文档内容
新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
第四章 图形的相似
1.了解线段的比、成比例线段,掌握比的性质及平行线分线段成比例的基本事实.
2.了解相似多边形和相似比.
3.探索并理解三角形相似的条件和性质.
4.了解相似三角形判定定理的证明.
5.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.
6.探索并了解多边形的各顶点坐标(有一个顶点为原点,有一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同倍数时
所对应的图形与原图形的位似关系.
7.了解黄金分割的意义,以及相似图形在现实生活中的应用.
在研究与图形相似有关的问题中,经历观察、操作、类比、归纳、交流等过程,进一步发展几何直观和
推理能力,发展发现问题、提出问题、解决问题的能力,积累数学活动经验.
在探索问题、合作交流的过程中,进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值,增强应
用意识.
基于《标准》的要求和学生的基础,本章设计的总体思路是以数形结合为基本方法,以合情推理能力与
演绎推理能力的培养为主线,在生动的问题情境和丰富的数学活动中,了解比例的基本性质、线段的比、成
比例线段;掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等,探索三角形相似的条件;了解相似三角形
的判定定理和性质定理;了解图形的位似,体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形
与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
第1节“成比例线段”、第2节“平行线分线段成比例”,教科书从观察生活中的图案到观察几何图
形,进而认识形状相同的图形.通过引导学生思考如何描述形状相同的图形的不同之处,引出学习线段的比
的必要性和线段的比的概念,在此基础上,结合图形引出成比例线段、比例的性质,以及平行线分线段成比例
等内容,从而为后面研究相似三角形做好准备.第3节“相似多边形”,教科书结合具体的形状相同的图形,
明确对应角、对应边的概念,继而给出相似多边形、相似比的概念,接着通过若干具体活动进一步巩固对相
似多边形概念的理解.第4节“探索三角形相似的条件”,根据相似多边形的定义,顺势引出相似三角形的概
念,接着,类比三角形全等条件的探索,展现三角形相似条件的探索,明确给出相似三角形的三个判定定理,另
外,本节借助相似三角形,介绍了黄金分割、黄金比及其计算过程.考虑到相似三角形判定定理的证明是
《标准》规定的选学内容,教科书在得出三角形相似的条件之后,设计了第5节“相似三角形判定定理的证
明”,将相似三角形判定定理的证明单独成节,是为了方便教师在教学中根据学情灵活安排.在相似三角形新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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判定定理之后,设计了一节活动课,即第6节“利用相似三角形测高”,介绍了利用相似三角形测量旗杆高度
的几种方法.第7节“相似三角形的性质”,研究相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的
比与相似比的关系,以及周长比、面积比与相似比的关系.第8节“图形的位似”,介绍位似图形的概念,利
用位似图形将一个图形放大或缩小,研究多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原
图形的位似关系.
【重点】
1.成比例线段的性质.
2.相似三角形的判定和性质.
3.相似形知识在生活中的应用.
【难点】
1.比例的性质.
2.相似多边形的判定.
1.数学教学是数学活动的教学,因此建议设置丰富的问题情境,展现知识的发生、发展过程.因此,本章在
研究的过程中应注重知识内容与研究方法上的联系与区别,应关注“对应”关系的确定(对应边的关系、对
应角的关系等),注重基本模型的识别与应用.
2.应注重站在系统的高度,突显类比的方法,梳理相关知识,帮助学生建立知识体系;重视渗透研究几何图
形的基本问题和方法,进一步把握“特殊与一般”的关系,进一步明确“性质定理与判定定理”的互逆关系,
进一步发展学生合情推理与演绎推理的能力.
3.注重数学思想的教学,关注对证明思路的启发,学会数学的思考,提倡证明方法的多样性;关注数学教学
的生活意义与模型价值,培养学生应用意识,提倡采用数学实践活动的方式让学生用数学,感受数学的应用价
值.
1 成比例线段 2课时
2 平行线分线段成比例 1课时
3 相似多边形 1课时
4 探索三角形相似的条件 4课时
*5 相似三角形判定定理的证明 1课时
6 利用相似三角形测高 1课时
7 相似三角形的性质 2课时
8 图形的位似 2课时
1 成比例线段新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念,理解并掌握比例的性质.
通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学
应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.
学会与他人合作交流,通过有关比的计算,让学生懂得数学的作用,从而增强学生学习数学的信心.
【重点】 线段的比和成比例线段,以及比例线段的基本性质.
【难点】 比例线段的基本性质的运用.
第 课时
1.了解线段的比和成比例线段的概念.
2.理解比例线段的基本性质.
通过生活情境理解相关概念.
增强学生对数学知识来源于生活的认识.
【重点】 成比例线段的概念.
【难点】 比例线段的基本性质.
【教师准备】 课堂教学用的投影图片.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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【学生准备】 测量长度的直尺,放大镜等.
导入一:
出示如图所示的两面大小不同的国旗,让学生比较这两面国旗有什么不同.
[设计意图] 以接近学生生活实际的国旗为背景,对学生进行爱国主义教育,同时提出国旗中蕴含着数
学知识,激发学生的学习积极性,从而自然引入本节课内容.
导入二:
埃及法老阿美西斯想要测量金字塔的实际高度,可是没有一个埃及人能测出来.古希腊学者泰勒斯对法
老阿美西斯说:“我只需找一个特殊的时刻,就能测出金字塔的高度.”泰勒斯在金字塔前竖立一根1 m长
的木棒,他不断测量木棒的影长,当木棒的影子的长正好是1 m时,特殊时刻来了,如图所示,设金字塔的塔基
宽为2b m,在塔外的影长为a m,落在塔内的影长恰为塔基宽的一半,这意味着金字塔的影长为a+b,因为木
棒的高度与影长的比为1∶1,所以在同一时间同一地点的金字塔的高度与影长之比也应为1∶1,所以金字塔的
高度为(a+b)m.
[过渡语] 形状相同、大小不同的两个图形之间存在着怎样的对应关系呢?
一、两条线段的比
(1)学生测量两面国旗对角线的长度后,教师总结:描述两面国旗大小之间的关系,我们可以借助于两条
线段的比来说明.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就
AB m
=
是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成 .其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项,如果
CD n
m AB
把 表示成比值k,那么 =k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图所示,五边形
n CD
5
ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm,AB∶A'B'=5∶3, 就是线段AB和线段A'B'的比,这
3
个比值刻画了这两个五边形的大小关系.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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(2)问题思考:AB∶A'B'=5∶3,这时线段A'B'与线段AB的比是多少呢?
[知识拓展] (1)求线段的比时,线段的长度单位要统一.
(2)线段的比没有单位,所以线段的比与所采用的长度单位无关.
(3)两条线段的比有先后顺序,前项和后项不能颠倒.
二、成比例线段
[过渡语] 如果两个图形完全一样,只是大小不同,这两个图形上的对应线段之间存在什么关系呢?
思路一
如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.
(1)AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?
AB AD AB EF
(2) , , , 的值相等吗?
EF EH AD EH
a c
=
【总结】 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做
b d
成比例线段,简称比例线段.
【思考】 上图中还有哪些线段是比例线段?
[知识拓展] 在理解比例线段时,应注意三点:
(1)比例线段是特指四条线段之间的关系,两条线段不能是比例线段,三条线段中的任意一条线段都不能
重复使用时,三条线段也不能是比例线段,而五条或五条以上的线段中,只能判断其中的某四条线段能否是成
比例线段.
(2)成比例线段是有顺序的.即若a,b,c,d是成比例线段,则a∶b=c∶d,而不能写成a∶b=d∶c.
(3)为了讨论问题方便,我们再给出两个相关的定义:①比例的内项与外项:如果四条线段a,b,c,d是比例
线段,那么把线段b,c叫做比例内项,把线段a,d叫做比例外项.②第四比例项:如果四条线段a,b,c,d是成比例
线段,那么线段d叫做线段a,b,c的第四比例项.
下列四组线段中,是成比例线段的是( )
A.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm
B.3 cm,6 cm,2 cm,5 cm
C.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
D.12 cm,8 cm,15 cm,10 cm新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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5 7 3 2 2
〔解析〕 ∵ ≠ ,∴不是成比例线段,故选项A错误;∵ ≠ ,∴不是成比例线段,故选项B错误;∵ ≠
6 8 6 5 4
6 12 15
=
,∴不是成比例线段,故选项C错误;∵ ,∴是成比例线段,故选项D正确.故选D.
8 8 10
思路二
【活动1】 建立比例线段的概念.
AB A'B'
=
【投影图片】 如图所示,AB=50,BC=25,A'B'=20,B'C'=10,求证 .
BC B'C'
AB 50 A'B' 20
= =
证明:∵ =2, =2,
BC 25 B'C' 10
AB A'B'
=
∴ .
BC B'C'
引导学生分析得出四条线段AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段.
(1)题目的已知中共有几条线段?分别是哪几条?
(2)其中的线段AB,BC的比是多少?线段A'B',B'C'的比是多少?其中线段AB与BC的比与线段A'B'与
B'C'的比有何关系?
(3)我们称AB,BC,A'B',B'C'这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
(4)请同学们根据这个例子想一想,什么样的四条线段叫做成比例线段?
(5)学生叙述,教师板书比例线段的定义:
在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比
例线段.
【活动2】 熟悉比例线段的概念.
(1)定义告诉我们判定四条线段是成比例线段的方法:
a c
=
(其中的一个比例式) ⇒a,b,c,d四条线段成比例;
b d
(2)定义告诉我们若已知四条线段成比例,则一定有比例式:
a c
=
a,b,c,d四条线段成比例⇒ (唯一的一个比例式).
b d
与比例线段有关的概念:
(1)项、内项、外项、第四比例项.
a,b,c,d叫做组成比例的项,b,c叫做比例内项,a,d叫做比例外项,d叫做a,b,c的第四比例项.
(2)比例中项.
a b
=
若作为比例内项的是两条相同的线段,即 或a∶b=b∶c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.
b c
三、探索比例线段的基本性质
计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积.
4 12
(1) = ;(2)❑√2∶❑√3=❑√6∶3.
5 15
通过计算,同学们发现了什么规律?新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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【学生活动】 两个内项的积与两个外项的积相等.
a c
=
【教师活动】 我们把上面成比例的四个数用字母表示,即 ,用什么方法来说明两个内项的积与
b d
两个外项的积相等?
a c
=
【学生活动】 学生独立思考1分钟后,分组交流探讨“如果 ,那么ad=bc”.
b d
【教师活动】 教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.
【学生活动】 各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出
现的解决方案:
a c
=
(1)等式 两边同时乘bd.
b d
a c
=
(2)设 =k,则a=bk,c=dk,因此ad=(bk)d=b(dk)=bc.
b d
【教师活动】 我们又如何把乘积的形式化成比例的形式?
【学生活动】 学生共同回答“等式两边同时除以bd”.
【教师活动】 我们把以上两个方面综合起来,就是比例线段的基本性质.
比例线段的基本性质:
a c a c
= =
如果 ,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么 .
b d b d
[设计意图] 从特殊情况出发,使学生对比例线段的基本性质有一个直观的认识,再让学生以一般的形
式探索和推导,让全体学生充分参与,一步一步得出比例线段的基本性质,体现了“从特殊到一般”的教学思
想.
a c
=
【教师活动】 根据上面的方法你能由 推导出下列比例式吗?
b d
a b d c b d c a b a c d d b
(1) = ;(2) = ;(3) = ;(4) = ;(5) = ;(6) = ;(7) = .
c d b a a c d b d c a b c a
(教材例1)一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照如图所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,
AE AD
=
且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即 ,那么a的值应当是多少?
AD AB
1
解:根据题意可知,AB=a m,AE= a m,AD=1 m.
3
1
AE AD a
由 = ,得3 1,
AD AB =
1 a
1
即 a2=1,∴a2=3.
3
开平方,得a=❑√3(a=-❑√3舍去).新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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AD AB
=
【问题思考】 如果换成 ,那么a的值应当是多少?
AE AD
1.在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称
.在a∶b=c∶d中,a,d叫做比例 ,b,c叫做比例 .如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d
叫做线段a,b,c的 .
答案:c与d的比 比例线段 外项 内项 第四比例项
2.如果选用 量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n,其
中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的 和 .
答案:同一个长度单位 前项 后项
a c
=
3.如果 ,那么 ;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么 .
b d
a c
=
答案:ad=bc
b d
第1课时
1.两条线段的比
2.成比例线段
3.比例线段的基本性质
一、教材作业
【必做题】
教材第79页习题4.1的1,2题.
【选做题】
教材第79页习题4.1的3题.
二、课后作业新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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【基础巩固】
1.下列说法中错误的是 ( )
A.线段的比就是指它们的长度之比
B.只要两条线段的长度采用同一单位,那么两条线段的比与所采用的单位无关
C.求两条线段的比,一定要用同一单位,如果单位不同,应先化成同一单位,再求它们的比
D.两条线段的比与两个数的比一样有正有负
2.一根旗杆长6 m,在正午的阳光下,其影长为80 cm,则旗杆的长与它的影子的长度之比为( )
3 40 2 15
A. B. C. D.
40 30 15 2
3.下列四组线段中,成比例的是 ( )
A.a=3,b=6,c=2,d=5
B.a=1,b=❑√2,c=❑√6,d=❑√5
C.a=4,b=8,c=5,d=10
D.a=2,b=❑√5,c=❑√15,d=2❑√2
2
4.一条线段的长度是另一条线段长度的 ,则这两条线段的比为 .
3
5.四条线段a,b,c,d成比例,且a=14 cm,b=16 cm,c=13 cm,则d= .
【能力提升】
6.下列各组线段中,能成比例的是( )
A.3,6,7,9 B.2,5,6,8
C.3,6,9,18 D.1,2,3,4
7.已知线段a,b,c,d是比例线段,其中a=6 cm,b=4 cm,c=12 cm,求线段d的长.
【拓展探究】
8.已知三个数,a=1,b=2,c=❑√3,请你再添一个数d,使它们能构成比例式,写出这个比例式.(至少写两个)
【答案与解析】
1.D
2.D
3.C
2 3
4. 或
3 2
104
5.
7
6.C(解析:由比例的基本性质可知,若四条线段成比例,则必有两条线段长度之积等于另两条线段长度之积,所
以判断时只需看最小数与最大数之积是否等于另两数之积便可作出判断.如
3×9≠6×7,2×8≠5×6,3×18=6×9,1×4≠2×3,故选C.)
bc 4×12
=
7.解:因为a,b,c,d是比例线段,所以a∶b=c∶d,即d= =8,所以线段d的长为8 cm.
a 6
2 a c a d
8.解:如:d=2❑√3或 ❑√3,比例式为 = 或 = .答案不唯一.
3 b d c b新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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本课时的知识要点是强调线段对应成比例,这一点在教学的过程中得到了有效的贯彻.
在理解比例线段的基础上,由特殊上升到一般,接着探讨了比例线段的基本性质.理解比的意义和比例
线段,是灵活运用比例线段的基本性质的前提.在知识的讲解和例题、习题的讲练过程中,都渗透着对这个
问题的处理.
比例线段的比不是固定不变的.比例线段强调的是比例的大小,随着比的顺序的变化,比值也会随之变
化,这一点在教学中没有特别地强调.这一点不强调,不利于学生今后理解图形的相似比.
以国旗的长和宽为例,强调长和宽是一对比例线段,它们的比值是不变的.以一面国旗来讲,这里强调的
是长和宽的比.从两面国旗的角度看,小国旗和大国旗的长和宽是四条对应成比例的线段.
随堂练习(教材第79页)
1.提示:在地图上,图上长度与实际长度的比叫比例尺.如:用同一张洗出的不同尺寸的两张照片上对应线段的
比相同,按照图纸严格建造的楼房的窗户的长与宽与图纸上相应的长与宽的比相同等.
2.解:长线段∶短线段=5∶1.
3.解:因为a,b,c,d是成比例线段,所以a∶b=c∶d,即3∶2=6∶d,所以d=4(cm).
习题4.1(教材第79页)
1.解:因为在ΔABC中,∠B=90°,AB=BC=10 cm,所以AC=10❑√2 cm.因为ED=EF=12 cm,DF=8 cm,所以
AB 10 5 AC 10❑√2 5❑√2
= = , = = .
EF 12 6 DF 8 4
AD AE AD 6 72 72
= =
2.解:∵ ,∴ .解得AD= .∴AD的长为 cm.
DB EC 12-AD 5 11 11
AD AB
AD AB 1 = AB2 AB
3.解:由题意可知 = ,∵AE= AB,∴1 AD,即AB2=2AD2,∴ =2,∴ =❑√2,即原来矩
AE AD 2 AB AD2 AD
2
形的长边与短边的比是 ∶1.
❑√2
关于成比例线段应注意以下两点:
(1)线段的比是指两条线段长度之间的比的关系,而成比例线段是指四条线段长度之间的比的关系.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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a c
=
(2)线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如 是线段a,b,c,d成比例,而不是线段a,c,b,d
b d
成比例.
通常成比例的四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b的单位一致,c,d的单
位一致也可以,为什么?
解:例如:a=30 cm,b=50 cm,c=3 m,d=5 m,我们可以把四条线段的长度单位都化成厘米,即a=30
a 30 3 c 300 3 a c a 30 3
= = = = = = =
cm,b=50 cm,c=300 cm,d=500 cm,则 , ,因此 ;我们也可以求出 ,
b 50 5 d 500 5 b d b 50 5
c 3 a c
= =
,所以 .
d 5 b d
第 课时
理解等比的性质.
通过具体数字和证明领会等比性质.
鼓励和培养学生的探索精神.
【重点】 等比的性质.
【难点】 等比性质的变形及灵活运用.
【教师准备】 等比性质的推导过程和课堂小结的投影图片.
【学生准备】 复习比例线段和比例的性质.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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导入一:
小明给小刚提出一个很有意思的问题.他说:“数学来源于生活.因此,数学中的许多定理都可以用生活
a c m a+c+…+m a
= =
中的常识来解释,请你利用一个生活常识来解释:若 =…= (b+d+…+n≠0),则 .”
b d n b+d+…+n b
小刚想了想说:“若有含糖a kg的糖水b kg,含糖c kg的糖水d kg,含糖e kg的糖水f kg……它们的浓度
a+c+e+… a
=
相等,把这些糖水混合到一起后,浓度不变,表示方法为: .”
b+d+f +… b
小刚所举的例子有什么数学根据呢?
