生说错,要注意课堂的生成.
自主学习时间过短,应注意自主的实效性.
应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,可以激励学生课后继续探究,将课内学习
延伸到课外,不断开阔学生的视野.
随堂练习(教材第83页)
1.解:如图所示.
2.解:(1)直角三角形. (2)锐角三角形也是等腰三角形. (3)钝角三角形.
习题4.1(教材第84页)
知识技能
1.提示:∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°.
2.(1)锐角 (2)直角 (3)钝角
3.提示:60°.
4.解:(1)有3个直角三角形.分别是Rt△ABC,Rt△ACD,Rt△BCD.Rt△ABC的直角边为AC,BC,斜边为AB;Rt△ACD
的直角边为AD,CD,斜边为AC;Rt△BCD的直角边为CD,BD,斜边为BC. (2)∠1和∠A互余;∠2和∠A相等.
问题解决
5.提示:∠ACB=40°.当轮船距离灯塔C最近时,∠ACB=60°.在小学数学学习的基础上,本课从探索三角形的概念入手,具体介绍三角形的有关概念,通过熟悉的情境,
找出熟悉的图形并进行交流,感悟需要用符号来表示三角形,体会用符号来表示三角形的必要性.通过学习
小组的交流活动,引导学生探究出按角将三角形分类,渗透分类的思想.通过让学生拼图、说理等活动让学
生探究出三角形的内角和为180°,进一步通过简单的推理得出“直角三角形的两个锐角互余”,使学生感觉
知识的形成很自然,激发学生学好数学的勇气;学生在教师的引导下,先自主学习,再合作交流,在感悟中逐步
提高对三角形的认识.
第 课时
1.让学生认识等腰三角形,会按边对三角形分类;掌握三角形三边的关系.
2.能运用三边关系解决生活中的实际问题.结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系.
通过观察、操作、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,推理能力和有条理的表达能力.
学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
【重点】 三角形三边关系的探究和归纳.
【难点】 应用三角形的三边关系解决简单的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P85~86.
导入一:
[过渡语] 上节课我们对三角形有了初步认识,按三角形内角的大小把三角形进行分类,仔细想一想,完
成下面的问题.
1.下图中有几个三角形?将找到的三角形表示出来.2.观察下面的三角形,并把它们的标号填入相应的椭圆框内.
[处理方式] 第一题让三名学生到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨,防止遗漏或
重复.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.
三角形除了按角进行分类之外,还可以怎么分?试一试.
[设计意图] 学生能够根据上节课的内容,将所给的三角形按角进行分类,及时检查学生对上节课内容
的掌握情况,又通过复习引起学生回忆,为本节学习提供铺垫和思想基础.
导入二:
[过渡语] 上节课,我们学习了三角形的定义,哪位同学来说一下三角形的定义是什么?
[处理方式] 学生思考,并说出三角形的定义.师出示三道题目.
1.在右图中你能用符号表示三角形吗?
2.右图中的三角形的三个顶点分别是 ,三条边分别是 ,三个内角分别是 .
3.观察下面的三角形,这些三角形能不能按边长分类呢?
[设计意图] 本活动在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法,做到不重复、
不遗漏.
[过渡语] 三角形除了可以按角分类之外,按边长分有什么分法吗?如何分?想一想、试一试.
探究活动1 认识等腰三角形和等边三角形
思路一
如图所示.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得△ABC.
探索:
问题1AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?(学生讨论)
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
当三角形的三条边都相等时,它是什么三角形?
(等边三角形)
问题2
从定义上你能看出等腰三角形与等边三角形的关系吗?如果把三角形按边分类应该怎样来划分?
三角形按边分类:
不等边三角形:三边都不相等的三角形
{
三角形
等腰三角形:有两条边相等的三角形{普通等腰三角形
等边三角形
[处理方式] 问题1学生先动手实验,然后对所得到的图形进行讨论,教师则通过课件展示出等腰三角
形和等边三角形定义及有关概念,学生记忆.同时引出本节课课题“认识三角形2”.问题2先让小组讨论,教
师补充,最后由教师课件展出三角形按边分类.
[设计意图] 通过对等腰三角形的认识,引出等腰三角形的定义以及三角形按边分类,进一步体现数学
分类的思想.
思路二
[过渡语] 观察图中的五个三角形并测量,你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗?
[处理方式] 教师安排分组测量,并将学生给出的测量结果出示在课件上.(1)(4)(5)的三边都不相等.(2)
有两边相等的是等腰三角形.(3)三边都相等的是等边三角形.
板书等腰三角形、等边三角形的定义.等边三角形也叫正三角形.等腰三角形的边与角都有特定的名称,
相等的两边叫腰,不等的边叫底.腰和底的夹角叫底角,两腰的夹角叫顶角.
三角形按边共分两大类.
等腰三角形与普通三角形;等腰三角形里分为底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形.
[处理方式] 课件展示.
不等边三角形:三边都不相等的三角形
{
三角形 等腰三角形:有两条边相等的三角形{底边与腰不等的等腰三角形
等边三角形
[设计意图] 通过设置这些动手测量,共同探讨的活动,既满足了学生的探究欲望,也让学生在高昂的学
习兴趣中学到了知识,体验到了成功.将三角形按边分类,在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中
感悟分类的方法.
探究活动2 三角形三边之间的关系思路一
【情境探究】
(1)元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢?说明你的
理由.
[处理方式] 可让学生在小组中讨论交流,引导学生进行观察、测量,然后选代表进行回答.
(2)利用你得到的结论填空:
AB+AC BC.
AB+BC AC.
AC+BC AB.
(3)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?为什么?
[处理方式] 让学生在小组中讨论交流,教师可引导学生各自画一个三角形,然后进行测量,从而得出结
论:三角形任意两边之和大于第三边.
说明:学生在考察两边之和与第三边的数量关系时,可能对具体的三角形采用测量方法,教师应予以肯定,
但是又不要停留在几何直观和操作测量阶段,此时可以提出问题,将学生对问题的思考引向深入.教师可以
这样的提出问题:你的结论是通过测量几个三角形得出的?对任意一个三角形,你能肯定它的任意两边之和
都大于第三边吗?能说明你的理由吗?从而将学生对问题的思考从特殊推广到一般,从直观提升到推理.在探
究过程中,可设置必要的过渡,引导学生回忆所学过的“两点之间线段最短”的结论,并鼓励他们利用这个结
论说明自己的发现.对三角形三边之间的数量关系,教师要引导学生注意结论中“任意”二字的含义.
[设计意图] 通过设计“比较彩灯电线长度”的情境,目的是引出三角形三边之间数量关系的问题.
思路二
【测量探究】
分别量出下面三个三角形的三边长度,并填入空格内.
(1)a= ,b= ,c= .
(2)a= ,b= ,c= .
(3)a= ,b= ,c= .
根据你的测量结果,计算三角形的任意两边之差,并与第三边比较,完成填空:
(1)a- b c,c- b a,c- a b.
(2)b- a c,c- a b,b- c a.
(3)a- c b,a- b c,b- c a.
你能得到什么结论?再画一些三角形试一试.
[处理方式] 学生在小组中进行测量,计算,并讨论交流,得出结论:三角形任意两边之差小于第三边.教
师可参与到学生的讨论中,适当给学生引导.
说明:对于三角形任意两边之差与第三边的数量关系,学生只要能通过测量、比较等操作活动,归纳得出
结论即可,不必运用不等式的性质进行说明.但教师可以在引导学生对结论进行验证的基础上,指出这个结
论对一般三角形也是成立的.
[设计意图] 在测量过程中培养学生合作交流意识,在交流中认识三角形三边差的关系.
思路三
【实验探究】 (多媒体展示)
准备好长度分别为:4 cm,6 cm,10 cm,12 cm的小棒各一根.
实验要求:
1.任意选三根小棒首尾相连,看能否围成三角形.
2.把任意两边的长度加起来,再与第三边进行比较.(用式子表示)3.小组讨论,你发现了什么?
4.将实验结果填写在探究报告单上.
[处理方式] 学生以小组为单位进行动手操作,并通过讨论交流进一步验证三角形三边之间的数量关
系,然后选代表进行解答.
[设计意图] 通过实验探究让学生在实验、操作中进一步验证所得到的结论,丰富学生对三角形三边
之间的数量关系的体验和理解,并使学生在自主活动和相互交流中获得知识,体验乐趣.
[知识拓展]
1.等腰三角形的两个底角相等,等边三角形是特殊的等腰三角形,三个角都是60°.
2.三角形两边之和大于第三条边可以根据“连接两点的所有线中,线段最短”得出.这里的“两边”泛
指三角形的任意两边.
例题讲解
有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒,用长度为2 cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?
长度为13 cm的木棒呢?
〔解析〕 可让学生独立完成,选两个代表在黑板板书,并让他们进行讲解.
解:取长度为2 cm的木棒时,由于2+5=7,小于8,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成
三角形.
取长度为13 cm的木棒时,由于8+5=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角
形.
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.三角形按边分为:
不等边三角形:三边都不相等的三角形
{
三角形 等腰三角形:有两条边相等的三角形{普通等腰三角形
等边三角形
3.三角形任意两边之和大于第三边.
4.三角形任意两边之差小于第三边.
1.下列长度的三条线段,不能构成三角形的是 ( )
A.3 cm,8 cm,4 cm
B.4 cm,9 cm,6 cm
C.15 cm,20 cm,8 cm
D.9 cm,15 cm,8 cm
解析:由三角形的三条边的关系可知,3+4=7,小于8,不符合题意,故选项A不能构成三角形.故选A.
2.现有四根木棒,长度分别为4 cm,6 cm,8 cm,10 cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为 (
)
A.1 B.2
C.3 D.4解析:共有4种方案:①取4 cm,6 cm,8 cm,能构成三角形;②取4 cm,8 cm,10 cm,能构成三角形;③取4
cm,6 cm,10 cm,不能构成三角形,此种情况不成立;④取6 cm,8 cm,10 cm,能构成三角形.所以有3种方案符合
要求.故选C.
3.若等腰三角形一边长为7 cm,另一边长为5 cm,则第三边长为 .
解析:若腰长为7 cm,另一边长为5 cm,7+5=12,大于7,则第三边长为7 cm;若腰长为5 cm,另一边长为7
cm,5+5=10,大于7,则第三边长为5 cm.故填7 cm或5 cm.
4.下面分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?
(1)7 cm,5 cm,11 cm;
(2)5 cm,8 cm,4 cm;
(3)4 cm,3 cm,7 cm.
解析:只要满足两条较短线段之和大于最长边就能构成三角形.
解:(1)因为7+5=12,12大于11,所以能摆成三角形. (2)因为5+4=9,9大于8,所以能摆成三角形. (3)因
为4+3=7,7=7,所以不能摆成三角形.
第2课时
探究活动1 认识等腰三角形和等边三角形
探究活动2 三角形三边之间的关系
例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第86页习题4.2知识技能第1题;问题解决第2题.
【选做题】
教材第86页习题4.2问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.等腰三角形两边长为9和5,则这个三角形的周长是 .
2.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数,满足这些条件的三角形共有 种,当c=
时,所作出的三角形的周长最长.
3.一个三角形的两边长分别为4和8,则第三边长x的取值如何?
【能力提升】
4.若△ABC的三边为a,b,c,化简|a+b+c|+|a- b- c|.
【拓展探究】
5.如图所示,已知A,B两个村在河的同侧,要在河边建一个水站向两个村供水,为了使水站到两村距离之和最
小,则水站应该建在哪里?
【答案与解析】
1.19或23(解析:根据等腰三角形的性质,分两种情况:①当腰长为5时,②当腰长为9时,解答出即可.根据题
意,①当腰长为5时,周长=5+5+9=19;②当腰长为9时,周长=9+9+5=23.)
2.5 9(解析:根据三边关系可得7- 3<c<7+3,所以第三边长c是一个整数时,满足条件的c有5,6,7,8,9,共5种,
所以满足这些条件的三角形共有5个,当c=9时,所作出的三角形周长最长.)3.解:由三角形的三边关系可知:8- 4小于第三边长x小于8+4,即4小于第三边长x小于12.
4.解:因为a,b,c为△ABC的三条边,所以a+b+c大于0, a- b- c=a- (b+c)小于0,所以|a+b+c|+|a- b- c|=a+b+c-
a+b+c=2b+2c.
5.解:作A点关于直线的对称点C,连接CB与直线的交点即为水站的位置.
在验证三边和差时充分调动了学生的积极性,通过自主探究、合作交流,授之以“渔”体现新课程的教
学要求,在实践中总结了结论,学生能印象深刻,为理论的应用奠定基础.
应用中设计了多个生活情境,让学生在现实情境中体验和应用数学,激发学生学习数学的兴趣,培养了学
生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,从而更大地激发了学生学习数学的兴趣.
探索三边关系时,应让学生充分操作、观察、交流.教师不应让组长的标准答案掩盖了其他组员的困惑.
应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生回答代替其他学生的思考,掩盖了其
他学生的疑问.平时要多注重学生几何语言的培养,多让学生在生活中发现数学、学习数学.
随堂练习(教材第86页)
1.解:不可以是8和2.因为8=3+5,2=5- 3,不符合三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
2.解:由题意可知,c>4- 2且c<4+2,即2<c<6.又因为c是偶数,所以c=4.
习题4.2(教材第86页)
知识技能
1.提示:(1)能. (2)不能. (3)能. (4)不能.
问题解决
2.提示:9 cm.
3.解:因为两边之差 <第三边<两边之和,所以9- 3<第三边<9+3,即6<第三边<12. 又因为第三边长度为奇数,
所以第三边的长度可能是7 cm,9 cm,11 cm.
一个等腰三角形的两条边长分别是10 cm和5 cm,求这个三角形的周长.
〔解析〕 在给出的条件中,没有确定等腰三角形的腰和底,所以10 cm长的边既可能是底,也可能是腰,
于是本题有两解.
解:(1)当腰长10 cm时,则底长5 cm,等腰三角形的周长是25 cm.(2)当底长10 cm时,则腰长5 cm,然而两腰之和等于底边(5+5=10),所以此三角形不存在.
答:这个三角形的周长是25 cm.
[解题策略] 让学生自己先做,老师再用屏幕投影出示解题步骤,让学生对照答案自己订正,老师应对易
错点加以强调,以加深学生的印象,达到巩固的目的.
第 课时
1.正确理解三角形的角平分线、中线的概念.
2.能正确画出三角形的角平分线及中线,经历三角形的角平分线、中线性质探究的过程,知道三角形的
角平分线、中线的性质.
3.通过对三角形有关概念的学习,提高学生对概念的辨析能力和画图能力.
通过学生观察、想象、动手做、交流等活动,培养学生探索发现能力、观察能力、动手操作能力和有
条理的表达能力.
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,产生对数学的好奇心,在交流的过程中学会向别人清晰地表
达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”,通过问题的发现与解决,使
学生有成就感,加强学生学好数学的信心.
【重点】 了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线.
【难点】 三角形的中线、角平分线的定义及其性质的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P87~88.
导入:
[过渡语] 我们在看文艺节目的时候,总会有一些杂技节目,我们在感叹节目精彩的同时,也被杂技演员
高超的技艺,尤其是他们超强的平衡能力所折服震撼.同学们现在看老师利用一支铅笔就可以支起一个三角
形(演示),你能做到吗?这就是本节课我们将要探究的问题.[处理方式] 教师通过展示多媒体课件,从视觉上提高学生的兴奋点,激发学生兴趣.而后面的自己动手
演示顶三角形的纸片,更是将学生的好奇心再一次激起,为后面的探究新知做了很好的铺垫,学生以轻松、愉
快的心态进入探究新知的过程.
[设计意图] 一堂新课的引入是老师与学生课堂交往活动的开始,是学生学习新知识的心理铺垫,是拉
近师生之间的距离,破除疑难心理、乏味心理的关键.一个成功的引入,是让学生感觉到他熟知的生活,可使
学生迅速投入到课堂中来,对知识在最短的时间内产生极大的兴趣和求知欲,接下来教学活动将成为他们一
种开心快乐的游戏.
[过渡语] 同学们,你们想知道老师是如何做到的吗?下面就一起来学习三角形的其他有关的概念.
探究活动1 三角形的中线概念
思路一
【活动内容】 复习线段的中点定义和确定线段中点的方法,阅读课本完成自学,得出三角形中线的定
义和三角形中线的作法.(多媒体出示)请阅读课本P87内容,思考解决下列问题:
问题1
什么是三角形的中线?它与线段的中点有什么区别与联系?
问题2
如何得到三角形的中线?
问题3
三角形的三条中线有怎样的位置关系?
[处理方式] 学生阅读课本,思考教师在课件中提出的三个问题,遇到困难的同学可做好标记以备作为
问题进行合作交流.学生以口答的形式回答教师提出的问题.
小组展示自学成果:
(1)定义:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形中线是条线段(如图
线段AD);线段的中点是一个点.
(2)几何表达:
1
因为AD是三角形ABC的中线,所以BD=DC= BC或BC=2BD=2DC.
2
(3)学生代表说出并演示如何画三角形的中线,对利用折纸得出三角形中线的同学可以引导进行展示.
[设计意图] 借助线段中点的定义,让学生类比自学得到中线的定义,比较容易接受,对于三角形的中线
可以通过折纸得到这种方法没有进行特别指出与要求,只是有学生提出就展示一下而已.
思路二
[过渡语] 你还记得什么是线段的中点吗?那么你知道什么是三角形的中线吗?
[处理方式] 三角形的中线的概念比较抽象,此处采取直接给出定义,引导几何语言的表达方法,明确三
角形的中线是线段,分析线段的两个端点.进一步拓展使学生知道三角形的中线把三角形分成两个面积相等
的三角形.把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫
做这个三角形的中线.
1
几何表达:因为AE是△ABC的中线,所以BE=EC= BC.
2
[设计意图] 通过回顾中点的定义,让学生类比得到中线的定义,要比直接给出中线的定义学生更容易
接受,同时进一步培养学生类比的思想.
探究活动2 三角形的中线的性质及重心
议一议:
(1)在纸上任画一个锐角三角形,并画出它的三条中线,它们有怎样的位置关系?与同伴进行交流.
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗?折一折,画一画,并与同伴进行交流.
老师用铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的 .
练一练:
如图所示,点D,E,F分别是边BC,AC,AB上的中点.
(1)AB边上的中线是 ,BC边上的中线是 ,AC边上的中线是 .
(2)因为BE是中线,所以 = = .
因为CF是中线,所以AB=2 =2 .
1
〔答案〕 (1)CF AD BE (2)AE EC AC
2
AF BF
[处理方式] 以线段的中点知识类比出三角形的中线知识,在复习旧知识的过程中引出新知识,体现数
学知识之间的相互联系,把课堂大量的时间和空间留给学生,让他们开展有针对性的数学探究活动,在活动中,
鼓励学生积极开动脑筋,从不同的途径探索解决问题的方法.
结论:三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.(交点在三角形的内部)
[设计意图] 通过这样的方式学数学,可以有助于学生建立自己的知识体系,将新知识更好地融入到已
有的知识体系中,形成网络;学生的动手过程不但得出三角形中线的性质,而且学生也发现了书上没有直接给
出的性质,如中线分成的两个三角形的周长关系、面积关系以及三角形三条中线交点与三角形的位置关系
等,实现了学生自己学数学的目的,同时让学生体会实际操作可以把抽象的数学直观化具体化.
探究活动3 三角形角平分线及性质
【问题】 请同学们仿照三角形的中线的定义给三角形的角平分线下定义.
[处理方式] 三角形的角平分线定义和性质是在三角形的中线知识学习后进行的,可以完全通过类比
获得,让学生自己在课堂上实现类比学习,进一步体现了自主学习的目的.
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平
分线.1
几何表达:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠1=∠2= ∠BAC.(或∠BAC=2∠1=2∠2)
2
做一做:
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1)你能分别画出这三个三角形的角平分线吗?
(2)你能用折纸的办法得到它们吗?
(3)在每个三角形中,这三条角平分线之间有怎样的位置关系?
