文档内容
第 10 讲 解题技巧专题：全等三角形中的动点问题
目录
【考点一 三角形全等中动点多结论问题】............................................................................................................1
【考点二 利用三角形全等求解动点边、角问题】................................................................................................8
【考点三 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】...............................................................................14
【考点四 利用三角形全等求证线段之间的关系问题】......................................................................................29
【考点五 利用三角形全等求证角之间的关系问题】..........................................................................................39
【考点一 三角形全等中动点多结论问题】
例题：（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图， 中， ， 是中线，有下面四个结论：①
与 的面积相等；② ；③若点P是线段 上的一个动点（点P不与点A，
D重合），连接 ，则 的面积比 的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点
（点P与点Q不重合），若 ，连接 ， ，则 ．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题
【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长 至 ，使 ，易证得
，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可
对③进行判断；由 ， ， ，易证得 ，可得 ，
即可对④进行判断．
【详解】解：∵ 是中线，
∴
∴ 与 的面积相等，故①正确，
延长 至 ，使 ，如图
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴
则在 中，
∴ ，故②正确，
点 是线段AD上的一个动点（点 不与点 ， 重合），连接 ， ，如图，
∵
∴
又∵ 与 的面积相等
∴ 的面积和 的面积相等，故③不正确，
点 ， 是 ， 所在直线上的两个动点（点 与点 不重合），若 ，连接 ， ，如图，
由 ， ， ，
∴ ，
∴
∴
故④正确，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知 ， ， ， 其中 ， 点P
以每秒2个单位长度的速度沿着 路径运动． 同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着
路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动． 它们的运动时间为t秒．
①若 ，则点P 运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时， ；
③若 ， ， 时， ；
④若 与 全等， 则 或 ；
以上说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形综合问题
【分析】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等、动点问题，分类求解是解题的关键．
①若 ，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解；
②求出P、Q的运动时间即可求解；
③证明 ．即可求解；
④若 与 全等，则 且 或 且 ，即可求解．
【详解】解：①若 ，即点P的速度是点Q的2倍，点P运动路程是 ，点Q运动路程为 ，故点P运
动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意；
②点P到达A的时间为： ，当 时，点Q到达点A的时间为： ， ，故②
不正确，不符合题意；
③若 ， ， 时，如图，
此时 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
若 ，
则 ， ，
而 ，
故③错误，不符合题意；
④由题意得， ，
则 ， ，
则 ，
若 与 全等，
则 且 或 且 ，
即 且 或 且 ，
解得： 或 ，
故④正确，符合题意，
故选：B．
2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在 中， ， 的角平分线 ， 相
交于点P，过P作 交 的延长线于点F，交 于点H．有下列结论：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质、三角形角平
分线的定义
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键．
根据三角形内角和以及角平分线的定义得 继而得出 的度数，即可判断①；推出
根据 证明即可，即可判断②；证明 ， 得 ，
根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④；证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
，
，
∴ ，故结论①正确；
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ， 故结论②正确；
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ， 故结论③错误；
又∵ ，
∴ ，即 ， 故结论④正确，
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学科网（北京）股份有限公司∴正确的个数是 个．
故选： B．
3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中， 为中线，过点B作 于点E，过点C
作 于点F．延长 至点G，使得 ，连接 ．下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先利用
证明 ，可得 ， ，可判断①；再利用 证明 ，得到
，再利用三角形的外角性质可得 ，可判断②；利用全等三角形的性质可
得 ， ，可判断③；由 得到 ，再利用三角形的面积公式可判断
④，即可得出结论．
【详解】解： 为中线，
，
， ，
，
又 ，
，
，故①正确； ，
又 ，
，
，
，
由于 与 不一定相等，故②不正确；
由全等三角形的性质可得： ， ，
，故③正确；
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，结论中正确的有①③④，共3个．
故选：C．
4．（2024·贵州·模拟预测）如图， 中， ， 是中线，有下面四个结论：① 与
的面积相等；② ；③若点P是线段 上的一个动点（点P不与点A，D重合），
连接 ，则 的面积比 的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点
Q不重合），若 ，连接 ， ，则 ．所有正确结论的序号是 。
【答案】①②④
【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据三角形中线求面积
【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长 至 ，使 ，易证得
，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可
对③进行判断；由 ， ， ，易证得 ，可得 ，
即可对④进行判断．
【详解】解：∵ 是中线，
∴
∴ 与 的面积相等，故①正确，
延长 至 ，使 ，如图
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴
则在 中，
∴ ，故②正确，
点 是线段 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），连接 ， ，如图，
∵
∴
又∵ 与 的面积相等
∴ 的面积和 的面积相等，故③不正确，
点 ， 是 ， 所在直线上的两个动点（点 与点 不重合），若 ，连接 ， ，如图，
由 ， ， ，
∴ ，
∴
∴
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系以及平行线的判定，
利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．
【考点二 利用三角形全等求解动点边、角问题】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， 是线段 上的一动点（不与
点 ， 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．当
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学科网（北京）股份有限公司时， 的度数为 ．
【答案】 /90度