导入二:
AB BC CD DA AB+BC+CD+DA
= = =
如图所示,已知 =2,你能求出 的值吗?
EF FG GH HE EF+FG+GH+HE
[过渡语] 你能计算出导入二问题的结果吗?
【学生活动】 学生独立思考1分钟后,分组交流探讨.
【教师活动】 教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.
【学生活动】 各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.
学生可能出现的解决方案:
AB BC CD DA
= = =
因为 =2,所以AB=2EF,BC=2FG,CD=2GH,DA=2HE.
EF FG GH HE
AB+BC+CD+DA 2EF+2FG+2GH+2HE
=
所以 =2.
EF+FG+GH+HE EF+FG+GH+HE
1 2 4 8 1+2+4+8 15 1
= = = = =
【猜想】 用数字验证: , ,故成立.
2 4 8 16 2+4+8+16 30 2
【教师活动】 用数字验证的结论可靠吗?
【学生活动】 学生独立思考1分钟后,分组交流探讨.
【教师活动】 教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.
【学生活动】 各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.
学生可能出现的解决方案:
a c m
=
设 =…= =k,∴a=bk,c=dk,…,m=nk.
b d n
a+c+…+m bk+dk+…+nk k(b+d+…+n) a
= =
∴ =k= .
b+d+…+n b+d+…+n b+d+…+n b
a c m a+c+…+m a
= =
【结论】 等比性质:如果 =…= (b+d+…+n≠0),那么 .
b d n b+d+…+n b新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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AB BC CA 3
= = =
(教材例2)在ΔABC与ΔDEF中,已知 ,且ΔABC的周长为18 cm,求ΔDEF的周
DE EF FD 4
长.
AB BC CA 3
= = =
解:∵ ,
DE EF FD 4
AB+BC+CA AB 3
= =
∴ .
DE+EF+FD DE 4
∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD),
4
即DE+EF+FD= (AB+BC+CA).
3
又∵ΔABC的周长为18 cm,
即AB+BC+CA=18 cm,
4 4
∴DE+EF+FD= (AB+BC+CA)= ×18=24(cm),
3 3
即ΔDEF的周长为24 cm.
【思考】
AB+BC 3
(1) = 吗?
DE+EF 4
BC+CA 3
(2) = 吗?
EF+FD 4
(3)如果AB+BC=10 cm,DE+EF等于多少?
[设计意图] 学到的知识要会应用升华,通过学生练习,使学生掌握运用比例的基本性质、等比性质来
求值和说理的方法;通过归纳学生的各种解题方法,达到一题多解的目的,培养学生多角度的开放性思维能力.
[知识拓展] (1)将比例式转化为乘积式是有规律的,并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘积
都等于另外两个字母的乘积,这个规律是:比例的外项乘积等于内项乘积.
(2)用等比性质时,要注意b+d+…+n≠0这个条件.
(3)比例的其他性质:
a c a±b c±d
= =
合比性质:如果 ,那么 .
b d b d
a c a b c d
= = =
更比性质:如果 ,那么 或 .
b d c d a b
a c b d
= =
反比性质:如果 ,那么 .
b d a c新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
a
1.已知2a=3b,则 = .
b
3
答案:
2
y
2.若3x-5y=0,则 = .
x
3
答案:
5
a c 3 a+c
= =
3.若 (b+d≠0),则 的值为 .
b d 4 b+d
3
答案:
4
a c e 5 a+2c+3e
= = =
4.已知 ,则 = .
b d f 7 b+2d+3f
5
答案:
7
AD AE DE 7
= = =
5.在ΔABC和ΔADE中, ,且ΔABC的周长为36 cm,则ΔADE的周长为
AB AC BC 12
.
答案:21 cm
第2课时
1.等比性质
2.等比性质的证明
一、教材作业
【必做题】
教材第81页习题4.2的1,2题.
【选做题】
教材第81页习题4.2的3题.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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二、课后作业
【基础巩固】
a 5
=
1.已知 ,那么下列等式中不一定正确的是 ( )
b 2
a b
=
A.2a=5b B.
5 2
a+b 7
=
C.a+b=7 D.
b 2
a-b 2 a
=
2.若 ,则 等于 ( )
b 3 b
1 2 4 5
A. B. C. D.
3 3 3 3
a 3 a+b
=
3.若 ,则 的值是( )
b 5 b
2 3 5 8
A. B. C. D.
5 8 8 5
4.已知直角三角形的两条直角边长的比为a∶b=1∶2,斜边长为4❑√5 cm,那么这个三角形的面积是 ( )
A.32 cm2 B.16 cm2 C.8 cm2 D.4 cm2
x+ y
5.若2x-5y=0,则y∶x= , = .
y
a c e 3
= = =
6.已知 ,b+d+f=50,那么a+c+e= .
b d f 5
a c e 4 a+c-e
= = =
7.如果 ,那么 = .
b d f 5 b+d-f
【能力提升】
a c
=
8.如果 成立,那么下列各式一定成立的是 ( )
b d
a d b c
= =
A. B.
c b a d
a+1 c+1 a+2b c+2d
= =
C. D.
b d b d
a-b 4 a
=
9.若 ,则 = .
b 7 b
x 3 x+ y
=
10.若 ,则 = .
y 2 x- y
x y z x+ y+z
= =
11.已知 ,求 .
2 3 4 x+ y-z
【拓展探究】新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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a-b b-c c-a
= =
12.设a,b,c是ΔABC的三条边,且 ,判断ΔABC为何种三角形,并说明理由.
b c a
【答案与解析】
1.C
2.D
3.D
4.B
7
5.2∶5
2
6.30
4
7.
5
8.D
11
9.
7
10.5
x y z x+ y+z x x+ y-z x x+ y+z x+ y-z x+ y+z
= = = = =
11.解法1:由 ,得 , ,所以 ,即 =9.解
2 3 4 2+3+4 2 2+3-4 2 9 1 x+ y-z
x y z x+ y+z
= =
法2:设 =k,则x=2k,y=3k,z=4k,显然k≠0,否则x=y=z=0,分式 无意义.所以
2 3 4 x+ y-z
x+ y+z 2k+3k+4k
=
=9.
x+ y-z 2k+3k-4k
a-b b-c c-a
= =
12.解:ΔABC为等边三角形.理由如下:设a,b,c是ΔABC的三条边,∴a+b+c≠0.∵ ,∴
b c a
a-b b-c c-a a-b+b-c+c-a
= = =
=0,∴a=b=c,∴ΔABC为等边三角形.
b c a a+b+c
等比的性质及其变形是本课时的知识难点,为了突破这个难点,必须让学生领会等比性质的推导过程.
在推导等比性质的过程中,放手让学生用自己的方法去证明和推导等比性质,加上老师恰到好处的提示和点
拨,使学生深刻领会等比性质的推导过程.
等比性质的变形是在课堂练习和习题当中体现的内容,是学生课后探究尝试的内容,在本课时的教学过
程中,过早地交代和涉及了相关的知识,加大了本课时的课时容量,也会给学生造成知识掌握上的困难.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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在引导学生探究等比性质的时候,应该遵循从特殊到一般的认识规律,先让学生选择具体的数字或者任
意的线段长度进行尝试,有了一定的感性认识之后,最终探索等比性质的一般形式,并适时强调等比性质成立
的条件.
随堂练习(教材第80页)
a c 2 a+c a 2
= = = =
解:由于 (b+d≠0),因此根据等比性质得 .
b d 3 b+d b 3
习题4.2(教材第81页)
a c e 2 a+c+e a 2
= = = = =
1.解:由于 且b+d+f≠0,因此根据等比性质得 .
b d f 3 b+d+f b 3
2.解:AB=2❑√5,DE=❑√5,BC=2❑√10,DC=❑√10,AC=2❑√13,EC=❑√13.C ∶C =(2❑√5+2❑√10+2❑√13)∶(
ΔABC ΔEDC
❑√5+❑√10+❑√13)=2∶1.
a c a+b bk+b c+d dk+d a+b c+d
= = = =
3.解:正确.设 =k,则a=bk,c=dk,所以 =k+1, =k+1,所以 .同
b d b b d d b d
a-b c-d
=
理, .
b d
(1)有关比例的证明题.
a a-c 1 1 2
= + =
已知 ,求证 .
b c-b a b c
〔解析〕 这是一道有关比例的证明题,利用比例的基本性质证明.
a a-c
=
证明:因为 ,所以a(c-b)=b(a-c),
b c-b
即ac-ab=ab-bc,所以ac+bc=2ab,
1 1 2
+ =
两边同时除以abc,得 .
a b c
[解题策略] 解此题时,要注意a≠0,b≠0,c≠0这个隐含条件,所以在等式两边可以同时除以abc.
(2)用代换思想解比例问题.
3 1
若c≠0,3a=5b+2c, a+ b=4c,求a∶b∶c.
2 2
〔解析〕 上面两个等式可看成方程,两个方程中有三个未知数,无法直接求解,应把其中一个字母看成
已知数,用含有这个字母的式子表示另两个字母.
{3a=5b+2c, { 7
a= b,
解:由题意得 3 1 解得 3
a+ b=4c,
2 2 c=b,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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7
所以a∶b∶c= b∶b∶b=7∶3∶3.
3
2x+ y
(2014·牡丹江中考)若x∶y=1∶3,2y=3z,则 的值是 ( )
z- y
10 10
A.-5 B.- C. D.5
3 3
2x+ y 2k+3k
=
〔解析〕 ∵x∶y=1∶3,∴设x=k,y=3k,∵2y=3z,∴z=2k,∴ =-5.故选A.
z- y 2k-3k
a+b
若2a=3b=4c,且abc≠0,则 的值是 ( )
c-2b
A.2 B.-2 C.3 D.-3
a+b 6k+4k 10k
= =
〔解析〕 设2a=3b=4c=12k(k≠0),则a=6k,b=4k,c=3k,所以 =-2.故选
c-2b 3k-2×4k -5k
B.
2 平行线分线段成比例
1.理解平行线分线段成比例基本事实及其推论,初步熟悉平行线分线段成比例的应用.
2.通过有关比的计算,激发学生学习数学、探索问题的兴趣,培养学生进行一定的问题研究的能力.
通过教学,培养学生的观察、分析、概括能力,了解特殊与一般的辩证关系.
学会与他人合作交流.
【重点】 理解平行线分线段成比例基本事实及其推论.
【难点】 成比例的线段中对应线段的确认.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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【教师准备】 教材图4-6,图4-7的投影图片.
【学生准备】 复习两条线段的比、比例线段的概念及比例的性质,并预习新课内容.
导入一:
如图(1)所示,梯子是施工过程中经常使用的工具,因为它的实用性和稳定性都很好,所以梯子的应用非
常广泛,大到施工工地,小到日常家居,都能看到梯子的身影.如图(2)所示的梯子在生产过程中因为工作失误
导致“左右不对称”,不过AB=BC=…,AD∥BE∥CF∥…,这些都符合要求,那么DE和EF相等吗?
导入二:
我们已经学习了成比例线段,请同学们回忆一下,什么叫成比例线段?能不能举几个例子说一说?这里给
出四条线段,我们需要计算才能知道它们成不成比例,这节课我们将要学习不用计算,就知道它们成不成比例
的方法,你们想知道是什么吗?
[过渡语] 在什么情况下的四条线段对应成比例呢?
【探索活动一】 平行线分线段成比例的基本事实.
出示教材图4-6.在图4-6中,小方格的边长均为1,直线l∥l∥l,分别交直线m,n于点A,A,A,B,B,B.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
问题1
计算线段AA,AA,BB,BB 的长度.
1 2 2 3 1 2 2 3
问题2
A A B B
1 2 1 2
等于 吗?
A A B B
2 3 2 3
问题3
A A B B
1 2 1 2
等于 吗?
A A B B
1 3 1 3
问题4新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
将l 向下平移到如图4-7所示的位置,直线m,n与l 的交点分别为A,B,你在问题1,2,3中发现的结论还
2 2 2 2
成立吗?如果将l 平移到其他位置呢?
2
问题5
在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗?
(问题提示:经过计算,在图4-6中,AA=❑√2,AA=4❑√2,BB=❑√5,BB=4❑√5,利用此数据可得问题2,问题
1 2 2 3 1 2 2 3
3中的两条线段的比均相等.对于问题4的探索,可同样采取前3个问题的办法)
[设计意图] 学生对于理解“平行线分线段成比例”这一基本事实有一定的困难,这里的体验活动正
好让他们对这一基本事实有一个直观理解.利用直观的操作培养学生大胆猜测、从实践中得出结论的能力,
充分体现了教师为主导,学生为主体的教学原则.
基本事实的总结:
【文字叙述】 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
AB DE
=
【符号表述】 如图所示,直线l,l,l 截直线a,b,且l∥l∥l,则 .
1 2 3 1 2 3 BC EF
[知识拓展] (1)理解“对应”的含义:对应线段成比例,是指所得的对应位置的线段成比例,如
左上 右上 左上 左下 左上 右上 左下 右下
= = = =
, , , .
左下 右下 右上 右下 左全 右全 左全 右全
(2)平行线分线段成比例定理与平行直线和被截两直线的交点位置无关.
如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是 ( )
AD BC BC DF
= =
A. B.
DF CE CE AD
CD BC CD AD
= =
C. D.
EF BE EF AF
AD BC
=
〔解析〕 ,AD和BC对应(同为上),DF和CE对应(同为下),根据平行线分线段成比例定理
DF CE
BC DF
=
可知选项A正确; ,BC和DF不对应(一上一下),CE和AD不对应(一下一上),故选项B错误;
CE AD
CD BC
=
,CD和BC不对应,EF和BE不对应,CD,EF不是三条平行线截出的线段,故选项C错误;
EF BE
CD AD
=
,CD和AD不对应,EF和AF不对应,CD和EF不是三条平行线截出的线段,故选项D错误.故选
EF AF
A.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
【探索活动二】 平行线分线段成比例定理的推论.
在下图中平移l 可得几种变式图形?画出这些图形.
5
【教师活动】 教师板书出现的变式图形如图所示.
【学生活动】 学生可能出现的变式图形如图所示.
【教师活动】 请同学们在上述图形中找出对应线段.
【学生活动】 学生先独立思考,然后在小组组员间交流讨论.
(上面每个图中线段AB与线段DE,线段BC与线段EF,线段AC与线段DF都是对应线段)
【教师活动】 在学生得出下左图所示的变式图形后,引导学生用特殊化的手段,抽象出下右图,从而
特殊化
得出如下推论:
【推论】 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.
(教材例题)如图所示,在ΔABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?
AE AF
=
解:(1)∵EF∥BC,∴ .
EB FC
∵AE=7,EB=5,FC=4,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
AE·FC 7×4 28
= =
∴AF= .
EB 5 5
AE AF
=
(2)∵EF∥BC,∴ ,
AB AC
∵AB=10,AE=6,AF=5,
AB·AF 10×5 25
= =
∴AC= .
AE 6 3
25 10
∴FC=AC-AF= -5= .
3 3
[知识拓展] 根据平行线分线段成比例定理可得比例线段,如图(1)所示,在ΔABC中,若DE∥BC,则
AD AE AD AE
= =
,并把图(1)称为“A”字型基本图形;如图(2)所示,若DE∥BC,则 ,并把图(2)称为
DB EC AB AC
“X”字型基本图形.
1.如图所示,已知直线l∥l∥l,AB=4,BC=6,DE=3,则EF为 ( )
1 2 3
A.2 B.4.5C.6 D.8
答案:B新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
2.如图所示,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中错误的是 ( )
AD AE CE EA
= =
A. B.
AB AC CF FB
DE AD EF CF
= =
C. D.
BC BD AB CB
答案:C
AD 3
=
3.D,E分别是ΔABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,如果 ,AE=15,那么EC的长是( )
DB 2
A.10 B.22.5 C.25 D.6
答案:A
2 平行线分线段成比例
1.探索活动一
2.探索活动二
一、教材作业
【必做题】
教材第84页习题4.3的1,2题.
【选做题】
教材第85页习题4.3的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在ΔABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,AE=6,则AC等于 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
(第1题图) (第2题图)
2.如图所示,ΔABC中,DE∥BC,DF∥AC,下列各式中不正确的是 ( )
AB AC BC AD AE FC
= = = =
A. B.
AD AE DE BD EC BF
BC BA AC BD BF DE
= = = =
C. D.
FC DA AE DA FC AE
3.如图所示,已知D点在ΔABC的边AB上,点E在边AC上,AE∶EC=2∶5,AB=14 cm,当AD的长等于
cm时,可以证得DE∥BC.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
(第3题图) (第4题图)
4.如图所示,四边形ABCD中,点E,F分别在AB,DC边上,AD∥BC∥EF,BE∶EA=1∶2,若FC=2.5,则FD= .
DE DF
=
5.如图所示,F是▱ABCD的边CD上一点,连接BF,并延长交AD的延长线于点E.求证 .
AE DC
【能力提升】
6.如图(1)所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的
延长线于点F.
(1) (2)
(1)求证DE=EF;
(2)如图(2)所示,连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,交AC于点H,求证∠B=∠A+∠DGC.
【拓展探究】
7.如图所示的是一块三角形梨园,梨园的一边BC靠近河边,A处建有恒温保鲜库,要把这块梨园按人口分给
三户人家,这三户人家的人口分别为2人,3人,5人,要求都能利用河水浇地,并且保证不经过其他家的梨园把
梨运往公用恒温保鲜库储存,你将如何分配?
【答案与解析】
1.D
2.D
AE AD 2 AD
= =
3.4(解析:∵AE∶EC=2∶5,∴AE∶AC=2∶7.当DE∥BC时, ,∴ ,解得AD=4.)
AC AB 7 14
4.5(解析:∵AD∥BC∥EF,BE∶EA=1∶2,∴FC∶FD=1∶2,∵FC=2.5,∴FD=5.)
DE EF EF DF DE DF
= = =
5.证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD∥AB,AD∥BC,∴ .同理可得 ,∴ .
AE EB EB DC AE DC新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
AD AE DE AE
= =
6.证明:(1) ∵DE∥BC,∴ ,∵点D为边AB的中点,∴AE=EC,∵CF∥AB,∴ ,∴DE=EF.
DB EC EF EC
(2)∵CF∥AB,∴∠A=∠ACG,∴∠A+∠DGC=∠ACG+∠DGC=∠DHC.∵∠ACB=90°,点D为边AB的中点,
∴AD=DC,∴∠A=∠ACD,又∵∠ACB=∠CDG=90°,∴∠B=∠DHC,∴∠B=∠A+∠DGC.
