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第 12 讲 章节复习专题：三角形
目录
【考点一 判断三边是否能构成三角形】................................................................................................................3
【考点二 三角形的稳定性】....................................................................................................................................5
【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】....................................................................................6
【考点四 利用三角形的三边关系化简绝对值】....................................................................................................8
【考点五 利用三角形的内角和求角的度数】......................................................................................................10
【考点六 判断是否三角形的高线】......................................................................................................................13
【考点七 根据三角形的中线求解】......................................................................................................................15
【考点八 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】.......................................................................18
【考点九 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】......................................................................................22
【考点十 利用全等三角形的性质求解】..............................................................................................................27
【考点十一 全等三角形判定和性质多结论问题】..............................................................................................29
【考点十二 全等三角形的性质和判定】..............................................................................................................36
【考点十三 全等三角形的性质和判定探究综合题】..........................................................................................41
知识点01 三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(
知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理
(1)三角形的内角和等于 .
(2)直接三角形两个锐角互余.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
知识点03 三角形的中线、角平分线、中线
三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以
后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表
如下：
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学科网（北京）股份有限公司线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与
从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点
文字语言 它的对边相交，这个角的顶
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 和它对边中点的线段．
点与交点之间的线段．
图形语言
过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连接 作∠BAC的平分线 AD，交
作图语言
AD． BC于点D．
标示图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD是△ABC的中线． 1．AD 是△ABC 的角平分
2．AD是△ABC中BC边上的高． 2．AD 是△ABC 中 BC 边 线．
3．AD⊥BC于点D． 上的中线． 2．AD 平分∠BAC，交 BC
符号语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． 于点D．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 3．BD＝DC＝ BC
4．点D是BC边的中点． 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
因 为 AD 是 △ ABC 的 高 ， 所 以 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
AD⊥BC．
推理语言
(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段相等．2．面积相
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 角度相等．
等．
1．与边的垂线不同．
注意事项 — 与角的平分线不同．
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的延长线)交于 一个三角形有三条中线， 一个三角形有三条角平分
重要特征 一点． 它们交于三角形内一点． 线，它们交于三角形内一
点．
知识点04 全等三角形的概念和性质
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点
叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．
知识点05 全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
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学科网（北京）股份有限公司（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或
“ASA”）.
特别说明：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△ A'B'C' .
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以
写成“角角边”或“AAS”）
特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由
“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是
前者的推论.
知识点06 全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．
【考点一 判断三边是否能构成三角形】
例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1
【变式训练】
1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的
是（ ）
A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10
3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6
【考点二 三角形的稳定性】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉
及的数学原理是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳
还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度
C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边
2．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长
1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕
见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴
含的数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于
【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】
例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围
．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）若 为三角形三边长，且 满足 ，则第三边
长 可能是 ．
2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为 和 ，他要选择
第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为 ，则x的取值范围是 ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；
若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形．
【考点四 利用三角形的三边关系化简绝对值】
例题：（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知 ， ， 为三角形的三边，化简 的结
果是
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰 的三边长分别为5，11， ，则 ．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长分别为13， ，则该等腰三角形
的底边长为 ．
3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末） 为三角形三边长，化简
的结果是 ．
【考点五 利用三角形的内角和求角的度数】
例题：（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图， ， ， ，则 的度数
为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知：如图，在 中， ， ，若
，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2025九年级下·全国·专题练习）在 中， 为边 上的高， ， ，则
是 度．
可知 ，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一副直角三角板如图放置．已知 ，当
时， 的度数为 ．
【考点六 判断是否三角形的高线】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图所示， 中 边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，作 边上的高，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图， ，垂足分别为C，D，E，则