将你的结果与同伴进行交流.
[处理方式] 画出三角形的角平分线的时候多数同学是用量角器量取的,几乎没有学生用折纸的方法
得到,因而单独提出第二个问题,引导学生思考用折纸的方法得到三角形的角平分线,并让学生演示折纸如何
得到三角形的角平分线.
【学生活动】
(1)通过作图发现猜想是正确的,三角形的三条角平分线交于一点,如图所示.
(2)通过折纸的方法来验证:三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点在三角形的内部.
(多媒体展示)
多媒体展示:把三角形一个内角的两边重合得到的.
总结:你们表现得真棒!通过以上验证我们可以得出结论:
三角形的三条角平分线交于一点.(教师板书并强调:交点在三角形内部)
[设计意图] 三角形的角平分线定义和性质是在三角形的中线知识学习后进行的,可以让学生通过类
比获得,进一步体现了自主学习的目的.采用合作探究学习的方式,让学生经历“猜想- 验证- 得出结论”的
过程.这样的主动学习过程,既可以体现数学学习的特殊过程,又可以调动学生学习的热情,相互交流,充分表
达自己的想法,相互取长补短.
[知识拓展] 角的平分线是射线,而三角形的角平分线,无论是其中哪个内角的平分线都是线段.
三角形的中线,角平分线都交于一点,其中三角形的中线交于一点,这点叫做三角形的重心.
1.把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫
做这个三角形的中线.
2.三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.(交点在三角形的内部)
3.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角
平分线.
4.三角形的三条角平分线交于一点.(交点在三角形内部)
1.如图所示,D,E分别为△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法中不正确的是 ( )
A.DE是△BDC的中线
B.图中∠C的对边是DE
C.BD是△ABC的中线
D.AD=DC,BE=EC解析:因为E为△ABC的边BC的中点,所以点E也是△BDC的边BC的中点,所以DE是△BDC的中线,故
A正确;图中∠C的对边有三种可能,是DE,BD,AB,故B错误;因为D为△ABC的边AC的中点,所以BD是
△ABC的中线,故C正确;因为D,E分别为△ABC的边AC,BC的中点,所以AD=DC,BE=EC,故D正确.故选B.
2.如图所示,BD平分∠ABC,DE∥BC,且∠D=30°,则∠AED的度数为 ( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
解析:因为DE∥BC,∠D=30°,所以∠DBC=30°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=30°,所以
∠ABC=60°,又因为DE∥BC,所以∠AED=∠ABC=60°.故选B.
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=68°,∠B=36°,AD是△ABC的一条角平分线,求∠ADB的度数.
解:因为AD是∠BAC的平分线,∠BAC=68°,所以∠BAD=∠DAC=34°,又因为∠B=36°,所以∠ADB=180°-
34°- 36°=110°.
4.如图所示,AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,已知DE=2 cm,求BD,BE,BC的长.
解:因为AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,所以BD=CD=2DE=4 cm,所以BE=BD+DE=6 cm,所以
BC=2BD=8 cm.
第3课时
探究活动1 三角形的中线概念
探究活动2 三角形的中线的性质及重心
探究活动3 三角形角平分线及性质
一、教材作业
【必做题】
教材第88页习题4.3知识技能第1,2题.
【选做题】教材第89页习题4.3问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.三角形的三条中线、三条角平分线都是 ( )
A.直线 B.射线
C.线段 D.射线或线段
2.如图所示,BD,AE分别是△ABC的中线、角平分线,AC=10 cm,∠BAC=70°,则AD= ,∠BAE=
.
3.如图所示,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,填空:
1
(1)BE= = ;
2
1
(2)∠BAD= = .
2
4.如图所示,AD是△ABC的BC边上的中线,DE是△ADC的AC边上的中线,若△ABC面积等于4,求△ADE的面
积.
【能力提升】
5.如图所示,在△ABC中,CD是中线,已知BC- AC=5 cm,△DBC的周长为25 cm,求△ADC的周长.
【拓展探究】
6.如图所示,在△ABC中,∠ABC=40°,AD,CD分别平分∠BAC,∠ACB,求∠ADC的度数.
【答案与解析】
1.C(解析:由三角形的中线、角平分线定义可知三角形的三条中线、三条角平分线都是线段.故选C.)
2.5 cm 35°(解析:因为BD是△ABC的中线,AC=10 cm,所以AD=5 cm,因为AE是△ABC的角平分线,
∠BAC=70°,所以∠BAE=35°.)1
3.(1)EC BC (2)∠DAC ∠BAC(解析:因为AE是△ABC的中线,所以BE=EC= BC,因为AD是△ABC的角平
2
1
分线,所以∠BAD=∠DAC= ∠BAC.)
2
4.解:因为AD是△ABC的BC边上的中线,△ABC面积等于4,所以△ABD面积等于△ADC面积等于2.又因为
DE是△ADC的AC边上的中线,所以△ADE的面积等于△CDE的面积等于1.
5.解:因为CD是中线,所以AD=BD,所以△DBC的周长- △ADC的周长=(BC+BD+CD)- (AC+AD+CD)=BC- AC,
因为BC- AC=5 cm,△DBC的周长为25 cm,所以25- △ADC的周长=5,解得△ADC的周长=20 cm.
1
6.解:∠DAC+∠DCA= ×(180°- 40°)=70°,∠ADC=180°- (∠DAC+∠DCA)=180°- 70°=110°.
2
让学生在现实情境中体验和理解数学,激发学生学习数学的兴趣.在活动中自主探究以及与同伴交流,
有条理地进行思考和表达思考的过程,获得分析问题的经验和解决问题的能力.老师充分做好活动的策划者、
引导者的角色.活动中师生互动、生生互动,形成了一个立体信息交流网络.重视数学知识的生活化、应用
化.
对教材的处理和教学过程中学生的学法一定注意灵活选取,让不同层次的学生要采用不同的方法,获得
不同的数学体验和不同的收获.学生对说理过程的书写不够条理与规范,教师在课下应加强训练指导.
从学生的实际出发,引导他们学知识、用知识,给学生提供一个展示所学的舞台.培养学生应用数学知
识解决实际问题的能力,激发学生持续学习的动力.
随堂练习(教材第88页)
1
1.(1)∠DAC ∠BAC (2)EC
2
1
2.解:在△ABC中,∠ABC=180°- ∠A- ∠C=58°,∠ABD= ∠ABC=29°.
2
习题4.3(教材第88页)
知识技能
1
1.解:因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= ∠BAC=30°.又因为∠B+∠BAD+∠ADB=180°,∠B=45°,所以∠ADB=105°.
2
2.解:三角形的一条中线将这个三角形分成两个三角形,这两个三角形的面积相等.
问题解决
1
3.解:因为∠A=62°,∠B=74°,所以∠ACB=180°- 62°- 74°=44°.因为CD是∠ACB的平分线,所以∠ACD=∠BCD=
2
∠ACB=22°.又因为DE∥BC, 所以∠EDC=∠BCD=22°.本节主要是学习三角形的中线、角平分线以及重心的概念,教学中充分的发挥学生的动手操作能力,利
用了折纸和画图等方法认识了解它们,并通过这些操作让学生发现中线、角平分线的性质,使学生具有了初
步的推断说理能力.本节课采用“自主探究、合作交流”的方式组织教学,让学生在自主探索与合作交流相
结合的方式下进行学习.
第 课时
1.经历折纸、画图等活动了解三角形高线的概念,画出任意三角形的高.
2.了解三角形的三条高所在直线交于一点.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的
能力,以及推理能力和有条理的表达能力.
通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活.
【重点】 三角形高线的概念,会画任意三角形的高.
【难点】 画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P88~90.
导入一:
[过渡语] 同学们,我们从现实生活中寻找到了好多三角形的踪影,从房梁上发现了一些三角形中特殊
的线段——三角形的中线和角平分线,并通过折纸等方式画出它们,还熟练地运用其解决了很多问题.这一
节课我们将继续寻找三角形房梁中的特殊线段.谁能说说:立柱和横梁之间有什么特殊的位置关系?
[处理方式] 由学生口答完成.(用三角尺的直角对准图形进行重叠演示来验证)
[设计意图] 从房梁中的三角形回顾导入,水到渠成,给其足够的信心,培养积极兴趣,通过问题导学的方
式让学生带着问题自主探究归纳总结三角形的高.以便更顺利地解决下面问题,为本节课的学习起统领铺垫
作用.
导入二:
[过渡语] 同学们,猜猜看,在三角形中除了三角形的中线、角平分线,还有没有其他的线段?你还记得
什么是垂线吗?下面我们一起看看什么是三角形的高线.
【活动内容】
1.什么是三角形的中线?
2.什么是三角形的角平分线?
3.垂线的定义是什么?
4.如何过直线外一点画已知直线的垂线?如何过点A作AF⊥BC?
[处理方式] 1,2,3题由学生口答,4题用三角尺,根据放、靠、推、画的步骤可以画出.巡视,指导后,课件
演示画法并说明,这种作法实际上就是“过直线外一点作已知直线的垂线”,如图,就是过点A作直线BC的
垂线,可借助三角尺完成,仅取垂线段AF而已.
[设计意图] 让学生先回忆上一节课三角形的中线和角平分线以及过一点如何作一条直线的垂线,一
是可将所学习的三角形的中线、角的平分线联系起来,掌握它们的本质特征,又为高线的引入做好铺垫;二是
渗透运动的观点,使学生感知用运动的观点看问题.动手画图,课件演示,加深对画法的理解和掌握,同时也为
后继学习作三角形的高埋下伏笔.
[过渡语] 下面请大家根据新课导入问题自学课本89页做一做之前部分,2分钟后看看谁收获多多,又
是谁两手空空.
探究活动1 三角形的高线概念
思路一
看谁完成得又快又好.
1.从三角形的一个顶点向 作垂线,顶点和 之间的 叫做三角形的高线,简称三
角形的高.
2.三角形的高是一条 ( )
A.直线 B.射线
C.线段 D.不确定
3.如图所示,线段AF是BC边上的高,因为AF是BC边上的高,所以 ⊥ ,所以∠
=∠ .
4.如图所示,CD是△ABC的高,且CD=5,S =25,则AB= .
△ABC[处理方式] 给学生两分钟时间,学生根据新课导入问题自学课本89页做一做之前部分,带着问题进
行自主探究;教师前后巡视,提示学生找出重点字句.检查他们对于新课导入问题的完成情况.对个别没有自
学意识等待老师“授之以鱼”的学生进行鼓励:本节课知识并不难,你只要认真看、大胆说,这节课最棒的肯
定是你.
[设计意图] 从房梁中的三角形回顾导入,水到渠成,给其足够的信心,培养积极兴趣,通过问题导学的方
式让学生带着问题自主探究归纳总结三角形的高.以便更顺利地解决下面问题,为本节课的学习起统领铺垫
作用.
思路二
如图所示的三角形的房梁,立柱与横梁有什么特殊的位置关系呢?
[处理方式] 抽象出数学图形并出示,立柱与横梁互相垂直.当立柱AF与横梁BC垂直时,我们通常也说
立柱AF是这个三角形房梁的高.通过刚才作三角形的高和房梁的高,我们可以知道AF这条线段就是三角
形的高.三角形的高可以准确地叙述为:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之
间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.(课件出示)三角形的高线是垂线段,是三角形的一个顶点和过
它向对边所在的直线作垂线的垂足之间的线段.表示法:AF⊥BC,则AF是△ABC的BC边上的高;AF是△ABC
的BC边上的高,则AF⊥BC,所以∠BFA=∠AFC=90°.
[设计意图] 通过动态运动使学生感知到高线是具有特殊位置的线段,又通过房梁的立柱更直观地感
受到三角形高的意义,在丰富的感性材料的基础上,学生比较容易接受三角形高的意义,但理解不准确,对概
念的叙述不准确,通过逐步引导,使学生渐渐认识到数学语言的准确性和简洁性,利用引导鼓励学生自说与教
师直接告诉相结合,既起到训练学生使用数学语言的能力,又节省不必要的时间浪费.
探究活动2 锐角三角形的高线
思路一
利用你的锐角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗?
(2)你能用折纸的方法得到它吗?
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.
[处理方式] 过顶点B,C也可以作高,还可以作三角形的两条高线(在原图中作高BD和CE).如图所
示.AF是△ABC的BC边上的高;BD是△ABC的AC边上的高;CE是△ABC的AB边上的高.
结论:锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并相交于一点.
[设计意图] 通过让学生动手操作、画图等活动,掌握锐角三角形高的意义、作法和性质;让学生经历
操作实践的过程,发现知识、学习知识、掌握知识;这样既让学生感受到知识的形成过程,印象深刻,同时也
提高了学生的实际操作能力.
思路二
[过渡语] 大家还记得“过直线外一点画已知直线的垂线”吗?选出一名同学用直角三角板来画.一放
二靠三推四画.到黑板演示.拿出你准备的锐角三角形,过它的一个顶点A,你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看,你准行!
[处理方式] 做一做:每人拿准备好的一个锐角三角形纸片,尝试画这个三角形的高.生用三角板或量角
器试着画出高.师巡视学生画的情况,强调指出:千万不要忘记标明:垂直的符号和垂足的字母.最后选一名同
学到黑板板演画出锐角三角形的三条高.学生走到黑板前拿着三角尺演示,其他学生目光跟随着,教师及时
表扬:这位同学画得非常漂亮!除了用三角尺画高,你还有别的方法吗?
你能用折纸的方法得到它吗?试一试!生动手折叠,小组内互相交流折叠方法.师多媒体展示折纸的方法:
对折三角形的一边,使这边所在的直线重合,调整折痕的位置,使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合,折痕就是
这条边上的高.和学生一起实物演示,引导学生仔细观察锐角三角形的三条高,你发现什么秘密了吗?这三条
高之间有怎样的位置关系?将你的结果与同伴交流交流.教师根据学生的口述,用多媒体展示相关内容并强
调各内容的关键词.
[设计意图] 让学生先回忆过一点如何作一条直线的垂线,为下面作三角形的高线做准备.培养学生善
于找到新知识与旧知识的联系,体会学习是一个连续的过程.通过用三角尺或折纸的方法画出锐角三角形的
三条高,并总结性质,从而发展学生空间观念,培养动手能力.
探究活动3 直角三角形的高线
再利用你的直角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗?
(2)你还能用折纸的方法得到它吗?
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢?
[处理方式] 小组讨论交流.
画一个直角三角形,并尝试画出它的高(教师巡视,学生讨论直角三角形的高).直角三角形也有三条高,如
Rt△ABC的三条高分别是AC,BC,BD,即AB是BC边上的高,BC是AB边上的高,BD是AC边上的高.直角三角
形有一条高在三角形的内部,另外两条高分别是直角三角形的两条直角边;这三条高也相交于一点,这个交点
不在三角形的内部,而与这个直角三角形的直角顶点重合.
结论:直角三角形有三条高,这三条高也相交于一点.
[设计意图] 直角三角形的高,特别是两直角边上的高,学生掌握是难点,因此让学生充分讨论交流,教师
适时引导,通过对比,联系三角形高的意义,确认直角三角形高的特殊性,进而总结三条高相交于一点的性质.
探究活动4 钝角三角形的高线
再利用你的钝角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗?
(2)你还能用折纸的方法得到它吗?(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.
[处理方式] (小组讨论,钝角三角形高的作法)
画一个钝角三角形,并尝试作出它的高.
(巡视引导)如图,它们分别是:AD,BE,CF.为了更准确地说明,我们可以这样叙述:AD是△ABC边BC上的
高,BE是△ABC边AC上的高,CF是△ABC边AB上的高.
通过图形可以看出,它们不交于一点(课件演示,延长三条高相交于点O).三条高所在的直线相交于一点.
钝角三角形的三条高线,有一条在三角形的内部,另外两条在三角形的外部,我们可以通过画图得到它,
虽然这三条高不相交于一点,但是,这三条高线所在的直线相交于一点,这个交点在三角形的外部,这样的话
我们综合锐角三角形、直角三角形的高线的性质,可以得出:三角形的三条高所在的直线交于一点.
[设计意图] 钝角三角形的高及性质,学生更感困难,充分让学生动手画图,小组讨论,展示交流,紧扣三
角形高的意义和过一点作已知直线的垂线的方法,再加上教师的点拨,多种感知活动交错进行,达到掌握知识
的目的,同时联系对比三种三角形的高线的位置,概括三角形高线的性质,有利于提高学生的概括能力和表达
能力.
[知识拓展] 任何三角形的角平分线都在三角形的内部,高却不同,直角三角形和钝角三角形的高都有
一条高在其内部,直角三角形另外两条高在边上,钝角三角形的另外两条高在三角形的外部.
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称
三角形的高.
2.锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并相交于一点.
3.直角三角形有三条高,这三条高也相交于一点.
4.钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 ( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角三角形
解析:三角形三条高的交点的位置与其形状有关.在三角形内是锐角三角形,在三角形外是钝角三角形,
在顶点是直角三角形.故选B.
2.三角形的三条高相交于一点,此点一定在( )
A.三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D.不能确定
解析:锐角三角形的三条高的交点在三角形内部;直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点;钝角
三角形的三条高的交点在三角形外部.所以A,B,C三种情况都有可能.故选D.3.如图所示的是一个直角三角形,底边长10,对应的高是 ;底边长8,对应的高是 ;底边
长6,对应的高是 .
解析:如图可知底边长10,对应的高是4.8;底边长8,对应的高是6;底边长6,对应的高是8.
答案:4.8 6 8
第4课时
探究活动1 三角形的高线概念
探究活动2 锐角三角形的高线
探究活动3 直角三角形的高线
探究活动4 钝角三角形的高线
一、教材作业
【必做题】
教材第91页习题4.4知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第91页习题4.4问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,虚线部分是小刚作的辅助线,则你认为线段CD为 ( )
A.边AC上的高 B.边BC上的高
C.边AB上的高 D.不是△ABC的高
2.下列关于三角形的高的说法正确的是 ( )
A.直角三角形只有一条高线
B.钝角三角形的高线都在三角形的外部
C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝角三角形
D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内部
3.如图所示,在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H是BE和CF的
交点,求∠ABE,∠ACF和∠BHC的度数.
【能力提升】
4.如图所示,△ABC的两条高线AD,BE交于点F,∠BAD=45°,∠C=60°,求∠BFD的度数.【拓展探究】
5.如图所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE交于一点P,若∠A=50°,求∠BPC
的度数.
【答案与解析】
1.C(解析:由三角形高线的定义可知线段CD为边AB上的高.故选C.)
2.D(解:任意三角形都有三条高,故A错误;钝角三角形的高线有两条在三角形的外部,一条在三角形的内部,
故B错误;只有一条高线在三角形内的三角形可能是钝角三角形,也可能是直角三角形,故C错误;锐角三角
形的高线的交点一定在三角形的内部,故D正确.故选D.)
3.解:因为在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,所以∠A=180°- 66°- 54°=60°,又因为BE是AC边上的高,CF是
AB边上的高,所以∠AEB=∠AFC=90°,所以∠ABE=∠ACF=30°,在△BHC中,∠HBC=66°- 30°=36°,∠HCB=54°-
30°=24°,所以∠BHC=180°- 36°- 24°=120°.
4.解:因为AD,BE是△ABC的两条高线,所以∠ADB=∠BEC=90°,故∠EBC=180°- 90°- ∠C=90°- 60°=30°,而
∠BFD=180°- ∠ADB- ∠EBC=90°- 30°=60°.
5.解:因为∠A=50°,BE⊥AC,所以∠ABE=90°- 50°=40°,又因为CD⊥AB,所以∠BPC=180°- ∠BPD=90°
+∠ABE=130°.
用动态演示复习三角形的中线和角平分线的概念和性质,学生很容易联想到三角形的高,引入三角形高
的概念顺其自然,在探究三角形的高的性质时,特别是直角三角形和钝角三角形,让学生充分交流、讨论、展
示、操作,达到眼、耳、手、口、脑多种感官参与学习活动,在感官的基础上,概括和总结性质,然后再加以
应用,符合学生的认知规律,对于难点,适时进行讲解、点拨、启发、诱导,及时进行反馈矫正.