7.解:如图所示,按以下方法分割三角形梨园:①过点B作射线BD;②在射线BD上依次截取线段BE,EF,FG,使
BE=2a,EF=3a,FG=5a;③连接CG,过点E,F分别作CG的平行线交BC于点P,Q;④连接AP,AQ.三户人家分别
分得三角形地块ABP,APQ,AQC.
本节课通过创设实验环境,引导学生动手实验、观察、比较、归纳,经历发现数学知识的全过程而获取
知识,掌握相应的数学思想方法.所有的新知识,通过自身“再创造”,纳入到自己的认知结构中,成为有效而
能发展的知识,优化和发展了学生的数学认知结构.这些对发展学生的认知能力,培养学生的创造力,提高数
学素养是大有裨益的.
为了发展和完善学生认知结构,除了组织完好的知识结构外,还要发展学生的认知能力,如观察能力、思
维能力和记忆能力.本节课需要学生进行细心和准确的观察,才能找好对应的线段成比例,本节课在引导学
生细心观察方面有待加强.
平行线分线段成比例是情况比较多的内容,既不能让学生眼花缭乱,也不能让学生浅尝辄止,通过图形位
置的变化,帮助学生领会实质不变的东西.为此就要引导学生自己尝试会有哪些位置变化,通过观察了解位
置变化只是内在形式的变化,不会改变定理的性质.
随堂练习(教材第84页)
3 4 21
=
解:由平行线分线段成比例定理可得 ,解得x= .
x 7 4
习题4.3(教材第84页)
5 DE 20
=
1.解:(1)由平行线分线段成比例定理可得 ,解得DE= . (2)由平行线分线段成比例定理可得
7 4 7
6 5 65
=
,解得AC= .
6+7 AC 6新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
3.2 2.4
=
2.解:(1)由平行线分线段成比例定理可得 ,解得EC=0.9(cm). (2)由平行线分线段成比例定理
1.2 EC
5 4 8
=
可得 ,解得EC= (cm).
5-3 EC 5
AB AC AB BE 5 BC 5+3 8 AB BC 8
= = = = = = =
3.解:∵ ,∴ ,∴ .∵DE∥AC,∴ .
BE EC AC EC 3 BE 5 5 BD BE 5
AD AE 2 AE 2 2 BF AE 2 BF 2
= = = = = = =
4.解:∵DE∥BC,∴ ,∴ .∵EF∥AB,∴ ,即 ,解得
BD EC 3 AC 2+3 5 BC AC 5 20 5
BF=8(cm).
(1)证明平行线分线段成比例定理.
已知:直线l∥l∥l,分别交直线l,l 于点A,D,B,G,M,N.
1 2 3 4 5
求证:BD∶AD=NM∶GM.
⊥ ⊥
证明:如图所示,过点A作直线AC∥GN,连接CD,BE,作BK AC于K,CH AB于H.
设直线DE和BC之间的距离为h,则:
1
S = BC·h=S ,S =S -S ,S =S -S ,
ΔDBC 2 ΔEBC ΔADC ΔABC ΔDBC ΔAEB ΔABC ΔEBC
∴S =S ,∴S ∶S =S ∶S .
ΔADC ΔAEB ΔABC ΔADC ΔABC ΔAEB
1 1
∵S ∶S = AB·CH ∶ AD·CH =AB∶AD,
ΔABC ΔADC 2 2
1 1
S ∶S = AC·BK ∶ AE·BK =AC∶AE,
ΔABC ΔAEB 2 2
∴AB∶AD= AC∶AE,
∴(AD+BD)∶AD=(AE+EC)∶AE,
∴BD∶AD=EC∶AE,
∴BD∶AD=NM∶GM.
(2)知识图表.
定理名称 平行线分线段成比例定理的推论或三角形一边平行线的性质定理
文字语言 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
图形语言
若DE∥BC,则
符号语言 AD∶AB=AE∶AC=DE∶ 若DF∥BC,则DA∶AB=FA∶AC=DF∶BC
BC
模型语言 字母A型 字母X型
3 相似多边形
1.经历相似多边形概念的形成过程,了解相似多边形的定义,能根据定义判断两个多边形是否相似.
2.在探索相似多边形本质特征的过程中,进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力.
通过运用相似多边形的性质解决简单的几何问题,体会数学的应用价值.
通过观察、推断得到数学猜想、获得数学结论的过程,体验数学活动充满了探索性和创造性.
【重点】 探索相似多边形的定义,判断两个多边形是否相似.
【难点】 探索相似多边形的定义的过程.
【教师准备】 新课导入图片和教材图4-11的投影图片.
【学生准备】 复习对应线段成比例的知识.
导入一:新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
如图所示,小丽的姐姐郊游时,在湖光山色中拍了一张美丽的相片,于是把它放大挂在自己的房间.看着
这一大一小的两张相片,小丽说:“这太有趣了,大小不同,却那么相像.”聪明的你知道这两张相片是什么图
形吗?
导入二:
如图所示,学生会举办一个校园摄影艺术展览会,小华和小刚准备将一张矩形的相片四周镶上一圈等宽
的纸边,如图所示.两人在设计时发生了争执:小华要使内外两个矩形相似,觉得这样视觉效果较好;小刚试了
几次不能办到,表示这是不可能的.小红和小莉了解情况后,小红认为这一要求只有当矩形的长与宽之比为
❑√5-1
时才能做到,小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到.请你动手试一试,说一说你的看法.
2
[过渡语] 两个图形的形状相同,但它们的大小不同,它们的边之间、角之间又有怎样的特征呢?今天我
们一起来研究相似图形.
一、特例感知相似多边形
下列每组图形形状相同:
(1)正三角形ABC与正三角形DEF;
(2)正方形ABCD与正方形EFGH.
提问:
(1)在每组的两个图形中,是否有相等的内角?设法验证你的猜测;
(2)在每组的两个图形中,相等内角的两边是否成比例?新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
[设计意图] 直接明确两个图形形状相同,至于形状相同的本质,学生通过自主探究,合作交流解决.老师
参与到学生的合作中去,引导学生说明验证的方法,对于学生的验证方式,只要有道理,教师都应给予充分肯
定和鼓励.
两个大小不等的正五边形,正六边形……正n边形有相同的结论吗?
(引导学生认识到这些正多边形都有相同的结论)
二、探索感知相似多边形
思路一
我们已经探索了两个正多边形的角之间、边之间的关系.对于一般的两个形状相同的图形,这个结论还
成立吗?
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形ABCDEF,它们的形状
1 1 1 1 1 1
相同.
在上图中,六边形ABCDEF与六边形ABCDEF 是形状相同的图形,其中∠A与∠A,∠B与∠B,∠C与
1 1 1 1 1 1 1 1
∠C,∠D与∠D,∠E与∠E,∠F与∠F 分别对应相等,AB与AB,BC与BC,CD与CD,DE与DE,EF与
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
EF,FA与FA 的比都相等.
1 1 1 1
思路二
【问题】 (1)观察下面两组图形,图(1)中的两个图形相似吗?为什么?图(2)中的两个图形呢?与同伴交
流.
(2)如果两个多边形不相似,那么它们的各角可能对应相等吗?它们的各边可能对应成比例吗?
(3)一块长3 m,宽1.5 m的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成
的矩形相似吗?为什么?
[设计意图] 问题的设计,体现了从特殊到一般的探索问题的思想,从特例入手,学生比较容易接受,而从
特例的探索过程得到的活动经验对一般情况的探索起到铺垫的作用,从而降低了探究难度.
[知识拓展] 相似多边形的相似比具有方向性,例如:若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为
1
2,则五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE的相似比为 .
2新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
1.各角分别相等、 的两个多边形叫做相似多边形,根据这个定义,两个 形一定是相似
的.
答案:各边对应成比例 正方(答案不唯一,也可以是其他的正多边形)
2.正方形ABCD的边长为3,正方形A'B'C'D'的边长为2,则正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的相似比为
,正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比为 .
答案:3∶2 2∶3
3.两个相似五边形,一组对应边的长分别为3 cm和4.5 cm,则这两个多边形的相似比可能是( )
3 5 1 3
A. B. C. D.
4 6 2 2
答案:D
4.两个四边形的四条边对应成比例,有三个内角对应相等,则这两个四边形 (填“相似”或“不
相似”),理由是 .
答案:相似 由三个内角对应相等可得第四个内角也相等
3 相似多边形
1.特例感知相似多边形
2.探索感知相似多边形
一、教材作业
【必做题】
教材第88页习题4.4的1,2题.
【选做题】
教材第88页习题4.4的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.任意两个平行四边形都相似
B.任意两个矩形都相似
C.任意两个梯形都相似
D.任意两个正方形都相似
2.若如图所示的两个四边形相似,则∠α的度数是 ( )
A.75° B.60°C.87°D.120°
3.若一个矩形对折后和原矩形相似,则对折后矩形长边与短边的比为 ( )新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
A.4∶1B.2∶1C.1.5∶1 D.❑√2∶1
4.在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D',且
AB BC CD DA 2
= = = =
,则四边形 ∽四边形 ,且它们的相似比是
A'B' B'C' C'D' D'A' 3
.
【能力提升】
5.巡警小王在犯罪现场发现一只脚印,他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照,照片送到刑事科,
他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5 cm和3.1 cm,一张百元钞票的实际长度大约为15.5 cm,则
脚印的实际长度为 cm.
6.如果一个三角形的三边长分别是3 cm,6 cm,8 cm,和它相似的另一个三角形的最短边的长为21 cm,那么
较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长之比是多少?
【拓展探究】
7.如图所示,有一块长为2 m、宽为1 m的玻璃ABCD,为了保护玻璃,需要镶上宽10 cm的铝合金边框,那
么边框的内外边缘所围成的矩形相似吗?为什么?
【答案与解析】
1.D
2.C(解析:根据相似多边形的对应角相等,可知∠α=360°-60°-138°-75°=87°.故选C.)
3.D
4.ABCD A'B'C'D' 2∶3
5 3.1
=
5.25(解析:设脚印的实际长度为x cm,根据题意得 ,解得x=25.即脚印的实际长度为25 cm.)
x 15.5
6.解:由相似多边形的对应边成比例,得较大三角形的另两边长分别为42 cm,56 cm,所以较大三角形的周长
为21+42+56=119(cm).较小三角形的周长为17 cm,所以较小三角形与较大三角形的周长之比是1∶7.
EF 1.8
=
7.解:不相似.理由如下:10 cm=0.1 m.∵AB=2,AD=1,∴EF=2-0.1×2=1.8,EN=1-0.1×2=0.8,∴ =0.9,
AB 2
EN 0.8 EF EN
= =0.8,∴ ≠ ,∴不相似.
AD 1 AB AD
在探索相似多边形定义的过程中,刻意地回避了“两个图形的形状相同吗?”的问题,而是直接明确指
出两个图形相似,然后探索相似的本质特征.因为形状相同没有一个明确的定义(实质就是相似),只是一种感
性的认识,这种认识会影响到黑板边框内外边缘是否相似的正确判断,从教学效果看这样处理减少了学生判
断黑板边框问题的错误.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
多边形相似学生容易产生一个误解,认为只是三角形或者是四边形等比较规则的图形.在理解相似多边
形的时候,应该突破这个传统定势思维的限制,本节课在这个方面对学生缺乏适当的提示和引导,比如任意两
个正五角星形、任意两幅中华人民共和国地图轮廓等都可以理解为是相似多边形.
判断多边形相似,引导学生抓住三个关键词:“对应”“相等”“成比例”.忽略了其中任何一个关键
因素,都无法正确判断多边形是否相似.可以通过举反例的方式帮助学生强化这方面的认识.
随堂练习(教材第87页)
2 3 2 3
=
1.解:(1)相似.因为 ,所以两个矩形相似. (2)不相似.因为 ≠ ,所以两个矩形不相似.
3 4.5 2.5 6
40 60
=
2.解:根据题意,得 ,解得x=1.所以当x为1 m时,小路内外边缘所围成的两个矩形
40-2x 60-1.5×2
相似.
习题4.4(教材第88页)
AB 2 3 2 9 BC 2 5 2
= = = =
1.解:因为两个矩形的相似比为2∶3,所以 ,即 ,解得EF= (cm); ,即 ,解得
EF 3 EF 3 2 FG 3 FG 3
15
FG= (cm).
2
AB BC CD DA
= = =
2.解:相似.因为菱形的四条边都相等,所以 .又因为∠A=∠E,所以
EF FG GH HE
∠B=∠F,∠C=∠G,∠D=∠H.所以菱形ABCD∽菱形EFGH.
3.解:设原正方形的边长为2x,则新正方形的边长为❑√x2+x2=❑√2x,所以新正方形的边长∶原正方形的边
长=❑√2x∶2x=1∶❑√2.
4.解:她至少需要12张正方形的纸片,拼出长为小正方形边长的6倍,宽为小正方形边长的2倍的长方形.画
一画略.
在直角坐标系中依次描出下列各点:A(0,0),B(0,-4),C(4,0),D(4,2),E(2,2),A(5,0),B(5,-
1 1
2),C(7,0),D(7,1),E(6,1).
1 1 1
(1)依次用线段连接点A,B,C,D,E,A和依次用线段连接点A, B, C,D, E,A,你得到了两个什么图形?
1 1 1 1 1 1
(2)这两个图形相似吗?若相似,求出它们的相似比;若不相似,简要说明理由;
(3)第二个图形能由第一个图形经过某种变化得到吗?若能,说明变化过程;若不能,试说明理由.
解:如图所示.
(1)依次用线段连接A,B,C,D,E,A后,得五边形ABCDE;依次用线段连接A,B,C,D,E,A 后,得五边形
1 1 1 1 1 1
ABCDE.
1 1 1 1 1新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
(2)因为AB=4,CD=DE=2,BC=4❑√2,AE=2❑√2,AB=2,CD= DE=1,BC=2❑√2,AE=❑√2,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB BC CD DE EA
= = = =
所以 =2.
A B B C C D D E E A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又因为∠BAE=∠BAE=135°,∠ABC =∠ABC=45°,∠BCD=∠BCD=135°,∠D=∠D=90°,∠E=∠E=135°,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB
所以五边形ABCDE∽五边形ABCDE,相似比为 =2.
1 1 1 1 1 A B
1 1
1
(3)五边形ABCDE 是由五边形ABCDE的各边长缩小为原来的 得到的(即各顶点的横纵坐标变为
1 1 1 1 1 2
1
原来的 后,再向右平移5个单位长度得到的.这也是以后要学习的位似图形).
2
4 探索三角形相似的条件
1.了解相似三角形的判定定理.
2.了解黄金分割.
经历两个三角形相似的探索过程,增强发现问题、提出问题的意识,进一步体会类比、分类、归纳等思
想方法.
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题,发展应用意识.
【重点】
1.相似三角形的判断方法以及探索的过程.
2.相似三角形判定定理的应用.
3.黄金分割的定义和简单应用.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
【难点】
1.灵活运用三角形相似的条件判定三角形相似.
2.相似三角形判定定理的应用.
3.黄金比的理解及黄金分割点的划分和验证.
第 课时
1.掌握两个三角形相似的判定定理1,并能运用三角形的相似解决简单的问题.
2.经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力,合情推理能力和初步的逻
辑推理能力.
进一步体会数学内容之间的内在联系,初步认识特殊与一般之间的辩证关系.
通过实际问题的解决,让学生感受数学的应用价值.
【重点】
1.相似三角形的判定定理以及探索过程.
2.相似三角形的判定定理的应用.
【难点】 相似三角形的判定定理1的运用.
【教师准备】 预想课堂活动中学生可能遇到的问题.
【学生准备】 三角板、量角器.
导入一:
小明用长度分别为30 cm,40 cm,50 cm的三根木条做成一个三角形框架,并计划用一根长度为60 cm
的木条为一边再做一个形状相同的三角形框架,小明应该再找两根多长的木条?
导入二:
已知三角形的三边长a,b,c分别为3,6,8,你能画出一个与其相似的三角形吗?新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
[过渡语] 相似三角形是相似多边形的一种,我们可以通过相似多边形的定义,总结出什么是相似三角
形.
一、相似三角形
(1)相似三角形的定义:若两个三角形的三角分别相等,三边成比例,则这两个三角形叫做相似三角形.相
似三角形的定义是由相似多边形的定义迁移得到的.
(2)相似三角形的表示:如果ΔABC与ΔA'B'C'相似,就记作ΔABC∽ΔA'B'C',符号“∽”读作“相似于”,利
用“∽”表示两个图形相似时,对应顶点要写在对应的位置上,主要目的是为了指明对应角,对应边.
(3)相似比:两个三角形相似,对应边的比叫做相似比,相似比是有顺序的,若ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为
1
k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比为 .
k
[知识拓展] (1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角
形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比等于1∶1的两个相似三角形是
全等三角形.
(2)书写两个三角形相似时,注意对应点的位置要一致,即若ΔABC∽ΔDEF,则说明A的对应点是D,B的
对应点是E,C的对应点是F.
(3)相似三角形的传递性:如果ΔABC∽ΔA'B'C', ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,那么ΔABC∽ΔA″B″C″.
二、探究三角形相似的条件
思路一
问题1
只有一个角相等的两个三角形一定相似吗?
做一做:
①画一个ΔABC,使得∠BAC=60°,与同伴交流,你们所画的三角形相似吗?
②改变角的度数,再试一试.
(提示量角器的正确使用,画图尽量准确.引导学生用定义判断两个三角形是否相似)
问题2
有两个角分别相等的两个三角形一定相似吗?
做一做:
①与同伴合作,一人画ΔABC,另一人画ΔA'B'C',使得∠A和∠A'都等于给定的∠α,∠B和∠B'都等于给定的
AB AC BC
∠β,比较你们画的两个三角形中,∠C与∠C'相等吗?对应边的比 , , 相等吗?这样的
A'B' A'C' B'C'
两个三角形相似吗?
②改变∠α,∠β的大小,再试一试.
两位同学事先确定∠α,∠β的大小,然后按照这两个角任意画三角形,最后比对一下两个三角形是否相似.
综合上述活动,可以得出定理:两角分别相等的两个三角形相似.
思路二
问题
如图所示,在ΔABC与ΔA'B'C'中,若∠A=∠A',∠B=∠B',试猜想ΔABC与ΔA'B'C'是否相似,并证明你猜想的
结论.
