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专题 12 直线与圆中的最值和范围问题
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题型01 与对称有关的三点共线最值问题...............................................................................................................1
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题.......................................................................................................5
题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题.......................................................................................................9
题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题.................................................................................................14
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题.........................................................................................21
题型 01 与对称有关的三点共线最值问题
【解题规律·提分快招】
1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP) =AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是
min
点B关于直线l的对称点.
2、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP| =AB(当点A、P、B共线时取到).
max
3、点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP| =AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'
max
是点B关于直线l的对称点.【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l： ，点 ， ，P为l上任意
一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得点 关于直线l的对称点 的坐标，则 即为 的最小值.
【详解】设点 关于直线l的对称点为 ，
则有 ，解之得 ，则 ，
则 的最小值为
故选：B
2．（2025高三·全国·专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将 变形为 ，再根据其几何
意义数形结合转化为直线 上动点到直线同侧两定点的距离之和，然后利用对称转化为异侧两点之
间距离最短可求最小值.
【详解】设点 为直线 上的动点，
由 ，
则其几何意义为 与 的距离和 与 的距离之和，设点 ，
则点 关于直线 的对称点为点 ，
故 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C.
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）若一束光线从点 处出发，经过直线 上一点 反射后，
反射光线与圆 交于点 ，则光线从点A到点 经过的最短路线长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】求得点 关于直线 的对称点坐标为 ，根据对称性可得 ，再
结合圆的性质求最小值.
【详解】由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，
设点 关于直线 的对称点坐标为 ，
则 ，解得 ，
即对称点 ，则 ，
因为反射光线与圆 交于点 ，则 ，
当且仅当 三点共线且点 为靠近 的交点时等号成立，又因为 ，所以光线从点A到点 经过的最短路线长为 ．
故选：C．
4．（24-25高三上·重庆·期中）已知直线 与圆 ，点 在直线 上，
过点 作圆 的切线，切点分别为 ，当 取最小值时，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由切线长公式知当 时， 最小，结合点到直线距离公式求得 的最小值，然后作 关
于直线 的对称点 ，可知当点 为 与直线 的交点时， 最小，由对称知，此时 与 重合，
从而易得最小值．
【详解】由 可知圆心为 ，半径 ，
由题意 ，
所以当 时， 取最小值，
由点到直线的距离公式可得 ，
此时 ，
过 作直线 的对称点 ，连接 ， ， 与直线 的交点即为所求的点 ，
由于 与 关于直线 对称， ， 与 关于直线 对称，
因此 与 就是同一条直线，即点 即为所求的点 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
5．（2024·湖南益阳·三模）已知 是抛物线 上一点，圆 关于直线 对称的圆为 ， 是圆 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对称性求出圆 的方程，设 ，求出 的最小值，即可求出 的最小值.
【详解】圆 圆心为 ，半径 ，设 ，
则由对称性可知： ，解得 ，则 ，
所以圆 ，
设 ，则 ，
所以当 ，即 时， ，
所以 的最小值是 .
故选：A
题型 02 点与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、若点M在圆内，则M N =M N =r−OM，M N =M N =r+OM；
min 1 max 2
2、若点M在圆外，则M N =M N =OM−r，M N =M N =r+OM；
min 1 max 23、圆上一点到圆外一定直线的距离最值
若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r
为圆半径，则PE =P F=d−r，PE =P F=d+r.
min 1 max 2
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知 是圆 上的动点，点 满足 ，点
，则 的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】首先求点 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，求 的最大值.
【详解】设 ， ，
由 ，得 ， ，
因为点 在圆 上，即 ，
则 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，3为半径的圆，
因为 ， ，所以点 在圆外，
所以 的最大值为 .
故选：C
2．（2024·广东茂名·二模）已知平面 内的动点 ，直线 ： ，当 变化时点 始终不
在直线 上，点 为 ： 上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据题意可分析出点P在 ： ，问题转化为两圆上两动点距离的取值范围即可得解.
【详解】由原点 到直线 ： 的距离为 ，
可知直线 是 ： 的切线，又动直线始终没有经过点 ，所以点 在该圆内，
因为点 为 ： 上的动点，且 ， ，
∴ ，又 ，
即 的取值范围为 ，
故选：D
3．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比
（ ， ），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点 和定点 的
距离之比为2，其方程为 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得 ，
再由 ，数形结合求目标式最小值.