对学生数学语言的使用和训练还有些欠缺,有一些还是直接给出的,有时对学生不准确的语言默认,顺其
自然.
学生动手折纸、画图时耗费的时间较多,致使后面的教学时间比较紧张,对学生的个性差异关注不足.加强对数学语言训练的力度,初步让学生感知到数学语言的准确性和简洁性,学会用准确的数学语言进
行表述和画图;加大巩固训练的力度,设计形式多样的题目,训练学生的思维;对学生操作、折纸、画图进一
步整合,努力提高课堂教学效率.
随堂练习(教材第90页)
1.解:图(1)错,高线应为实线.图(2)错,高线应为过点A作CB延长线的垂线段.
习题4.4(教材第91页)
知识技能
1.AF CE CE BE CD AC
问题解决
3.提示:设缺的这个角的顶点为C,作AC边上的高BE,作BC边上的高AD,设AD与BE的交点为H,过点H作
AB的垂线,就是所求作的直线.(答案不唯一)
如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE为∠BAC的平分线,且∠B=36°,∠C=68°.求∠DAE的度
数.
〔解析〕 先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数,再根据角平分线的性质求得∠CAE的度数,
由垂直的性质可得∠ADB=90°,再根据三角形的内角和定理求得∠CAD度数,从而可以求得结果.
解:因为∠B=36°,∠C=68°,
所以∠BAC=180°- ∠ABC- ∠ACB=180°- 36°- 68°=76°,
因为AE为∠BAC的平分线,
1
所以∠CAE= ∠BAC=38°.
2
因为AD⊥BC于D,
所以∠ADC=90°.
所以∠CAD=180°- ∠C- ∠ADC=180°- 68°- 90°=22°.
所以∠DAE=∠CAE- ∠CAD=38°- 22°=16°.
[解题策略] 解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角,且都等于大角的一半.
2 图形的全等1.通过实例理解图形全等的概念和特征,并能识别图形的全等.
2.掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.
1.借助具体情境和图案,经历观察、发现和实践操作叠合图形等过程,了解全等图形的概念与特征,掌握
判断全等图形的方法.
2.通过欣赏、观察、动手操作,使学生体验数学的思想方法及数学的应用价值.
使学生感受合作的快乐与成功的喜悦,树立学习的信心,体会数学知识在现实生活中的应用价值.
【重点】 理解图形的全等与全等图形的特征,并能识别图形的全等.
【难点】 掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P92~94.
导入一:
[过渡语] 生活五彩缤纷,在丰富多彩的图形世界里,有的是相同的,有的是不相同的,有时图形的完全相
同也会让你感受到美的享受、感受到美的乐趣.
请观察生活中的几组图片,这些图片有何特征?(多媒体出示)[处理方式] 学生观察三组图片,可以回答出:图中两面五星红旗、两张图片、两张邮票,它们的形状、
大小相同,能够完全重合.继而教师提出:你能再举出一些例子吗?学生就可以想到同一张底片洗出的相同尺
寸的照片,形状、大小也是相同的.出示一组利用全等图形组成的图案.
引出本节课题:板书课题:图形的全等.
[设计意图] 利用生活中的全等形图片导入新课,让学生初步感知全等形的特点,这样不仅可以调动学
生的积极性,也能让学生感受数学无处不在.
导入二:
[过渡语] 图形给大家带来了美好的视觉感受,一款和图形有关的小游戏也让人爱不释手.
[处理方式] 请同学们观察这些图片有何特征?教学中要充分让学生列举生活中的例子,并试着用一个
名词概括这些例子.请大家想一想在你周围有没有全等的图形?请看我手里的照片,同一底片,相同的两张是
全等的,不同的两张是不全等的.同一人的两只手掌,老师的手掌和学生手掌.
活动目的:设置有趣的生活图片,一组是实物图形,一组是几何图形.让学生通过观察,对全等图形有一个
感性认识.
[过渡语] 上面我们欣赏了一组组实物图片,下面再请看一组几何图形:
探究活动1 全等图形的定义和性质
思路一
观察下列同一类的图形有什么特点?
[处理方式] 学生思考后口答,这些图形中,同一类图形是完全一样的,即不仅要形状相同,而且要大小相
等,如果把它们叠放在一起,它们就能重合.教师从而得出全等图形的定义.即:两个能够完全重合的图形称为
全等图形.
【巩固训练】
下图中,(4)和(7),(5)和(10)为什么不是全等图形?
全等图形的性质是形状和大小完全相同.(学生总结全等的特征,教师出示课件展示)
[处理方式] 让学生口答问题(4)和(7)两个图形面积相同,但形状不同,(5)和(10)两个图形形状相同,但大
小不同.
教学中要充分让学生列举生活中的例子.[设计意图] 让学生思维动起来,充分调动学生的学习积极性,达到事半功倍的教学效果.
思路二
[过渡语] 请观察下面这组图形,它们还具刚才那几组图的特点吗?(多媒体出示)
教师板书:能够完全重合的两个图形称为全等图形.
[处理方式] 教师提出这组几何图形中,有些是完全一样的,如果把它们叠在一起,它们就能够完全重合.
你能从图中找出这样的图形吗?学生可以找出两个小圆,两个锐角三角形完全一样.进而明确全等的概念.
[设计意图] 设置一组几何图形,让学生通过观察、思考,对全等图形有一个感性认识.同时使学生对全
等的概念有了一个更清楚的理解——全等图形的形状和大小都相同.
问题1
你能说出生活中全等图形的例子吗?
利用视频播放敦煌和科隆教堂的图案.
问题2
请观察下面三组图形,它们是不是全等图形?为什么?与同伴进行交流.
问题3
如果两个图形全等,它们的形状和大小一定都相同吗?
教师板书:全等图形的形状和大小都相同.
[处理方式] 问题1,学生思考回答生活中的例子,观察三个利用全等设计的生活中的图案,观看播放敦
煌和科隆教堂的图案的视频.感受全等在生活中的存在.问题2,学生思考并回答(1)中的两个图形形状相同,
但大小不同;(2)中的两个图形面积相同,但形状不同;(3)中的两个图形不仅形状相同,大小也相同.问题3,学生
明确,既然是全等图形,那么就能重合,形状与大小自然相同.
[设计意图] 学生在一个开放的环境下给出很多生活中的例子,从中获取了大量的信息.事实上,同学们
通过观察都能看出全等图形的形状和大小都相同,这就是图形全等的性质.
探究活动2 全等三角形的有关概念及表示法
[过渡语] 知道了什么是全等形,那么你知道什么是全等三角形吗?
思路一
【活动内容1】 全等三角形定义.
教师板书:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
如图(多媒体出示图).
△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等三角形.其中顶点A,D重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重
合,它们是对应边;∠A与∠D重合,它们是对应角.你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗?教师板书:全等三角形的对应边相等,对应角相等.(教师强调如何用符号语言表示)
因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形的对应边相等),∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全
等三角形的对应角相等).
【活动内容2】 全等三角形的表示.
△ABC与△DEF全等,记作:△ABC≌△DEF,读作:△ABC全等于△DEF,记两个三角形全等时,通常把对应顶点
的字母写在对应的位置上.
观察图中的全等三角形应怎样表示.
[处理方式] 利用Flash播放全等三角形的定义使学生明确对应顶点,对应边,对应角的含义.再根据图
形说出对应顶点,对应边,对应角.由全等可知AB=DE,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.学生还应明确
全等的记法:△ABC≌△DEF.表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.提醒学生注意“全等于”与
“≌”的区别.
[设计意图] 通过两个全等的三角形图片自然过渡到下一知识,用精心设计的问题进行活动,不断地制
造思维兴奋点,再加上学生在学习过程中的活动,让学生脑、嘴、手动起来,充分调动了学生的学习积极性,
达到事半功倍的教学效果.
思路二
问题1
怎样的三角形是全等三角形?
问题2
全等三角形的对应边和对应角有何关系?
[处理方式] 根据全等图形的定义类比并动画演示得出全等三角形的定义,让学生口答出.能够完全重
合的两个三角形叫做全等三角形.比如,在图中,△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等的.其中顶点A,D重
合,B,E重合,C,F重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重合,BC边与EF边重合AC边与DF边重合,它们是对
应边;∠A与∠D重合,∠B与∠E重合,∠C与∠F重合,它们是对应角.全等三角形对应角相等,对应边相等.△ABC
与△DEF全等,我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应
的位置上.常用几何语言表示:
如图所示,因为△ABC≌△DFE(已知),
所以AB=DF,AC=DE,BC=FE(全等三角形的对应边相等),
∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E(全等三角形的对应角相等).
问题3
怎样确定全等三角形的对应角、对应边呢?
[处理方式] 小组之间先进行讨论回答,教师根据学生回答进行归纳总结(课件展示).
规律总结:确定对应角、对应边的方法.
1.找对应边的方法.
(1)有公共边的,公共边一定是对应边.
(2)全等三角形对应角所对的边是对应边.
(3)两个对应角所夹的边是对应边.
(4)两个全等的三角形中,一对最长的边是对应边,一对最短的边也是对应边.
2.找对应角的方法.
(1)有对顶角或公共角的,对顶角或公共角一定是对应角.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角.
(3)两条对应边所夹的角是对应角.
(4)两个全等的三角形中,一对最大的角是对应角,一对最小的角也是对应角.
探究活动3 全等三角形中重要线段之间的关系
【活动内容1】 议一议.
(1)教材图4 - 24是两个全等三角形,请画出一组对应边的高,测量这组高的长度,你有什么发现?全等三
角形对应边的中线相等吗?还有哪些相等的线段?举例说明.
[处理方式] 学生分组画出一组对应边上的高、对应边的中线、对应边的角平分线然后测量发现结论.
全等三角形对应边的高、对应边的中线相等,还有全等三角形的对应线段(对应角的平分线)都相等.
(2)如图(教材图4 - 24),已知△ABC≌△A'B'C',你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段D'E'?
[处理方式] 首先用直尺和圆规找出D点的对应点D',E点的对应点E',再连接D'E'.
[设计意图] 让学生知道三角形的对应顶点,对应边和对应角,并指出其中的对应角和对应边.三角形中
还有高线、中线、角平分线等特殊的线段的性质.学生找到对应边和对应角,并能正确解题,分析能力、表
达能力得以提高.
【活动内容2】 做一做.
一个等边三角形,你能把它分成两个全等的三角形吗?三个呢?四个呢?
[处理方式] 小组间相互交流,讨论.答案如下图所示:
变式:沿着图中的虚线,用两种方法将下面的图形划分成两个全等的图形.
[处理方式] 小组间相互交流,讨论.答案如下图所示:[知识拓展]
1.全等图形关注的是两个图形的形状和大小,而不关心图形所在的位置.
2.全等的两个图形,形状和大小是相同的,而且面积也相等,但是面积相等的两个图形不一定是全等图形.
3.全等三角形是全等图形的一种,两个全等三角形叠放在一起完全重合,完全重合的三角形是全等三角
形.
4.表示全等时,对应顶点要写在对应的位置.
1.全等图形和全等三角形的概念:
全等图形:能够完全重合的两个图形称为全等图形.
全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等图形的性质、全等三角形的性质:
全等图形的性质:全等图形的形状和大小都相同.
全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3.全等三角形对应边上的高、对应边上的中线相等,还有全等三角形的对应线段(对应角的平分线)都相
等.
1.若△ABC≌△DEF,且AB=4 cm,BC=5 cm,DF=3 cm,则AC的长为 ( )
A.4 cm B.5 cm
C.3 cm D.2 cm
解析:因为△ABC≌△DEF,AC与DF是对应边,所以AC=DF=3 cm.故选C.
2.如图所示,△ABC≌△FED,且BC=ED.试说明AB∥EF,AD=FC.
解:因为△ABC≌△FED,且BC=ED,所以∠A=∠F,所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).因为△ABC≌△FED,
所以AC=DF(全等三角形的对应边相等),所以AC- DC=DF- DC,即AD=FC.
3.如图所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求△AEC各内角的度数.解:因为△ABC≌△AEC,∠ABC与∠AEC,∠ACB与∠ACE,∠BAC与∠EAC是对应角,所以
∠ABC=∠AEC,∠ACB=∠ACE,∠BAC=∠EAC,因为∠B=30°,∠ACB=85°,所以
∠ABC=∠AEC=30°,∠ACB=∠ACE=85°,∠BAC=∠EAC=180°- 115°=65°.
图形的全等
探究活动1 全等图形的定义和性质
探究活动2 全等三角形的有关概念及表示法
探究活动3 全等三角形中重要线段之间的关系
一、教材作业
【必做题】
教材第95页习题4.5知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第95页习题4.5知识技能第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
2.如图所示,AC⊥BE,AC=EC,CB=CF,把△EFC绕点C按逆时针方向旋转90°,则点E落在 ( )
A.B点处B.C点处
C.A点处D.以上都不对
3.如图所示,△ABC≌△DCB,其中A和D是对应顶点,AC和DB是对应边,指出其他的对应边和对应角.对应边:
,对应角: .
4.如图所示,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=43°,∠B=30°,求∠ADC的大小.【能力提升】
5.如图所示,若△AOB≌△AOC,则∠ADC与∠AEB相等吗?说明理由.
【拓展探究】
6.如图所示,在△ABC中,D,E分别是AC,BC上的点,若△ADB≌△EDC≌△EDB,求∠C的度数.
【答案与解析】
1.A(解析:因为BE=4,AE=1,所以AB=5,又因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE=5.)
2.C(解析:由AC⊥BE,AC=EC,CB=CF可知△ABC≌△EFC,又因为把△EFC绕点C按逆时针方向旋转90°,所以
点E落在A点处.)
3.AB与DC,BC与CB ∠A与∠D,∠ABC与∠DCB,∠ACB与∠DBC
4.解:因为∠A=43°,∠B=30°,所以∠AEB=107°,又因为△ABE≌△ACD,所以∠ADC=∠AEB=107°.
5.解:∠ADC=∠AEB.理由如下:因为△AOB≌△AOC,所以∠B=∠C,又因为∠DOB=∠EOC,所以∠BDO=∠CEO,故
∠ADC=∠AEB.
6.解:因为△ADB≌△EDB≌△EDC,所以∠ADB=∠EDB=∠EDC,∠DEC=∠DEB=∠A,又因为
∠ADB+∠EDB+∠EDC=180°,∠DEB+∠DEC=180°,所以∠EDC=60°,∠DEC=90°.在△DEC中,
∠EDC=60°,∠DEC=90°,所以∠C=30°.
1.放开学生的手脚,能够使每个学生都动起手进行分割全等图形,使每个学生都参与,培养了学生的动手
习惯.
2.在设计中关注学生的人文价值和情感态度,强调知识的主动获得,鼓励学生的积极参与和探究信心的
扶植,照顾到学生的年龄特点和已有经验水平,培养学生的主体意识和合作意识.
3.在培优补差方面,注意设计问题的层次性,由浅入深,逐步递进,从简单到复杂,逐渐开放,使不同层次的
学生都有所收获,有所成功,充分体现新课程“面向全体,让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想.分割全等图形的时候只是展示的学生的成果,学生的想法及做法没有完全展现.
充分利用多媒体把抽象的全等图形转化成易懂的知识展现给学生.可以多让学生举例说明生活中的全
等图形.
随堂练习(教材第94页)
1.解:所有大三角形全等,找所有小三角形全等.找对应边和对应角略.
2.解:因为△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,所以∠E=∠B=30°,∠ACE=∠ACB=85°,∠CAE=180°- 30°- 85°=65°(全
等三角形对应角相等).
习题4.5(教材第95页)
知识技能
1.解:全等图形有(1)和(8);(2)和(12);(4)和(9);(5)和(11).
2.解:∠A=∠B,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC.
3.解:因为△ABC≌△A'B'C',所以∠C'=∠C=25°,B'C'=BC=6 cm,A'C'=AC=4 cm.
问题解决
4.解:因为AC=0.2 m,所以BC=2AC=0.4 m,所以BD=7BC=2.8 m.
6.解:如图所示,可任选两种.
把下列各图分成若干个全等图形,请在原图上用虚线标出来.
解:如图所示.【变式训练】
1.把一个正方形划分成四个全等的部分,这个问题对于各位同学来说易如反掌,图(1)和图(2)是小明和小
彬的分划图,但请他们将正方形分成五个全等的部分时,他们一时感到为难,你会吗?
解:如图所示.
2.如图所示,把这个“T”形图形分成四个全等的部分,试试看.
解:如图所示.
3 探索三角形全等的条件
1.掌握三角形全等的“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”条件,了解三角形的稳定性.
2.能熟练运用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”判定两个三角形是否全等以及在日常生活中的运
用.发展学生有条理的表达能力.3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,发展交流能力和语言表
达能力.
1.培养学生动手操作,探索、观察、分析、归纳获得数学结论的过程.
2.培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的过程.
通过多种手段的活动过程,让学生动手操作,激发学生学习的兴趣,并能通过合作交流解决问题,体会数
学在现实生活中的应用,增强学生的自信心.
【重点】 掌握三角形全等的“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”条件.
【难点】 探索“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”定理及利用定理解决实际问题.
第 课时
1.掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性.
2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
使学生在自主探索三角形全等的过程中,经历画图、观察、比较、交流等过程,从而获得正确的学习方
式和良好的情感体验.
培养学生的空间观念,推理能力,发展有条理的表达能力,积累数学活动经验.
【重点】 利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等.
【难点】 利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P97~98.导入一:
[过渡语] 前面我们研究了全等三角形,你还记得什么是全等三角形吗?全等三角形有怎样的性质?(出
示两个全等三角形)
[处理方式] 能够完全重合的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等,对应角相等.
如果△ABC≌△DEF,那么AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
【问题】 我们学校准备制作形状和大小完全一样的三角形彩旗,把任务交给了同学们去完成,你知道
怎么做才能保证这些三角形彩旗的形状和大小完全一样吗?即如何制作和如图的三角形全等的三角形?
[处理方式] 只要把图(1)三角形放在彩色布上,如图(2)所示,然后沿着三角形的边剪下来就可以了.
能否只通过简单的几个条件,就画出与图(1)全等的图形呢?本节课就让我们共同来探索三角形全等的
条件.
[设计意图] 通过问题情境的创设,引入了本课的课题,激发了学生的好奇心和求知欲,调动了学生的学
习积极性,让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课
程标准要求.
导入二:
[过渡语] 小明家新买了房子,他爸爸想装一面三角形的镜子,木工师傅打好了框架,爸爸要去玻璃店裁
一面镜子,就问小明:“你已经是七年级的学生了,你能用最简单的办法去裁一面这样的三角形的镜子吗?”
小明仔细想了想,就对爸爸说出了他的想法.爸爸说他回答得很好,聪明的你知道小明是怎么说的吗?学习了
本节内容你就知道小明是怎样说的了.
[设计意图] 让学生经历将现实问题抽象成数学模型的过程.提出问题让学生思索,诱发新知识.这样就
自然引入了今天的新课,因为它对现实意义有用,所以同学们更会认真去探索这节课的内容.
[过渡语] 如何根据条件来判断两个三角形全等呢?
探究活动1 三角形全等的条件
思路一
【活动内容1】 若只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗?
[处理方式] 多媒体出示:
一画:按照下面给出的一个条件各画出一个三角形.
(1)三角形的一条边长是3 cm;
(2)三角形的一个角为45°.
二剪:把所画的三角形分别剪下来.三比:同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.(通过画一画,剪一剪,比一比的方式,在
小组内进行交流,讨论,形成结论)
学生探究结果展示:
1.只给定一条边画三角形时,不一定全等.画出一边长为3 cm的三角形,但是都不全等.(利用实物展台展
示)
只给定一条边:
2.只给定一个角画三角形时,不一定全等.画出一个角是45°的三角形,也不全等.(利用实物展台展示)
只给定一个角:
结论:只给出一个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.
【活动内容2】 如果给出两个条件,画出的三角形是否全等?