让学生思考讨论,从图形的外观,绝大多数学生会猜这两个三角形相似.结论的证明以教师讲授为主,并
引导学生思考:根据题设条件,难于用定义来证明,因为用定义来证明需要的条件较多,所以不妨考虑用定理新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
来证明.为此,需要构造出符合定理条件的图形:在ΔABC中,作BC的平行线,且在ΔABC中截得的三角形与
ΔA'B'C'又有着非常紧密的联系(全等),这样师生共同分析,完成证明.教师把证明过程投影到屏幕.
证明:如下图所示,在ΔABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E,则有
ΔADE∽ΔABC.
∵∠ADE=∠B,∠B=∠B',∴∠ADE=∠B'.
又∠A=∠A',AD=A'B',∴ΔADE≌ΔA'B'C'.∴ΔABC∽ΔA'B'C'.
告诉学生,如下图这样作辅助线也可以证明这个问题.
最后师生共同归纳,得出结论(投影图片):
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简
单说成:两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示这个定理:
∵∠A=∠A',∠B=∠B',
∴ΔABC∽ΔA'B'C'.
(让学生说,最后教师板书)
对于三角形来说,有两个角对应相等意味着三个角都对应相等.
(教材例1)如图所示,D,E分别是ΔABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长.
解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴ΔADE∽ΔABC(两角分别相等的两个三角形相似).
AD DE
=
∴ ,
AB BC
AB·DE 7×10
=
∴BC= =14.
AD 5
【问题思考】
(1)AE∶AC等于多少?
(2)如果AE=8,CE等于多少?新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
1.如图所示,D,E分别是ΔABC的边AB,AC上的点,则使ΔAED∽ΔABC的条件是 .
答案:∠AED=∠B
(第1题图) (第2题图)
2.如图所示,在ΔABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在ΔABC内依次作
∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE,则EF等于 ( )
b3 a3 b4 a4
A. B. C. D.
a2 b2 a3 b3
答案:C
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点
F,则DF∶FC等于 ( )
A.1∶4 B.1∶3C.2∶3D.1∶2
答案:D
第1课时
1.相似三角形
2.探究三角形相似的条件
一、教材作业
【必做题】
教材第90页习题4.5的1,2,3题.
【选做题】
教材第90页习题4.5的4,5题.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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二、课后作业
【基础巩固】
1.下列叙述正确的是 ( )
A.任意两个等腰三角形相似
B.任意两个等腰直角三角形相似
C.两个全等三角形不相似
D.两个相似三角形的相似比不可能等于1
2.已知ΔABC∽ΔABC,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C 等于 ( )
1 1 1 1
A.50° B.95°C.35°D.25°
3.已知ΔABC∽ΔA'B'C',且AB=3,AC=5,A'C'=15,则A'B'等于 ( )
A.9 B.1 C.6 D.3
【能力提升】
4.如图所示,AB∥CD,AD与BC相交于点O,那么在下列比例式中,正确的是 ( )
AB OA OA OB
= =
A. B.
CD AD OD BC
AB OB BC OB
= =
C. D.
CD OC AD OD
(第4题图) (第5题图)
5.如图所示,D为ΔABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm, 则AC的长为 ( )
A.2 cm B.❑√3 cm C.12 cm D.2❑√3 cm
6.在如图所示的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x,y,m,n的值.
7.如图所示,已知ΔABC∽ΔADE,AD=6 cm,DB=3 cm,BC=9.9 cm,∠A=70°,∠B=50°.求:
(1)∠ADE的大小;
(2)∠AED的大小;
(3)DE的长.
【拓展探究】新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
8.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示.其中BA=CD,BC=20 cm,BC,EF平行于地面
AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50 cm,那么横梁EF应为
多长?(材质及其厚度等暂忽略不计)
【答案与解析】
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
20 22 x
= =
6.解:在图(1)中,因为 ,所以x=32.在图(2)中,由两个三角形相似可知,对应角相等,对应边成比例,
30 33 48
3a 10 20
=
所以n=55,m=80, ,得y= .
2a y 3
7.解:(1)∠ADE=50°. (2)∠AED=60°. (3)DE=6.6 cm.
⊥
8.解:如图所示,过点C作CM∥AB,分别交EF,AD于N,M,作CP AD,分别交EF,AD于Q,P.由题意,得四边形
ABCM是平行四边形,∴EN=AM=BC=20 cm.∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).由题意知CP=40 cm,PQ=8
NF CQ NF 32
= =
cm,∴CQ=32 cm.由题知EF∥AD,∴ΔCNF∽ΔCMD.∴ ,即 .解得
MD CP 30 40
NF=24(cm).∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).答:横梁EF应为44 cm.
本课时借助于多边形相似的知识,由普遍到特殊的方式给出了相似三角形的含义,使学生比较容易接受
相似三角形的概念.在探讨三角形相似的条件的时候,通过特例帮助学生深化对相似条件的认识.这种认识
角度的变化,一方面培养了学生严密的思维和科学的精神,也为探究三角形相似的条件奠定了思想基础.
在探索三角形相似的条件的过程中,对于给出的特例应该首先承认其正确性.因为特例也是证明相似的
一个简要条件.应该帮助学生在考虑到特殊性的同时,注重一般性的概括,明确一般包括特殊,而不是特殊能
够代表一般.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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相似三角形的知识和三角形的全等有着密切的联系,因为当两个三角形的相似比是1的时候,这时相似
的三角形也是全等三角形.研究三角形全等的条件,对研究三角形相似具有很多的借鉴意义,因此在今后的
教学过程中,必须注重全等和相似之间的研究方法的贯穿.
随堂练习(教材第90页)
1.解:相似.两个直角三角形:一个锐角相等,直角相等,所以有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
2.解:相似.两个等腰三角形:顶角相等,则底角也相等,所以顶角相等的两个等腰三角形相似.
习题4.5(教材第90页)
1.解:相似.因为∠A=∠D,∠C=180°-∠A-∠B=50°=∠E,所以ΔABC∽ΔDFE.
2.解:ΔAOB∽ΔCOD.理由:由AB∥CD,得∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC,所以ΔAOB∽ΔCOD.
BD AD
=
3.解:(1)ΔBAC∽ΔBDA,ΔBAC∽ΔADC,ΔABD∽ΔCAD. (2)由(1)中ΔADC∽ΔBDA,得 ,所以
AD DC
AD2=BD·DC.
4.解:①ΔADE∽ΔBAE.理由:因为ΔABC与ΔAGF是两个全等的等腰直角三角形,所以
∠FAG=∠F=∠B=∠C=45°,又因为∠AEB=∠DEA,所以ΔADE∽ΔBAE.②ΔADE∽ΔCDA.理由:由(1)知
∠DAE=∠C=45°,∠ADE=∠CDA,所以ΔADE∽ΔCDA.③ΔCDA∽ΔBAE.理由:因为∠AEB为ΔAEC的外角,所以
∠AEB=∠C+∠CAE=∠DAE+∠CAE=∠DAC.同理,∠ADC=∠EAB,所以ΔCDA∽ΔBAE.
OA AC
⊥ ⊥ =
5.解:∵AB OA于A,DB AB于B,∴∠OAC=∠DBC=90°.又∠OCA=∠DCB,∴ΔOAC∽ΔDBC,∴
BD BC
BD·AC 50×120
,∴OA= = =100(m).∴峡谷的宽AO为100 m.
BC 60
【提出问题】
(1)如图所示,在等边三角形ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等
边三角形AMN,连接CN.求证∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图所示,在等边三角形ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中
的结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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【考点】 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
〔解析〕 (1)利用SAS可证明ΔBAM≌ΔCAN,继而得出结论;(2)通过证明ΔBAM≌ΔCAN,得出结论,和(1)
的思路一样.
证明:(1)∵ΔABC,ΔAMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
{
AB=AC,
∵在ΔBAM和ΔCAN中, ∠BAM=∠CAN,
AM=AN,
∴ΔBAM≌ΔCAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
解:(2)结论∠ABC=∠ACN仍成立.理由如下:
∵ΔABC,ΔAMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
{
AB=AC,
∵在ΔBAM和ΔCAN中, ∠BAM=∠CAN,
AM=AN,
∴ΔBAM≌ΔCAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
⊥
如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DE AM于点E.
(1)求证ΔDAE∽ΔAMB;
(2)求DE的长.
〔解析〕 (1)先根据矩形的性质,得到AD∥BC,则∠DAE=∠AMB,又由∠DEA=∠B,根据有两角对应相等
的两三角形相似,即可证出ΔDAE∽ΔAMB;(2)由ΔDAE∽ΔAMB,根据相似三角形的对应边成比例,即可求出
DE的长.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠AMB,
又∵∠DEA=∠B=90°,
∴ΔDAE∽ΔAMB.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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解:(2)由(1)知ΔDAE∽ΔAMB,
∴DE∶AD=AB∶AM,
∵M是边BC的中点,BC=6,∴BM=3,
又∵AB=4,∠B=90°,∴AM=5,
24
∴DE∶6=4∶5,∴DE= .
5
第 课时
1.理解和掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
经历探索两个三角形相似条件的过程,体验画图操作、类比猜想、分析归纳得出数学结论的过程.
通过问题的探索过程,培养学生获得数学猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣.
【重点】 掌握相似三角形的判定定理,会运用判定定理判定两个三角形相似.
【难点】 会准确地运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.
【教师准备】 导入的投影图片,例2的投影图片.
【学生准备】 复习先前学过的判定三角形相似的方法.
导入一:
现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似,一种是定义,一种是判定方法1,除此之外,是否还有
其他的方法来判定两个三角形相似?这一问题就是本课时我们需要研究的问题.
导入二:
如图所示,ΔABC中,∠A=45°,AB=6,AC=8,你能画出一个与ΔABC相似的三角形吗?新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
[过渡语] 还有什么方法能判断两个三角形相似呢?
一、判定定理的探究
思路一
【提问】 相似三角形的判定定理1是两角分别相等的两个三角形相似,下面大家思考一下两个三角
形两边分别成比例,它们一定相似吗?
【学生讨论得出】 不一定相似.
【教师引导】 我们都知道相似三角形的定义是三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三
角形,从角的方面已经研究过三角形相似的条件;从边成比例方面来看两边成比例不能判定,那么谁能猜想一
下还需要添加什么条件就可以得到三角形相似?大家可以结合三角形全等的判定方法来思考.
【生1】 我想到判定三角形全等的方法SAS,所以我猜想两边成比例和夹角相等时相似.
【生2】 我知道判定三角形全等的方法SSS,所以我猜想三边成比例的两个三角形相似.
【互动探究】 探索两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
【师】 好,下面我们还是由大家自己推导吧!请看投影图片.
AB AC
画ΔABC与ΔA'B'C',使∠A=∠A', 和 都等于给定的值k.
A'B' A'C'
(1)设法比较∠B与∠B'的大小(或∠C与∠C'的大小).
ΔABC与ΔA'B'C'相似吗?
(2)改变k值的大小,再试一试.
学生大部分按照要求作出ΔABC与ΔA'B'C',并且量得∠B=∠B',∠C=∠C',因此根据判定定理1可知,
ΔABC∽ΔA'B'C'.(学生可能用定义来说明)
三角形相似的判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
[设计意图] 通过小组交流合作,让每个学生都参与进来,在亲自动手操作过程中去体会两边成比例且
夹角相等的两个三角形相似的图形特点,便于以后做题过程中准确应用判定定理,另外通过测量得到两个三
角形另外两组角对应相等,让学生利用上课时学习的判定定理来证明所作的两个三角形相似,是对上课时学
习的巩固和应用.
思路二
如图所示,怎样作出与ΔABC相似的一个三角形?
如图所示,小明的方法正确吗?(延长AB,AC到E,F,使EF∥BC)
问题
ΔABC与ΔAEF相似吗?你能说明理由吗?
引导学生根据平行,得到相等的两组角,根据两角对应相等的两三角形相似进行判定.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
学生写出证明过程,教师讲评.
如图所示,通过此图你能得到什么结论?
【引导学生总结】 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
AD 3
=
(教材例2)如图所示,D,E分别是ΔABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且 ,求DE的长.
AB 4
AE 3
=
解:∵AE=1.5,AC=2,∴ ,
AC 4
AD 3 AD AE
∵ = ,∴ = .
AB 4 AB AC
又∵∠EAD=∠CAB,
∴ΔADE∽ΔABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
DE AD 3
= =
∴ .
BC AB 4
∵BC=3,
3 3 9
∴DE= BC= ×3= .
4 4 4
[知识拓展] 从形式上看,这个条件是两边对应成比例、一角相等,但这个角需是这两边的“夹”角,没
有这个“夹”字,判定的结果有可能是错误的.
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.当已知条件涉及边与角时,常选用此法判定两个三角形
相似.相似三角形的定义涉及三角、三边六个元素,而其判定分别与两(三)角、两边一夹角有关,即只与三角
形的三个元素相联系,因此,相似三角形的定义在判定时,一般不选用.
1.根据下列条件,判断ΔABC与ΔA'B'C'是否相似,并说明理由.∠A=120°,AB=7 cm,AC=14
cm,∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm.
解析:条件中给出了一组相等的角,另外给出了夹这两个角的四条边,因此只需验证这四条边是否对应成
比例即可判断这两个三角形是否相似.
AB 7 1 A'B' 3 1
= = = =
解:∵ , ,
AC 14 2 A'C' 6 2
AB A'B'
=
∴ ,
AC A'C'
又∵∠A=∠A'=120°,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
∴ΔABC∽ΔA'B'C'.
2.如图所示,已知D,E是ΔABC的边AB,AC上的点,AB=7.8,AD=3,AC=6,AE=3.9,求证ΔABC∽ΔAED.
AB AC
=
解析:根据已知线段长度可求出 ,再根据∠A=∠A推出两三角形相似即可.
AE AD
证明:∵AB=7.8,AD=3,AC=6,AE=3.9,
AB 7.8 AC 6
∴ = =2, = =2,
AE 3.9 AD 3
AB AC
=
∴ ,
AE AD
又∵∠A=∠A,
∴ΔABC∽ΔAED.
第2课时
1.判定定理的探究
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第93页习题4.6的1,2题.
【选做题】
教材第93页习题4.6的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.ΔABC中,∠A=30°,AB=6,AC=9,若使ΔA'B'C'∽ΔABC,则∠A'= ,A'B'= ,A'C'= .
2.如图所示,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,则ΔADQ∽ΔQCP吗?说明
理由.
【能力提升】
3.如图所示,已知∠A=60°,BD,CE是ΔABC的两条高,试说明ΔADE∽ΔABC.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
4.如图所示,在ΔABC中,∠C=90°,BC=16 cm,AC=12 cm,点P从B出发沿BC以2 cm/s的速度向C移动,点Q
从C出发,以1 cm/s的速度向A移动,若P,Q分别从B,C同时出发.设运动时间为t s,当t为何值时,ΔCPQ与
ΔCBA相似?
【拓展探究】
5.如图所示,四边形ABCD,DCFE,EFGH是三个正方形.求证∠1+∠2+∠3=90°.
【答案与解析】
1.30° 12 18(后两个空答案不唯一)
1
2.解:ΔADQ∽ΔQCP.理由如下:设PC=a,则BC=BP+PC=4a.又Q是CD的中点,所以DQ=QC= CD=2a,所以
2
AD 4a DQ 2a AD DQ
= = =
=2, =2,所以 .又∠D=∠C=90°,所以ΔADQ∽ΔQCP.
QC 2a CP a QC CP
⊥ ⊥
3.解:因为BD AC,CE AB,所以∠ADB=∠AEC=90°,又因为∠A=60°,所以∠ABD=∠ACE=30°.所以
AD AE 1
= =
AB=2AD,AC=2AE,所以 .又因为∠BAC=∠DAE,所以ΔADE∽ΔABC.
AB AC 2
CP CQ 16-2t t
= =
4.解:当CP和CB是对应边时,ΔCPQ∽ΔCBA,∴ ,即 ,解得t=4.8.当CP和CA是对应
CB CA 16 12
CP CQ 16-2t t 64 64
= =
边时,ΔCPQ∽ΔCAB,∴ ,即 ,解得t= .综上所述,当t=4.8或 时,ΔCPQ与ΔCBA
CA CB 12 16 11 11
相似.
AC ❑√2 CF 1 ❑√2 AC CF
5.证明:设每个小正方形的边长为1,则AC=❑√2,CF=1,CG=2,∴ = , = = ,∴ = .
CG 2 AC ❑√2 2 CG AC
又∵∠ACF=∠GCA,∴ΔACF∽ΔGCA,∴∠3=∠CAF.又∵∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=45°+∠1=45°+45°=90°.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
本课时是继续探索三角形相似的判定定理,在上个课时思路的基础上,借鉴三角形全等的证明思路,比较
顺利地完成了本课时的教学任务.在教学过程中,比较充分地体现了学生是课堂主体的思想,给了学生更大
的探索空间和机会.
在学生按照一定条件画三角形的过程中,学生只是按照老师提出的条件进行了尝试,这里可以给学生更
大的空间,让学生自己确定角的大小(包括特殊角),对应边的比例等,这样可以更充分调动学生参与课堂活动
的积极性.
在演示三角形相似判定定理的时候,可以借助于多媒体设施,采取缩放三角形的方法,帮助学生体验三角
形相似比的变化,其实也可以理解为三角形的放大或缩小,特别是在缩放的过程中,让学生注意对应边的夹角
的大小是不变的.
随堂练习(教材第92页)
1 3 AE AF 4 2.5
= =
解:(1)相似.∵ ,∴ ,∵∠A=∠A,∴ΔAEF∽ΔABC. (2)不相似.∵ ≠ ,∴两个三角形不相似.
2 6 AB AC 5 3.5
习题4.6(教材第93页)
6 4 2
= =
1.解:相似.∵ ,且两直角边夹角是90°,∴两个直角三角形相似.
9 6 3
1.8 2.4 2 AB BC
= = =
2.解:相似.∵ ,∴ ,∵∠B=∠D=39°,∴ΔABC∽ΔFDE.
2.7 3.6 3 FD DE
AP AC
=
3.解:(1)相似.∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴ΔACP∽ΔABC. (2)当 时,∵∠A=∠A,是夹角,∴ΔACP∽ΔABC.∵
AC AB
AC BC AC BC
= =
,虽然∠A=∠A,但不是夹角,∴当 时,ΔACP和ΔABC不一定相似.