【详解】由题设 ，令 ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
又 ，即 在圆外， ，即 在圆外，由 ，当且仅当 共线上等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C
4．（23-24高三下·广西桂林·开学考试）已知直线 ： 与直线 ： 交于点
，则 的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】首先根据已知条件得到直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，且 ，根据交点
得到点 在以 为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
【详解】由题知：直线 恒过定点 .
直线 化简为： ，当 时， ，直线恒过点 .
当 时，直线 的斜率不存在，直线 的斜率 ，则 .
当 时， ， ， ，则 .
综上：直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，且 .
因为直线 与直线 交于点 ，
所以点 在以 为直径的圆上，线段 的中点坐标为 ，
且 ，则其轨迹方程为 （除点 外），圆的半径 ，
因为 表示圆上的点到原点距离的平方，设 ，
则 ，所以 的最大值为64.
故选：D.
5．（24-25高三上·广东·期中）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个
不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆
与圆 ， 是这两个圆根轴上一点，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出圆 、圆 的圆心和半径，根据题目圆幂定义可得 可得根轴 为直
线 ，取 关于 对称的点 ，当 ， ， 三点共线时，取得最大值 .
【详解】由题知，圆 的圆心为 ，半径 ；
圆 的圆心为 ，半径 .
设点 为圆 与圆 的根轴 上的任意一点，
则 ，
所以 ，
整理得 ，即圆 与圆 的根轴 为直线 .
取 关于 对称的点 ，则 .因为 ，所以 在 上，
所以当 ， ， 三点共线时， 取得最大值 .
因为 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，
所以 ，即 的最大值为 .
故选：A.
题型 03 代数式的几何意义最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
y−b
1、形如
y=
，可以转化为过点 和点 的动直线斜率；
x−a (x,y) (a,b)
2、形如z=(x−a) 2 +(y−b) 2 ，可以转化为点(x,y)和点(a,b)的距离的平方；3、形如
z=ax+by
，可以转化为动直线纵截距
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为圆 上的点与 连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求
得斜率的取值范围，进而得到最大值.
【详解】由 得： ，
点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
的几何意义为该圆上的点 与 连线的斜率，
当过点 的直线斜率不存在，即为 时，与圆显然不相切；
设过点 的圆的切线为 ，即 ，
圆心到切线的距离 ，解得： ，
，则 的最大值为 .
故选：C.
2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知 且 ．则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 的最小值转化为线段 上一点到原点的距离与到 轴的距
离之和最小，根据最短路径问题求解.
【详解】设原点 关于直线 的对称点为 ，过 点向 轴做垂线，垂足为 ，
与直线 交于 点，由 的几何意义可知，
该式表示线段 上一点到原点的距离与到 轴的距离之和最小，
由平面几何知识可知，该点取 点的时候， 最小，
最小值为 ，即 点的纵坐标，
由 点与原点 关于直线 对称可知 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
3．（24-25高三上·四川南充·期中）已知点 是圆 上的动点，则下面说法正
确的是（ ）
A．圆的半径为2 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为5
【答案】B
【分析】对于A：将圆化为标准方程，即可圆心和半径；对于B：分析可知直线 与圆有公共点，
结合点到直线的距离公式列式求解；对于C：设 ，可得 ，结合圆的性质
求最值；对于D：分析可知直线 与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解.
【详解】对于A： ，
因此该圆的圆心为 ，半径为 ，故A错误；
对于B：因为点 是圆 ： 上的动点，
设 ，可知直线 与圆有公共点，则 ，解得 ，
因此 的最大值为 ，故B正确；
对于C：因为 ，设 ，
则 ，
由圆的性质可知： 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，故C错误；
对于D： 令 ，
可知直线 与圆有公共点，则 ，解得 ，
所以 的最大值为6，故D错误；
故选：B.
4．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆 是圆上的两个动点，
且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出 中点M的轨迹方程为圆，所求式子可转化为M到直线 的距离，利用圆的性质
即可得出最大值.