【问题】 给出两个条件,请同学们讨论,画出的三角形有几种情况?(学生分组讨论)
[处理方式] 有三种情况,已知一边一角、两边或两角.
多媒体出示:
一画:
(1)三角形的一个内角为30°,一条边为3 cm;
(2)三角形的两个内角分别为30°和50°;
(3)三角形的两条边分别为4 cm,6 cm.
二剪:把所画的三角形分别剪下来.
三比:同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.
学生探究结果展示:
(1)画出的三角形几乎都不一样.(利用实物展台展示)
显然这三个三角形不全等.
(2)画出的三角形的两个内角分别是30°和50°,画的三角形形状一样,但大小不一样.(利用实物展台展示)
这两个三角形不能完全重合,因此也不全等.
(3)画出的三角形的两边分别为4 cm,6 cm,所画出的三角形也不全等.(利用实物展台展示)
归纳:只给出两个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.[设计意图] 有效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践,自主探究与合作交流是学习数学
的重要方式.在这里一方面引导学生动手去画,另一方面鼓励学生合作交流.既让学生获得知识,培养学生的
合作意识,调动学生的主观能动性,使学生积极主动地参与教学活动,对只有一个或两个条件得不到三角形全
等有更直观的认识;又让学生获得方法,为后继的学习积累经验.
【活动内容3】 如果给出三个条件,画出的三角形是否全等.
【问题】 我们通过画图、观察、比较知道,只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角
形一定全等.那么给出三个条件时,又会怎样呢?有几种情况?(学生讨论、交流)
[处理方式] 四种可能“三个角、三条边、两角一边、两边一角”.
【问题】 已知一个三角形的三个内角分别是40°,60°,80°,画出这个三角形,与同伴比较是否全等.(学
生重复上面的操作过程,一画、二剪,三比)
[处理方式] 通过画图我们发现“三个内角分别相等的两个三角形不一定全等”.
【问题】 如果所给的条件是三条边相等呢?如三角形三条边长分别是4 cm,5 cm,7 cm.
[处理方式] 教师做示范,学生跟着老师一步一步地作图,作完图后,同学之间把作成的三角形剪下来进
行叠合在一起,看是否能够重合,或者把你作的三角形剪下来与老师作的三角形进行叠合在一起,看是否能够
重合,从而得出结论.
画法指导:
1.用刻度尺画线段AB=7 cm.
2.以A为圆心,4 cm为半径作弧.
3.以B为圆心,5 cm为半径作弧,与前弧交于点C.
4.连接AC,BC.
三角形ABC就是所求.
结论:三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”,这就是三角形全等的条件.(板书:
三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”)
{AB=A'B',
在△ABC和△A'B'C'中, BC=B'C',所以△ABC≌△A'B'C'(SSS).
AC=A'C',
[设计意图] 培养学生的合作意识、动手能力,让学生在作图的实践过程中,学会归纳概括,发现三角形
全等的条件,有条理地表达自己的思考过程,并有意识地反思探索过程,获得分析问题的经验.
思路二
【活动内容】
一、想一想.
1.只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况?每种情况下作出的三角形一定全等吗?分别按照下面
的条件做一做.
(1)三角形的一个内角为30°,一条边为3 cm;
(2)三角形的两个内角分别为30°和50°;(3)三角形的两条边分别为4 cm,6 cm.
二、议一议.
如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况?
三、做一做.
1.已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°和80°,你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画
出的进行比较,它们一定全等吗?
2.已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm和7 cm,你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴
画出的进行比较,它们一定全等吗?
[处理方式] 对于只给出一个条件时结论是显而易见的.因此,只需学生想象此时的情况即可,无需实际
画出三角形.当给出两个条件时,学生也不难得出结论,教学中让学生实际去画一画,感受反例的作用.这时学
生发现两个条件都不能使结论成立,那么三个条件呢?引出议一议.由于三个条件的组合较多,所以先让学生
组合一下条件.组合时提醒学生按照一定的顺序、规律进行,不重不漏.让学生在讨论的过程中体验分类的
思想.讨论出结果后,本节课只研究三个角和三条边的情况,也就是做一做.对于已知三个内角的情况,学生能
比较容易地举出反例.而对于已知三边的研究则是本节课的重点,也是难点.由于七年级学生在作图方面没
有太深的基础,所以这里的作图,可以利用一切工具,如:直尺,量角器等.每人完成后,先小组比较,然后全班比
较,根据它们都重合的特点,使学生承认“边边边”的条件.(这里有的学生可能在作图上有困难,如果出现困
难,可以用小木条、细纸条等摆一摆)
[设计意图] 以问题串的形式引导学生逐步深入地思考可以使三角形全等的条件和问题的提出从条件
的由少到多,由简到繁,一步步深入,通过一系列的活动最终得出正确的结论.
探究活动2 知识运用,巩固提升
如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等?试说明理由.
解:△ABC≌△DCB.
理由:在△ABC和△DCB中,因为AB=CD,AC=BD,BC=BC,所以△ABC≌△DCB.
【跟踪练习】(多媒体出示)
如图所示,D,F是线段BC上的两点,AB=EC,AF=ED,要使△ABF≌△ECD,还需要条件 .
生:要使△ABF≌△ECD,根据“SSS”,在△ABF和△ECD中,已满足了AB=EC,AF=ED,只需要BF=CD就可
以了.
生:如果BD=CF,因为BD+DF=CF+DF,所以BF=CD,根据“SSS”,在三角形ABF和三角形ECD中,也满
足了AB=EC,AF=ED,BF=CD,所以△ABF≌△ECD.
得出结论:还需要条件BF=CD或者BD=CF.
[设计意图] 通过两个题,使学生进一步熟悉“边边边”,更重要的是能按照老师的书写格式进行简单
的说理,为八年级学习“证明”打好基础.
探究活动3 三角形稳定性的认识
1.准备若干长度适中的小木条,用其中三根木条钉成一个三角形的框架,它的形状和大小是固定的吗?如
果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗?
2.你能用所学知识解释三角形的稳定性吗?
3.你能举几个应用三角形稳定性的例子吗?
[处理方式] (1)在学生探索完三角形全等的条件“边边边”后,再讨论三角形所具有的性质.
(2)可在课前布置学生制作三角形、四边形等模型,在课堂上现场展示即可.(3)鼓励学生思考三角形为什么具有稳定性,逐步树立推理意识.
(4)最后让学生举几个应用三角形稳定性的例子.
[设计意图] 通过此活动,培养学生的动手能力,在实践操作中对于三角形形状的固定有初步的认识,再
在教学中鼓励学生思考三角形为什么具有稳定性,逐步树立推理意识.在实际操作中培养学生善于观察、乐
于探索的学习品质及与他人合作交流的意识.
[知识拓展] 利用判定方法1(SSS)时,要注意必须满足三边对应相等时,两个三角形全等,只有一边或两
边对应相等的两个三角形不一定全等.
由三条边对应相等的两个三角形全等可知,只有三条边的长度确定了,这两个三角形的大小和形状就确
定了,这就是三角形的稳定性,三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的运用.
1.三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”,这就是三角形全等的条件.
2.三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性.
1.如图所示,已知AD=BC,要使△ABC与△BAD全等,需添加什么条件?请说明理由.
{
BC=AD(已知),
解:添加AC=BD,因为在△ABC和△BAD中, AC=BD(已知), 所以△ABC≌△BAD(SSS).
AB=AB(公共边),
2.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E为AC上的点,BE=DE.试判断:
(1)图中哪些三角形全等?请说明理由;
(2)图中哪些角相等?
解:(1)因为AD=AB,DC=BC,AC=AC,所以△ADC和△ABC全等,因为AD=AB,DE=BE,AE=AE,所以△ADE和
△ABE全等,同理△CDE和△CBE全等.
(2)相等的角有:
∠BAE=∠DAE,∠ABE=∠ADE,∠AEB=∠AED,∠BCE=∠DCE,∠BEC=∠DEC,∠EBC=∠EDC,∠ADC=∠ABC.
3.如图所示,当AB=CD,BC=DA时,图中的△ABC与△CDA是否全等?并说明理由.
{AB=CD,
解:△ABC≌△CDA.理由如下:在△ABC和△CDA中,因为 BC=DA,所以△ABC≌△CDA(SSS).
AC=AC,
4.如图所示,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.{
OA=OC,
解:连接OE,如图所示,在△EAO和△ECO中, EA=CE, 所以△EAO≌△ECO(SSS).所以
OE=OE(公共边),
∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).
第1课时
探究活动1 三角形全等的条件
探究活动2 知识运用,巩固提升
探究活动3 三角形稳定性的认识
一、教材作业
【必做题】
教材第99页习题4.6数学理解第1,2题.
【选做题】
教材第100页习题4.6问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,AC=BD,如果想增加一个有关边相等的条件,就可以直接得到△ABC≌△BAD,那么这个条件是 (
)
A.BC=AD B.AB=BC
C.BD=BC D.AC=BC
2.如图所示的是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂.调整架身,使点A恰
好在重锤线上,AD和BC的位置关系为 .
3.如图所示,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.试说明∠C=∠ A.4.如图所示,AC=AD,BC=BD,AB是∠CAD的平分线吗?说明理由.
【能力提升】
5.如图所示,AB=CD,AD=CB,E,F是AC上两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中共有几对全等三角形?请任选一对
说明理由.
【拓展探究】
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,连接AD.
(1)试判断AD与BC的位置关系,并说明理由;
(2)AD能否平分∠BAC;
(3)请你用简短的语言小结这一结论.
【答案与解析】
1.A(解析:因为AC=BD,AB=AB,BC=AD,所以△ABC≌△BAD(SSS).)
2.AD垂直平分BC(解析:由题意可知△ABD≌△ACD,所以AD垂直平分BC.)
3.解:连接BD.在△ABD和△CBD中,因为AB=CB,AD=CD,BD=BD,所以△ABD≌△CBD.所以∠C=∠A.
4.解:是.由于AC=AD,BC=BD,AB=AB,所以△ABC≌△ABD(SSS),所以∠CAB=∠DAB,即AB平分∠CAD.
5.解:3对,分别是△ABC≌△CDA,△ABF≌△CDE,△ADE≌△CBF.选择△ABC≌△CDA,理由:因为
AB=CD,AC=AC,CB=AD,所以△ABC≌△CDA.
6.解:(1)AD⊥BC.理由:因为D为BC的中点,所以BD=DC,又因为AD=AD,AB=AC,所以△ABD≌△ACD,所以
∠ADB=∠ADC=90°.所以AD⊥BC. (2)由(1)知△ABD≌△ACD,所以∠BAD=∠CAD,即AD能平分∠BAC. (3)等
腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合,即等腰三角形三线合一.让学生花费足够的时间去探索三角形全等的条件,充分经历实践探索交流全过程有着重要的价值,而不
能省略其中的一个或多个步骤.在探索三角形全等的“边边边”条件的过程中,目标是明确的,问题是开放
的,思维是发散的,操作是自由的,结论是待定的.
课堂教学活动时间分配有不合理的地方,达标检测有待细化.
本节课教学内容比较丰富,具体操作时间相对比较紧张,对教学环节恰当的调控可以有效地完成本节课
的教学目标,如果课上进行的较慢,则可以适当地删减课内的一部分习题,着重于知识理论的建立.
习题4.6(教材第99页)
数学理解
1.解:(1)不能,因为三角形具有稳定性. (2)四边形的形状改变了;五边形的形状也改变了. (3)这种现象说明
只有三角形具有稳定性,而四边形、五边形等没有.
2.解:不一定全等.因为三边长不一定相等.
问题解决
3.提示:根据“SSS”和全等三角形的对应角相等即可说明每一步成立的理由.
本节课我主要采用“探究式教学”和“启发式教学”的教学方法,引导学生采用动手实践、自主探索、
合作交流的学习方法进行探索知识;利用分类思想引导学生画图、观察、比较、推理、交流,在条件由少到
多的过程中逐步探索出最后结论.
第 课时
1.经历探索三角形全等条件的过程,并掌握三角形全等的“角边角”与“角角边”条件.
2.能熟练运用“ASA”和“AAS”判定两个三角形是否全等以及在日常生活中的运用.发展学生有条
理的表达能力.
1.培养学生动手操作、探索、观察、分析、归纳获得数学结论的过程.
2.培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的过程.通过多种手段的活动过程,让学生动手操作,激发学生学习的兴趣,并能通过合作交流解决问题,体会数
学在现实生活中的应用,增强学生的自信心.
【重点】 掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
【难点】 能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P100~101.
导入一:
[过渡语] 我们已学过判别两个三角形全等至少需要几个条件?已经通过验证判别三角形全等的简便
方法是什么?
1.已知AB=DC,AC=DB,那么∠A与∠D相等吗?
2.已知AC=AD,BC=BD,试说明AB是∠DAC的平分线.
[处理方式] 问题1,2由学生口答完成.
[设计意图] 既复习了全等三角形的“SSS”的识别方法,又唤起学生对新知识探索学习的渴望,引发
学生兴趣,从而提高学生学习的热情.
3.创设情境.
有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形
状、大小和原来的一样吗?
【思考】 判别三角形全等是不是还有其他方法呢?
[处理方式] 这个问题让学生议论后回答,他们的答案或许只是一种感觉,于是教师引导学生,抓住问题
的本质:已知三角形的三个元素——两个角一条边.
[设计意图] 本环节既交代了本节课要研究和学习的主要问题,又能较好地激发学生求知与探索的欲
望,让学生通过观察思考,对三角形全等条件的探索有一个感性认识.通过精心设计的问题串和系列活动,不
断地制造思维兴奋点,再加上学生在学习过程中的动手操作活动,让学生脑、嘴、手动起来,充分调动了学生
的学习积极性,达到事半功倍的教学效果.
导入二:
活动1:我们已学过识别两个三角形全等的简便方法是什么?识别三角形全等是不是还有其他方法呢?活动2:由前面的学习我们知道,如果给出一个三角形三条边的长度,那么由此得到的三角形都是全等的.
如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?每种情况下得到的三角形都全等吗?
[处理方式]
1.营造良好氛围,激发学生好奇心,引导学生快速进入状态.
2.启发引导学生思考分析,从多个角度展开联想.根据老师提出的问题,联想前面学过的知识,积极思考,
探求新知.
[设计意图] 既复习了全等三角形的“SSS”的识别方法,又唤起学生对新知识探索学习的渴望,引发
学生兴趣,从而提高学生学习的热情.
[过渡语] 如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?每种情况下得到的三角形都
全等吗?
探究活动1 角边角和角角边的探索
思路一
【活动内容1】 (多媒体出示)让学生拿出提前准备好的60°角,80°角和2 cm的线段,以小组为单位,进
行操作拼接成三角形,再进行对比,看一看组成的三角形是否全等.
[处理方式] 让学生动手操作.以分组讨论的形式得出三角形全等的条件.这样我们便巩固了知识,并培
养学生的动手能力,在讨论活动中让学生得到友情的陶冶,培养学生的动手操作能力,收到了良好的效果,先
由学生代表回答,最后老师总结三角形全等的另外一种简便的识别方法.
教师板书:如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“角边
角”或简记为“ASA”
用符号语言表示为:
{∠E=∠B,
在△ABC和△DEF中, BC=EF,
∠C=∠F,
所以△ABC≌△DEF(ASA).
[设计意图] 通过实践操作,使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两角和它们的夹边
对应相等的两个三角形全等,让他们尝到成功的喜悦.让学生懂得数学就来自于我们的生活,体会到数学与
我们生活的联系.让学生逐步深入,符合学生的认知规律.培养学生的创新精神,增强学生的合作意识.
【活动内容2】 让学生拿出提前准备好的60°角,45°角和3厘米的线段,以小组为单位,进行操作拼接
成三角形.
(1)如果60°角所对的边是3 cm,所组成的三角形是否全等?
(2)如果45°角所对的边是3 cm,所组成的三角形是否全等?
[处理方式] 学生以小组为单位进行作图,若遇到困难,小组内讨论.作图后组员之间,小组之间进行对比.
对有困难的小组教师可适当引导,进行点拨.引导学生借助类比及转化的思想将问题转化为第一种情况,即:两角及夹边的问题,作图对比后结论先由学生代表回答,最后老师总结三角形全等的另外一种简便的识别方
法.
教师板书:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写
成“角角边”或简记为“AAS”.
用符号语言表示为:
{∠E=∠B,
在△ABC和△DEF中, ∠C=∠F,
AB=DE.
所以△ABC≌△DEF(AAS).
[设计意图] 通过学生实践,自主探究、合作交流,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究
三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力,提高他们归纳知识的能力和语言组织能力、表达能力.
思路二
活动1:“角边角”.
(1)已知三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边为2 cm,你能画出这个三角形吗?你画的三角
形与同桌画的一定全等吗?
[处理方式] 动手操作:测量、画三角形.同学们交流一下画这个三角形的步骤.
1.先画出BC=2 cm,然后画∠B=60°,最后画∠C=80°.
2.先画出∠B=60°,然后画BC=2 cm,最后画∠C=80°.
同学把画出的三角形剪下来,与同小组比较,看是否重合.
(惊奇、新奇地回答)我们组画出的三角形都全等.
(投影片展示两位学生的作品)
归纳“角边角”.(投影展示“角边角”)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.
用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,
因为∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F.
所以△ABC≌△DEF(ASA).
活动2:“角角边”.
让学生拿出提前准备好的60°角,45°角和3厘米的线段,以小组为单位,进行操作拼接成三角形.
(1)如果60°角所对的边是3 cm,所组成的三角形是否全等?(2)如果45°角所对的边是3 cm,所组成的三角形是否全等?
组员之间,小组之间进行对比.
[处理方式] 动手操作:测量、画三角形.同学们交流一下画这个三角形的步骤.
1.先画出AB=3 cm,然后画∠B=45°,最后画∠C=60°.
2.我在画∠C=60°时不好处理了,C点距离B点多远才能使∠C=60°时,AB的长度还是3 cm?
3.我认为这样不好画出三角形来,可以先由三角形内角和求出∠A=45°,就变成了“两角及夹边”的情境
了,按照刚才的画法就画出三角形了(把画出的三角形剪下来,与同小组比较).画出的三角形全等(投影片展示
两位学生的作品).你又能得出什么结论?
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,
因为∠B=∠E,∠A=∠D,BC=EF,所以△ABC≌△DEF(AAS).
[设计意图] 把发现全等条件的权力还给学生,让学生动手画图、对比、合作和转化,使每一个学生充
分参与探索三角形全等条件,感受发现的乐趣,学生的记忆才更深刻,同时也提高他们归纳能力、组织能力、
表达能力和转化思想.为了让学生尽快画出三角形,我先出示了未来画出三角形的模样,同时也为了学生讨
论的方便.几何语言的给出,规范了学生解题的过程.
探究活动2 例题解析,应用新知
[过渡语] 我们能够判断两个三角形全等的方法又多了两种,你能顺利找出下图中全等三角形吗?请同
学们用1分钟的时间观察例题图中的两个三角形的信息,想一想,两个三角形全等吗?理由是什么?(多媒体出
示例题)
如图所示,AB与CD相交于点O,O是AB的中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗?为什么?
[处理方式]
1.教师多媒体出示.然后巡视、点拨(两个三角形全等需要三个条件),通过读题思考你发现在△AOC和
△BOD中有哪些边或角相等吗?它们能不能构成我们学过的“SSS”“AAS”“ASA”呢?
2.学生则在老师的引导下积极思考并回答问题.建议学生先独立思考,自主解答,然后再在小组内交流、
讨论.
3.学生在讨论交流后,各小组推选代表展示讨论成果,取长补短,优化推理.
4.教师在学生充分讨论交流的基础上,板书示范,规范答题.
解:△AOC≌△BOD.
理由是:因为O是AB的中点,
所以AO=BO.
在△AOC和△BOD中,
{
∠A=∠B,
AO=BO,
∠AOC=∠BOD.
所以△AOC≌△BOD(ASA).[设计意图] 通过对例题的探究解决,使学生能在具体题目中,掌握三角形全等的条件“角边角
(ASA)”“角角边(AAS)”的使用,并能运用相应的条件进行有条理的思考并进行简单的推理,也通过这道例
题规范解题格式.