CP AC CP AC
1 1
4.提示:画∠MDN=∠B,在射线DM上截取DE= AB,在射线DN上截取DF= BC,连接EF,则ΔDEF∽ΔBAC,且
2 2
相似比为1∶2.(画图略)
疑难点 判定定理中的“两边及其夹角”
已知ΔABC和ΔA'B'C',∠A=50°,∠A'=50°,AB=8,BC=15,A'B'=16,B'C'=30,则这两个三角形是否相
似?请说明你判断的理由.
解:ΔABC与ΔA'B'C'不一定相似,
因为∠A=∠A'=50°,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
AB BC 1
= =
虽然 ,
A'B' B'C' 2
但BC,B'C'分别是∠A,∠A'的对边,
所以根据已知条件不能判定ΔABC与ΔA'B'C'相似.
(2014·宿迁中考)如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为
AB边上一动点,若ΔPAD与ΔPBC是相似三角形,则满足条件的点P有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 由于∠PAD=∠PBC=90°,故要使ΔPAD与ΔPBC相似,分两种情况讨论:
①ΔAPD∽ΔBPC,②ΔAPD∽ΔBCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长,即可得
到P点的个数.∵∠B=90°,AD∥BC,∴∠A=180°-∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°,设AP的长为x,则BP的长为8-x.
若AB边上存在P点,使ΔPAD与ΔPBC相似,则分两种情况:①若ΔAPD∽ΔBPC,则AP∶BP=AD∶BC,即x∶(8-
24
x)=3∶4,解得x= ;②若ΔAPD∽ΔBCP,则AP∶BC=AD∶BP,即x∶4=3∶(8-x),解得x=2或x=6.∴满足条件的点P有3
7
个.故选C.
第 课时
1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
经历探索两个三角形相似条件的过程,体验画图操作、类比猜想、分析归纳得出数学结论的过程.
通过问题的探索过程,培养学生获得数学猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣.
【重点】 掌握判定定理3,会运用判定定理3判定两个三角形相似.
【难点】 会准确地运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
【教师准备】 教材图4-16投影图片.
【学生准备】 复习学过的判定三角形相似的定理.
导入一:
等边三角形都是相似三角形,那么是不是三边对应成比例的三角形相似呢?
导入二:
ΔABC的三边长为3,4,6,你能画出一个与之相似的三角形吗?
[过渡语] 判定三角形相似还有什么定理呢?
探究活动:三边对应成比例的两个三角形相似
思路一
AB BC CA
画ΔABC与ΔA'B'C',使 , 和 都等于给定的值k.
A'B' B'C' C'A'
(1)设法比较∠A与∠A'的大小,∠B与∠B'的大小,∠C与∠C'的大小.
(2)ΔABC与ΔA'B'C'相似吗?说说你的理由.改变k值的大小,再试一试.
【提示】 k值的不同,在这里实际上是相当于把一个三角形放大或缩小一定的倍数,只是三角形边长
的变化,三角形的角是不变的.
【结论】 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',ΔABC∽ΔA'B'C',
AB BC CA
= =
【理由】 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', .
A'B' B'C' C'A'
根据相似三角形的定义可知:ΔABC∽ΔA'B'C'.(这里也可以用判定定理1或判定定理2)
经过学生的探索活动,不难得出相似三角形的判定定理3:三边成比例的两个三角形相似.
思路二
学生分小组,动手画ΔABC,使AB=1.5 cm,AC=2.5 cm,BC=2 cm,再画一个ΔABC,使AB=3 cm,AC=5
1 1 1 1 1 1 1
cm,BC=4 cm.
1 1
(1)比较ΔABC和ΔABC 的各个角,它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?
1 1 1
小组间进行交流,看结果是否一致.
【猜想】 三边对应成比例的两个三角形相似.
[设计意图] 通过画图,使学生亲自感受三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理,同时培养学生
的合作交流意识.
(2)推理论证
AB AC BC
= =
已知:在ΔABC和ΔABC 中, .
1 1 1 A B A C B C
1 1 1 1 1 1
求证:ΔABC∽ΔABC.
1 1 1新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
①如何在ΔABC中构造出一个与ΔABC相似的三角形?
②点D在什么位置时,所构造的ΔADE可能与ΔABC 全等?
1 1 1
③能否用相似三角形的“传递性”证全等?
AB BC AC
= =
(教材例3)如图所示,在ΔABC和ΔADE中, ,∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
AB BC AC
= =
解:∵ ,
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE(三边成比例的两个三角形相似),
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°,
∴∠CAE=20°.
[知识拓展] 两个三角形中,必须三组边同时对应成比例,这样两个三角形相似.通过相似,可以证明角相
等、线段成比例(或等积式),间接地为计算线段长度及角的大小创造条件.应用时应为
大边 中边 小边
= =
.
大边 中边 小边
25 40
1.如果ΔABC与ΔDEF的边长分别为6,5,8和10, , ,那么这两个三角形 (填“相似”或
3 3
“不相似”),理由是 .
解析:不能盲目找对应边,可从最大边、最小边的角度看三边是否成比例.
答案:相似 三边对应成比例的两个三角形相似
2.如图(1)所示,小正方形的边长均为1,则图(2)中的三角形(阴影部分)与ΔABC相似的是( )新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
(1) (2)
解析:由勾股定理计算各边的长,再根据判定定理3判断.故选B.
AB BC AC
= =
3.如图所示, ,则下面结论正确的是 ( )
AD DE AE
A.ΔABD∽ΔAFE
B.ΔABC∽ΔADE
C.ΔABC∽ΔABF
D.ΔADF∽ΔAED
解析:找准成比例的三对线段是哪两个三角形的边.故选B.
第3课时
1.探索活动:三边成比例的两个三角形相似
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第95页习题4.7的1,2题.
【选做题】
教材第95页习题4.7的5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.甲三角形的三边长分别为1,❑√2,❑√5,乙三角形的三边长分别为5,❑√5,❑√10,则甲、乙两个三角形( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法确定是否相似
2.如图所示,在网格上有ΔABC∽ΔABC,这两个三角形相似的依据是 .
1 1 1 2 2 2新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
【能力提升】
3.在RtΔABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在RtΔEDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则ΔABC和ΔEDF相似吗?
4.如图所示,在5×5的正方形网格中,有格点三角
形ABC,请你在图中画出符合下列三个要求的最小的ΔABC 和最大的ΔABC.
1 1 1 2 2 2
(1)必须与ΔABC相似;
(2)是格点三角形;
(3)除顶点和边可以重合外,其余部分不能重合.
【拓展探究】
5.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,ΔABC和ΔDEF的顶点都在格点上,P,P,P,P,P 是ΔDEF
1 2 3 4 5
边上的5个格点,请按要求完成下列各题.
(1)试说明ΔABC为直角三角形;
(2)判断ΔABC和ΔDEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P,P,P,P,P 中的3个格点并且与ΔABC相似.
1 2 3 4 5
【答案与解析】
1.A
2.三边成比例的两个三角形相似(解析:可利用勾股定理分别求出两个三角形的三边长,再看对应边是否成比
例即可.)
3.解:ΔABC∽ΔEDF.理由如下:在RtΔABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°,由勾股定理得AC=
❑√AB2-BC2=❑√102-62=8,在RtΔDEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°,由勾股定理得ED=
BC 6 AC 8 AB 10
❑√DF2+EF2=❑√32+42=5.在ΔABC和ΔEDF中, = =2, = =2, = =2,∴
DF 3 EF 4 ED 5
BC AC AB
= =
,∴ΔABC∽ΔEDF.
DF EF ED
4.解:如图所示.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
5.(1)证明:根据勾股定理,得AB=2❑√5,AC=❑√5,BC=5,显然有AB2+AC2=BC2,根据勾股定理的逆定理得ΔABC
为直角三角形. (2)解:ΔABC和ΔDEF相似.理由如下:根据勾股定理,得AB=2❑√5,AC=❑√5,BC=5,DE=4❑√2
AB AC BC ❑√5
,DF=2❑√2,EF=2❑√10,∴ = = = ,∴ΔABC∽ΔDEF. (3)解:如图所示,连接PP,PP,PP,
DE DF EF 2❑√2 2 5 2 4 4 5
则ΔPPP 即为所求.
2 4 5
本课时的特殊之处是只从三角形三边对应成比例的角度判定三角形相似,从理解难度上是最大的.本课
时通过缩放三角形的思路,很好地解决了学习过程中的这个难点.
三角形的对应边成比例可以判定三角形相似,这个定理只是针对三角形这个特殊的图形而言,不能受此
判定定理的影响,让学生产生误解,这就是对应边成比例的多边形相似.教学中这一点应该作出强调.一方面
可以通过正方形、菱形的转换来说明,另一方面还要深刻领会多边形相似的定义.
本课时相对学生来说内容较多,活动较多,刚学完新课学生在接触一道可用多种方法来解的题时,学生会
不知道用哪种方法相对来说更容易,所以教师要适时引导,但不要把学生估计太高,急于求成.应该循序渐进,
严格要求学生书写规范更会事半功倍.
随堂练习(教材第94页)
7 5 10 6 4 7
= =
解:(1)不相似.∵ ≠ ≠ ,∴两个三角形不相似. (2)解:相似.∵ =2,∴两个三角形相似.
5 2.5 6 3 2 3.5
习题4.7(教材第95页)
6 7.5 9 3
= = =
1.解:相似.∵ ,∴两个三角形相似.
8 10 12 4新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
2.解:相似.ΔABC的三边长分别为AB=❑√10,BC=❑√5,AC=5.ΔEGF的三边长分别为EF=2,GF=❑√2,EG=❑√10
AB BC AC
= =
.∴ ,∴ΔABC∽ΔEFG.
EF GF EG
3 6
=
3.解:①和⑤相似.因为 ,且两直角边夹角是90°,所以①和⑤相似.
4 8
3
4.解:如图所示,ΔABC与ΔABC 的相似比是 ,ΔABC 与ΔABC 的相似比是2,ΔABC与ΔABC 的相似比
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2
是3.
5.解:如图所示.可以画出两个形状不同的三角形.
(第4题图) (第5题图)
下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与图(1)中
ΔABC相似的三角形所在的网格图形是图(2)中的( )
(1) (2)
〔解析〕 根据勾股定理求出三角形三边的长,然后利用“三边成比例的两个三角形相似”进行判定.
此题另一思路是利用“两组对应边的比相等并且夹角也相等的两个三角形相似”进行判定.方法1:由勾股
定理得BC= ,AB=2 ,AC= .选项A中三角形的三边长是2, ,3 ;选项B中三角形的三边长是
❑√2 ❑√2 ❑√10 ❑√10 ❑√2
2,4,2 ;选项C中三角形的三边长是2,3, ;选项D中三角形的三边长是 , ,4.其中对应边的比相
❑√5 ❑√13 ❑√5❑√13新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
❑√2 2❑√2 ❑√10
= =
等的只有 ,∴与ΔABC相似的三角形是选项B中的三角形.方法2:易知ΔABC是两直角
2 4 2❑√5
边之比为1∶2的直角三角形,从而可快速找出正确选项.故选B.
第 课时
能结合线段的比、成比例线段以及三角形相似相关内容理解黄金分割的概念.
1. 在现实情境中了解黄金分割的文化价值,进而由实际问题去探索黄金分割的作图方法,让学生感受
到黄金分割在生活中的实用性.
2.通过对黄金分割的理解和掌握,明确黄金分割的作图方法,体会数形结合的思想.
通过实际操作、思考、交流以及分组讨论等过程增强学生的实践意识和自信心,培养学生的团结协作
精神.
【重点】 黄金分割的定义和简单应用.
【难点】 黄金比的理解及黄金点的画法和验证.
【教师准备】 教材图4-18和图4-21的投影图片.
【学生准备】 复习相似三角形判定的相关定理.
导入一:
第一组:神奇的金字塔建筑
第二组:美丽的大自然摄影新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
第三组:迷人的芭蕾舞舞蹈
以上图片看上去会感到和谐、平衡、舒适,有一种美的感觉.它们为什么会这么美?其中含有哪些数学
知识?
[处理方式] 通过多媒体展示三组图片,让学生欣赏建筑、摄影、艺术上的实例,感受数学在生活中的
美,激发学习数学的热情,进而引入新课.
[设计意图] 通过建筑、摄影、艺术上的实例让学生初步感受黄金分割,体会黄金分割在现实生活中
的广泛应用和文化价值.
导入二:
下面的几个矩形中,哪个看起来显得更美观?你能说下这是为什么吗?
探究活动1:讲解概念
AC BC
=
一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C
AB AC
叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.
AC BC ❑√5-1
其中 = = ≈0.618.
AB AC 2
即AC2=AB·BC.
探究活动2:计算黄金比
AC BC
解:由 = ,得AC2=AB·BC.
AB AC
设AB=1,AC=x,则BC=1-x.
所以x2=1×(1-x),即x2+x-1=0.
-1+❑√5 -1-❑√5
解这个方程,得x= ,x= (不合题意,舍去).
1 2 2 2新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
AC ❑√5-1
所以黄金比 = ≈0.618.
AB 2
[处理方式] 通过活动1和活动2,教师讲解,学生观察、思考、交流,理解黄金比的概念,并会计算黄金
比.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,教师讲解,让学生掌握黄金比的概
念,会计算黄金比,为下一步利用黄金比解决问题做铺垫.
探究活动3:操作领悟,应用新知
1.提出问题
如何找到一条线段的黄金分割点?
2.展示多媒体课件,学生跟做
如果已知线段AB,按照如下方法画图:
1
⊥
(1)经过点B作BD AB,使BD= AB;
2
(2)连接AD,在DA上截取DE=DB;
(3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点.
3.提出问题
为什么点C为线段AB的黄金分割点?
AC BC
【方法提示】 设AB=2,分别求出AC和BC,并计算 和 .
AB AC
[处理方式] 教师操作,学生动手、独立思考,再与同伴交流完成.由于学生所学过的尺规作图方法有限,
作图工具可以用三角尺和刻度尺.
[设计意图] 这一环节重点是向学生介绍一种作黄金分割点的方法,同时巩固学生对黄金分割的认识.
[知识拓展] 黄金矩形
古希腊时期的巴台农神庙,把它的正面放在一个矩形ABCD中,以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作
BC AB
=
正方形AEFD,我们可以惊奇地发现 ,那么点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比
BE BC
是黄金比吗?
BC AB AE AB AE BE
= = =
因为四边形AEFD是正方形,所以AD=BC=AE,又因为 ,所以 ,即 ,因
BE BC BE AE AB AE
此点E是AB的黄金分割点,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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1.黄金分割是一种分割线段的方法,一条线段的黄金分割点不唯一,有两个.
❑√5-1
2.黄金比是两条线段的比,没有单位,它的比值为 ,是定值.
2
AC BC AC ❑√5-1
3.我们常用 = 或AC2=AB·BC或 = .
AB AC AB 2
1.点C是线段AB上的一个黄金分割点,且AC>BC,若AB=5 cm,则AC= ,BC= .
5❑√5-5 15-5❑√5
答案: cm cm
2 2
❑√5-1
2.若点C是线段AB上一点,AB=1,AC= ,且AC>BC,则AC∶BC= .
2
答案:(1+❑√5)∶2
3.若点P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,则下列命题:
①AB2=AP·PB,②AP2=PB·AB,③BP2=AP·AB,④AP∶AB=PB∶AP.其中正确的是 (填序号).
答案:②④
4.若点P是AB的黄金分割点,则线段AP,PB(AP>PB),AB满足关系式: ,即AP是 与
的比例中项.
AP PB
=
答案: PB AB
AB AP
第4课时
1.黄金分割的定义
2.如何找黄金分割点
3.应用
一、教材作业
【必做题】
教材第98页习题4.8的1题.
【选做题】
教材第98页习题4.8的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.黄金分割:点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,
点C叫做线段AB的 , 的比叫做黄金比.
2.黄金分割比值:若设AB=1,AC=x,则BC=1-x,由黄金分割的定义得方程: ,解方程得 ,所以黄
AC CB
=
金比值为 = ≈ .
AB AC新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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3.如图所示,点C是线段AB的黄金分割点,则点C应满足的条件是 .(用比例式表示)
❑√5-1
4.若点C在线段AB上,且AB=1,AC= .请就AB,BC,AC写出一个比例式来,并判断点C是否是线段AB
2
的黄金分割点.
5.若线段AB=10 cm,点C是AB上的黄金分割点,则AC的长是多少厘米?请说明理由.
【能力提升】
6.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线.
(1)ΔABC与ΔBCD相似吗?
(2)试说明AD2=DC·AC;
(3)若AC=❑√5+1,求BC的长.
(第6题图) (第7题图)
【拓展探究】
7.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以
AF为边作正方形AMEF,点M在AD上,如图所示.
(1)求AM,DM的长;
(2)试说明AM2=AD·DM;
(3)根据(2)的结论能找出图中的黄金分割点吗?
【答案与解析】
AC CB
=
1. 黄金分割点 AC与AB
AB AC
-1+❑√5 -1-❑√5 ❑√5-1
2.x2+x-1=0 x= ,x= (舍去) 0.618
1 2 2 2 2
AC BC
=
3.
BC AB
AC BC AC ❑√5-1
4.解:比例式可以为 = .因为 = ,而
AB AC AB 2
❑√5-1
1-
BC 2 3-❑√5 (3-❑√5)(❑√5+1) 2❑√5-2 ❑√5-1 AC BC
= = = = = =
,即 ,故点C是
AC ❑√5-1 ❑√5-1 4 4 2 AB AC
2
线段AB的黄金分割点.
❑√5-1 ❑√5-1
5.解:当AC>BC时,AC= AB=(5❑√5-5)cm;当BC>AC时,BC= AB=(5❑√5-5)cm,则AC=AB-
2 2
BC=(15-5❑√5)cm.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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6.解:(1)相似.因为∠A=36°,AB=AC,所以∠ABC=∠C=72°.因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=36°,所以
BC AB
ΔABC∽ΔBCD. (2)由(1)知ΔABC∽ΔBCD,所以 = ,所以BC2=AB·CD,由已知条件可推出
CD BC
AD DC
BC=BD=AD,又因为AB=AC,所以AD2=CD·AC. (3)由(2)知AD2=DC·AC,即 = ,所以D为线段AC
AC AD
❑√5-1 ❑√5-1
的黄金分割点,所以AD= AC= ×(❑√5+1)=2.而由已知条件可推出BC=AD,故BC=2.