【详解】如图，
圆 ，圆心为点 ，设线段 的中点为 ，
得 ，所以点 的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆，
即为 可看作点 到直线 的距离，
同理， 可看作点 到直线 的距离，因此 可看作点 到直线 的距离，
于是点 到直线 的距离最大值即 ，则 ，即
，故D正确．
故选：D
5．（24-25高三上·吉林·期末）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】问题转化为点 到点 的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象
的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解.
【详解】 可看成点 到点 的距离的平方，
点 在直线 的图象上，点 在反比例函数 的图象上，
问题转化为在图象 上找一点，使得它到直线 的距离的平方最小.
注意到反比例函数 的图象关于直线 对称，直线 也关于 对称，
观察图象知点P到直线 的距离最短， ，
最短距离为 ，所以 的最小值为 .
故选：C.【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象
的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题.
二、填空题
6．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数
形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知
，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意转化为动点 到 的距离之和，结合图象得到 为矩形对
角线交点时距离最小，进而得到答案.
【详解】
相当于动点 到 的距离之和，
因为四边形 为矩形，所以 ，
所以当 为矩形对角线交点时， ，
此时 最小，最小为 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点 到 的距离之和问
题，画出图象， ，当 为矩形对角线交点时，距离最小.
题型 04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直
的弦弦长为
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津和平·期末）若直线 ： 与圆 ：相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出直线 过定点 ， 在圆 内，连接 ，当 和 垂直时， 最小，由垂径
定理得到答案.
【详解】 ，
令 ，解得 ，
故直线 过定点 ，
又 ，故 在圆 内，
，故圆心 ，半径为4，
连接 ，当 和 垂直时， 最小，
其中 ，
由垂径定理得 .
故选：C
2．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点 、 在圆 上，点 在直线 上，
点 为 中点，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理可得点 在以 为圆心， 为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可
求解.
【详解】由题意可得圆的标准方程为 ，
设圆心为 ，半径为 ，则 ， ，
,所以由垂径定理可得 ，故点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ，
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线 与圆 交于 两
点，则线段 的长度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先得到直线 恒过定点 ，且定点 在圆 内部，然后由圆心 到直线 的距离最大时，弦
长最小，为0时，弦长最大求解.
【详解】解：由题可得，圆 ，圆心 ，半径 ．
因为直线 ，即 ，
令 的系数为0，即 ，解得 ，即直线 恒过定点 ．
因为 ，所以定点 在圆 内部，
设圆心 到直线 的距离为 ，则弦长 ．
当 时，弦长 最大，即过点 的最长弦长为圆 的直径 ；当 最大时， （提示：当 最大时， 为圆心 与弦 的中点 连线的长
度），
此时弦长 最小，最小值为 ．
综上，线段 的长度的取值范围为 ．
故选：C．
4．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆 与圆 ，过
动点 分别作圆 ､圆 的切线 （ 分别为切点），若 ，则 到圆
距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆的性质结合已知条件 得动点 的轨迹为一条直线，进而求出圆
的圆心到直线距离即可求解所求距离的最小值.
【详解】由题 ， ，
因为 ，则 ，即 ，
化简得 ，即动点 在直线 上，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
所以 到圆 距离的最小值是 .
故选：A.
5．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知 ，直线 ， 为
上的动点.过点 作 的切线 ，切点为 ，当四边形 面积最小时，直线 的方程为
（ ）.A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据几何性质可得当 最小时四边形 面积最小，求出四边形 外接圆的方程后可求
直线 的方程.
【详解】由题意可知， .
故四边形 的面积 .
由圆 得 ①，
圆心 ，半径 ，即 .
要使四边形 面积最小，即 最小，
又 ，即求 的最小值.
当直线 与 垂直时， 最小.
直线 的斜率 ，则 方程为 即 .
联立 得 ，即
.
中点 ，则四边形 外接圆为 ②，
直线 方程为①-②，即 .
故选：C.
6．（24-25高三上·安徽芜湖·期中）已知 是圆 上的两个不同的点，
若 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设知， .设 为 的中点，所以 .求出点 的轨迹方程.设点 到直
线 的距离分别为 ，求出 ，得到 .求出点 到直线
的距离，得出 的范围即可解决.