[知识拓展] 在利用“SSS”“ASA”“AAS”三种方法判定两个三角形全等时要注意什么?
1.判定两个三角形全等的条件一定要具备三对“对应相等”.
2.要判定两个三角形全等时,边和角“对应相等”,而不是“分别相等”.即:两个三角形中相等的边和角
必须有相同的顺序.
3.注意题目中隐含的条件,如:公共边.
结合今天所学知识,把新旧知识的方法形成系统进行归纳总结填入表中如下:
判别方法 条件 结论 作用
证明两个三 证明角相等,
SSS 三边对应相等
角形全等 线段相等
证明两个三 证明角相等,
ASA 两角和夹边对应相等
角形全等 线段相等
两角和其中一角的对边 证明两个三 证明角相等,
AAS
对应相等 角形全等 线段相等
1.今天主要学习了:
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(2)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
2.这些重要内容中主要体现了哪些思想方法呢?
(1)用类比、转化的思想学习新的内容.
(2)用实验、分析、归纳的方法解决数学问题.
1.如图所示,AB∥DE,CD=BF,若要使△ABC≌△EDF,还需补充的条件是 .(任填一个即可)
解析:因为AB∥DE,所以∠D=∠B,又因为CD=BF,所以FD=BC,所以要△ABC≌△EDF,只需再加∠A=∠E或
∠ACB=∠DFE.故填∠A=∠E.(答案不唯一)
2.某人不慎将一块三角形的玻璃打碎为A,B,C三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最
省事的方法是带碎片中的 块去.
答案:C
3.如图所示,已知∠1=∠2,∠ABC=∠DCB,那么△ABC和△DCB全等吗?
{
∠2=∠1,
解:在△ABC和△DCB中, BC=BC, 所以△ABC≌△DCB(ASA).
∠ABC=∠DCB,4.如图所示,∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗?为什么?
{∠BAC=∠DAE,
解:△ABC≌△ADE.理由是:因为∠1=∠2,所以∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中, ∠C=∠E, 所
AB=AD,
以△ABC≌△ADE(AAS).
第2课时
探究活动1 角边角和角角边的探索
探究活动2 例题解析,应用新知
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第102页习题4.7知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第102页习题4.7问题解决第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在△ABC和△DCB中,给出哪些条件可以使△ABC和△DCB全等?
2.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,那么AB=AC吗?为什么?
3.如图所示,AB∥CD,AE=CF,试说明AB=CD.【能力提升】
4.如图所示,∠B=∠C,AD=AE,试说明CD=BE.
5.(2015·温州中考)如图所示,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)试说明AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
【拓展探究】
6.如图所示,AB=CD,AD=BC,O是BD中点,过O点的直线分别交DA和BC的延长线于E,F.试说明AE=CF.
【答案与解析】
{∠ACB=∠DBC,
1.解:在△ABC和△DCB中, ∠A=∠D, 所以△ABC≌△DCB(AAS).方法不唯一.
AB=DC,
2.解:AB=AC.理由:因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠DAC,又因为∠B=∠C,AD=AD,所以
△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC.
{
∠A=∠C,
3.解:因为AB∥CD,所以∠A=∠C.在△AEO和△CFO中, ∠AOE=∠COF,所以△AEO≌△CFO(AAS).所以
AE=CF,
EO=FO(全等三角形对应边相等).同理可证△BEO≌△DFO(AAS).所以EB=DF(全等三角形对应边相等).所以
AE+EB=CF+DF,即AB=CD.
{∠A=∠A,
4.解:在△ABE和△ACD中, ∠B=∠C,所以△ABE≌△ACD(AAS),所以CD=BE(全等三角形对应边相等).
AE=AD,{∠A=∠D,
5.解:(1)因为AB∥CD,所以∠B=∠C,在△ABE和△DCF中, ∠B=∠C,所以△ABE≌△DCF(AAS),所以
AE=DF,
AB=CD. (2)由(1)知△ABE≌△DCF,所以AB=CD,BE=CF,因为AB=CF,所以AB=BE,所以△ABE是等腰三角形,
1
因为∠B=30°,所以∠D= ×(180°- 30°)=75°.
2
6.解:因为AD=BC,AB=CD,BD=DB,所以△ADB≌△CBD,所以∠ADB=∠CBD,所以AD∥BC,所以
∠E=∠F,∠EDO=∠FBO.因为OB=OD,所以△DOE≌△BOF(AAS),所以DE=BF.又因为DA=BC,所以DE- DA=BF-
BC,即AE=CF.
本节课采用探究操作教学法进行教学,充分发挥学生的主体作用.在课堂上,鼓励学生经历观察、操作、
推理、想象等活动,培养学生有条理的思考、表达和交流的能力,尽量让学生多动手操作,在操作的过程中,
让学生进行小组合作学习,在合作操作的过程中潜移默化地渗透分类讨论和归纳的数学思想方法,让学生自
得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理.同时,通过范例和练习培养提高学生解答几何问题的书写格式和
应用能力.
前面动手操作探究的时间有点长,以至于后面的练习时间较少,教师没有充分地发现学生解题过程中存
在的问题.
合理搭配时间,及时地发现和指导学生学习中存在的问题.加强两个判定条件的学生操作过程,让学生
在操作的过程中领会判定三角形全等的条件.
习题4.7(教材第102页)
知识技能
1.解:全等.理由如下:因为两个三角形的第三个角都等于35°,根据“ASA”或“AAS”,即可说明两个三角形
全等.
2.解:有三对相等的角,这两个三角形全等.理由如下:根据“AAS”或“ASA”可以判定全等.
{∠B=∠E,
3.解:△BCD≌△EFD.理由如下:因为D是线段BE的中点,所以BD=ED.在△BDC和△EDF中, ∠C=∠F,所
BD=ED,
以△BDC≌△EDF.(答案不唯一)
问题解决
4.解:可以,带有两个角的一块去合适.理由如下:根据“ASA”可以判定全等.如图所示,∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,E为AC和BD的交点,△ADB和△BCA全等吗?说明理由.
解:△ADB≌△BCA.
因为∠DBA=∠CAB,∠C=∠D,AB=BA(公共边),所以△ADB≌△BCA(AAS).
[解题策略] 由AAS来判定两个三角形全等.
第 课时
1.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳,获得数学结论的过程,发展交流能力和语言表
达能力.
2.通过分组画图比较,得出三角形全等条件“边角边”,并能够利用这一条件判定两个三角形全等,同时
会用数学语言说明理由.
1.在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
2.通过画图、思考、探索来激发学生学习的积极主动性,并使学生获得一些研究问题的经验和方法,发
展实践能力与创新精神.
在解决问题中发现问题,通过交流解决问题,互相启发,互相受益,在活动过程中体会结论的客观真实性,
感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,初步培养学生依据已知条件分析问题、解决问
题的良好习惯.
【重点】 掌握全等三角形的条件“边角边”,并能应用它来判定两个三角形全等.
【难点】 探索“边角边”及利用其解决实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P102~103.导入一:
[过渡语] 在前两节课的讨论中,我们知道:只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形
一定全等.给出三个条件时,有四种可能出现的情况,想一想,是哪四种呢?
【活动内容1】
1.我们学过的三角形全等的条件有 , , .
“ASA”中“S”指 ;“AAS”中“S”指 .
2.如图所示,请填空:
(1)若AB=AC,请添加一个条件 ,使△ABD≌△ACD,根据是 .
(2)若∠BAD=∠CAD,请添加一个条件 ,使△ABD≌△ACD,根据是 .
[处理方式] 学生口答,一起回忆判定三角形全等的三种方法.
[设计意图] 通过活动使学生能很快进入课堂角色.培养学生善于总结、善于反思的学习品质,并在此
过程中培养学生勇于探索的精神.为学生在已有的经验基础上很快说出“已知两边及一角有两种情况,分别
是:两边夹角和两边及一边的对角”.这样也就为本课时的学习做好了铺垫.
【活动内容2】 如图,小颖作业本上画的三角形被墨迹污染,她想画出一个与原来完全一样的三角形,
她该怎么办呢?利用我们已经学过的知识你能帮帮小颖吗?
由图可知:只知道三角形的两边及一角,有几种可能的情况呢?每种情况下得到的三角形都全等吗?
[处理方式] 通过小组讨论,明确两边及一角的情况,就此三个条件找出分为两类,并对每类的情况进行
解释说明.
[设计意图] 让学生从生活实际出发,创设让学生感兴趣的情境,让全体学生以积极姿态,自主参与到学
习过程,使学生充分体会到学习数学的乐趣,从而打开了学习的大门,在课堂中用学生找到的问题作为突破口,
极大地激发了学生的学习积极性和主动性.同时也让学生的潜能得到发挥与拓展.
导入二:
【问题】 如图,有一池塘,要测量池塘两端A,B的距离,可是没有办法直接量取.小明想了个办法:先在
池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C,连接AC并延长至D点,使DC=AC.连接BC并延长至E点,使
EC=BC,连接ED,用米尺测出DE的长,这个长度就等于A,B两点的距离.你认为小明说得有道理吗?谈谈你的
看法.[处理方式] 让学生思考、交流,但不需学生此处解决.部分学生应该会联想到利用三角形全等来解释
该问题,但通过分析已知条件,回顾前两个课时的学习内容,显然该问题不是应用“三边”或“两角一边”的
判定方法来解决三角形全等,从小明同学的方案来看,他所构造的条件应该是“两边一角”的情况;有的学生
通过预习会想到利用“边角边”来解决.对于第二类学生,教师要给予表扬,表扬原因是能养成预习的习惯,
希望其他学生向这部分学生学习.
[设计意图] 利用实际问题的探索解决,来创设情境激发学生的求知欲望,使学生亲身体验和感受分析
问题、解决问题的全过程,从而培养使用数学的意识、探索精神和实际操作能力.
[过渡语] 大家想一想:如果已知一个三角形的两边及一角,那么能否证明两个三角形全等呢?
探究活动1 边角边的探索
思路一
活动1:两边及其夹角
做一做:如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形的两条边分别为2.5 cm,3.5 cm,它们
的夹角为40°,你能画出这个三角形吗?你画出的三角形与同伴画的一定全等吗?
改变上述条件中的角度和边长,再试一试.
[处理方式] 学生展开自主学习,在练习本上画出三角形,可以采取量其他边、角,通过以前学过的方法
判断全等或者把三角形撕下来放在一起叠合得到全等.然后改变角度和边长,再次验证在已知两边和夹角的
情况下所得到的三角形是全等的.
结论:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简称“边角边”或“SAS”.
几何语言:
{
AB=DE,
在△ABC和△DEF中, ∠B=∠E,所以△ABC≌△DEF.
BC=EF,
[设计意图] 通过学生自己动手去画、剪纸、变换等一系列活动获得三角形全等的条件,让学生在做
中感受和体验,在做中主动获取数学知识,学会用符号表示三角形的全等,培养学生自学、观察、分析能力及
归纳总结的能力.
活动2:两边及其中一边的对角
议一议:如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角.比如两条边分别为2.5 cm,3.5 cm.长度为
2.5 cm的边所对的角为40°,情况会怎样呢?
小明和小颖按照所给条件分别画出了下图中的三角形,由此你发现了什么?与同伴进行交流.[处理方式] 此处要让学生举出反例是非常困难的,因此让他们在画图中体会,通过对比、讨论探索不
同.最后,引导得到如下结论:两边及其中一边的对角对应相等时,两三角形不一定全等.与活动1相结合最终
可以让学生认识到:只有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
[设计意图] 在探索三角形全等的条件这一重要内容上,设计了一系列的如:画图、剪纸、制作、猜想
等各种形式的数学活动,让学生在做中感受和体验,在做中主动获取数学知识,感悟三角形全等的数学本质,
归纳和明晰三角形全等的条件.培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力.使学生完整地经历猜
想——动手操作——总结结论的活动过程,深刻体会到实践可以为科学合理地判断决策问题提供有力依据.
思路二
【活动内容1】
“两边及一角”情形1两边及其夹角.
问题1
学生按要求画图:已知三角形的两边分别为5 cm,6 cm,它们的夹角为60°.利用量角器、直尺、三角板
等工具画三角形,要求画出的三角形尽可能准确,减少误差.
问题2
把你画的三角形与同伴画的三角形剪下后比较,观察它们是否完全重合.你们得到了什么结论?
问题3
改变上述条件中的边长和角度,是否得到同样的结论?试着用自己的语言叙述.(多媒体出示)
[处理方式] 让学生独立完成画图,老师巡视进行指导和收集学生的问题,画完后剪下与小组同学叠在
一起,观察是否重合(问题1重合);然后同学之间改变上述条件中的边长和角度画出三角形,是否得到同样的
结论?最后试着用自己的语言描述得到的结论“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”并理解记忆.
[设计意图] 让学生自己画图,有的不知从何处画起,不但浪费时间,而且还没成果,而在老师口述步骤前
提下,学生知道怎样画图,这样不但能节省时间,而且能达到学习的目的,画出符合要求的图形,这样才能研究
画出的三角形是否全等.通过画图、剪拼、观察比较,培养学生有条理地表达自己的思考过程,学会与他人
交流自己的成果,体会数学结论形成的过程.
【活动内容2】
问题1
按要求作图:以2.5 cm,3.5 cm为边,2.5 cm的边所对的角为50°.(学生独立画图)
问题2
把你画的三角形与同伴画的三角形剪下后比较,你发现了什么?(多媒体出示)
问题3
由上面的探究,你能得到什么结论?
[处理方式] 在活动1的基础上,此活动让学生自己按要求画图.有的学生可能画不出来三角形,允许他
们讨论、交流怎样画满足要求的三角形以及满足要求的三角形是否全等.教师走到学生中间巡视、倾听,从
中发现存在的问题、见解等.有的学生确实画不出三角形时,教师再用自制教具演示.(学生画出的三角形形
状有2种,如图)
学生得出问题2的结论:两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.
最后学生由上面的探究,得到(板书):
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”.[设计意图] 让学生分组画图、比较,充分地相互探讨、交流,通过实际操作感受此图形的不确定性,真
正体会和理解该结论的错误,而无需从教师口中得出理由,这样既可以更好地培养学生对这一问题作出正确
判断、合理决策的能力,也使学生完整地经历动手操作、总结结论的活动过程,深刻体会到实践可以为科学
合理地判断、决策问题提供有力依据.
探究活动2 例题解析,应用新知
填空:
如图所示,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个
条件,一是AD=CB(已知),二是 ,还需要一个条件 .
答案:AC=AC AD∥BC
如图所示,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边证明△ABD≌△ACE,需要满足的三个条件中,
已具有两个条件: , ,还需要一个条件是 (这个条件可以证得吗).
解:AB=AC AD=AE ∠DAB=∠EAC
因为∠1=∠2,所以∠1+∠EAB=∠2+∠EAB,即∠DAB=∠EAC.
已知AD∥BC,AD=CB,AE=CF(如图所示).说明△ADF≌△CBA.
解:因为AD∥BC,
所以∠DAF=∠BCE,
又因为AE=CF,所以AF=CE,
在△ADF与△CBE中,
{
AF=CE,
∠DAF=∠BCE,
AD=BC,
所以△ADF≌△CBE(SAS).
[处理方式] 让三名中上等的学生主动到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨.学生
完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.
[设计意图] 例1的设计主要是直接利用三角形全等的条件,让学生体会三角形全等的条件可以是好
几个,对学生进行发散思维训练和敢于尝试书写过程的勇气和信心的训练,为以后几何思路的寻找作准备.
通过巩固练习加深对知识的理解与应用.
[知识拓展] SAS判定两个三角形全等,这一判定方法是“两边及它们的夹角”,绝不能认为是“两边
和任意一角”.1.两边及其夹角判定两个三角形全等:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简称“边角边”
或“SAS”.
2.两边及其中一边的对角对应相等时,两三角形不一定全等.
1.填空:
(1)如图所示,已知AO=DO,∠AOB与∠DOC是对顶角,还需补充条件: ,就可根据“SAS”说明
△AOB≌△DOC;
(2)如图所示,已知∠AOB与∠DOC是对顶角,还需补充条件 和 ,就可说明△AOB≌△DOC.
答案:(1)OB=OC (2)∠A=∠D AO=DO或∠B=∠C AO=DO或∠A=∠D BO=CO或∠B=∠C BO=CO
2.如图所示,已知∠B=∠DEF,BC=EF,现要说明△DEF≌△ABC.
若要以“SAS”为依据,还缺条件 ;
若要以“ASA”为依据,还缺条件 ;
若要以“AAS”为依据,还缺条件 .
答案:AB=DE ∠DFE=∠ACB ∠A=∠D
3.如图所示,AB=AC,AE平分∠BAC.试说明∠DBE=∠DCE.
解:因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠CAE.又因为AB=AC,AE=AE,所以△ABE≌△ACE(SAS),所以
∠ABE=∠ACE.因为∠BAD=∠CAD,AB=AC,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(SAS),所以∠ABD=∠ACD.因为
∠DBE=∠ABE- ∠ABD,∠DCE=∠ACE- ∠ACD,所以∠DBE=∠DCE.
4.如图所示,∠B=∠E,AB=EF,BD=EC.
(1)△ABC与△FED全等吗?为什么?
(2)AC∥FD吗?为什么?解:(1)因为BD=EC,所以BC=DE,因为∠B=∠E,AB=EF,BC=DE,所以△ABC与△FED全等. (2)由(1)知
△ABC与△FED全等,所以∠ACB=∠EDF,所以∠ACD=∠FDC,所以AC与FD平行.
第3课时
探究活动1 边角边的探索
探究活动2 例题解析,应用新知
一、教材作业
【必做题】
教材第104页习题4.8数学理解第2题.
【选做题】
教材第104页习题4.8问题解决第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2014·深圳中考)如图所示,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列条件后无法说明△ABC≌△DEF
的是 ( )
A.AC∥DF B.∠A=∠D
C.AC=DF D.∠ACB=∠F
2.如图所示的为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断与
△ACD全等的三角形是 ( )
A.△ACF B.△ADE
C.△ABC D.△BCF
3.如图所示,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是 ( )
A.∠BAC=90° B.BD=DC
C.∠B=45° D.AB=BC4.(2014·漳州中考)如图所示,点C,F在线段BE上,BF=EC,∠1=∠2,请你添加一个条件,使△ABC≌△DEF,并加以
说明.(不再添加辅助线和字母)
【能力提升】
5.如图所示,∠1=∠2,BD=CD,试说明AD是∠BAC的平分线.
6.如图所示,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.试说明∠3=∠4.
【拓展探究】
7.(2015·杭州中考)如图所示,△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,
AM=2MB,AN=2NC,试说明DM=DN.
8.如图所示,点C是AB中点,CD∥BE,且CD=BE,试探究AD与CE的关系.
【答案与解析】
1.C(解析:因为AB=DE,∠B=∠DEF,所以添加AC∥DF,得出∠ACB=∠F,即可说明△ABC≌△DEF,故A,D都正确;当
添加∠A=∠D时,根据ASA,也可说明△ABC≌△DEF,故B正确;但添加AC=DF时,SSA不能说明△ABC≌△DEF,
故C不正确.故选C.)
2.B(解析:根据图可知△ACD和△ADE全等,理由是:因为根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,所以
△ACD≌△AED,即△ACD和△ADE全等.故选B.)
3.B(解析:因为BD=CD,∠BDA=∠CDA,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(边角边).){AC=DF,
4.解:AC=DF.理由:因为BF=EC,所以BF- CF=EC- CF,所以BC=EF,在△ABC和△DEF中, ∠1=∠2,所以
BC=EF,
△ABC≌△DEF.(答案不唯一)
{
BD=CD,
5.解:因为∠1=∠2,所以180°- ∠1=180°- ∠2,所以∠ADB=∠ADC.在△ADB和△ADC中, ∠ADB=∠ADC,
AD=AD,
所以△ADB≌△ADC(边角边),所以∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线.