2 2
7.解:(1)因为正方形ABCD的边长为2,P是AB的中点,所以AB=AD=2,AP=1.在RtΔAPD中,PD=
❑√AP2+AD2=❑√5.因为PF=PD=❑√5,所以AF=PF-AP=❑√5-1.因为四边形AMEF是正方形,所以
AM=AF=❑√5-1,DM=AD-AM=2-(❑√5-1)=3-❑√5. (2)由(1)得AM2=(❑√5-1)2=6-2❑√5,AD·DM=2(3-❑√5)=6-2❑√5,
所以AM2=AD·DM. (3)图中点M是线段AD的黄金分割点.
黄金分割是研究线段特殊比例关系的问题,历史上人们对黄金分割的认识,既有科学的价值,也有美学的
价值.在传授知识的过程中,帮助学生感受了数学的“美丽”,激发了学生学习的兴趣,这是本课时的成功之
处.
选择生活中的问题评价学生应用数学的意识和能力.激发了学生的学习兴趣,但也存在很多的不足,例
如这样的课堂应该还可以更有趣一些,更有意义一些,还可以更好地给学生一些空间来展示他们的成果.
注重对学生双基的评价.如设计关于黄金分割定义的判断题、对黄金比值的计算等.注重对学生观察、
动手及参与能力的评价.如欣赏各种美丽的图片并观察特点;动手测量并计算线段的比;探讨黄金分割点的
作法等.
随堂练习(教材第97页)
解:设BD=x,则AB=2x,由勾股定理得AD=❑√5x,∵DE=DB=x,则AE=(❑√5-1)x,∴AC=AE=(❑√5-1)x,BC=AB-
AC (❑√5-1)x ❑√5-1 BC (3-❑√5)x ❑√5-1 AC BC
AC=2x-(❑√5-1)x=(3-❑√5)x.∵ = = , = = ,∴ =
AB 2x 2 AC (❑√5-1)x 2 AB AC
.∴点C就是线段AB的黄金分割点.
习题4.8(教材第98页)新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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AC BD ❑√5-1 AC BD ❑√5-1
1.解:由题意可得 = = ,即 = = ,所以AC=BD=40(❑√5-1)cm,所以
AB AB 2 80 80 2
AD=BC=80-40(❑√5-1)=(120-40❑√5)cm.所以支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的距离都是
(120-40❑√5)cm.
2.提示:自己上网查阅或在生活实际中观察并获得黄金分割的事例 .
⊥
3.解:答案不唯一.如图所示,作线段AB=2 cm,经过点B作BM AB,垂足为B,并且使BM=1 cm,连接AM,在
⊥
MA上截取ME=MB,过点A作AD AB,垂足为A,并且使AD=AE,延长MB至C,使BC=AD,连接CD,则矩形
ABCD即为所求.
4.提示:如教材第95页图4 - 18所示.(1)任意作一条线段AB;(2)按照教材第97页随堂练习题作图的方法,在
AB上作两个黄金分割点C,L;(3)以LC为底边,以BC的长为腰作等腰三角形LCK(得到以点K为顶点的一个
角);(4)分别作出以A,B为顶点的两个角;(5)通过延长已作出的三个角的边,作出另外的两个角.
黄金矩形
❑√5-1
宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀
2
称的美感.现将小波同学在数学活动课中折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
⊥
第四步:过E作EF AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
证明:在正方形ABCD中,设BC=2a,
∵N为BC的中点,
1
∴NC= BC=a,
2
在RtΔDNC中,ND=❑√NC2+CD2=❑√a2+(2a)2=❑√5a.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=(❑√5-1)a,
CE (❑√5-1)a ❑√5-1
∴ = = .
CD 2a 2
故矩形DCEF为黄金矩形.
*5 相似三角形判定定理的证明
1.学生能够熟练地掌握和证明相似三角形判定定理.
2.经历探索相似三角形判定定理的证明过程,培养学生的合情推理能力,加强推理技能训练,进一步发展
逻辑思维能力.
在与他人合作交流过程中,能较好地理解他人的思考方法,同时也能够准确、简明地表述自己的思路和
方法.
在解决问题的过程中,体现方法的多样性,进一步让学生养成主动探索,积极思考,善于归纳的学习习惯,
进一步发展学生合作交流的意识和能力.
【重点】 相似三角形判定定理的证明.
【难点】 合理添加辅助线.
【教师准备】 本节三个定理证明的投影图片.
【学生准备】 复习三角形相似的判定定理.
导入一:
如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,
⊥ ⊥
使AB BC,然后选点E,使EC BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=140 m,DC=70
m,EC=60 m,就得出了两岸间的大致距离AB,即河的宽度是120 m.你知道他们这样做的道理吗?新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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ΔABD和ΔECD之间存在什么关系?如何求AB的值?
导入二:
如图所示,∠1=∠2,添加一个条件: ,使得ΔADE∽ΔACB.
[设计意图] 旨在复习上节所学的判定定理,为本节课扫清障碍,同时本题能够训练学生解决开放性试
题的能力,教师应鼓励学生说出多种方法.
[过渡语] 我们知道了三角形的相似条件,本节我们将对它们进行证明.
一、两角分别相等的两个三角形相似
已知:在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.
求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.
【思路提示】 在ΔABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E,过点D作AC
的平行线,交BC于点F,证明四边形DFCE是平行四边形,再得到三组成比例线段,最后由定义得出两个三角
形相似的结论.
证明:在ΔABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E,过点D作
AC的平行线,交BC于点F,
则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
AD AE
=
.(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例)
AB AC
AE CF
=
∴ .
AC CB
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE=CF.
AE DE
=
∴ ,
AC CB
AD AE DE
= =
∴ .
AB AC BC新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,
∴ΔADE∽ΔABC.
∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B',
∴ΔADE≌ΔA'B'C'.
∴ΔABC∽ΔA'B'C'.
[知识拓展] 当给出的已知条件以角为主时,常考虑使用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定
方法判定两个三角形相似.
如图所示,若∠A=∠D,∠B=∠E,则ΔABC∽ΔDEF.
使用这个条件时,“两角对应相等”中的“对应”二字是可以去掉的,只要一个三角形的两个角与另一
个三角形的两个角分别相等,那么这两个三角形就一定相似.
二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
AB AC
=
已知:在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A', .
A'B' A'C'
求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.
证明:在ΔABC的边AB上截取AD=A'B',在AC上截取AE=A'C',连接DE.
∵∠A=∠A',
∴ΔADE≌ΔA'B'C'.
AB AC AB AC
= =
∵ ,∴ ,
A'B' A'C' AD AE
∴DE∥BC,
∴ΔADE∽ΔABC,
∴ΔABC∽ΔA'B'C'.
【思路提示】 也可以使用不同方法,例如在ΔABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,
交AC于点E,即构造与ΔABC相似的ΔADE,然后再证明ΔADE和ΔA'B'C'全等,最后得出结论.
三、三边成比例的两个三角形相似
AB BC AC
= =
已知:在ΔABC和ΔA'B'C'中, .
A'B' B'C' A'C'
求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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证明:在ΔABC的边AB,AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.
AB AC
=
∵ ,AD=A'B',AE=A'C',
A'B' A'C'
AB AC
=
∴ .
AD AE
而∠BAC=∠DAE,
∴ΔABC∽ΔADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
AB BC
=
∴ .
AD DE
AB BC
=
又 ,AD=A'B',
A'B' B'C'
AB BC
=
∴ .
AD B'C'
BC BC
=
∴ .
DE B'C'
∴DE=B'C'.
∴ΔADE≌ΔA'B'C'.
∴ΔABC∽ΔA'B'C'.
学生探索并完成证明,教师给予指导,规范证明的过程.教师应注意指出此时只能利用定义和上面证明
的三个判定定理证明相似.
[设计意图] 由学生亲身经历证明过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识.辅
助线的添加是一个难点,教师应该适当加以点拨.
1.下列各组图形有可能不相似的是 ( )
A.有一个角等于50°的两个直角三角形相似新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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B.有一个角等于60°的两个等腰三角形相似
C.有一个角等于50°的两个等腰三角形相似
D.有一个角等于120°的两个等腰三角形相似
解析:有一个角等于50°的两个直角三角形相似,符合判定定理1,故选项A正确;有一个角等于60°的两
个等腰三角形相似,符合判定定理1,故选项B正确;有一个角等于50°的等腰三角形,可能顶角是50°,也可能
底角是50°,故不一定相似,故选项C错误;有一个角等于120°的两个等腰三角形相似,符合判定定理1,故选项
D正确.故选C.
2.如图所示,D是ΔABC的边AB上一点(D不与A,B重合),在条件:(1)∠ACD=∠B,(2)AC2=AD·AB,(3)AB边
上与点C距离相等的点D有两个,(4)∠B=∠ACB中,一定使ΔABC∽ΔACD的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
AD AC
解析:(1)∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴ΔABC∽ΔACD;(2)∵AC2=AD·AB,∴ = ,又
AC AB
∵∠CAD=∠BAC,∴ΔABC∽ΔACD;(3)∵AB边上与点C距离相等的点D有两个,∴CD长不确定,那么符合条件的
点有很多,不固定,那么ΔACD的形状也无法确定,也就无法证明ΔACD∽ΔABC;(4)∵∠B=∠ACB,∴ΔABC是等
腰三角形,而ΔACD不一定是等腰三角形,故两三角形不一定相似.故选B.
3.从下面这些三角形中,选出相似的三角形.
解:①⑤⑥相似,②⑦相似,③④⑧相似.
4.如图所示,已知ΔABD∽ΔACE,求证ΔABC∽ΔADE.
BA CA
=
解析:由于ΔABD∽ΔACE,因此∠BAD=∠CAE,因此∠BAC=∠DAE,如果进一步证明 ,则问题得
AD AE
证.
证明:∵ΔABD∽ΔACE,∴∠BAD=∠CAE.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAE=∠DAC+∠CAE,
∴∠BAC=∠DAE.
AB AC
=
∵ΔABD∽ΔACE,∴ ,
AD AE
在ΔABC和ΔADE中,
AB AC
=
∵∠BAC=∠ADE, ,
AD AE
∴ΔABC∽ΔADE.
5 相似三角形判定定理的证明
1.定理1
2.证明
3.定理2
4.证明
5.定理3
6.证明
一、教材作业
【必做题】
教材第102页习题4.9的1题.
【选做题】
教材第102页习题4.9的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
⊥ ⊥
1.如图所示,已知CD AB,垂足为点D, BE AC,垂足为点E,CD,BE相交于点O,则图中与ΔBOD相似的
三角形有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示,在ΔABC中,∠B=20°,∠A=50°,则下列四个条件中,不能使ΔADC∽ΔACB的条件是 ( )
⊥
A.BC DC B.∠ACD=20°新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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AC DC
=
C.∠ADC=110° D.
AB BC
【能力提升】
3.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上一点,且满足AB2=DB·CE.求证
ΔADB∽ΔEAC.
4.如图所示,在ΔABC中,∠ACB = 90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至
CE的位置,连接AE.
⊥
(1)求证AB AE;
(2)若BC2=AD·AB,求证四边形ADCE是正方形.
【拓展探究】
5.(2014·义乌中考)如图所示,等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点
P,AE=CF.
(1)求证AF=BE,并求∠APB的度数;
(2)若AE=2,试求AP·AF的值.
【答案与解析】
⊥ ⊥
1.C(解析:∵CD AB,BE AC,∴∠ODB=∠OEC=∠AEB=∠ADC=90°.由题意知
∠EOC=∠DOB,∴ΔCOE∽ΔBOD①,∴∠OCE=∠OBD,∴ΔCAD∽ΔBOD②,ΔBAE∽ΔBOD③.)
⊥
2.D(解析:A.∵∠B=20°,∠A=50°,∴∠ACB=110°,当BC DC时,可知∠ACD=20°,可判定ΔADC∽ΔACB;B.当
∠ACD=20°时,可判定ΔADC∽ΔACB;C.当∠ADC=110°,可判定ΔADC∽ΔACB.)
AB DB AB DB
3.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACE,∵AB2=DB·CE,∴ = ,即 = ,∴ΔADB∽ΔEAC.
CE AB CE AC
4.证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°,∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置,
∴∠DCE=90°,CD=CE.∵∠ACB=90°,∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,即∠BCD=∠ACE,在ΔBCD和ΔACE中,
{
BC=AC,
∠BCD=∠ACE,ΔBCD≌ΔACE,∴∠B=∠CAE=45°,∴∠BAE=45°+45°=90°,∴AB ⊥ AE.
CD=CE,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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AD AC
(2)∵BC2=AD·AB,而BC=AC,∴AC2=AD·AB,则 = ,
AC AB
∵∠DAC=∠CAB,∴ΔDAC∽ΔCAB,∴∠CDA=∠BCA=90°,而∠DAE=90°,∠DCE=90°,∴四边形ADCE为矩形,又
∵CD=CE,∴四边形ADCE为正方形.
5.(1)证明:∵ΔABC为等边三角形,∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,在ΔABE和ΔCAF中,
AB=AC,∠BAE=∠ACF,AE=CF,∴ΔABE≌ΔCAF(SAS),∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.又
∵∠APE=∠ABP+∠BAP,∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.∴∠APB=180°-∠APE=120°.
AP AE AP 2
= =
(2)解:由(1)知∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴ΔAPE∽ΔACF,∴ ,即 ,所以AP·AF=12.
AC AF 6 AF
在本节的教学过程中,充分利用了三角形全等的证明思路,从知识类比和迁移的角度,比较顺利地完成了
本节的教学目标.
在证明的过程中,鼓励学生用多种方法的证明做得不好,过于局限于教材的方式,显得课堂活动的开放度
不够,学生的积极性和创造性没有得到充分的发挥.
本节课是教材中的选学课,一方面提供了三个相似三角形判定定理的证明过程,弥补了上一节只是通过
猜想操作得到结论的不严谨;另一方面教师应该鼓励学生独立思考,不局限于教材上的证明方法,多角度分析
解决问题,总结常见的辅助线添加方法,使学生的推理能力和几何思维都获得提高.同时在合作交流过程中
应注重培养学生能较好地理解他人的思考方法,以及准确、简明地表述自己的思路和方法.
习题4.9(教材第102页)
1.解:相似.证明如下:在等边三角形ABC中,
∵AE=CD,∴BE=AD,∵AE=BF,∠A=∠B,∴ΔAED≌ΔBFE.∴∠AED=∠BFE.由三角形内角和定理知
∠BFE+∠BEF=120°,∴∠AED+∠BEF=120°,∴∠DEF=60°.同理,∠EDF=60°.∴ΔABC∽ΔDEF.
AD DE AE
= =
2.证明:∵ ,∴ΔABC∽ΔDEA,∴∠AED=∠B,∴AB=AE.
AC AB BC
3.证明:∵BE平分
∠CBD,∴∠DBE=∠CBE.∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB.∵∠AEB=∠CBE+∠C,∠ABE=∠ABD+∠DBE,∴∠ABD=∠C,∵∠A
AB AD
=∠A,∴ΔABD∽ΔACB,∴ = ,即AB2=AD·AC,∵AB=AE,∴AE2=AD·AC.
AC AB
4.解:设经过x s后ΔPBQ和ΔABC相似,则AP=2x cm,BQ=4x cm,∵AB=8 cm,BC=16 cm,∴BP=(8-2x)cm.①若
BP与BC边是对应边,则BP∶BC=BQ∶AB,即(8-2x)∶16=4x∶8,解得x=0.8.②若BP与AB边是对应边,则
BP∶AB=BQ∶BC,即(8-2x)∶8=4x∶16,解得x=2.综上所述,经过0.8 s或2 s后ΔPBQ与ΔABC相似.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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如图所示,方格纸中每个小正方形的边长为1,ΔABC和ΔDEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断ΔABC和ΔDEF是否相似,并说明理由;
(2)P,P,P,P,P,D, F是ΔDEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构
1 2 3 4 5
成的三角形与ΔABC相似.(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连接相应的线段,不必说明理由)
〔解析〕 (1)由勾股定理很容易求出ΔABC和ΔDEF的各边长,然后利用三边是否对应成比例来进行
判断.(2)由(1)知ΔABC三边的长度,则由三边对应成比例,即可构造其他的三角形,使之与ΔABC相似.
解:(1)ΔABC和ΔDEF相似.理由如下:
根据勾股定理,得AB=2❑√5,AC=❑√5,BC=5;DE=4❑√2,DF=2❑√2,EF=2❑√10.
AB AC BC ❑√5
= = =
∵ ,
DE DF EF 2❑√2
∴ΔABC∽ΔDEF.
(2)答案不唯一,如图所示,下面6个三角形中的任意2个均可.
6 利用相似三角形测高
1.在测量旗杆的具体问题情境中,通过构建数学模型,进一步理解相似三角形的概念.
2.积累数学操作活动经验,培养学生的问题意识,提高分析问题和解决问题的能力.
能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度等的一些实际问题.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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通过问题情境的设置,培养学生积极进取的精神,增强学生学习数学的自信心.实现学生之间的交流合
作,体现数学知识解决实际问题的价值.
【重点】 综合运用相似三角形的判定、性质解决实际问题.
【难点】 培养学生在实际问题中建立数学模型.
【教师准备】 预想学生在活动过程中操作的难点.
【学生准备】 复习三角形相似的相关知识.
导入一:
据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,测出了金字塔的高度.那么现
在我们也学习了相似三角形的知识,我们可不可以运用相似三角形的知识去测量建筑物的高度呢?这节课我
们就拿最贴近我们生活的旗杆来研究,怎样测量旗杆的高度呢?
导入二:
学校广场上的五星红旗高高飘扬,每周一的早上,全校师生都要在那里举行庄严的升国旗仪式.那么你
知道旗杆的高度吗?你能测量出旗杆的高度吗?
方法一:利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
思路一
【操作方法】 一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
∵太阳的光线是平行的,∴AE∥CB,
∴∠AEB=∠CBD,
∵人与旗杆是垂直于地面的,
∴∠ABE=∠CDB=90°,
∴ΔABE∽ΔCDB.
AB BE AB·BD
=
∴ ,即CD= .
CD BD BE
因此,只要测量出人的影长BE,旗杆的影长DB,再知道人的身高AB,就可以求出旗杆CD的高度了.
思路二
如图所示,由于光线AC,A'C'平行,所以∠C=∠C'.由于站立的人和被测物体都垂直于地面,所以
∠B=∠B'=90°,这样ΔABC∽ΔA'B'C',从而有AB∶A'B'=BC∶B'C',其中AB,BC,B'C'可测,故A'B'通过计算可求.