下列说法不正确的是（ ）
A． 是 的高 B． 是 的高
C． 是 的高 D． 是 的高
【考点七 根据三角形的中线求解】
例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ， 为中线，则
与 的周长之差的值为 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ， 分别为 ， 的中点，若 的面积为 ，
则 的面积是 ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在 中， 是 的平分线， 是 边上的中线．
若 ，则 ；若 ，则 ．
（2）在 中， ， 是边 上的中线， 的周长为 ， 的周长为 ，
则 ．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中， 是 边上的中线， ， 与
交于点F，若 的面积等于16．
（1） 的面积为 ；
（2）设 的面积为m， 的面积为n，则 ．
【考点八 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】
例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的三个顶
点都在格点上．
(1)画出 边上的高 和中线 ；
(2)画出 边上的高 ，并直接写出 的长（提示： 的长等于5）．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形
的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
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学科网（北京）股份有限公司(1) 的面积 ______；
(2)只用直尺画出 的高 ；
(3)只用直尺过点C画 ．
2．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方
形的顶点叫做格点．已知 的三个顶点均在格点上，按要求解答：
(1)请画出 的边 上的高 ；
(2)连接格点，用一条线段将 分成面积相等的两部分（直接画图即可）；
(3)直接写出 的面积为__________．
3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作
图痕迹．
(1) 的面积为______，
(2)在图①中，过点C作线段 ，使点D为格点；
(3)在图②中，过点B作 的垂线段 ．
【考点九 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，在 中， 是中线， ， ．
(1)求 与 的周长差．
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学科网（北京）股份有限公司(2)点E在边 上，连接 ，若 与四边形 的周长相等，求线段 的长．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川达州·期中）如图， 中， ， 于 ， 平分 交
于 ．
(1)当 ， 时，求 的度数；
(2)猜想： 与 有什么关系，并说明理由．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 是高线．
(1)如果 ，求 的长；
(2)如果 ，求 的度数．
3．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在 中， ， 为直线 上任意一点，连结 ，
于点 ， 于点 ． 为 边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2
分）
【画图探究】（1）如图①，当点 在边 上时，请画出 ，猜想 ， ， 之间的数量关系并证
明．
【运用】（2）如图②，当点 为 中点时， 与 的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点 在 的延长线上时， 、 、 之间的数量关系为___________；
【考点十 利用全等三角形的性质求解】
例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知 ，若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司．
7．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图， ， 在 边上， ， ，
则 的度数为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图， ，点D在 边上．若 ， ，
则 °．
2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图 ， ， ．点P在线段
上以1 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 上以x 的速度由点B向点D运动，它们
运动的时间为 ．若 与 全等，则x的值为 ．
【考点十一 全等三角形判定和性质多结论问题】
例题：（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在 中， ， 的角平分线 ，
相交于点P，过P作 交 的延长线于点F，交 于点H．有下列结论：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中， 为中线，过点B作 于点E，过点C
作 于点F．延长 至点G，使得 ，连接 ．下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在 中， ，以 为边，作 ，
满足 ，点E为 上一点，连接 ， ，连接 ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点A， ， ， 在同一直线上， 于点 ，
于点 ，连接 ，交 于点 ，且 为 的中点．若 ，则下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中，分别延长 ， 边上的中线 ， 到 ，
，使 ， ，则下列说法：① ；② ；③ ；④四边形 的
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学科网（北京）股份有限公司面积是 面积的 倍．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【考点十二 全等三角形的性质和判定】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，点 在一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， 中， 是 边上的中线，E，F为直线 上的点，
连接 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，试求 的长．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ，点 在边 上，
，点 ， 在线段 上， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 的面积为 ， 的面积为 ，求 的面积．
3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知 和 ， ， ， ，
与 交于点 ，点 在 上．
(1)试说明 ；
(2)若 ， ，求 的度数．
4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ，D、A、E三点均在直线 上，且
．
(1)如图1，若 ， ， ，则线段 的长为 ；
(2)如图2，判断 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若将“ ”变为“ ”，其他条件不变，且
， ，则线段 的长为 ．
【考点十三 全等三角形的性质和判定探究综合题】
例题：（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知，D，A，E三点在直线m上，在直线m上方有 ，
且满足 ．
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学科网（北京）股份有限公司【积累经验】
（1）如图1，当 时，猜想线段 、 、 之间的数量关系并说明理由．
【类比迁移】
（2）如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 是钝角， ， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 与 的面积之和为2，请直接写出 的面积．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知
如图1，在 中， 为中线，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
在 延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
（1）填空： ________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）求证： ．
（3）试说明： ．
拓展应用
（4）如图2，在 中， 是钝角，点 在边 上， ，点 在边 上，点 在边
的延长线上， ， ，若 ， 的面积是9，求 与
的面积之和．
2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】
如图1，在 中， ，求边 上的中线 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司（1）中线 的取值范围是______．
【类比迁移】
（2）如图2，在四边形 中， 为 的中点，点 在 上， ，
，求证： 平分 ．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 是边 上的中线，E是 上一点，连接 并延长交 于点F，
，求证： ．
3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题情境】
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一
个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接 并延长到D，
使 ；连接 并延长到E，使 ，连接 并测量出它的长度，如果 ，求 间
的距离．
【探索应用】
（2）如图2，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．解决此问题可以用如
下方法：延长 到点E使 ，再连接 （或将 绕着点D逆时针旋转 得到 ，把
， ， 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断，中线 的取值范围是什么？并说明
理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在 中， ， ， ， ， 的延长线交
于点F，求证： ．
4．（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如
图1， 平分 ，A为 上一点，过点A作 ，垂足为C，延长 交 于点B，可直接
根据_____（填字母依据）证明 ；
【类比解答】（2）如图2，在 中， ， 平分 ， 于点E，延长
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学科网（北京）股份有限公司交 于点F，求 的度数；
【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边 与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块
直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的平分线 ；②过点A作
于点D．已知 ， ， 的面积为30，请直接写出 的面积；
【拓展延伸】（4）如图4，在 中， ， ， 平分 ， ，交 的
延长线上于点E，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为直线 上一
动点，连接 ．在直线 的右侧作 ，且 ．
观察发现：
（1）如图①，当点 在线段 上时，过点 作 的垂线，垂足为 ，判断线段 与 之间的关系，
并说明理由；
探究迁移：
（2）将如图①中的 ， 连接，交直线 于点 ，我们很容易发现 ．如图②，当点 在线段
的延长线上时，连接 交直线 于点 ，线段 和线段 之间的关系有没有变化？此时
吗？说说理由．
拓展应用：
（3）如图③，当点 在线段 的延长线上时，当 ， 时，求 和 的面积．
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