{
AC=AB,
6.解:因为∠1=∠2,所以∠1+∠BAC=∠2+∠BAC,即∠EAC=∠DAB,在△AEC和△ADB中, ∠EAC=∠DAB,
AE=AD,
所以△AEC≌△ADB(SAS),所以∠3=∠4.
2 2
7.解:因为AM=2MB,AN=2NC,所以AM= AB,AN= AC.又因为AB=AC,所以AM=AN.因为AD平分∠BAC,所
3 3
以∠MAD=∠NAD.又因为AD=AD,所以△AMD≌△AND(SAS),所以DM=DN.
8.解:因为C是AB的中点(已知),所以AC=CB(线段中点的定义).因为CD∥BE(已知),所以∠ACD=∠B(两直线
{
AC=BC,
平行,同位角相等).在△ACD和△CBE中, ∠ACD=∠B,所以△ACD≌△CBE(SAS).所以∠A=∠BCE.故
CD=BE,
AD∥CE(同位角相等,两条直线平行).
本节课采用探究操作教学法进行教学,充分发挥学生的主体作用.在课堂上,鼓励学生经历观察、操作、
推理、想象等活动,培养学生有条理的思考、表达和交流的能力,尽量让学生多动手操作,在操作的过程中,
让学生进行小组合作学习,在合作操作的过程中潜移默化地渗透分类讨论、归纳的数学思想方法,让学生自
得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理.同时,通过范例和练习培养学生解答几何问题的书写格式和应用
能力.
前面动手操作探究的时间有点长,以至于后面的练习时间较少,教师没有充分地发现学生解题过程中存
在的问题.
合理搭配时间,及时地发现和指导学生学习中存在的问题.要注意给学生留有充分的探索空间,在独立
思考后,让学生交流,用自己的语言表达,发展推理能力.
随堂练习(教材第103页)
1.解:(1)△ABC≌△EFD,根据“SAS”. (2)△ADC≌△CBA,根据“SAS”.
2.解:因为根据“SAS”,可以得到△EDH≌△FDH,所以EH=FH.习题4.8(教材第104页)
知识技能
{
AC=AD,
1.解:△ACE≌△ADE,△ACB≌△ADB.理由如下:因为 ∠CAE=∠DAE,所以△ACE≌△ADE(SAS).因为
AE=AE,
{
AC=AD,
∠CAB=∠DAB, 所以△ACB≌△ADB(SAS).
AB=AB,
数学理解
{
AB=AD(已知)
2.解: ∠BAC=∠DAE(已知) △ABC≌△ADE(SAS) ∠B=∠D(全等三角形的对应角相等).
AC=AE(已知)
问题解决
3.解:首先画一个角等于图中的角,然后在角的两边上截取与原三角形两边分别相等的线段,最后连接这两条
线段的端点.
4.解:三个三角形全等(根据“SAS”);△HIJ的三边相等(全等三角形的对应边相等).
如图所示,已知AB=AC,BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.
错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,
在△ABE和△ACD中,
因为AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,所以△ABE≌△ACD(SAS).
正解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,
因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.
在△ABE和△ACD中,
因为AB=AC,∠B=∠C,BE=CD,
所以△ABE≌△ACD(SAS).
【易错辨析】 错解不符合三角形全等的识别方法.
[解题策略] 正确由SAS来判断两个三角形全等.
4 用尺规作三角形1.掌握尺规作图的方法及一般步骤.
2.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形.
3.经历尺规作图实践操作过程,训练和提高学生的尺规作图的技能,能根据条件作出三角形.
能依据规范作图语言作出相应的图形,在实践操作过程中,逐步规范作图语言.
通过与同伴交流作图过程和结果的合理性,体会对问题的说明要有理有据.
【重点】 经历尺规作图实践操作过程,训练和提高学生的尺规作图的技能,能根据条件作出三角形.
【难点】 能依据规范的作图语言,作出相应的图形,在实践操作过程中,逐步规范作图语言.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 直尺、三角板、圆规.
导入一:
[过渡语] 从前,为了展示谁的逻辑思维能力更强,古希腊人限制了几何作图的工具,结果一些普通的画
图题,让数学家苦苦思索了2000年.可见,尺规作图有着特有的魅力,使无数人沉湎其中.在几何作图中,我们
把用没有刻度的直尺和圆规作图,简称为尺规作图.
问题1
尺规作图的工具是 .
问题2
我们已经会用尺规作哪些几何图形?
[处理方式] 学生独立思考,回忆尺规作图的工具,直尺和圆规.掌握已学过的尺规作图,作一条线段等于
已知线段,作一个角等于已知角……
[设计意图] 基础知识复习,有利于学生衔接新旧知识,形成清晰的知识脉络.
[过渡语] 很好!我们学过了全等三角形,你会利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等吗?
[设计意图] 由此激发学生学习新知的欲望,从而揭示课题.
这就是今天我们要一起探究的用尺规作三角形.
导入二:[过渡语] 我们已经学习了作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角这两种作图.那么除了这
些以外,还可以用尺规作哪些基本图形?
1.尺规作图的基本工具是 和 .
2.用尺规作图的步骤有: 、 、 .
3.如图:已知:线段a.求作:一条线段,使它等于a.
作法:
(1)作射线 ;
(2)在射线上截取 = ,则线段 就是所求作的线段.
4.如图所示,已知∠AOB.求作:一个角,使它等于∠AOB.
作法:
(1)作射线 ;
(2)以O为 ,以任意长为 画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以O'为 ,以 的长为半径画弧,交O'A'于点C';
(4)以点C'为圆心,以 的长为半径画弧,交前弧于点D';
(5)过D'作射线 .则∠ 就是所求作的角.
5.组成三角形的基本元素是 和 .
6.两个三角形全等的条件是:
① (简记为 ).
② (简记为 ).
③ (简记为 ).
④ (简记为 ).
[设计意图] 让学生知道圆规和直尺在作图中的作用,通过简单导学案,回顾作线段和作角,进一步熟悉
尺规作图的过程及其步骤,为本节课的学习作好铺垫.
[过渡语] 若已知三角形的两边及其夹角,如何求作这个图形呢?
探究活动1 已知三角形的两边及其夹角,求作三角形
思路一
已知:线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
[处理方式]
①在作图之前可先在练习本上画出所求作三角形的草图,在图上标出已知条件再作图.从图中可知是两
边及夹角,所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条,然后以所作的线段为角的一边,它的一端点为角的
顶点作角.使这个角等于已知角,再在角的另一边截取已知线段的另一条,最后连接,组成三角形.(还有其他方
法同学们探究)
②把自己作的三角形和小组内其他同学所作的三角形重叠比较,看是否一样大.
③用 证明两个三角形全等.
【展示成果】 教师作图,生叙述作图步骤并用尺规模仿教师进行作图.
1.作一条线段BC,使BC=a.2.以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α.
3.在射线BD上截取线段BA=c.
4.连接AC.
△ABC就是所求作的三角形.
提问:将你所作的三角形与同伴作的三角形进行比较,它们全等吗?为什么?
【思考】 全等,因为作的三角形与同桌所作的三角形有两边和它们的夹角分别相等.
提问:同学们,还有没有其他的作法呢?
【思考】 有,先作一个角等于已知角,然后再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段,从而作出三
角形.
作三角形的顺序①边 夹角 边
作三角形的顺序②
【方法总结】 已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.(课件展示)
思路二
已知:如图所示,线段a,c,∠α.
求作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
[处理方式] 学生分析,先画出草图,然后提出问题:
(1)上面画图要求中的角是两边的夹角吗?
(2)如果先画一条边,然后再画什么?还有其他画法吗?最后请同学们独立画出图形,其中一名学生到黑板
去板演.
参照教科书第86页作法,并模仿完成作图.
作法 示范
(1)作一条线段BC=a.
(2)以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α.(3)在射线BD上截取线段BA=c.
(4)连接AC.△ABC就是所求作的三角形.
提问:将你所作的三角形剪下来,与同伴作出的三角形进行比较,它们全等吗?
你认为哪种画法较好一些?
[设计意图] 通过学生亲自动手实践,体会尺规作图的方法,并感受SAS的合理性.
探究活动2 已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形
[过渡语] 同学们的画法很成功,接下来的问题该如何解决呢?
已知:∠α,∠β,线段c.
求作:△ABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
【思维导航】
(1)在练习本上画出所求作三角形的草图,在图上标出已知条件再作图.
(2)把自己作的三角形和其他同学所作的三角形重叠比较,看是否一样大.
(3)用 证明两个三角形全等.
[处理方式] 生独立思考,探索作图的过程,有能力作出图形的学生,要求在小组内交流,用自己的语言表
述作图过程.教师参与学生的活动,并给予指导,发现不同的作图方法.
作法提示:(学生叙述步骤;方法不唯一)
(1)作 =∠α;
(2)在射线 上截取线段 =c;
(3)以 为顶点,以 为一边,作∠ =∠β, 交 于点 ,△ABC
就是所求作的三角形.
处理建议:
(1)让学生自己探究作图的方法.
(2)教师可在黑板演示,让学生按步骤进行作图,做好示范,让后进生感到“有章可循”.
(3)让学生尝试说出解题过程,教师及时规范学生的作图语言.
(4)让学生明确作图的道理,能用学过的全等知识加以说理.
[设计意图] 已知三角形的两角及夹边作三角形的方法可能是多样的,教师要注意让学生逐步了解接
受作图方法,培养学生初步的作图能力.
探究活动3 已知三角形的三条边,求作这个三角形
如图所示,已知线段a,b,c.求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
[处理方式]
(1)让学生自己探究作图的方法.
(2)学生充分交流后教师可在黑板演示,规范学生的作图语言.能用学过的全等知识加以说理.(3)教师让学生说出画图的具体步骤,只要合理,教师都给予肯定,然后教师展示学生的不同作图方法.
作法:
(1)作一条线段BC=a;
(2)分别以B,C为圆心,以c,b为半径画弧,两弧交于A点;
(3)连接AB,AC,△ABC就是所求作的三角形.
(学生的作图方法不同,只要合理,教师都给予鼓励)
[设计意图] 学生有以前所学的基本作图为基础,进一步了解较复杂的作图题如何入手,学会转化及知
识的迁移,培养学生的作图能力.大胆放开学生,相信学生.教师重点关注学生作图语言的规范表述,并给予及
时恰当的引导、点拨和方法总结.
探究活动4 学以致用,应用新知
[过渡语] 通过刚才的学习,我们已经学会了根据已知条件画三角形,下面就让我们利用这些方法解决
问题吧!
已知:线段a,b.
求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a.
[处理方式] 独立思考,动手画图,小组交流.
展示成果:
1.先画一条线段等于a,再以其两个端点为圆心,分别以2a和b的长为半径画弧,其交点就是三角形的另
一个端点.
2.我认为先画一条线段等于2a较简单.
画图并展示如下:
提问:根据以上几个问题的解决,哪位同学能说一下根据已知条件画三角形的一般步骤吗?
先画出草图,根据草图寻找作图方法.
(1)确定作图的第一步是画边还是角,有时方法不唯一,但有难易之分,要注意把握.
(2)根据确定的作图方法按步骤进行作图.
(3)必要时对自己所画的图形的正确性进行说明.
[设计意图] 用尺规作三角形的题目类型较多,要及时对学生的作图能力、分析能力进行培养.
[知识拓展]
1.尺规作图的作法叙述必须使用规范、精炼的作图语言.
2.作图时常先假设图形已作出,再分析图形哪一部分图形先作出来,然后找出余下图形的作图方法.
1.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.
2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
3.已知三角形的三条边,求作这个三角形.
1.利用尺规不能唯一作出的三角形是 ( )
A.已知三边B.已知两边及夹角
C.已知两角及夹边
D.已知两边及其中一边的对角
解析:已知两边及其中一边的对角不能说明两个三角形全等.故选D.
2.下面各组中的三条线段,能围成三角形的是 ( )
A.3厘米、2厘米、5厘米
B.4厘米、3厘米、8厘米
C.9厘米、3厘米、3厘米
D.5厘米、5厘米、4厘米
解析:A.因为3+2=5,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;
B.因为4+3=7,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;C.因为
3+3=6,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;D.满足三角形任
意两边之和大于第三边,能组成三角形,符合题意.故选D.
3.已知:线段a,b,求作:等腰三角形ABC,使AB=BC=a,AC=b.
解:如图所示.①作射线AD,在射线AD上截取AC=b.②分别以A,C为圆心,a为半径作弧,两弧交AC上方
于点B.③连接AB,BC.△ABC即为所求.
4.如图所示,已知∠α和线段a,用尺规作一个三角形,使一个内角等于∠α,另一个内角等于2∠α.且这两角
的夹边等于2a.
解:如图所示,(1)画∠CAB=∠α;
(2)画AB=2a;
(3)画∠CBA=2∠α;
△ABC为所求三角形.
4 用尺规作三角形
探究活动1 已知三角形的两边及其夹角,求作三角形
探究活动2 已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形
探究活动3 已知三角形的三条边,求作这个三角形探究活动4 学以致用,应用新知
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第107页习题4.9数学理解第1,2,3题.
【选做题】
教材第107页习题4.9问题解决第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列尺规作图的语句错误的是 ( )
A.作∠AOB,使∠AOB=3∠α
B.以点O为圆心作弧
C.以点A为圆心,线段a的长为半径作弧
D.作∠ABC,使∠ABC=∠α+∠β
2.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是( )
A.两直线平行,同位角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.两直线平行,内错角相等
D.内错角相等,两直线平行
3.如图所示,点C在∠AOB的边OB上,用尺规作出了CN∥OA,在作图痕迹中,弧FG是 ( )
A.以点C为圆心,OD长为半径的弧
B.以点C为圆心,DM长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DM长为半径的弧
4.如图所示,使用尺规作图,看图填空:
(1)在射线AM上 线段 = ;
(2)以点 为圆心,以线段 为半径作弧交 于点 ;1
(3)分别以点 和点 为圆心,以大于 PQ的长为半径作弧,两弧分别交于点 和点
2
;
(4)以点 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB两边 , 于点 ,点
.
【能力提升】
5.如图所示,已知∠α,线段a,求作:等腰三角形ABC,使腰长AB=a,底角∠A=∠α.(要求写出作法,并保留作图痕
迹)
【拓展探究】
6.已知:线段a,b及∠α(如图所示).求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=a,AC=b.请你写出作法,作出相应的图形,保留作图
痕迹.
【答案与解析】
1.B(解析:因为B只交代圆心,没交代半径.)
2.D(解析:根据图中直线a,b被c所截形成的内错角相等,可得依据为内错角相等,两直线平行.故选D.)
3.D(解析:根据题意,所作出的是∠BCN=∠AOB,根据作一个角等于已知角的作法,弧FG是以点E为圆心,DM
长为半径的弧.故选D.)
4.(1)截取 AB a (2)A r FB C (3)P Q M N (4)O OA OB C D
5.解:作法:①作∠MAN,使∠MAN=∠α;②在边AM上截取AB,使AB=a;③以点B为圆心,以a的长度为半径画弧,
交AN于点C;④连接BC.则△ABC即为所求作的三角形.
6.解:作法:①作射线AE,在AE上截取线段AB=a;②以点A为顶点,以AB为一边,作∠DAB=∠α;③在射线AD
上截取线段AC=b;④连接CB.则△ABC就是所求作的三角形.
在教学中运用自主探索和合作交流相结合的学习方式,可以让学生真正成为学习的主人,充分调动了学
生的主观能动性和再创造性,使学生在课堂上从“学会”到“会学”,最终升华为“乐学”.七年级学生的数学思维较弱,在学生自主探索时,离不开教师适时的点拨和引导,在画图实践过程中,教师要步步示范,反复
操练,及时指正,以便让学生轻松而牢固地掌握画图技能.
1.对学生的画图估计不足,学生在基本作图上浪费了大量时间,导致准备的题目没有全部完成.
2.对已知三边作三角形处理过于简单,时间仓促,少数学生的发言代替了整体.时间上显得前松后紧,时间
安排有待改进.
教学中除了要关注本节课的教学目标,同时还应注意本节课在学生整个学习当中的长远目标,刚开始学
习尺规作图,学生语言的到位,作图的规范,对于学生今后的学习都是至关重要的.
习题4.9(教材第107页)
知识技能
1.提示:①作直线m⊥直线l,垂足记为C;②在m上截取CB=a,在l上截取CA=b;③连接AB,△ABC即为所求.
2.提示:①作∠MON=∠α;②在ON上截取OA=a;③以A为顶点,在∠MON内部作∠OAR=2∠α,交OM于
B.△AOB即为所求.
3.提示:①作线段AB=a;②分别以A,B为圆心,以2a为半径在AB同侧画弧交于点C;③连接AC,BC,△ABC即
为所求.
已知斜边、直角边,作直角三角形.
已知:线段a,b,且a大于b,如图所示.
求作:△ABC,使∠C=90°,AB=a,AC=b.
解:如图,(1)作∠MCN=90°;
(2)在射线CM上截取CA=b;
(3)以A为圆心,a为半径画弧交CN于点B;
(4)连接AB,则△ABC为所求作的直角三角形.
[解题策略] 遇到作三角形的问题时,应考虑先把能确定图形位置或相互关系的条件作出来,特别应注
意一些隐含条件,如本题中的∠C=90°.
5 利用三角形全等测距离能利用三角形的全等解决实际生活中的“不可测距离”问题,体会数学与实际生活的联系,培养思维的
逻辑性和发散性.
通过让学生体会教科书中提供的情境,明白具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联
系.
通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题
的过程中进行有条理的思考和表达.
【重点】 构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题.
【难点】 能用所学的知识设计可行的测量方案.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P108~109.
导入一:
[过渡语] 同学们对全等三角形的知识掌握得真棒.表扬大家一下,老师给大家讲个战争故事!
在抗日战争期间,为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军的碉堡,需要测出我军阵地到日军碉堡的距离.
既不能过河测量又没有任何测量工具,我八路军战士为此绞尽脑汁,这时一位聪明的八路军战士想出了一个
办法,为成功炸毁碉堡立了一功.这位聪明的八路军战士的方法如下:他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后,他转过一个角度,保
持刚才的姿势,这时,视线落在了自己所在岸的某一点上;接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这
个距离就是他与碉堡的距离.
提问:你相信这个故事中的测量方法能够测量出我军与碉堡的距离吗?
师:这节课我们就来研究如何“变不可测距离为可测距离”.
[设计意图] 用真实的故事引入新课,适时地提问,激发了学生的求知欲和好奇心,有不同意见时正好可
以组织学生体验战士的测量方法,感受数学与现实生活的联系,以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.
导入二:
[过渡语] 同学们,前面我们已经学过了全等三角形的性质和三角形全等的条件,请完成下面的填空.
(多媒体展示)
1.全等三角形的性质:两三角形全等,对应边 ,对应角 .
2.如图所示,△ADC≌△CBA,那么∠ABC= ,AB= .
3.如图所示,已知OA=OD,要使△OAB≌△ODE,只需添加一个条件是: .
[处理方式] 第1,2题学生独立思考后回答.在回答第3题时,让学生抢答,提高学生竞争意识,提高了学
习热情,同时要求学生说出依据.教师及时给予评价.
【参考答案】
1.相等 相等
2.∠CDA CD
3.OB=OE(依据SAS)(或∠A=∠D(依据ASA)或∠B=∠E(依据AAS))
[设计意图] 通过3个题温习与本节有关的知识,帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识,使学生
产生自信,开始在不知不觉中集中精力,走入数学殿堂.同时这也为本节课的学习做好理论铺垫.
[过渡语] 同学们,想一想,这个故事中的测量方法能够测量出我军与碉堡的距离吗?
探究活动1 探究引例
思路一
分组活动,亲自体验这位战士的测量方法:一、三组在教室前走廊,其他组在室内,五组在黑板前.按这位
战士的方法,找出走廊或教室中与你距离相等的两个点.在活动时,可用手掌或一个书本代替“帽檐”(师演
示),先确定好一个目标,再调整“帽檐”,使视线通过“帽檐”望去时恰好落在这个目标上,然后保持“帽
檐”不动,转过一个角度再望出去,视线所落的位置即为第二个目标,最后大家利用步测等方法测出两个目标
与你的距离,验证这位战士做法的合理性,并讨论交流解释其中的道理.