【详解】由题设知，圆 的圆心坐标 ，半径为2，因为 ，所以 .
设 为 的中点，所以 .所以点 的轨迹方程为 .
其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆.
设点 到直线 的距离分别为 ，
所以 ，
所以 .
因为点 到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，
所以 .所以 的取值范围为 .
故选：A.
7．（24-25高三上·重庆·期中）圆 ， 是直线 上的动点，过点 作圆 的
切线，切点为 ， ，那么 的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】 的最小值满足四边形 的面积最小，可转化为当 最小时满足条件，根据点到
直线的距离公式计算 ，求出 ，可计算结果.
【详解】圆 的圆心 ，半径为 ，
如图所示： ，
当 最小时四边形 面积最小，因为 ，所以当四边形 面积最小时 最小，
，
所以只需直线 上的动点 到 的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离，
此时 ，
.
故选：B
8．（2025高三·全国·专题练习）已知 为椭圆 上一动点，过点 作圆 的两条切
线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，设 ，则 ，利用两点间距离公式，求出 的最大
值即可求解.
【详解】
设圆 的圆心为 ，半径为 ，则 ，半径 ， ，
因为 ，所以只需 最大，设点 是椭圆上任意一点，则 ，即 ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 .
故选：B.
题型 05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题
【解题规律·提分快招】
圆的标准方程(x−a) 2+(y−b) 2=r2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：
{x=rcosθ+a
(θ是参数).
y=rsinθ+b
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点 在圆 上，则 的最大
值是( )
A． B．10 C． D．
【答案】D
【分析】把圆化为标准方程，令 ， ，利用两角和的正弦公式化简 的解析式，
再利用正弦函数的最值求得 的最大值．
【详解】点 在圆 上，即点 在圆 上，
令 ， ，则 ，
故 的最大值为 ﹒
故选：D．
2．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知 ， ， 三点，点 在圆 上运动，
则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据圆的标准方程写出点 的参数方程坐标，分别计算 ，再合并即得
，最后利用余弦函数的值域即可求得其范围.
【详解】依题意，设点 ，
则
故
，
因 ，故易得 .
故选：A.
3．（23-24高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆
上(正方形ABCD内部，含边界)，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出 的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计
算即可求得.
【详解】如图，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，
则以AB为直径的半圆为 ，
因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围为 .
故选：B
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽·期中）已知直线 恒过点 ，圆 ，则圆 上的点到直线 的
距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时，圆上的点到直线 的距离可取到最大值，求解即可.
【详解】当 时，圆上的点到直线 的距离可取到最大值，而 ，
所以 ，又圆 的半径为2，
故圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ．
故选：B.
2．（24-25高三上·山东济南·阶段练习） ，函数 的最小
值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.
【详解】设点 ， 和直线 ， 到l的距离分别为 ，
易知 ，显然 .
当且仅当 重合时取得等号.故选：C
3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知圆C： ，直线l： ，则直线l
被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定
理可得结论．
【详解】直线l方程变形为 ，
由 得 ，即直线l过定点 ，
圆心为 ，半径为 ，
定点到圆心距离为 ，即定点在圆内部，
所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，
最短弦长为
故选：
4．（23-24高三上·海南海口·期中）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
【答案】D
【分析】依题意可得 ，即可得到点 在圆 上，又点 到直线
的距离 ，利用圆心到直线的距离求出 的最小值，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以点 在圆 上，圆心为 ，半径 ，
则点 到直线 的距离 ，则 ，
要求 的最小值，即求 的最小值的平方，
又 到直线 的距离 ，
所以 ，所以
则 的最小值为 .
故选：D
5．（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知点 是直线 上的动点，过点 引圆
的两条切线 为切点，当 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用直线与圆的位置关系先确定 的最大时，P的位置，根据点到线的距离公
式计算即可.
【详解】由圆 ，可知其圆心 ，半径为r，
由切线的性质易知 ，则 取最大时， 最小，即 ，
所以 ，
又 的最大值为 ，所以此时 ，则 的值为 .
故选：D
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）若线段 与圆 有两个
交点 ，则弦 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】由点到直线的距离公式和垂径定理求出 ，要使弦 的最大值则
，代入求解即可.
