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第 09 讲 解题技巧专题：全等三角形模型之一线三等角模型
与手拉手模型
目录
【模型一 全等三角形模型之一线三等角模型】....................................................................................................1
【模型二 全等三角形模型之手拉手模型】............................................................................................................6
【过关检测】............................................................................................................................................................11
【模型一 全等三角形模型之一线三等角模型】
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
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学科网（北京）股份有限公司在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 ________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与
直线 交于点G．求证：点G是 的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形 和 为正方形， 的面积为 ， 的面积为 ，则有
________ （填“ 、 、 ”）
【答案】（1） ， ，（2）见解析，（3） ，理由见解析
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三
角形的判定条件是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；
（2）分别过点D和点E作 于点H， 于点Q，进而可得 ，然后可证
，则有 ，进而可得 ，通过证明 可求解问题；
（3）过点 作 交 于 ，过点 作 交 延长线于 ，过点 作 交 延
长线于 由题意易得 ， ， 然后可得 ，则有
， ，进而可得 ，通过证明 及等积法可进行求
解问题．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为 ，
（2）分别过点D和点E作 于点H， 于点Q，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可知 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点；
（3） ，理由如下：
如图所示，过点 作 交 于 ，过点 作 交 延长线于 ，过点 作 交
延长线于
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 与四边形 都是正方形
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可以证明 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
故答案为： ．
例2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型
之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
（1）如图（1）， 为等边三角形， ， ，则 ________
【模型应用】（2）如图（2），正方形 的顶点B在直线l上，分别过点A、C作 于E，
于F．若 ， ，则 的长为________
【模型变式】（3）如图（3）所示，在 中， ， ， 于E， 于
D， ， ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）3；（3）
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．
（1）根据等边三角形的性质及和角关系，可得 ；
（2）根据正方形的性质及和角关系，可得 ，由全等三角形的性质即可求得 的长；
（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明 ，由全等三角形的性质即可求得 的长．
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：3；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴
【模型二 全等三角形模型之手拉手模型】
【常见模型及证法】
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
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学科网（北京）股份有限公司条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
例1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有
公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形
称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中， 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，点 在同一直线上，连接 ， 为 中
边上的高．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)直接写出 和 之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】根据三线合一证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等
角
【分析】（ ）由 可得 ，再根据 即可证明 ；
（ ）由等腰直角三角形的性质可得 ，即得 ，再根据全
等三角形的性质可得 ，最后根据角的和差关系即可求解；
（ ）由全都三角形的性质可得 ，由等于直接三角形的性质可得 ，即得 ，
进而即可得到 ；
本题考查了等腰直角三角形的性质，全都三角形的判定和性质，直接三角形的性质，掌握以上知识点是解
题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
例2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通
过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1、两个等腰三角形 和 中， 连接 、 、如
果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大
手拉着小手，这个就是 手拉手模型 ，在这个模型中，和 全等的三角形是 ，此时 和 的数量
关系是 ；
(2)如图2、两个等腰直角三角形 和 中， 连接 ，
，两线交于点 ，请判断线段 和 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知， 以 、 为边分别向 外作等边 和等边 ，连接 ， ，两线交
于点 ，请直接写出线段 和 的数量关系及 的度数．
【答案】(1) ，
(2) 且 ，理由见解析
(3) ，
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、全等的性质和
SAS综合（SAS）
【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等