提问:
1.同学们找到与你距离相等的两个点了吗?这位战士的做法合理吗?
2.你能解释其中的道理吗?
生1:找到了.这位战士的做法是合理的,这样可以估测出我军阵地到鬼子碉堡的距离.
生2:(展示)这种方法实际上应用了全等三角形的知识.可用图来表示:AC,EF表示这位战士,点B,D分别表示碉堡、岸上的某一点,由于身体与地面是垂直的,所以
∠C=∠F=90°,因为视线是通过“帽檐”看目标的,“帽檐”保持不动,所以∠A=∠E,又AC=EF,即△ABC和
{∠C=∠F=90°,
△EDF中, AC=EF, 所以△ABC≌△EDF(ASA),所以BC=DF(全等三角形对应边相等).
∠A=∠E,
师:解释得真好.这位战士测距离时用到了三角形全等的知识,从而“变不可测距离为可测距离”.
[设计意图] 学生对于情境中战士的做法比较陌生,通过角色模拟的方法进行体验,让学生对战士的测
量方法有一个直观理解,进而思索其中的道理.在操作验证过程中培养合作参与精神和严谨的学习态度.鼓
励学生自己说明理由,锻炼数学思考能力和有条理的语言表达能力.
思路二
[过渡语] 同学们,自主学习教材第108页,想一想之前战士测碉堡距离的方法,并解释其中的道理.
[处理方式] 学生自主学习,先独立思考体会问题情境,明白战士的具体做法,对战士的测量有直观的理
解;然后在小组间相互交流看法.教师要巡回指导,帮助学生审题,引发学生思考,让学生有主动尝试利用三角
形全等来解决实际问题的欲望.
提问1:哪位同学能根据你的理解情况,用太阳帽来把战士的做法演示一遍?
学生演示:先在教室中选择适当的位置站好,再选择目标,利用课前准备的太阳帽进行演示,通过测量来
验证战士的做法的合理性.
提问2:你认为战士的做法合理吗?
多媒体出示测碉堡距离过程简图:
哪位同学能说一说战士的做法为什么合理?
在测量的过程中,战士的视线与身体的夹角不变、身高不变、身体垂直地面.战士的方法可用这个图来
表示:(借助实物投影仪展示)
AC,A'C'表示某一个人站的位置,点B,点B'分别表示第一目标、第二目标.则在△ABC和△A'B'C'中,因为
{∠C=∠C',
AC=A'C', 所以△ABC≌△A'B'C',所以BC=B'C'.
∠A=∠A'.
师总结:这位战士测距离时利用帽檐,以俯视角度不变,构造了全等三角形,从而解决了棘手的问题,由此
可见三角形全等在实际生活中应用是多么重要.
[设计意图] 让学生主动参与,积极思考,在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度.在鼓励学
生的过程中,锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力,形成了良好的学习氛围.
[过渡语] 三角形全等在实际生活中应用非常广泛,下面我们来看下面的问题.
探究活动2 测池塘两端的距离小丽和朋友们在上周末游览风景区时,看到了一个美丽的池塘,他们想知道最远两点A,B之间的距离,但
是没有船,不能直接去测.手里只有一根绳子和一把尺子,他们怎样才能测出A,B之间的距离呢?
请你设计一个可行的方案,画出设计图形,写出设计方案,并说明理由.
[处理方式] 学生独立思考,小组交流探讨;教师巡视指导,特别关注有困难的学生此时是否积极参与,教
师在黑板上画几个池塘图案备学生展示用.
下面请同学们到黑板上展示讲解你的方案.
展示1:如图所示,在陆地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC
并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度即为AB的长.
{
AC=DC,
理由:在△ABC和△DEC中, ∠ACB=∠DCE,
BC=CE,
所以△ABC≌△DEC(SAS),
所以AB=DE(全等三角形对应边相等).
展示2:如图所示,先作三角形ABC,再找一点D,使AD∥BC,并使AD=BC,连接CD,量CD的长即得AB的
长.
{AD=BC,
理由:在△ABC和△CDA中, ∠1=∠2,
AC=AC.
所以△ABC≌△CDA(SAS),
所以AB=DC(全等三角形对应边相等).
展示3:如图所示,找一点D,使AD⊥BD,延长AD至C,使CD=AD,连接BC,量BC的长即得AB的长.
{
AD=DC,
理由:在△ABD和△CBD中, ∠ADB=∠BDC,
BD=BD.
所以△ABD≌△CBD(SAS),所以AB=BC(全等三角形对应边相等).展示4:如图所示,在地面上找到点E使EB⊥AB,延长BE到D,使ED=BE,过D作BD的垂线与AE的延
长线交于C,量DC的长即得AB的长.
{∠B=∠D=90°,
理由:在△ABE和△CDE中, BE=DE,
∠AEB=∠CED.
所以△ABE≌△CDE(ASA),所以AB=DC(全等三角形对应边相等).
师:前面四位同学展示的方案都是可行的,所用方法有延长全等法、平行全等法、垂直全等法.并且在
解决问题的过程中的思考和表达非常有条理.
[设计意图] 没有按照书上的“给出解决方案,说明理由”,而是让学生“自主解决问题,说明理由”,把
课堂还给学生,把问题交给学生,鼓励学生通过积极探索、讨论找出解决方案,通过合作从不同的角度得出不
同的测量方法.让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法.通过
活动学生将会感受到成功的喜悦,培养了学生解决问题的意识和能力.
[知识拓展] 利用三角形全等测距离的一般步骤:
(1)先明确实际问题可以由哪些知识来解决.
(2)根据实际问题抽象出图形.
(3)结合图形和题意分析已知条件,由已知想未知.
(4)找到已知与未知的关系,寻求恰当的解决途径,并表述清楚.
1.测量不能直接到达的两点间的距离.
2.测量观察点所处位置之外的两点间的距离.
1.如图所示,山脚下有A,B两点,要测出这两点间的距离.在地上取一个可以直接到达A,B两点的点O,连
接AO并延长到C,使AO=CO,连接BO并延长到D,使BO=DO,连接CD.可以证△ABO≌△CDO,得CD=AB,因此,
测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是 ( )
A.SSS B.ASA
C.AAS D.SAS
解析:由AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD,可知△ABO≌△CDO(SAS).故选D.
2.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出
BF的垂线DE,可以证明△EDC≌△ABC,得ED=AB,因此,测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由
是 ( )
A.SSS B.ASA
C.SSA D.SAS解析:由∠ACB=∠ECD,CD=BC,∠ABC=∠CDE,可知△EDC≌△ABC(ASA).故选B.
3.如图所示,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是
这样操作的:
①分别在BA和CA上取BE=CG;
②在BC上取BD=CF;
③量出DE的长a米,FG的长b米.
如果a=b,则说明∠B和∠C是相等的,他的这种做法合理吗?为什么?
解:这种做法合理.
理由:
在△BDE和△CFG中,
{BE=CG,
BD=CF,
DE=FG.
所以△BDE≌△CFG(SSS),
所以∠B=∠C.
4.要在池塘两侧A,B两处架桥,需测量A,B两点的距离.如图所示,找一个看得见A,B的点P,连接AP并延
长到D,使PA=PD,连接BP并延长到C,使PC=PB,测得CD=35 m,就确定了AB也是35 m,说明其中的道理.
解:因为∠APB与∠DPC是对顶角,所以∠APB=∠DPC,又因为PA=PD,PB=PC,所以△APB≌△DPC(SAS),所
以AB=CD=35 m(全等三角形对应边相等).
5 利用三角形全等测距离
探究活动1 探究引例
探究活动2 测池塘两端的距离
一、教材作业
【必做题】
教材第109页习题4.10数学理解第1题.【选做题】
教材第109页习题4.10数学理解第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,你能帮他想
个主意测量吗?
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤;
(3)计算A,B间的距离(写出求解或推理过程).
【能力提升】
2.如图所示,山脚下有A,B两点,要测出A,B两点间的距离.
(1)在地上取一个可以直接到达A,B点的点O,连接AO并延长到C,使AO=CO,你能完成下面的图形吗?
(2)说明你是如何求A,B间的距离的.
【拓展探究】
3.如图所示,小王想测量小口瓶下半部的内径,他把两根长度相等的钢条AA',BB'的中点连在一起,A,B两点可
活动,使M,N卡在瓶口的内壁上,A',B'卡在小口瓶下半部的瓶壁上,然后量出AB的长度,就可量出小口瓶下半
部的内径,请说明理由.
【答案与解析】
1.解:(1)测量图如图所示. (2)测量方法:在池塘边上找一点C,连接AC并延长至D,使AC=DC,同样连接BC
并延长至E,使BC=EC,则DE=AB,量出DE的长度就是A,B间的距离. (3)理由:因为AC=DC,BC=EC,且
∠ACB=∠DCE,所以△ACB≌△DCE,所以AB=DE.
2.解:(1)连接BO并延长至M,使MO=OB,连接MC. (2)因为AO=CO,BO=MO,∠AOB=∠COM,所以
△AOB≌△COM(SAS),所以MC=AB.3.解:因为△A'OB'≌△AOB,所以AB=A'B'.
1.本节课的教学重点是能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题.教学中先让学生充分发表意
见,并给予激励性的评价,培养学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的能力.同时适当地把教育
激励策略运用于教学活动中,是一种较好的育人艺术.
2.在本节课里,首先创设了一个“现实情境”,使学生的练习具有“真实”地解决问题的意味,然后用角
色模拟的方法进行自由而舒畅的交流活动.通过这样的交流,可以激发学生的好奇心和求知欲,刺激他们思
维的多向性与逻辑性,同时也培养了学生倾听别人思路、拓展自己思维、修正自己不足的良好习惯,使他们
在积极的互动中掌握知识,发展分析问题、解决问题的能力.注重教学中师生间的对话、教师对学生的引导,
以及及时的反馈与评价.
大部分学生能利用三角形的全等解决实际问题,但对解决问题的过程中进行有条理的思考和表达较薄
弱.
注意时间的把握,应给学生充分的思考时间,题的难易程度不同,使用时间应不同,交流中及时发现问题
并解决,力争课堂更具效果.
习题4.10(教材第109页)
知识技能
1.解:如图所示,选一个可以直接到达A,B两点的O点,连接AO,BO并延长,使OC=OA,OD=OB,测出CD的长,
就是A,B间的距离.理由如下:因为OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,所以△AOB≌△COD,所以AB=CD.
数学理解
2.解:设AB,CD相交于点O,则OA=OB,∠AOC=∠BOD,OC=OD,所以△OAC≌△OBD,所以AC=BD.
3.解:道理是构造两个全等的三角形,根据全等三角形的对应边相等就可得到所要测的距离.在估测不能直接
到达的两点间的距离时可以用到这种方法.
复习题(教材第110页)
知识技能
1.解:因为三角形的内角和等于180°,所以一个三角形中不可能有两个直角,一个三角形的三个内角不能都大
于70°,也不能都小于50°.
2.解:设这两个锐角都为x°,则90°+2x°=180°,解得x=45,所以这两个锐角都是45°.3.解:(1)因为△ADB≌△EDB,所以∠ABD=∠EBD,即BD是∠ABE的平分线. (2)因为△BDE≌△CDE,所以
∠BED=∠CED=90°,又B,E,C在一条直线上,所以DE⊥BC. (3)因为△BDE≌△CDE,所以BE=EC,又B,E,C在一
条直线上,所以点E平分线段BC.
4.解:△BED≌△CFD.理由如下:在△BED和△CFD中,∠BED=CFD,DE=DF,∠BDE=∠CDF,所以
△BED≌△CFD(ASA).
6.解:BC=EF.理由如下:因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.△ABC≌△DFE.理由如下:因为
AB=DF,AC=DE,BC=FE,所以△ABC≌△DFE.
{
AB=AD,
7.解:全等.理由如下:因为∠BAE=∠DAC,所以∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中, ∠BAC=∠DAE,所以
AC=AE,
△ABC≌△ADE.
数学理解
8.解:不一定全等.例如:如图所示,两个三角形的面积相等,但不全等.
9.∠CBD=∠BCA(答案不唯一)
10.提示:共有(1)3 cm,5 cm,7 cm,(2)3 cm,7 cm,9 cm,(3)3 cm,5 cm,9 cm,(4)5 cm,7 cm,9 cm四种可能,但(3)不能
组成三角形.
{EO=DO,
11.解:在△OPE和△OPD中,因为 OP=OP,所以△OPE≌△OPD,所以∠POE=∠POD,即OP平分∠AOB.
PE=PD,
12.解:因为△ABC≌△EFD,所以∠B=∠F,∠ACB=∠EDF.所以AB∥FE,AC∥DE.
13.提示:根据“SSS”,得△O'C'D'≌△OCD,故∠D'O'C'=∠DOC(全等三角形的对应角相等).
问题解决
1 1 3
14.解: + = .因为能够重合的图形是全等图形,且全等图形的面积相等.
4 8 8
15.提示:方法有很多种,可任选两种.如图所示.
17.解:延长BC交AD于E,则∠AEB=180°- ∠A- ∠B=180°- 90°- 20°=70°,所以∠DEC=180°- 70°=110°,因为
∠DCB=142°,所以∠ECD=180°- 142°=38°,所以∠D=180°- ∠DEC- ∠DCE=180°- 110°- 38°=32°≠30°,所以零件
不合格.
{∠C=∠C',
18.解:一样.因为AC∥A'C',所以∠C=∠C'.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,因为 ∠B=∠B', 所以
AB=A'B',
△ABC≌△A'B'C'(AAS).所以BC=B'C'.如图所示,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M,N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测
出其长度的线段是 ( )
A.PO B.PQ C.MO D.MQ
〔解析〕 全等三角形的对应边相等,因为△PQO≌△NMO,所以MN=PQ,只需测得PQ的长.故选B.
[解题策略] 本题考查了三角形的全等应用,解题的关键是如何将实际问题与数学知识联系在一起.
1.进一步熟悉三角形的概念及三角形的三条重要线段,掌握全等图形的性质,三角形全等的判定条件及
利用三角形的全等测距离.
2.在进一步熟悉用尺规作三角形的基础上培养实践能力,学会用学过的数学知识解决实际问题,提升应
用能力.
3.通过复习进一步熟悉利用三角形的全等解决简单的实际问题,领会数学的应用价值,培养学习数学的
兴趣.
1.合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题,培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的小
组合作意识和合作能力.
2.在复习过程中,通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,进一步积累数学活动经验,
发展推理能力和有条理的表达能力.
1.在复习过程中,培养学生合作意识,进一步提高分析解决问题的能力.
2.让学生感受到数学来源于生活,又服务于生活的意识,提高审题能力.
3.让学生理解数学的应用价值,培养学习数学的兴趣.
【重点】 掌握三角形的基本性质,全等图形的性质,三角形全等的判定条件.
【难点】 选择判定方法判定两个三角形全等,有条理地进行表达.专题一 三角形中的重要线段、边角关系及分类
【专题分析】
三角形中的重要线段、边角关系是进一步学习几何知识的基础,在中考命题中分散渗透着相关知识的
考查,单独命题考查的机会较少.
画出或标出下列三角形的高.
〔解析〕 经过三角形的顶点(与底相对的点)向对边(底)作垂线,顶点和垂足之间的线段就是三角形的
一条高,用三角板的直角可以画出三角形的高;直角三角形一条直角边上的高就是另一直角边.
解:画高如下:
【针对训练1】 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是 .
〔解析〕 先根据直角三角形两锐角互余求出∠1,再根据三角形的内角和等于180°可求得三角形中未
知的角,∠α和这个角互为补角,计算即可得解.如图所示,∠1=90°- 60°=30°,所以∠α=30°+45°=75°.故填75°.
等腰三角形两边长分别为4和9.求这个等腰三角形的周长.
〔解析〕 求等腰三角形的周长即确定等腰三角形的腰与底的长;题目给出等腰三角形有两条边长为
4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
解:(1)若4为腰长,9为底边长,由于4+4小于9,则三角形不存在;
(2)若9为腰长,则符合三角形的两边之和大于第三边.所以这个三角形的周长为9+9+4=22.【针对训练2】 一副三角板按如图所示的方式放置在一起,则图中∠α的度数为 ( )
A.75° B.60°
C.65° D.55°
〔解析〕 根据三角形内角和定理即可求解.如图所示,因为∠1=60°,∠2=45°,所以∠α=180°- 45°-
60°=75°.故选A.
【针对训练3】 如图所示,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,作△BED的边BD上的高EF,若
△ABC的面积为40,BC=10,求EF的长.
1
〔解析〕 根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形的性质,可得出S = S ,S =
△ABD 2 △ABC △BDE
1 1
S ,所以S = S ,再根据三角形的面积公式求得即可.
2 △ABD △BDE 4 △ABC
解:因为AD是△ABC的中线,BC=10,
1
所以S = S ,BD=5.
△ABD 2 △ABC
1
同理BE是△ABD的中线,S = S ,
△BDE 2 △ABD
1
所以S = S ,
△BDE 4 △ABC
1
因为S = BD·EF,
△BDE 2
1 1
所以 BD·EF= S ,
2 4 △ABC
又因为△ABC的面积为40,BD=5,
所以EF=4.
专题二 三角形全等的判定与性质的综合应用
【专题分析】
三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS,ASA,AAS,SSS中的哪个方法,而且这几个
判定方法往往要结合其性质综合解题.本专题的相关内容是中考必考点之一,考查方式多样灵活,涉及的知
识点较多,近几年逐渐流行对相关知识的综合考查.如图所示,已知四边形纸片ABCD中,AD∥BC,将∠ABC,∠DAB分别对折,如果两条折痕恰好相交
于DC上一点E,点C,D都落在AB边上的F处,你能获得哪些结论?
〔解析〕 对折前后重合的部分是全等的,从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索,以
获得更多的结论,这是一道开放性试题.
解:①AD=AF,ED=EF=EC,BC=BF.
②AD+BC=AB,DE+EC=2EF.
③∠1=∠2,∠3=∠4,∠D=∠AFE,∠C=∠EFB,∠DEA=∠FEA,∠CEB=∠FEB.
④∠AEB=90°或EA⊥EB.
⑤S
△DAE
=S
△EAF
,S
△ECB
=S
△EFB
.
[解题策略] 本题融操作、观察、猜想、推理于一体,需要具有一定的综合能力.推理论证既是说明道
理,也是探索、发现的途径.善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键.需要
注意的是,通常面临以下情况时,我们才考虑构造全等三角形:(1)给出的图形中没有全等三角形,而证明结论
需要全等三角形.(2)从题设条件中无法证明图形中的三角形全等,证明需要另行构造全等三角形.
【针对训练4】 如图所示,要证△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则不需要条件 ( )
A.∠1=∠2
B.BC=ED
C.∠BAC=∠DAE
D.∠B=∠D
〔解析〕 根据三角形全等的判定,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,
角必须是两边的夹角.A,由∠1=∠2可以得到有两边一角∠BAC=∠DAE,根据SAS即可证明全等;B,可以根据
SSS证明两三角形全等;C,依据SAS即可证明两三角形全等;D,已知两边以及一边的对角不能证明全等.故选
D.
如图所示,BD,CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在
CE上,CQ=AB.
(1)试说明AP=AQ;
(2)试说明AP⊥AQ.
〔解析〕 (1)欲说明AP=AQ,只需说明对应的两个三角形全等,即说明△ABP≌△QCA即可.(2)在(1)的基
础上说明∠PAQ=90°.
解:(1)因为BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高,
所以∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△AEC和Rt△ADB中,
∠ABP=90°- ∠BAD,∠ACE=90°- ∠DAB,
所以∠ABP=∠ACE.
在△ABP和△QCA中,{
BP=CA(已知),
∠ABP=∠ACE(已证),
AB=QC(已知),
所以△ABP≌△QCA(SAS).