【详解】圆心 到直线 的距离为 ，
，
令线段 中 ，则 ，即 ，
令线段 中 ，则 ，即 ，
所以线段的两端点为 ， ，
而 ， ，
要使弦 的最大值则 ，所以 .
故选：B.
7．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，
很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可以转化为点
与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数 的最小值
是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】 表示动点 到定点 和 的距离之和，作 关于直线 的
对称点 ， ，即可求解
【详解】
表示动点 到定点 和 的距离之和，
因为点 在直线 上运动，作 关于直线 的对称点 ，则 ，
故 ，
当且仅当 三点共线时取等，
故 的最小值为
故选：C
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知 为直线 上一点，过点 作圆 的切
线 （ 点为切点）， 为圆 上一动点． 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，可得 ，得到 ，结合直角三角形的性质
和勾股定理，求得 ， ，得到 最小时， 同时取得最小
值，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ，可得 ，且垂足为
要使得 取得最小值，
即 ，
又由 ，
，
显然，当 最小时， 同时取得最小值，
所以，当 时， 且 ，
所以 .
故选：B.9．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知点 ，且点 在直线 上，则下列
命题中错误的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C． 的最小值为
D． 的最大值为3
【答案】A
【分析】判断以 为直径的圆与直线线 的位置关系即可判断A是否正确；求出满足
的点 的轨迹方程，在判断与直线 关系是否有公共点即可；求出点 关于直线
的对称点为 ，利用三角形不等式可求出 的最小值；利用三角形不等式即可判断.
【详解】对于A：构造以 为直径的圆，其方程为 .
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆相离，
所以在直线 不存在点 ，使得 ，故A错误;
对于B：设 ，由 可得，
，
化简得 ，即 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
可判断圆心到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆相交所以存在点 ，使得 ，故B正确；
对于C项：设 关于直线 的对称点为 ，
由 可解得 ，即 ，
则 ，
所以 ，故C正确；
对于D项：当点 与 不共线时
当点 与 共线时 ，
此时点 ，故D正确.
故选:A.
10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知圆 ，点 为直线 上的动
点，以 为直径的圆与圆 相交于 两点，则四边形 面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】写出面积表达式，从而得到当 与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.
【详解】由已知 在以 为直径的圆上，
所以 ，
又 在圆 上，
所以 为圆 的两条切线，
故
所以四边形 面积 ，
圆 的圆心 坐标为 ，半径为 ，
所以 ，
所以 ，
而 的最小值为点 到直线 的距离，此时 与直线 垂直，垂足为 ，且点 到直线 的距离 ，
所以四边形 面积的最小值为 .
故选：B.
11．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知 ，点P为直线 上的一动点，点Q为
上的一动点，则| 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 可得 ，即可根据 ，根据三点共线
即可得 三点共线时，且 垂直于直线 时距离最小，即可根据点到直线的距
离公式求解.
【详解】设 ，则 ，
令 ，则 且 ，
所以 ，得 对任意 成立，
则 ，则 ，
当 三点共线时，且 垂直于直线 时， 有最小值 ，即点M
到直线 的距离，等于 ．
故选：A
12．（23-24高三下·河南开封·阶段练习）已知点 ，点 为圆 上一动点，则
的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，可求出 的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助
角公式以及三角函数性质即可求得答案.
【详解】因为点 为圆 上一动点，故设 ，
则 ，
令 ，则 ，
即 ，则 ，
其中 为辅助角， ，
则 ，整理得 ，
故 的最大值为 ，
故选：A
13．（2024·湖南岳阳·二模）已知点 是圆 上的两点，若 ，则
的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【分析】题目转化为 、 到直线 的距离之和，变换得到 ，利用数
形结合转化求解即可．
【详解】因为 ， 、 ， 在圆 上， ，
因为 ，则 是等腰直角三角形，
表示 、 到直线 的距离之和的 倍，
原点 到直线 的距离为 ，如图所示：
， ， 是 的中点，作 于 ，且 ， ， ，
，当且仅当 三点共线，且 在 的两侧时等号成立，
又 ，故 的最大值为
的最大值为 ．
故选：B．
14．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）设平面点集 包含于 ，若按照某对应法则 ，使得 中每一点
都有唯一的实数 与之对应，则称 为在 上的二元函数，且称 为 的定义域， 对应的值 为
在点 的函数值，记作 ，若二元函数
，其中 ， ，则二元
函数 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】二元函数 的几何意义是动点 到定点 距离的
和，结合三点确定的线段和差关系即可得解.