边三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）先判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，得出 ， ，进而判断出 ，即可
得出结论；
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学科网（北京）股份有限公司（3）由三角形 与三角形 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的
内角都为 ，利用等式的性质得到 ，利用 可得出 得 ，
，求出 ，即可根据 求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴和 全等的三角形是 ，此时 和 的数量关系是 ．
故答案为： ， ；
（2） 且 ；
理由如下：∵ ，
∴ ．
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 且 ．
（3） 和 都为等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
；
， ，
∴
，
∴ ．
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图1， ， ，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，由 ，得 . 又 ，可
以推理得到 ，进而得到 ， ，我们把这个数学模型称为“ 字”模型或
“一线三等角”模型：[模型应用]如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注
的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积的计算，由“ 字”模型可知， ，
，则有 ， ， ， ，然后根据割补法求面积
即可；
【详解】解：由“ 字”模型可知， ， ，
， ， ， ，
，
图中实线所围成的图形的面积为：
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学科网（北京）股份有限公司．
故选：B；
二、填空题
2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在 中，以 ， 为腰作等腰直角三角形 和等腰
直角三角形 ，连接 ， 为 边上的高线，延长 交 于点N，下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确的有 （写上序号）
【答案】①③④
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作 ，交
于点H， ，交 延长线于点K，构造三对全等三角形： ， ，
，根据全等三角形的面积相等，即可得出 ， ， ，根
据 ，即可得出结
论③；最后根据 ，得出 即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 与 不一定相等，
∴ 与 不一定全等，故②错误；
作 ，交 于点H， ，交 延长线于点K，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
同理可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴
，
即 ，故③正确；
∵ ，
∴ ，故④正确．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：①③④．
三、解答题
3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 三点在同一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)当 满足__________时， ？
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的
判定方法，证明 ．
（1）根据 证明 ，得出 ，即可证明 ；
（2）根据 ，得出 ，根据三角形全等的性质即可得出 ，得出
，根据平行线的判定得出 ．
【详解】（1）证明：在 和 中
，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：当 时， ．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
4．（24-25七年级上·山东青岛·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具
有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图
形称为“手拉手”图形．
(1)【问题发现】如图1，若 和 均是顶角为 的等腰三角形， ， 分别是底边，从图中
找出一对全等三角形并说明理由；
(2)【拓展探究】如图2，若 和 和均为等边三角形，点 、 、 在同一条直线上，连接 ，
求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角形的判定方
法是解本题的关键．
（1）先判断出 ，进而利用 判断出 ，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出 ，得出 ，最后用角的差
，即可得出结论；
【详解】（1）解： ．
理由如下：
和 均是顶角为 的等腰三角形
， ， ．
，即 ．
．
（2） 为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，
．
．
由（1）知 ，
为等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司．
．
5．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在 中， ， ， 为射线 上
一动点（点 不与点 重合），以 为直角边在 的右侧作等腰直角三角形 ， ．
(1)如图1，当点 在线段 上时，求点 到直线 的距离；
(2)如图2，当点 运动到 的延长线上时，连接 ，交直线 于点 ，求证： ；
(3)点 在运动过程中，连接 ，交直线 于点 ，若 ，则 的长为_____．
【答案】(1)点 到直线 的距离为1；
(2)证明见解析；
(3) 或6．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、与三
角形的高有关的计算问题
【分析】（1）作 交 于 ，利用全等三角形判定方法 证明 ，再利用全等三
角形对应边相等，即可求解；
（2）作 交直线 于 ，先利用 证出 ，得到 ，再利用 证出
，即可完成证明；
（3）由图可知， 在射线 运动过程中， 在射线 上运动，分2类情况讨论：①若 在线段 上；
②若 在 延长线上，由 ，得出 ，设 ，则 ，利用（2）中的全等
三角形结论，用 表示出 、 ，再利用 列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：作 交 于 ，则 ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
又 ，
，
，
点 到直线 的距离为1．
（2）作 交直线 于 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ．
（3）由图可知， 在射线 运动过程中， 在射线 上运动，
下面分2类情况讨论：
①若 在线段 上，同（2）作辅助线，
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学科网（北京）股份有限公司由（2）得， ， ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，
解得： ，
；
②若 在 延长线上，同（2）作辅助线，
同①可得： ，
设 ，则 ，
， ，
，
解得： ，
．
综上所述， 的长为 或6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键
是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转