[知识拓展] 利用身高和影长测高.
活动工具:皮尺.
测量方法:量出观测者身高以及同一时刻观测者和被测物体的影子的长度.
测量数据:观测者身高和同一时刻观测者和被测物体的影子的长度.
测量原理:由太阳光线是平行线得出两直角三角形相似.
优点:除皮尺外不需要其他工具,简单易行,好操作.
缺点:受太阳光的限制,只能在有太阳光时进行操作.
方法二:利用标杆测量旗杆的高度
【操作方法】 选一名学生为观测者,在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆,观测者前后
调整自己的位置,使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上,分别测出他的脚与旗杆底部以及标杆底
部的距离即可求出旗杆的高度.
⊥
如图所示,过点A作AN DC于N,交EF于M.
⊥ ⊥
∵EF BD,CD BD,
∴∠EFD=∠CDH=90°,
∴EF∥CN,∴∠1=∠2.
又∵∠3=∠3,ΔAME∽ΔANC,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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AM EM AN·EM
=
∴ ,即CN= .
AN CN AM
⊥
又∵AB BD,
∴∠ABF=∠CDF=∠AND=90°,
∴四边形ABDN为矩形,
∴DN=AB,AN=BD,
∴CD=CN+ND=CN+AB.
因此,只要测量出观测者的眼睛与地面的距离AB,人到旗杆的距离BD,人到标杆的距离BF,标杆高度
EF,就可以求出旗杆CD的高度.
[知识拓展] 标杆测高.
活动工具:标杆(高度要高于观测者的身高),皮尺.
测量方法:观测者的眼睛必须与标杆的顶端和被测物体的顶端在一条直线上.
测量数据:观测者的眼睛与地面的距离,标杆高度以及观测者与标杆、被测物体之间的距离.
测量原理:由标杆和被测物体平行得出两直角三角形相似.
优点:只需要标杆即可,不受太阳光的限制.
缺点:计算量大.
方法三:利用镜子的反射测旗杆的高度
【操作方法】 选一名学生作为观测者.在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子,固定镜子的位置,观
测者看着镜子来回调整自己的位置,使自己能够通过镜子看到旗杆顶端.测出此时他的脚与镜子的距离、旗
杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度.
点拨:反射角=入射角.
∵反射角=入射角,∴∠AEB=∠CED.
⊥ ⊥
∵AB BD,CD BD,
∴∠B=∠D=90°,∴ΔABE∽ΔCDE.
AB BE AB·DE
∴ = ,∴CD= .
CD DE BE
因此,测量出人与镜子的距离BE,旗杆与镜子的距离DE,再知道观测者的眼睛与地面的距离AB,就可以
求出旗杆CD的高度.
[设计意图] 本节课的主要任务是通过测量某些不能直接测量的物体的高度,培养学生学数学的兴趣
和用数学的意识.因此首先要明确测量方法,使学生理解测量的原理和过程,以便下面的实际操作环节更加
顺畅地进行.教师应关注学生在讨论中的可能的想法,要及时予以点评、指导.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
1.某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的标杆影长为2 m,那么该建筑物的高为
m.
答案:21.6
2.垂直于地面的竹竿的影长为12 m,其顶端到其影子顶端的距离为13 m,如果此时测得某小树的影长
为6 m,则小树高 m.
答案:2.5
3.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度,下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影
长是0.8 m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图
所示),她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m,又测得地面上的影长为2.6 m,请你帮她算一下,树高是 ( )
A.3.25 m B.4.25 m
C.4.45 m D.4.75 m
CB 1
=
解析:根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,得 ,解得BD=0.96(m),所
BD 0.8
以树在地面上的实际影子长是0.96+2.6=3.56(m),再利用竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相
树高 1
=
同,得 ,解得树高为4.45 m.故选C.
3.56 0.8
6 利用相似三角形测高
1.方法一
2.方法二
3.方法三新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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一、教材作业
【必做题】
教材第105页习题4.10的1,2题.
【选做题】
教材第105页习题4.10的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她
的影子顶端正好与树的影子顶端重合,并测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为( )
A.4.8 m B.6.4 m C.8 m D.10 m
2.如图所示,两根垂直于地面的电线杆AB长为6 m,CD长为3 m,AD交BC于E点,则E到地面的距离EF是
( )
A.2 m B.2.2 m C.2.4 m D.2.5 m
3.如图所示,小明为测量电线杆AB的高度,在电线杆旁的点D处立一标杆CD,使标杆的影子DE与电线杆的
影子BE重叠,量得DE=2 m,BD=4 m,CD=1.5 m,则电线杆AB的高度为 m.
4.如图所示,若OA∶OD=OB∶OC=n,则x= (用a,b,n表示).新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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5.如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发
⊥ ⊥
经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB BD于B,CD BD于D,且测得AB=1.2
m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是 .
【能力提升】
6.如图所示,小亮在广场上乘凉,图中线段AB表示站立在广场上的小亮,线段PO表示直立在广场上的灯杆,
点P表示照明灯.
(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子;
(2)如果灯杆高PO=12 m,小亮的身高AB=1.6 m,小亮与灯杆的距离BO=13 m,请求出小亮影子的长度.
7.赵亮同学想利用标杆测量学校旗杆的高度,如图所示,他在某一时刻立1 m长的标杆测得其影长为1.2 m,
同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某建筑物墙上,分别测得长度为9.6 m和2 m,求学校旗杆的高
度.
【拓展探究】
8.学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律,如
图所示,在同一时刻,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC的长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方
H点,并测得HB=6 m.
(1)请你在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH中点B 处时,求其影子BC 的长;当小明继续走剩
1 1 1
1 1
下路程的 到B 处时,求其影子的长;当小明继续走剩下路程的 到B 处时……按此规律继续走下去,当小明
3 2 4 3
1
走剩下路程的 到B 处时,其影子的长是 m.(直接用含n的代数式表示)
n+1 n
【答案与解析】新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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AC 1.6 0.8 1.6
= =
1.C(解析:设树的高度为x m,根据题意有 ,即 ,∴x=8.故选C.)
AB x 0.8+3.2 x
2.A(解析:由题意知ΔABD∽ΔEFD,ΔBCD∽
DF EF BF EF DF BF EF EF EF EF
ΔBEF,∴ = , = ,∴ + = + ,即 + =1,所以EF=2(m).故选A.)
BD AB BD CD BD BD AB CD 6 3
DE CD 2 1.5
= =
3.4.5(解析:由题意得ΔCED∽ΔAEB,所以 ,即 ,所以AB=4.5(m).故电线杆AB的高度
EB AB 2+4 AB
为4.5 m.)
a-bn OA AB a-bn
=
4. (解析:由OA∶OD=OB∶OC,∠AOB=∠DOC,得ΔOAB∽ΔODC,则 ,解得AB=bn,故x=
2 OD CD 2
.)
BP AB 1.8 1.2
= =
5.8 m(解析:由题意得ΔCPD∽ΔAPB,所以 ,即 ,所以CD=8(m).故古城墙的高度为8
PD CD 12 CD
m.)
1.6 BC
=
6.解:(1)连接PA并延长交OB于C,BC为小亮的影子,图略. (2)由题意知ΔABC∽ΔPOC,∴
12 13+BC
,∴BC=2(m),故小亮的影子长为2 m.
1 AF
⊥ =
7.解:过C作CF AB于F,则ΔACF∽ΔDBE,∴ 1.2 9.6 ,∴AF=8(m),∴旗杆的高为10 m.
AB BC 1.6 3
= =
8.解:(1)如图所示. (2)由题意得ΔABC∽ΔGHC,∴ ,∴ ,∴GH=4.8(m).
GH HC GH 6+3
A B B C 1.6 x 3 3
1 1= 1 1 =
(3)∵ΔABC∽ΔGHC,∴ ,设BC 长为x m,则 ,解得x= ,即BC= m.同理,
1 1 1 1 GH HC 1 1 4.8 x+3 2 1 1 2
1
1.6 B C 3
= 2 2
,解得BC=1 m,∴BC= m.
4.8 B C +2 2 2 n n n+1
2 2
本节课的设计理念遵循了三条原则:以学生为主体,以活动为手段,以能力提高为目的.在教学前和教学
过程中充分设想学生在探究测量原理和实际测量时可能出现和遇到的问题及需要注意的事项,并给予详细
的解答.在探究测量方法过程中,尊重学生的自我发现,通过合作探究,感悟知识,得出结论.分层次设置问题,为
学生展现才华提供机会.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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对教学内容的拓展,让学生深切地体会到数学在现实生活中的重要作用,从置身于大自然很自然地过渡
到置身于数学与解决实际问题的乐趣中,并能自觉地参与到解决问题的行列之中,在提高学生的应用意识上
还要进一步加强.
在实际测量时,要充分调动学生原有的生活经验和知识基础,去解决生活中的实际问题,体验成功的喜悦,
轻松愉快地学习数学. 注重培养遇到困难团结友爱、共同克服的团队精神及敢于探索和实践的优良学风.
习题4.10(教材第105页)
4 h
=
1.解:设建筑物的高度为h m,根据题意可得 ,解得h=16.所以建筑物的高度为16 m.
6 24
3 6
=
2.解:由题意可得旗杆的高度为8 m.设小树的高为h m,则有 ,解得h=4,所以小树的高为4 m.
h 8
3.提示:在摄像中选择一个参照物,通过测量摄像中盗窃犯的高度、参照物的高度,以及参照物的实际高度,便
可确定盗窃犯的大致身高.
CB CN
=
4.解:由题意知BN∥AM,所以∠CNB=∠CMA,∠CBN=∠CAM,所以ΔCNB∽ΔCMA,所以 ,即
CA CM
1 1.5
=
,所以CA=3(m),AB=CA-BC=2 m.即窗户的高度为2 m.
CA 4.5
兴趣小组的同学要测量教学楼前一棵树的高度.在阳光下,一名同学测得一根竖直在地面上的
长为1米的竹竿在地面上的影长为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,
有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此台阶上影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时
落在地面上的影长为4.4米,则此树高为多少米?
〔解析〕 作出图形,先根据同时同地物高与影长成正比求出台阶的高落在地面上的影长EH,再求出
落在台阶上的影长在地面上的长,从而求出大树的影长假设都在地面上的长度,再利用同时同地物高与影长
成正比列式计算即可得解.
DE 1
=
解:如图所示,∵ ,
EH 0.4
∴EH=0.3×0.4=0.12(m),新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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∴AF=AE+EH+HF=4.4+0.12+0.2=4.72(m),
AB 1
=
∵ ,
AF 0.4
4.72
∴AB= =11.8(米).
0.4
亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼,两人准备用测量影子的方法测算其楼高,但恰逢阴天,于是两人
商定改用下面方法:如图所示,亮亮蹲在地上,颖颖站在亮亮和楼之间,两人适当调整自己的位置,当楼的顶部
M,颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时,两人分别标定自己的位置C,D.然后测出两人之间的
距离CD=1.25 m,颖颖与楼之间的距离DN=30 m(C,D,N在一条直线上),颖颖的身高BD=1.6 m,亮亮蹲地观
测时眼睛到地面的距离AC=0.8 m.你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗?
〔解析〕 此题属于实际应用题,解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答.此题需要转化
为相似三角形的问题,利用相似三角形求解即可.
解:过A作CN的平行线交BD于E,交MN于F.
由已知可得FN=ED=AC=0.8 m,AE=CD=1.25 m,EF=DN=30 m,∠AEB=∠AFM=90°.
又∠BAE=∠MAF,∴ΔABE∽ΔAMF.
BE AE
=
∴ ,
MF AF
1.6-0.8 1.25
=
即 ,解得MF=20(m),
MF 1.25+30
∴MN=MF+FN=20+0.8=20.8(m),
∴住宅楼的高度为20.8 m.
7 相似三角形的性质新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
1.经历探索相似三角形性质的过程,了解相似三角形对应线段的比等于相似比,面积比等于相似比的平
方;能用相似理论来解决简单的问题.
2.在参与猜想、证明等数学活动中,提升学生的演绎推理能力.
能运用相似三角形的性质解决简单的问题,体验解决问题策略的多样性.
在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观,养成独立思考、合作交流等学习习惯.
【重点】
1.相似三角形的性质.
2.利用相似三角形的性质解决实际问题.
【难点】 相似三角形的性质的应用.
第 课时
1.了解相似三角形对应线段的比等于相似比,能用相似理论来解决简单的问题.
2.在参与猜想、证明等数学活动中,提升学生的演绎推理能力.
能运用相似三角形的性质解决简单的问题,体验解决问题策略的多样性.
在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观,养成独立思考、合作交流等学习习惯.
【重点】
1.相似三角形对应线段成比例.
2.利用相似三角形的性质解决实际问题.
【难点】 相似三角形的性质的应用.
【教师准备】 教材图4-30,图4-32投影图片.
【学生准备】 复习三角形相似的判定定理.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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导入一:
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件.如图所示,图纸上的ΔABC表示该零件的横断
面ΔA'B'C',CD和C'D'分别是它们的高.
CD CD AB
那么它们的高的比 是多少?它们的高的比 与边长的比 有什么关系?
C'D' C'D' A'B'
导入二:
提出问题,引入新课:
1.什么样的两个三角形相似?相似三角形的相似比指的是什么?
2.当两个相似三角形的相似比为1时,这两个三角形有何特殊关系?
3.全等三角形有哪些性质?三条主要线段:对应高、对应中线、对应角平分线有何关系?
相似三角形又有哪些性质呢?本节课我们将共同探讨.
[设计意图] 复习类比全等三角形的性质,既让学生加深理解了相似三角形与全等三角形的区别与联
系,也自然而然地引出问题:相似比不为1的相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线又有哪些性质?
[过渡语] 通过下面问题我们来研究相似三角形对应线段的关系.
思路一
1.相似三角形的高
如图所示,小王依据图纸上的ΔABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁ΔA'B'C',CD和C'D'分别
是它们的立柱.
(1)ΔACD与ΔA'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比;
(2)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高?
解:(1)相似.理由如下:
AC AB BC
= =
∵ ,
A'C' A'B' B'C'
∴ΔABC∽ΔA'B'C',
∴∠A=∠C'A'D',
又∵∠ADC=∠A'D'C'=90°,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
∴ΔACD∽ΔA'C'D',且相似比为1∶2.
CD 1 1.5 1
= =
(2)由(1)知 ,即 ,
C'D' 2 C'D' 2
∴C'D'=3 cm.
答:模型房的房梁立柱高3 cm.
问题思考:
(1)已知ΔABC∽ΔA'B'C',ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,它们对应高的比是多少?
(2)两个三角形有几组对应的高?
(3)以一组对应边上的高为例,怎么证明两个对应高的比为k?
2.相似三角形的角平分线
[过渡语] 已知ΔABC∽ΔA'B'C',它们的对应角平分线的比和相似比有什么关系呢?
如图所示,ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,CD和C'D'分别为ΔABC与ΔA'B'C'的角平分线,CD和
C'D'的比为多少?
解:∵ΔABC∽ΔA'B'C',
∴∠A=∠A',∠ACB=∠A'C'B'.
∵CD和C'D'分别为ΔABC与ΔA'B'C'的角平分线,
1 1
∴∠ACD= ∠ACB,∠A'C'D'= ∠A'C'B',
2 2
∴∠ACD=∠A'C'D',
∴ΔACD∽ΔA'C'D',
CD AC
=
∴ =k.
C'D' A'C'
∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
3.相似三角形的中线
如图所示,已知ΔABC∽ΔA'B'C',且相似比为k,CD和C'D'分别为ΔABC与ΔA'B'C'的中线,它们的
对应边的中线的比和相似比有什么关系呢?
解:∵ΔABC∽ΔA'B'C',
AC AB
=
∴∠A=∠A', =k.
A'C' A'B'
∵CD和C'D'分别为ΔABC与ΔA'B'C'的中线,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
1
AB
AD 2 AB
= =
∴ =k,
A'D' 1 A'B'
A'B'
2
∴ΔACD∽ΔA'C'D'.
CD AC
=
∴ =k.
C'D' A'C'
∴相似三角形对应中线的比等于相似比.
【定理】 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
思路二
已知ΔABC∽ΔA'B'C',ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.
CD
(1)如果CD和C'D'是它们的对应高,那么 等于多少?
C'D'
CD
(2)如果CD和C'D'是它们的对应角平分线,那么 等于多少?如果CD和C'D'是它们的对应中线
C'D'
呢?
学生活动:
(1)小组同学共同探索解题方法;
(2)规范学生的书写格式;
(3)得到定理:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
⊥
如图所示,AD是ΔABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR AD,垂足为E.当SR=
1 1
BC时,求DE的长,如果SR= BC呢?
2 3
〔解析〕 本题是求线段的长.在本题中虽然涉及了直角三角形,但缺乏使用勾股定理的条件,因此这
个思路可以不去考虑.本题有两个基本思路,一是通过三角形对应线段的比去求解,二是通过三角形对应边
的比来求解.
⊥ ⊥
解:∵SR AD,BC AD,
∴SR∥BC,
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C,新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
∴ΔASR∽ΔABC(两角分别相等的两个三角形相似),
AE SR
=
∴ (相似三角形对应高的比等于相似比),
AD BC
AD-DE SR
=
即 .
AD BC
1 h-DE 1 1
=
当SR= BC时,有 ,∴DE= h.
2 h 2 2
1 h-DE 1 2
=
当SR= BC时,有 ,∴DE= h.
3 h 3 3
[知识拓展] 相似三角形中对应线段的比都等于相似比.
如图所示,已知ΔABC∽ΔA'B'C'.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.
1 1 AD
(1)若∠BAD= ∠BAC,∠B'A'D'= ∠B'A'C',则 等于多少?
3 3 A'D'
1 1 AE
(2)若BE= BC,B'E'= B'C',则 等于多少?
3 3 A'E'
AD
解:(1) =k.
A'D'
AE
(2) =k.
A'E'
1.相似三角形的对应边成比例、对应角相等.
2.相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
1
1.两个相似三角形的相似比为 ,则对应高的比为 ,对应中线的比为 .
2
1 1
答案:
2 2
1
2.两个相似三角形对应中线的比为 ,则对应高的比为 .
