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第七章 平行线的证明
第 4 课时三角形内角和定理
基础篇
1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的内角和定理可求 ，利用补角的定义可求 ，再根据三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和即可求出 的度数
【详解】
解：在 中
∵ ，
∴
又∵
∴
由三角形的外角性质得
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质
2．如图， ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠 CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则
∠EDC等于（ ）
A．42° B．66° C．69° D．77°
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理
求出∠BDC可得答案．
【详解】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，
∴∠B=90°-∠A=66°．
由折叠的性质可得：∠BCD= ∠ACB=45°，
∴∠BDC=∠EDC=180°-∠BCD-∠B=69°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的
关键．
3．在 中，∠B是直角，∠C=50°，那么∠A的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．130°
【答案】B
【分析】
根据三角形内角和为180°即可求解．
【详解】
∵△ABC是直角三角形，∠B是直角，∠C=50°，
∴∠A＝180°－90°－50°＝40°
故选：B
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°，属于基础题型．
4．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2
＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【答案】B
【分析】
在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝
∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再
由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．
【详解】
解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝ ＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是
解题的关键．
5．在 中，当 时，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】
根据三角形的内角和定理建立方程求解具体角度即可得出结论．
【详解】设 ，
由三角形的内角和定理，
解得：
，这个三角形是直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的判定，能够根据三角形的内角和性质推算出三角形的内角度数是解题的关键．
6．将 沿 折叠，使点 与点 重合，得到如图所示的情形，如果此时 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得 ；然后根据折叠的性
质可得 ，最后根据三角形的外角的性质求解即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ．
由折叠的性质，得 ．
又 ，
∴ ．
故选 ．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
7．如图，在 ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使 ，则∠ FE的度数是（
）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【答案】D
【分析】
设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可
解决问题．
【详解】
解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵ ，
∴ ， ，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180°①，
根据平行线的性质和翻折的性质可得： ， ，
∴ ，
∵γ+y＝2∠B，
同理可得出：β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属
于中考常考题型．
8．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC=70°，∠BAE=100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】
先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，然后求出∠BAD的度数，
再根据 ABG和 FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB=∠BAD．
【详解△】 △
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
又∠BAD=∠BAC-∠CAD，∠CAE=∠DAE-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠DAC=70°，∠BAE=100°，
∴∠BAD= （∠BAE-∠DAC）= （100°-70°）=15°，
在 ABG和 FDG中，
∵∠△B=∠D，∠△AGB=∠FGD，
∴∠DFB=∠BAD=15°．
故选：A．【点睛】
本题主要利用全等三角形对应角相等的性质．需注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张 纸片，点 分别是边 上的点，将 沿着
折叠压平， 与 重合，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，
∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
10．如图，点P是 内一点，连结PB、PC， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
根据三角形内角和定理可求出∠ABC+∠ACB的度数，根据角的和差关系可得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三
角形内角和定理求出∠BPC的度数即可．
【详解】
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，
∴∠PBC+∠1+∠PCB+∠2=100°，
∵∠1=25°，∠2=40°，
∴∠PBC+∠PCB=100°-25°-40°=35°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-35°=145°，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC，AD BC，∠ADB＝36°，∠BAC＝__________°．
【答案】28
【分析】
根据AD BC求出∠DBC，再根据角平分线的性质求出∠ABC，再利用三角形的内角和故可求解．
【详解】
∵AD BC
∴∠DBC=∠ADB＝36°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=72°
∴∠BAC＝180°-∠ACB-∠ABC=28°
故答案为：28．
【点睛】
此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知平行线的性质、角平分线的性质及三角形的内角和．12．如图，在 中， ． 与 的平分线交于点 ，得 ； 与 的平分
线交于点 ，得 ； ； 与 的平分线交于点 ， ；则 ________．
【答案】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的
一半，然后表示出∠A 即可．
3
【详解】
∵A B平分∠ABC，A C平分∠ACD，
1 1
∴∠A BC= ∠ACD，∠A CD= ∠ACD，
1 1
∵由外角可得∠A+∠ABC=∠ACD，
∠A +∠A BC=∠A CD，
1 1 1
∴∠A = ∠A CD-∠A BC= ∠ACD- ∠ACD= ∠A
1 1 1
以此类推∠A = ∠A ，∠A = ∠A ．
2 1 3 2
∴∠A = ∠A = ∠A = ∠A=
3 2 1
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的
定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
13．如图，在 和 中， ， ， ， 连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ .正
确的结论序号是______________．
【答案】①②
【分析】
①通过证明即可得出结论；
②利用全等三角形的性质和三角形内角和定理判断即可；
③假设成立，然后推出矛盾即可判断；
④根据前③中的全等三角形的性质判断看能否推出结论．
【详解】
如图，
，
，
∵ ， ，
，
，故①正确；
，
，
，故②正确；
假设③正确，此时有 ，
而根据 则 与 不可能全等，故假设不成立，故③错误；
而④无法证明，
故答案为：①②【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是关键．
提升篇
14．如图，已知：AD是 的角平分线，CE是 的高， ， ，求 和
的度数．
【答案】 ，
【分析】
在 中可计算得 ；在 中可解得 ，在 中可解得 ．
【详解】
解： ， ，
；
， ，
，
AD是 的角平分线，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，角平分线的性质、垂线的性质；关键在于掌握好相关的基础知识．
15．如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．【答案】46°
【分析】
先根据补角的定义求出∠EDF的度数，再由三角形外角的性质求出∠AFC的度数，根据三角形内角和定理
即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BDF＝130°，
∴∠EDF＝180°﹣130°＝50°．
∵∠E＝30°，
∴∠AFC＝30°+50°＝80°．
∵∠C＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣54°﹣80°＝46°．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关
键．
16．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝
58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ （角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝ °（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ °．
∴AD∥BC（ ）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝64°
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判定定理可
得结论；
（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣
64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．
【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定等知识，熟知相关定义、定理是解题关
键．
17．如图， 中， 于点E，AF是 的平分线，交BE于点F， ， ，求
的度数．【答案】
【分析】
由题意易得∠CAB=64°，则有 ，进而可得 ，然后根据三角形外角的性质可
求解．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵AF是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题
的关键．
18．已知：如图，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠AED的度数．
【答案】（1）10°；（2）75°
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE是∠BAC的平分线，可得∠EAC的度数，
△ADC中，可求出∠DAC的度数；
（2）得出∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC，进而即可解答．
【详解】
解：（1）∵△ABC中，∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣50°﹣80°
＝50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝25°，
∵AD是BC边上的高，
∴△ADC中，
∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣80°＝10°，
（2）∵∠DAC＝10°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣10°＝15°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣15°＝75°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和、三角形的高和角平分线，注意三角形的内角和为180°是解题的关键．
19．在 中， 与 的平分线相交于点 ．
（1）如图①，如果 ，求 的度数；
（2）如图②，作 外角 ， 的角平分线，且交于点 ，试探索 ， 之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段 ， 交于点 若 中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求
的度数．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的度数是90°或60°或120°
【分析】
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最
后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90° ∠A，求出∠E= ∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角
等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；
③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，
又∵点 是 和 的平分线的交点，
∴ ，
∴ ；
（2）∵外角 ， 的角平分线交于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴，
∴
；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E= ∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
= ∠ABC+ ∠MBC
= （∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的
内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
