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第 09 讲 解题技巧专题：全等三角形模型之一线三等角模型
与手拉手模型
目录
【模型一 全等三角形模型之一线三等角模型】....................................................................................................1
【模型二 全等三角形模型之手拉手模型】............................................................................................................6
【过关检测】............................................................................................................................................................11
【模型一 全等三角形模型之一线三等角模型】
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
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学科网（北京）股份有限公司在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 ________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与
直线 交于点G．求证：点G是 的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形 和 为正方形， 的面积为 ， 的面积为 ，则有
________ （填“ 、 、 ”）
例2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型
之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
（1）如图（1）， 为等边三角形， ， ，则 ________
【模型应用】（2）如图（2），正方形 的顶点B在直线l上，分别过点A、C作 于E，
于F．若 ， ，则 的长为________
【模型变式】（3）如图（3）所示，在 中， ， ， 于E， 于
D， ， ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【模型二 全等三角形模型之手拉手模型】
【常见模型及证法】
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
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学科网（北京）股份有限公司过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
例1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有
公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形
称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中， 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，点 在同一直线上，连接 ， 为 中
边上的高．
(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)直接写出 和 之间的数量关系．
例2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通
过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1、两个等腰三角形 和 中， 连接 、 、如
果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大
手拉着小手，这个就是 手拉手模型 ，在这个模型中，和 全等的三角形是 ，此时 和 的数量
关系是 ；
(2)如图2、两个等腰直角三角形 和 中， 连接 ，
，两线交于点 ，请判断线段 和 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知， 以 、 为边分别向 外作等边 和等边 ，连接 ， ，两线交
于点 ，请直接写出线段 和 的数量关系及 的度数．
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图1， ， ，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，由 ，得 . 又 ，可
以推理得到 ，进而得到 ， ，我们把这个数学模型称为“ 字”模型或
“一线三等角”模型：[模型应用]如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注
的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在 中，以 ， 为腰作等腰直角三角形 和等腰
直角三角形 ，连接 ， 为 边上的高线，延长 交 于点N，下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确的有 （写上序号）
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 三点在同一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)当 满足__________时， ？
4．（24-25七年级上·山东青岛·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具
有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图
形称为“手拉手”图形．
(1)【问题发现】如图1，若 和 均是顶角为 的等腰三角形， ， 分别是底边，从图中
找出一对全等三角形并说明理由；
(2)【拓展探究】如图2，若 和 和均为等边三角形，点 、 、 在同一条直线上，连接 ，
求 的度数．
5．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在 中， ， ， 为射线 上
一动点（点 不与点 重合），以 为直角边在 的右侧作等腰直角三角形 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点 在线段 上时，求点 到直线 的距离；
(2)如图2，当点 运动到 的延长线上时，连接 ，交直线 于点 ，求证： ；
(3)点 在运动过程中，连接 ，交直线 于点 ，若 ，则 的长为_____．
6．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们
的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
(1)如图1，在“手拉手”图形中， ，若 ，则
(2)如图2， 和 是等边三角形，连接 ， 交于点O，求 的度数；
(3)如图3， ， ，试探究 与 的数量关系．
7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为
“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．
(1)初步探究：如图 ， 与 的顶点 重合， ， ， ，连接
，他们通过测量发现在 和 绕点 转动的过程中， ，请你证明他们的结论；
(2)大胆猜想：如图 ，在（ ）的条件下，连接 ，他们猜想 的面积与 的面积相等，请
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学科网（北京）股份有限公司证明他们的猜想是正确的；
(3)拓展延伸：如图 ，在（ ）的条件下，当 时，延长 交 于点 ， ， 的面
积为 ，求 的长度．
8．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别
于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基
本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1， 和 中， ， ，且 ，连接 ， ．
这一图形称“手拉手模型”．求证 ，请你完善下列过程．
证明： ，
．
即 ．
在 和 中
（________） ．
(2)【模型指引】如图2， 中， ， ，以 为端点引一条与腰 相交的射线，在
射线上取点 ，使 ，求 的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在 上
找一点 ，使 ，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3， 中， ， 为任意角度，若射线 不与腰 相交，而是从
端点 向右下方延伸．仍在射线上取点 ，使 ，试判断 与 有何数量关系？并
写出简要说明．
9．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 ， ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所
围成的图形的面积为 ．
A．68 B．70 C．98 D．168
【深入探究】
（3）如图3，在 中， ， ，点D在边 上，点E，F在线段 上，
，
①试证明 ．
②若 ， 的面积为1， 的面积为12，则 的面积为 ．
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