【详解】依题意，因 ， ，则点 在由直线 围成的
矩形ABCD区域内(含边界)，如图，
而 表示动点 到定点 距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P，
连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有 ，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，
，当且仅当点P在线段AC上时取“=”，
于是得 ，当且仅当点P是线段OQ与AC的
交点时取“=”，
显然直线AC： 与y轴交点 在线段OQ上，即当点 时， ，
所以二元函数 的最小值为7.
故选：C
二、填空题
15．（24-25高三上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足 ，则点M到直线
距离的最大值为 .
【答案】 /
【分析】由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而直线恒过定点
，则点M到直线 距离的最大值为： 即可求解．
【详解】解：由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，
如图所示：
直线 ，即 ，
则直线恒过定点 ，
则点M到直线 距离的最大值为： ．
故答案为：
16．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知O为坐标原点，直线 与直线 相
交于点P，则 的最大值为 ．
【答案】 ．
【分析】两直线方程联立消去参数 得 点轨迹方程，轨迹为圆，由 到圆心距离加半径得所求最大值．
【详解】由 ，消去参数 得 ，
所以 点在圆 上，圆心为 ，圆半径为1，
，所以 ，
故答案为： ．
17．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知动圆C的半径为 ，其圆心到点 的距离为2，点P为圆
C上的一点，则点P到直线 距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】数形结合，点 到直线 距离的最大值转化为点 到直线 的距离
，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】如图，
点 到直线 的距离为： ，
所以点 到直线 距离的最大值为： .
故答案为： .
18．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知P，Q，R是半径为2的圆C上的点，若 ，则 的
取值范围是 ．
【答案】[ ， ]
【分析】用参数法，结合三角函数求值域，即可解决此题.
【详解】不妨设圆的圆心为原点，圆的标准方程为： ，
则圆的参数方程为 ，其中 .可设P（2cosθ，2sinθ），如图根据圆的对称性，可取特殊点Q（1, ），由于 ,则R（ , ），
所以
，
因为 ，所以 的取值范围是：[ ， ]．
故答案为： [ ， ].
19．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如
下：在直角坐标平面上任意两点 的“曼哈顿距离”为 ，已知
动点 在圆 上，定点 ，则 两点的“曼哈顿距离”的最大值为 .
【答案】
【分析】设点 ，根据曼哈顿距离公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】由题意，设点 ，则 两点的曼哈顿距离为
，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 两点的曼哈顿距离最大值为 .
故答案为： .
20．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知圆 ，圆 ，点
分别是圆 ，圆 上的动点， 为 轴上的动点，，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据 ，结合对称，可得 三点共线时取到最大值.
【详解】 ,
点 分别是圆 ，圆 上的动点，可知：
所以， ，
设 关于 轴的对称点为 ，则 ，
当 三点共线时， 取最大，最大值为 ，
所以 ，
故答案为：7
21．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知圆 是圆 上的动点，则
的最大值为 ； 的最小值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】把 变成 代入圆方程，利用判别式不小于0求出最值即可，
利用原点到圆心的距离即可求得 最小值．
【详解】圆 标准方程是 ， ，半径为 ，
由 得 代入圆的方程整理得 ，
， ，
所以 的最大值是 ；
表示点 与坐标原点 的距离的平方, ，
，所以 的最小值是 ．
故答案为: ;
22．（24-25高三上·江苏常州·期末）动点 是两直线 与 的交点，过 作圆的两条切线 ，切点分别为A，B，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】首先根据 ，转化 ，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与
定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点 的轨迹方程，即可求解.
【详解】圆的几何性质可知， ，
四边形 的面积为 ， ，
所以
直线 ，过定点 ，直线 过定点 ，
且两直线的系数满足 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆，圆心是 ，半径为 ，
所以 的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出两条直线所过定点，以及互相垂直，从而确定点
P的轨迹.