所以AP=AQ(全等三角形的对应边相等).
(2)由(1)知△ABP≌△QCA,
所以∠P=∠CAQ(全等三角形的对应角相等).
又因为∠P+∠PAD=90°,
所以∠CAQ+∠PAD=90°,
即∠QAP=90°,所以AP⊥AQ.
【针对训练5】 如图所示,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使
△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是 ;
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
〔解析〕 (1)可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件;(2)根据全等三角形的判定
方法证明即可.
解:(1)∠C=∠E(或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC)
(2)选∠C=∠E为条件.
理由如下:
{∠A=∠A,
在△ABC和△ADE中, ∠C=∠E,
AB=AD,
所以△ABC≌△ADE(AAS).
专题三 全等三角形的性质及判定的实际应用
【专题分析】
全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题,解题的关键是将实际问题抽象成几何问
题来解决,近年的中考在这方面的考查有所加强,题型以问题解决的方法为主,难度一般不大.
如图所示,太阳光线AC与A'C'是平行的,同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子
一样长吗?说说你的理由.
〔解析〕 本题欲确定影子一样长,实际就是证明BC与B'C'相等,而要证明两条线段相等,常常证明它
们所在的两个三角形全等.
解:影子一样长.理由如下:
因为AB⊥BC,A'B'⊥B'C',
所以∠ABC=∠A'B'C'=90°.
因为AC∥A'C',所以∠ACB=∠A'C'B'.在△ABC和△A'B'C'中,
{∠ABC=∠A'B'C',
∠ACB=∠A'C'B',
AB=A'B',
所以△ABC≌△A'B'C'(AAS),
所以BC=B'C'(全等三角形的对应边相等).
【针对训练6】 如图所示,A,B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B点出发沿河
岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过D作DE∥AB,使E,C,A在同一直线上,则DE的长就是A,B之间的
距离,请你说明道理.
〔解析〕 根据BC=CD,∠CED=∠CAB,∠ACB=∠ECD,即可说明△ABC≌△EDC,根据全等三角形对应边相
等的性质可以求得AB=DE.
{∠CAB=∠CED,
解:因为DE∥AB,所以∠CED=∠CAB,在△ABC和△EDC中, ∠ACB=∠ECD,
BC=CD,
所以△ABC≌△EDC(AAS),所以AB=ED,所以DE的长就是A,B之间的距离.
专题四 利用尺规作图,作一个三角形与另一个三角形全等
【专题分析】
尺规作图是知识和能力考查的重要载体,是中考中经常出现的命题点.题型多以选择题和解答题的形式
出现,根据考查的内容难度变化较大.
如图,一块三角形模具的阴影部分已破损.
(1)只要从残留的模具片中度量出哪些边,角,就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具
ABC的形状和大小完全相同的模具A'B'C'?请简要说明理由.
(2)作出模具△A'B'C'的图形(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
〔解析〕 (1)此题主要利用三角形全等的判定来做,所以要度量残留的三角形模具片的∠B,∠C的度数
和边BC的长,因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(2)先画出线段B'C',然后以B',C'两点为顶点,以
线段B'C'为一边分别作两个角,两角另外两边的交点就是第三点的位置,顺次连接即可.
解:(1)只要度量残留的三角形模具片的∠B,∠C的度数和边BC的长,因为两角及其夹边对应相等的两个
三角形全等.
(2)按尺规作图的要求,正确作出△A'B'C'.
【针对训练7】 已知△ABC(如图所示),用直尺和圆规作△DEF,使△DEF≌△ABC.
〔解析〕 利用全等三角形的判定,结合三边相等的三角形全等得出即可.解:如图所示,△DEF即为所求.
专题五 分类讨论思想
【专题分析】
对于三角形全等的有些性质及判定的问题,由于已知条件的不确定或开放性问题.常用到分类讨论思想.
如图所示,在△ABD和△ACE中,有下列四个论断:
①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE.
请以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出一个正确的数学命题: .(用序号
的形式写出)
〔解析〕 解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题,另一方面需熟练应用全等三角形的性
{
AD=AE,
质及判定方法.具体分析如下:(1)以①为结论,②③④为条件:在△ABD和△ACE中, ∠B=∠C,
BD=CE,
⇒/△ABD≌△ACE⇒/AB=AC.所以不能以②③④为条件,①为结论.(2)以②为结论,①③④为条件:在△ABD和
{
AB=AC,
△ACE中, ∠B=∠C, ⇒△ABD≌△ACE(SAS)⇒AD=AE.所以能以①③④为条件,②为结论.(3)以③为结论,
BD=CE,
{AB=AC,
①②④为条件:在△ABD和△ACE中, AD=AE, ⇒△ABD≌△ACE(SSS)⇒∠B=∠C.所以能以①②④为条件,③
BD=CE,
{
AB=AC,
为结论.(4)以④为结论,①②③为条件:在△ABD和△ACE中, AD=AE, 不能得出△ABD≌△ACE,不能得出
∠B=∠C,
BD=CE.所以不能以①②③为条件,④为结论.所以正确的结果有两种:其一:①③④⇒②;其二:①②④⇒③.两者
任选其一即可.故填①③④⇒②或①②④⇒③.【针对训练8】 如图所示,已知CE⊥AD于E,BF⊥AD于F,你能证明△BDF与△CDE全等吗?如果不
能,请添加一个条件使这两个三角形全等,并说明理由.
〔解析〕 根据全等的条件可知只有“CE⊥AD于E,BF⊥AD于F”不能说明△BDF和△CDE全等,若
要全等,需添一条边对应相等,所以添加的条件可以是BD=CD,可用AAS证明△BDF≌△CDE.
解:不能.添加的条件是BD=CD.理由:因为CE⊥AD于E,BF⊥AD于F,
所以∠BFD=∠CED=90°,
在△BDF和△CDE中,
{∠BFD=∠CED,
∠BDF=∠CDE,
BD=CD.
所以△BDF≌△CDE(AAS).
[解题策略] 本题考查三角形全等的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.判定
两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条
件,再去证什么条件.
专题六 转化思想
【专题分析】
三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法.证线段(或角)相等往往转化为证线段(或角)所在的
两个三角形全等.当需证的两个全等的三角形不明显时,还要添加辅助线,构造全等三角形.
如图所示,已知AB=CD,AD=BC,试说明∠B=∠D,∠A=∠C.
〔解析〕 本题是说明两个角相等,需构造全等三角形,转化为说明三角形全等.为此,需作辅助线AC,把
四边形ABCD分成△ACD和△CAB.
{AD=CB,
解:连接AC,在△ADC和△CBA中, DC=BA,
AC=CA,
所以△ADC≌△CBA(SSS),所以∠D=∠B.
同理∠DAB=∠DCB.
【针对训练9】 如图所示,△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,且DE=2 cm,AB=9 cm,BC=6
cm,你能求出△ABC的面积吗?
〔解析〕 要求△ABC的面积,只需分别求出△ABD和△BCD的面积即可.在△ABD中,底AB,高DE都知
道,在△BCD中,底BC知道,高没画出来,所以问题就转化为求△BCD的高,这里可以作辅助线DF⊥BC于F.
解:作DF⊥BC于F.
因为BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,所以△BDE≌△BDF,所以DE=DF.
由DE=2 cm,可知DF=2 cm.
1 1
所以S =S +S = AB·DE+ BC·DF
△ABC △ABD △BCD 2 21 1
= ×9×2+ ×6×2=15(cm2).
2 2
[解题策略] 事实上,用测量的方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离,除了用三角形全等的方
法外,在学习了相似三角形后,也可通过相似的方法获得测量方法和结果.
专题七 类比思想
【专题分析】
对于几何图形的运动问题(如平移、旋转等)以及一些规律探究题,常常会出现一个基本图形,无论从图
形上还是从解题方法上都比较简单,而其他的较复杂的图形,都是由基本图形通过变化得到的,它和基本图形
有很多类似的条件和结论.类比基本图形,可以解决复杂图形的问题,主要考查观察能力和推理、猜测能力.
如图(1)所示,AB=CD,AD=BC,O为AC的中点,过O点的直线分别与AD,BC相交于M,N,那∠1和
∠2有什么关系?请说明;将过O点的直线旋转至图(2)(3)的位置时,其他条件不变,那么图(1)中的∠1和∠2的
关系还成立吗?请说明理由.
〔解析〕 图(1)是基本的图形,在图(1)中说明∠1=∠2不难,在图(2)(3)中说明∠1=∠2,可以类比在图(1)中
的方法.
解:∠1=∠2.
{AB=CD,
理由:在△ABC和△CDA中, BC=DA,
AC=CA,
所以△ABC≌△CDA(SSS).
所以∠BCA=∠DAC,所以AD∥BC,所以∠1=∠2.
当直线旋转到图(2)(3)的位置时,仍有∠1=∠2,理由同上.
【针对训练10】 如图所示,M为正方形ABCD边AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN⊥DM,且交
∠CBE的平分线于N.
(1)线段MD和MN有什么数量关系?并说明理由.
(2)若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”,其余条件不变,上述结论
还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
〔解析〕 (1)只需取AD的中点F,连接FM,要证MD=MN,就要构建△DFM≌△MBN,依据正方形的性质
可证.(2)只需作AF'=AM,其余证法与(1)同.
解:(1)线段MD=MN.
理由:如图(1)所示,取AD的中点F,连接FM.
因为∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°,所以∠FDM=∠BMN,
1 1
因为AF= AD= AB=AM=MB=DF,因为BN平分∠CBE,所以∠DFM=∠MBN=135°.
2 2
因为DF=MB,所以△DFM≌△MBN.所以DM=MN.
(2)结论DM=MN仍成立.理由如下:如图(2)所示,在AD上截取AF'=AM,连接F'M.因为DF'=AD- AF',MB=AB- AM,因为AD=AB,所以
AF'=AM,所以DF'=MB.
因为∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°,所以∠F'DM=∠BMN.
又∠DF'M=∠MBN=135°,所以△DF'M≌△MBN,所以DM=MN.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,∠A=80°,∠ACB=60°,那么∠BDC等于 ( )
A.80° B.90°
C.100° D.110°
2.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,则下列结论:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△CAN≌△BAM.
其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.已知如图所示的两个三角形全等,则∠α的度数是 ( )
A.72° B.60°
C.58° D.50°
4.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,AC,BD交于点O,则图中全等三角形共有 ( )
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对5.如图所示,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其
中,能使△ABC≌△DEF的条件共有 ( )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
6.如图所示,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是 ( )
A.CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=3,则点D到BC的距离是 (
)
A.3 B.4
C.5 D.6
8.如图所示,尺规作图过程如下:以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于C,D,再分别以点C,D为圆
1
心,以大于 CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP.连接CP,DP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是 (
2
)
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS9.如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E,F分别是CD,AD上的点,且CE=AF,如果∠AED=62°,
那么∠DBF等于 ( )
A.62° B.38° C.28° D.26°
10.如图所示,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请增加一个条件,使△APB≌△CPD(不能添加辅助线),增加的条件不
能是 ( )
A.BP=DP B.AB=CD
C.AB∥CD D.∠A=∠D
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.如图所示,若△ABC≌△ABC,且∠A=110°,∠B=40°,则∠C= .
1 1 1 1
12.如图所示,点D,E在△ABC的BC边上,且BD=CE,∠BAD=∠CAE,要推理得出△ABE≌△ACD,可以补充的一个
条件是 (不添加辅助线,写出一个即可).
13.如图所示,点B在∠DAC的平分线AE上,请添加一个适当的条件: ,使△ABD≌△ABC(只填一个即
可).
14.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=2.按以下步骤作图.
①以A为圆心,以小于AC长为半径画弧,分别交AC,AB于点E,D;1
②分别以D,E为圆心,以大于 DE长为半径画弧,两弧相交于点P;
2
③连接AP交BC于点F.
那么:
(1)AB的长等于 (直接填写答案);
(2)∠CAF= (直接填写答案).
15.如图所示,已知CD=AB,若运用“SAS”判定△ADC≌△CBA,从图中可以得到的条件是 ,需要补充
的直接条件是 .
16.如图所示,已知BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分别为F,E,且BF=DE,又AE=CF,则AB与CD的位置关系是
.
17.如图所示,DA⊥AB,EA⊥AC,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,AB和CD相交于P,则∠DOE的度数是
.
18.如图所示,已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于E,ED∥AC,∠BAE=36°,那么∠BED= .
三、解答题(共58分)
19.(10分)如图所示,已知点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.
(1)试说明△ABC≌△DEF;
(2)试说明BE=CF.20.(8分)如图所示,点B,F,C,E在同一条直线上,点A,D在直线BE的两侧,AB∥DE,AC∥DF,BF=CE.试说明
AC=DF.
21.(10分)如图所示,点A,B,C,D在同一条直线上,EA⊥AD,FD⊥AD,AE=DF,AB=DC.说明∠ACE=∠DBF.
22.(10分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.CE⊥BE,CE与AB相交于点F,AD⊥CF于点D,且AD平
分∠FAC.请写出图中的两对全等三角形,并选择其中一对加以说明理由.
23.(10分)如图所示.在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB,ED.
(1)说明△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.
24.(10分)(1)如图(1)所示,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N
是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,说明AM=MN.
下面给出一种说理的思路,你可以按这一思路进行说理,也可以选择另外的方法说理.
理由:在边AB上截取AE=MC,连接ME.在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,所以∠NMC=180°- ∠AMN-
∠AMB=180°- ∠B- ∠AMB=∠MAB.下面请你完成余下的说明过程.(在同一三角形中,等边对等角)(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图(2)所示),N是∠ACP的平分线上一点,则当
∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”,请你作出猜想:当∠AMN= 时,结论
AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)
【答案与解析】
1.D(解析:由CD是∠ACB的平分线,∠ACB=60°,得∠ACD=30°,又因为∠A=80°,所以∠BDC=180°-
∠ADC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°.)
2.C(解析:由∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF可得出△ACF≌△ABE,从而得出∠EAB=∠FAC,然后推出△AEM≌△AFN,
所以EM=FN,①成立;由条件可证△CAN≌△BAM,④成立;同时易推出∠FAN=∠EAM,③成立;只有CD=DN不一
定成立.)
3.D(解析:全等三角形中相等边所对的角是对应角,∠α是边b所对的角.)
4.B(解析:△ABO≌△DCO,△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA.)
5.C(解析:条件①满足SSS,条件②满足SAS,条件③满足ASA,都能判定△ABC≌△DEF.只有条件④满足SSA,
不能判定△ABC≌△DEF.)
6.C(解析:添加选项A满足SSS,添加选项B满足SAS,添加选项D满足HL,都能判定△ABC≌△ADC,添加选项
C满足SSA,不能判定△ABC≌△ADC.)
7.A(解析:由角平分线的性质可知D到BC的距离等于D到AB的距离.)
8.D(解析:由作图过程不难看出,两个三角形三边相等,故选D.)
9.C(解析:由AB=AC,∠BAC=90°,可得△ABC是等腰直角三角形,∠C=45°,由AD⊥BC,可得△ABD是等腰直角三
角形,所以∠BAD=45°.从而推出△ABF≌△CAE,所以∠ABF=∠CAE.由∠AED=62°,可知∠CAE=17°,所以
∠ABF=17°,所以∠DBF=45°- 17°=28°.)
10.D(解析:添加BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD均可.)
11.30°(解析:由∠A=110°,∠B=40°,可得∠C=30°,由△ABC≌△ABC,可得∠C=∠C=30°.)
1 1 1 1
12.∠B=∠C(解析:答案不唯一.)
13.AC=AD(解析:答案不唯一,填∠C=∠D,∠ABC=∠ABD也可.)
1
14.(1)4 (2)30°(解析:由∠BAC=60°,可得∠B=30°,所以AC= AB,AB=4.)
2
15.CA=AC ∠DCA=∠BAC(解析:根据SAS所需要的条件及题设和图形,不难得到结论.)
16.平行(解析:由AE=CF知AF=CE,又BF=DE,∠BFA=∠DEC=90°,从而知△ABF≌△CDE,从而∠A=∠C.故
AB∥CD.)
17.90°(解析:利用三角形全等来求解.因为DA⊥AB,EA⊥AC.所以∠DAB=∠EAC=90°.所以
{
AB=AD,
∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠EAB.在△DAC和△BAE中, AE=AC, 所以
∠DAC=∠BAE.
△DAC≌△BAE(SAS).所以∠D=∠ABE(全等三角形的对应角相等).又因为∠DPA=∠BPO(对顶角相等),所以
∠BOD=∠DAP=90°,所以∠DOE=90°.)
18.126°(解析:如图所示,延长BE交AC于F,因为AE是∠BAF的平分线,且∠BAE=36°,所以∠EAF=∠BAE=36°.
{∠BAE=∠FAE,
又因为BE⊥AE,所以∠AEB=∠AEF=90°.在△AEB和△AEF中, AE=AE, 所以
∠AEB=∠AEF.△ABE≌△AFE(ASA).所以∠ABE=∠AFE.又因为∠AEF=90°,∠FAE=36°,所以∠AFE=54°,所以∠EFC=126°.又因为
ED∥AC(已知),所以∠BED=∠EFC=126°(两直线平行,同位角相等).)
19.解:(1)因为AC∥DF,所以∠ACB=∠DFE.又因为∠A=∠D,AB=DE,所以△ABC≌△DEF(AAS). (2)由
△ABC≌△DEF,得BC=EF,所以BC- CE=EF- CE,即BE=CF.
20.解:因为AB∥DE,所以∠B=∠E.因为AC∥DF,所以∠ACB=∠DFE.因为BF=CE,所以BC=EF.在△ABC和△DEF
{
∠B=∠E,
中, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(ASA),所以AC=DF.
∠ACB=∠DFE.
21.解:因为AB=CD,所以AC=BD.因为AE⊥AD,FD⊥AD,所以∠A=∠D=90°.在△ACE和△DBF中,
{∠A=∠D,
AC=BD, 所以△ACE≌△DBF(SAS).所以∠ACE=∠DBF.
AE=DF.
22.解:△ADC≌△ADF,△ADC≌△CEB,△ADF≌△CEB(写出其中两对即可).对△ADC≌△ADF的说明如下:因为AD平
分∠FAC,所以∠CAD=∠FAD.因为AD⊥CF,所以∠ADC=∠ADF=90°.又因为AD=AD,所以△ADC≌△ADF(ASA).
23.解:(1)因为四边形ABCD是正方形,所以BC=CD,∠ECB=∠ECD=45°.又因为EC=EC,所以△BEC≌△DEC.
1
(2)因为△BEC≌△DEC,所以∠BEC=∠DEC= ∠BED.因为∠BED=120°,所以∠BEC=60°=∠AEF,所以
2
∠EFD=∠AEF+∠CAD=60°+45°=105°.
24.解:(1)因为AB=BC,AE=CM,所以BE=BM.又∠B=90°,所以△BME是等腰直角三角形,∠BEM=45°,所以
∠AEM=135°.因为CN是∠DCP的平分线,所以∠NCP=45°,所以∠MCN=135°,所以∠AEM=∠MCN.在△AEM和
{∠MAE=∠NMC,
△MCN中, AE=MC, 所以△AEM≌△MCN(ASA),所以AM=MN. (2)成立.如图所示.在AB上截
∠AEM=∠MCN.
取AE=MC, 连接ME.因为△ABC为等边三角形,所以∠B=∠ACB=60°,AB=BC.又因为AE=MC,所以BM=BE,所
180°- 60° 180°- ∠ACB
以∠BEM= =60°,所以∠AEM=120°.因为CN平分∠ACP,所以∠PCN=
2 2
=60°,所以∠MCN=120°,所以∠AEM=∠MCN.因为∠EAM+∠AMB=120°,∠CMN+∠AMB=180°- ∠AMN=180°-
{∠EAM=∠CMN,
60°=120°,所以∠EAM=∠CMN.在△AEM和△MCN中, AE=MC, 所以△AEM≌△MCN(ASA).所以
∠AEM=∠MCN.
(n- 2)×180°
AM=MN. (3)
n