4
1
答案:
4
3.顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应高的比是 .新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
1
答案:
2
4.如图所示,某校宣传栏后面2 m处种了一排树,每隔2 m一棵,共种了6棵,小勇站在距宣传栏中间位
置的垂直距离3 m处,正好看到两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为 m.(不计宣传
栏的厚度)
1 1
解析:根据题意可画出图形,小树每隔2 m一棵,共种了6棵,∴BC=2×5=10(m),CG= BC= ×10=5(m).由
2 2
AF EF 3 EF
= =
图形可知ΔAEF∽ΔACG,∴ ,即 ,解得EF=3 m,∴DE=2EF=2×3=6(m).故填6.
AG CG 2+3 5
第1课时
1.相似三角形的高
2.相似三角形的角平分线
3.相似三角形的中线
一、教材作业
【必做题】
教材第108页习题4.11的1,2,3题.
【选做题】
教材第108页习题4.11的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,ΔABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,AF平分∠BAC交DE于G,若AD=4,DB=1,则AG∶AF=
.
2.如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子长为CD,AB∥CD,AB=2 cm,CD=5 cm,点P到
CD的距离为3 m,则点P到AB的距离为 .新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
师）
3.如图所示,若A,B,C,D,E,F,G,H,O都是5×7方格纸中的格点,为使ΔDME∽ΔABC,则点M应是F,G,H,O四点
中的 点.
【能力提升】
AB 2
=
4.已知ΔABC∽ΔA'B'C',且 ,AB边上的中线CD=9 cm,求A'B'边上的中线C'D'的长.
A'B' 3
5.如图所示,AP是ΔABC的高,点D,G分别在AB,AC上,点E,F在BC上,四边形DEFG是矩形,
AP=h,BC=a,DG=x,矩形DEFG的面积为y,试用a,h,x表示y.
⊥
6.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB = 90°,CD AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,交CD于F,试判断比例式
AF CD
=
是否成立,请说明理由.
AE BC
【拓展探究】
⊥
7.如图所示,已知AB∥CD,AD,BC交于点O,过点O作直线分别交AB,CD于点E,F,且EF AB,若OA∶OD=2∶1,
试确定BE∶CF.
【答案与解析】新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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4
1. (解析:AG,AF是相似三角形对应角的平分线,其比等于相似比.)
5
6
2. m(解析:点P到AB,CD的距离就是ΔPAB,ΔPCD的边AB,CD上的高.对应高的比等于相似比.)
5
3.H(解析:可通过相似三角形的对应线段成比例来确定顶点M.)
CD AB 2 3 27
= =
4.解:∵ΔABC∽ΔA'B'C',CD,C'D'是对应中线,∴ ,又∵CD=9 cm,∴C'D'= ×9= (cm),
C'D' A'B' 3 2 2
27
即A'B'边上的中线C'D'的长为 cm.
2
5.解:因为四边形DEFG为矩形,∴DG∥EF,∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠C,∴ΔADG∽ΔABC.∵AP交DG于
y
DG AM y h-
⊥ = x x
M,∴AM DG.∴AM,AP分别是ΔADG,ΔABC的高.∴ BC AP ,AM=AP-MP,MP=DE= x .∴ =
h a
h
.∴y=hx- x2(0BC,C是AB的黄金分割点,∴AC= AB.∵AB=❑√5 cm,∴AC=
2
5-❑√5
cm,故正确.]
2
a b c
= =
2.解:(1)由题意得a∶b=c∶d,所以a=1 cm. (2)设 =k,则a=6k,b=5k,c=4k.所以a+b-2c=6k+5k-2×4k=3,
6 5 4
解得k=1.∴a=6.
AC BD 4 3 9 9
= =
3.解:因为a∥b∥c,所以 ,即 ,所以DF= ,所以BF=3+ =7.5.
CE DF 6 DF 2 2
4.解:3对,ΔABC∽ΔADE,ΔABC∽ΔAFG,ΔADE∽ΔAFG.理由:两角分别相等的两个三角形相似.
5.解:(1)因为ΔADE∽ΔABC,所以由相似三角形对应角相等,得∠ADE=∠B=50°. (2)由(1)知∠ADE=50°,又
AD DE
=
∠A=70°,所以∠AED=180°-∠A-∠ADE=60°. (3)由ΔADE∽ΔABC,得 ,所以DE=
AB BC
AD·BC 2a·b 2b
= =
(cm).
AD+BD 2a+a 3
6.提示:相似多边形的面积比等于相似比的平方,所以对应边的比是2∶3.
AD AD 3 S 9
= = ΔADE=
7.解:∵DE∥BC,又∠A=∠A,∴ΔADE∽ΔABC,又 ,∴ ,∵S =48,∴S =27.
AB AD+BD 4 S 16 ΔABC ΔADE
ΔABC新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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OA OC
=
8.解:OA·OD=OC·OB.理由如下:因为AC∥BD,所以∠A=∠B,∠C=∠D,所以ΔAOC∽ΔBOD,所以 ,即
OB OD
OA·OD=OC·OB.
9.解:∠1=∠4,∠2=∠3.理由:因为AD=31,DB=29,AE=30,EC=32,所以
AD 31 1 AE 30 1 AD AE
= = = = =
AC=AE+EC=30+32=62,AB=AD+DB=31+29=60.因为 , ,所以 ,又因
AC 62 2 AB 60 2 AC AB
为∠A=∠A,所以ΔADE∽ΔACB,所以∠1=∠4,∠2=∠3.
10.解:设较小三角形地块的面积为S m2,则较大三角形地块的面积为(S+30)m2,由两个三角形相似,得
S (2) 2
= ,解得S=24.所以面积之和为S+(S+30)=24+(24+30)=78(m2).
S+30 3
11.解:因为ΔACP∽ΔPDB,所以∠APC=∠B.所以∠APB=∠APC+60°+∠DPB=60°+∠B+∠DPB=60°+∠PDC=60°
+60°=120°.
1
12.解:因为矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的 ,所以矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为1∶2,所
4
1( 1)
或-
以矩形OABC各顶点的横坐标、纵坐标分别乘 ,即可得到矩形OA'B'C'各顶点的横坐标和纵坐
2 2
标.所以点B'的坐标为(3,2)或(-3,-2).
1 1
13.解:如图所示,取CD的中点H,连接OH,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,CD=AB=a,∴CH= CD=
2 2
CF c
1 1 CF EC =
a,OH∥AD∥BC,OH= BC= b,∴∠ECF=∠EHO,又∠E=∠E,∴ΔECF∽ΔEHO,∴ = ,∴1 1
2 2 OH EH b a+c
2 2
bc
,∴CF= .
a+2c
14.解:如图所示,四边形OA'B'C'即为所求.位似中心是坐标原点O,四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比
为2∶1.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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15.解:对三角形、正方形来说,变化前后的两个图形相似;对长方形来说,变化前后的两个图形不相似.
16.解法1:作EG∥AB,交DF于点G,沿EG将ΔDEG截去,则ΔEGF与ΔBAC相似.解法2:在EF上任取一点P,
过点P作PQ∥AB,交DF于点Q,沿PQ将图(2)截开,则ΔPQF与ΔBAC相似.
17.解:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,∴AD=CE,AD=BC,PC∥RE,∴BC=CE.∴ΔBPC∽ΔBRE,∴
PC BC BP 1 PC 1 PQ PC 1
= = = = = =
.又∵DR=RE,∴ .由题意易得ΔPCQ∽ΔRDQ,∴ .设PQ=x,则
RE BE BR 2 DR 2 QR RD 2
QR=2x,∴BP=PR=3x,∴BP∶PQ∶QR=3x∶x∶2x=3∶1∶2.
18.(1)证明:∵ΔABC,ΔDCE,ΔFEG是三个全等的等腰三角形,∴FG=FE=AB=❑√3,EG=CE=BC=1,∴BG=3.∵
EG 1 ❑√3 FG ❑√3 EG FG
= = , = ,∴ = ,又∠G=∠G,∴ΔBFG∽ΔFEG. (2)解:
FG ❑√3 3 BG 3 FG BG
PC BC PC 1 ❑√3 ❑√3 2❑√3
∵∠BCA=∠BGF,∴PC∥FG,∴ = ,即 = ,解得PC= ,∴AP=AC-PC=❑√3- =
FG BG ❑√3 3 3 3 3
2❑√3 ❑√3
,∴AP∶PC= ∶ =2∶1.
3 3
19.解:如图所示,矩形OBCD 和矩形OBCD 就是求作的矩形.所画矩形和原矩形可在原点同侧,也可在原
1 1 1 2 2 2
点异侧.新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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MH HD
⊥ ⊥ =
20.解:∵MH BD,AB BD,∴∠MHD=∠ABD.又∵∠MDH=∠ADB,∴ΔMHD∽ΔABD,∴ .同理可得
AB BD
MH BH MH MH HD BH MH MH
= + = + +
,∴ ,即 =1,解得MH=6(m).∴点M离地面的高度MH
CD BD AB CD BD BD 10 15
为6 m.
⊥
21.解:(甲)如图(1)所示,过点B作BH AC,垂足为H,交DE于点
1
⊥
M,∵DE∥AC,∴BM DE,∴∠BDE=∠BCA.∵∠DBE=∠CBA,∴ΔBDE∽ΔBCA.∵S = AB·BC,AB=1.5
ΔABC 2
1 1
m,S =1.5 m2,∴1.5= ×1.5×BC,∴BC=2(m),∴AC=❑√AB2+BC2=❑√1.52+22=2.5(m).∵
ΔABC 2 2
DE BM DE 1.2-DE 30
AC·BH=1.5,AC=2.5(m),∴BH=1.2(m).∵ = ,∴ = ,解得DE= (m),即甲工匠加工
CA BH 2.5 1.2 37
30 DE CD DE 2-DE 6
= =
的正方形的边长为 m.(乙)如图(2)所示,由题意,得 ,∴ ,解得DE= (m),即乙
37 AB CB 1.5 2 7
6 30 6
木匠加工的正方形的边长为 (m).∵ m< m,∴乙木匠的方法符合要求.
7 37 7新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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PD CD 14-x 4
= =
22.解:(1)当 时,设BP=x,则PD=BD-BP=14-x,所以 ,解得x=2,x=12. (2)当
AB BP 6 x 1 2
CD PD 4 14- y
= =
时,设BP=y,则PD=BD-BP=14-y,所以 ,解得y=8.4.综上所述,BP的长为2或12或
AB PB 6 y
8.4.
a
23.(1)证明:∵ΔABC∽ΔABC,且相似比为k(k>1),∴ =k,即a=ka,又∵c=a,∴a=kc.
1 1 1 a 1 1
1
a b c
= =
(2)解:取a=8,b=6,c=4,同时取a=4,b=3,c=2,此时 =2,∴ΔABC∽ΔABC,且c=a.(答案不唯一)
1 1 1 a b c 1 1 1 1
1 1 1
(3)解:不存在ΔABC和ΔABC 使得k=2.理由如下:若k=2,则a=2a,b=2b,c=2c,又
1 1 1 1 1 1
∵b=a,c=b,∴a=2a=2b=4b=4c,∴b=2c,∴b+c=2c+c<4c.∵4c=a,即b+c1)与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式和点B的坐标;
(2)在直线l上找一点P(P在第一象限),使得以P,D,B为顶点的三角形与以B,C,O为顶点的三角形相似,求点
P的坐标.(用含m的代数式表示)
【答案与解析】
1.A(解析:设x=5k(k≠0),则y=6k,z=7k,所以(x+2y+3z)∶(3x+2y+z)=(5k+2×6k+3×7k)∶(3×5k+2×6k+7k)=19∶17.故选
A.)
2.C
6 7.5 9
= =
3.C(解析:∵ ,∴选项C正确.)
4 5 6
4.D
AB BE AB 20
⊥ ⊥ = =
5.B(解析:∵AB BC,CD BC,∴ΔBAE∽ΔCDE,∴ .∵BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,∴ ,
CD CE 20 10
解得AB=40(m).故选B.)
EF AE EF ED EF 1 EF 1
= = = =
6.C(解析:因为EF∥MD∥BC,所以 , ,又AE=ED=DC,所以 , ,所以
BC AC CN DC BC 3 CN 1
EF EF 1
= =
.故选C.)
BN BC+CN 4
0.5 1
=
7.B(解析:设长臂外端B升高x m,则 ,∴x=4.)
x 8新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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8.C
9.B
10.A(解析:∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩
1
小为原来的 后得到线段CD,∴端点C的坐标为(3,3).故选A.)
2
3-❑√5
11.
2
12.A'(4,1) B'(-2,2) C'(-1.5,-4)
13.∠D=∠B或∠DEA=∠C或AD∶AB=AE∶AC
AE AD AE AG
= =
14.5(解析:∵AE∥BC,∴ΔAED∽ΔCFD,ΔAEG∽ΔBFG,∴ , .∵AD=CD,∴AE=CF.又
CF CD BF BG
AE 1
=
∵BG∶AG=3∶1,∴ .由BC=10得AE=5.)
BC 2
15.12(解析:利用位似图形的面积比等于相似比的平方可得出答案.∵ΔABC与ΔA'B'C'是位似图形,且ΔABC
与ΔA'B'C'的相似比是1∶2,∴ΔABC与ΔA'B'C'的面积比为1∶4,∵ΔABC的面积是3,∴ΔA'B'C'的面积为12.)
(5 )
16.
,-4
(解析:过点B作BE
⊥
x轴于点E,过点B'作B'F
⊥
x轴于点F.∵点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-
3
AO AB 3
= =
3),ΔAB'O'是ΔABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),∴ ,AE=1,EO=2,BE=3.∴
AO' AB' 4
AE BE 3 1 3 4 1 1 5 3 3
= = ,∴ = ,解得AF= ,∴EF= ,∴FO=2- = ,∵ = ,解得B'F=4,则B'的坐标
AF B'F 4 AF 4 3 3 3 3 B'F 4
(5 )
为
,-4
.)
3
17.解:(1)相似.因为AD∥BE,所以ΔAPD∽ΔBPE. (2)点B是EC的中点,因为由已知可得ΔAPD≌ΔBPE,所以
1
AD=BE,而AD=BC,所以EB=BC= EC,所以点B是EC的中点.
2
18.略
MN MF
=
19.解:∵矩形MFGN∽矩形ABCD,∴ ,∵AB=2AD,MN=x,∴MF=2x,∴EM=EF-MF=10-2x,∴S=x(10-
AD AB
5 25 5 25
2x)=-2x2+10x=-2 x- 2+ ,当x= 时,S有最大值为 .
2 2 2 2
AB 1 CD 1
= =
20.解:(1)∵ΔABC∽ΔA'B'C', ,AB边上的中线CD=4 cm,∴
A'B' 2 C'D' 2
AB 1
=
,∴C'D'=4×2=8(cm),∴A'B'边上的中线C'D'的长为8 cm. (2)∵ΔABC∽ΔA'B'C', ,ΔABC的周长为
A'B' 2新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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C 1
ΔABC =
20 cm,∴ ,∴C =20×2=40(cm),∴ΔA'B'C'的周长为40 cm. (3)∵ΔABC∽ΔA'B'C',
C 2 ΔA'B'C'
ΔA'B'C'
AB
=
1
,ΔA'B'C'的面积是64 cm2,∴
S
ΔABC =
(1) 2
=
1
,∴S =64÷4=16(cm2),即ΔABC的面积是
A'B' 2 S 2 4 ΔABC
ΔA'B'C'
16 cm2.
⊥
21.解:(1)在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,因为EF BE,所以∠BEF=90°.所以∠DEF+∠AEB=90°, 因为
∠AEB+∠ABE=90°,所以∠ABE=∠DEF,因为∠A=∠D,所以ΔABE∽ΔDEF. (2)由题意易求得DE=4,BE=10.由(1)
AB BE 6 10 20
= =
得ΔABE∽ΔDEF,所以 ,即 ,所以EF= .
DE EF 4 EF 3
22.解:如图所示,设木棒AB交油面MN于点D,过A作AC垂直于油桶底面于点C,交MN于点E,则AB=100
AD AE 100-60 80-EC
= =
cm,DB=60 cm,AC=80 cm.∵DE∥BC,∴ΔADE∽ΔABC,∴ ,∴ ,∴EC=48.答:桶
AB AC 100 80
内油面的高度为48 cm.
23.解:(1)由题意可得AP=2t cm,DQ=t cm,QA=(6-t)cm,当QA=AP时,ΔQAP为等腰直角三角形,即6-t=2t,解得
t=2,所以当t=2时,ΔQAP为等腰直角三角形. (2)在ΔQAC中,QA=(6-t)cm,AQ边上的高CD=12 cm,所以
1 1 1 1
S = AQ·CD= (6-t)·12=36-6t(cm2).在ΔAPC中,AP=2t cm,AP边上的高BC=6 cm,所以S = AP·BC=
ΔAQC 2 2 ΔAPC 2 2
×2t·6=6t(cm2).所以四边形QAPC的面积为36-6t+6t=36(cm2).由计算结果发现,在P,Q两点移动过程中,四边
QA AP
=
形QAPC的面积始终保持不变. (3)分两种情况讨论,在矩形ABCD中,①当 时,ΔQAP∽ΔABC,有
AB BC
6-t 2t QA AP 6-t 2t
= = =
,解得t=1.2,即当t=1.2时,ΔQAP∽ΔABC;②当 时,ΔPAQ∽ΔABC,有 ,解得
12 6 BC AB 6 12
t=3,即当t=3时,ΔPAQ∽ΔABC.所以当t=1.2或3时,以点Q,A,P为顶点的三角形与ΔABC相似.
b
24.解:(1)二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为(0,-2),所以c=-2,因为- =0,所以b=0.又因为点
2a
A(-1,0),点B是二次函数y=ax2-2的图象与x轴的交点,即a-2=0,所以a=2.由于二次函数的解析式为y=2x2-2,
点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称,所以点B的坐标为(1,0). (2)∠BOC=∠PDB=90°,点P在直线x=m上,设点
OB DP 1 p m-1
= =
P的坐标为(m,p),OB=1,OC=2,DB=m-1,DP=p,①当ΔBOC∽ΔPDB时, , ,p= ,所以
OC DB 2 m-1 2新教材完全解读教师用书 九年级数学上·新课标（北
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m-1 OB DB 1 m-1
= =
点P的坐标是 m, ;②当ΔBOC∽ΔBDP时, , ,p=2m-2,点P的坐标为(m,2m-2).
2 OC DP 2 p
m-1
综上所述,点P的坐标为 m, 或(m,2m-2).
2