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学科网（北京）股份有限公司化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生．
6．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们
的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
(1)如图1，在“手拉手”图形中， ，若 ，则
(2)如图2， 和 是等边三角形，连接 ， 交于点O，求 的度数；
(3)如图3， ， ，试探究 与 的数量关系．
【答案】(1)40
(2)
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握
知识点是解题的关键．
（1）先证明 ，再根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据等边三角形的性质得出 ， ，进而证明
，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可；
（3）延长 到P，使 ，先证明 是等边三角形，再证明 ，进而证明即
可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40；
（2）解：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，证明如下：
如图，延长 到P，使 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为
“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．
(1)初步探究：如图 ， 与 的顶点 重合， ， ， ，连接
，他们通过测量发现在 和 绕点 转动的过程中， ，请你证明他们的结论；
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学科网（北京）股份有限公司(2)大胆猜想：如图 ，在（ ）的条件下，连接 ，他们猜想 的面积与 的面积相等，请
证明他们的猜想是正确的；
(3)拓展延伸：如图 ，在（ ）的条件下，当 时，延长 交 于点 ， ， 的面
积为 ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)他们的猜想正确，证明见解析；
(3) ．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（ ）由 ，得到 ，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到
结论；
（ ）过 作 于 ，过 作 交 延长线于点 ，根据余角的性质得到 ，
证明 ，根据性质得 ，然后由 ， ，
，即可得到结论；
（ ）过 作 交 的延长线于 ，根据余角的性质得到 ，证明
，根据性质得 ， ，再证明 ，则有 ，
又 ，即 ，求出 ，再根据线段和差得出 ，从而求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确
地作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过 作 于 ，过 作 交 延长线于点 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ；
（3）解：过 作 交 的延长线于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ （负值舍去），
∵ ，
∴ ，
∴ ．
8．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别
于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基
本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1， 和 中， ， ，且 ，连接 ， ．
这一图形称“手拉手模型”．求证 ，请你完善下列过程．
证明： ，
．
即 ．
在 和 中
（________） ．
(2)【模型指引】如图2， 中， ， ，以 为端点引一条与腰 相交的射线，在
射线上取点 ，使 ，求 的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在 上
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学科网（北京）股份有限公司找一点 ，使 ，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3， 中， ， 为任意角度，若射线 不与腰 相交，而是从
端点 向右下方延伸．仍在射线上取点 ，使 ，试判断 与 有何数量关系？并
写出简要说明．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析
(3) ；见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论；
（2）在 上取一点 ，使 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，由三角形内角和定理可得出答案；
（3）在 延长线上取一点 ，使得 ，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
故答案为： ， ； ；
（2）解：如图2，在 上取一点 ，使 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ， ，
，
设 和 交于点 ，
，
．
（3）解： ．
理由：如图3，在 延长线上取一点 ，使得 ，
同理可证： ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，
证明 是解本题的关键．
9．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得
到 ， ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图2， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所
围成的图形的面积为 ．
A．68 B．70 C．98 D．168
【深入探究】
（3）如图3，在 中， ， ，点D在边 上，点E，F在线段 上，
，
①试证明 ．
②若 ， 的面积为1， 的面积为12，则 的面积为 ．
【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] 见详解， 5．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质
① ②
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，
[模型呈现]根据全等三角形的性质即可知 ，即可；
[模型应用]由“K字”模型可知， ， ，则 ， ，
， ，即可求得 ，结合图中实线所围成的图形的面积为
；
[深入探究] 根据题意得 ， ，则 ，即可证
明； 利用①三角形面积公式得 ， ，由 知 ，则 ，结合
② 求解即可． ①
【详解】解：[模型呈现]： ，
，
故答案为： ；
∴
[模型应用] 由“K字”模型可知， ， ，
， ， ， ，
∴ ，
∴图中实线所围成的图形的面积
∴
，
故选：C；
[深入探究] 证明： ，
① ， ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
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∴ 设点B到线段 的距离为h，
， 的面积为1，
②
∵ ， ，
∴由 知 ，则
① 的面积为12，
∵
∴ ，
故答案为：5．
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