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三
角形全等是解题的关键．
由 ，证明 ，再证明 ，得 ，即可解决问题．
【详解】解∶ ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
即 的度数为 ．
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ， 是 的平
分线．若P，Q分别是 和 上的动点，当 最小时， 的度数是 ．
【答案】53
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，全等三角形的判定
与性质，在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，过点C作 于点H，交 于点 ，
过点 作 于点 ，推出当 最小时，点P，点Q分别位于点 ，点 处， 的度
数为 的度数，再求出 的度数即可解决问题．
【详解】解：在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，过点C作 于点H，交 于点
，过点 作 于点 ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
∴当 最小时，点P位于点 处，点Q位于点 处， 的度数为 的度数，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 最小时， 的度数是 ，
故答案为：53．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在 中， ，P、Q分别为边 上两个动点，
在运动过程中始终保持 ，连接 和 ，当 值达到最小时， 的值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】1
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作 ，且 ，在 上截取 ，
连接 ，由 可证 ，可得 ，由“ ”可证 ，可得 ，
则 ，即当点C，点E，点H三点共线时， 有最小值，由“ ”可证
，可得 ，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
【详解】解：如图：过点B作 ，且 ，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴当点C，点E，点H三点共线时， 有最小值，
此时，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点H是 的中点，
∴ ，
∴点P与点H重合，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形 中， ， ，连接 ，在射
线 上存在两动点 ，满足 ，若 ，当 的值最小时，则
（用 ， 表示）
【答案】 /
【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在 上截取
，连接 ， ，证明 ，则 ，当 三点共线时，
的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ，
∵ ，
12 / 47
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小，
如图，若 在 上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
若 在 延长线上时，
同理可得： ，
综上可知： ，
故答案为： ．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ， ，
， 、 分别为 、 上的两个动点，则 的最小值为 ．
【答案】4
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】线段问题(轴对称综合题)、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】由“ ”可证 ，可得 ， ，由 ，
可得当点 ，点 ，点 ，点A共线时， 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ，
， ， ，
，
，
同理可得： ，
，
当点 ，点 ，点 ，点 共线时， 有最小值，即 最小值为 的长度，
有最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，全等三角形的判定和性质，证明 ， 是本题
的关键．
【考点三 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】
例题：（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在长方形 中， ， ，延长 到点E，
使 ．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 方向向终点A运动．设点P的运动
时间为t秒，当 和 全等时，t的值为 ．
【答案】1或7
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
分 和 两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答
即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
若 ，则当 时，
根据 可得 ，
∴ ，解得 ；
若 ，则当 时，
根据 可得 ，
∴ ，解得： ．
综上，当 和 全等时，t的值为1或7．
故答案为：1或7．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交
于点 ．动点 ， 同时从点 出发，其中动点 以 的速度沿射线 运动，动点 以
的速度在直线 上运动．已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．当动点 在直线 上运
动时，若 与 全等，则 的值为 ．
【答案】 或
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
分 当 在线段 上时， ， 当 在线段 上时， ， 当 在线段
延长线上时， ， 当 在线段 延长线上时， 四种情况，然后根据全
等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 当 在线段 上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
当 在线段 上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
当 在线段 延长线上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
当 在线段 延长线上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
∴若 与 全等，则 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在 中， ， ， ，
，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为 ．若 的面积等于 面积的一半，则 s．
【答案】5.5或9.5
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本
题的关键．根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答．
【详解】解：如图，当P在 上，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当P在 上时，如图，
∵ 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当t为5.5或9.5时， 的面积等于 面积的一半．
故答案为：5.5或9.5．
3．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图， 于点 ， ， ，射线 于点 ，
一动点 从 点出发以2个单位 秒沿射线 运动，点 为射线 上一动点，随着 点运动而运动，且
始终保持 ，若点 经过 秒 ， 与 全等，则 的值为 秒．
【答案】2，6，8
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．此题要分两种情
况：①当 在线段 上时，②当 在 上，再分别分成两种情况 ， 进行计算即可．
【详解】解：①当 在线段 上， 时， ，
，
，
，
点 的运动时间为 （秒 ；
②当 在 上， 时， ，
，
，
，
点 的运动时间为 （秒 ；
③当 在 上， 时， ，
，
点 的运动时间为 （秒 ，
故答案为：2，6，8．
4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰 中， ，点 为射线
上的动点， ，且 ， 与 所在的直线交于点 ，若 ，则 与 的比值
为 ．
【答案】 或
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全
等三角形解决问题．
作 ，交 (或 的延长线)于H，利用 证明 ，得 ， ，再
证明 ，得 ，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段 外和在
线段 上．
【详解】解：①当点 在线段 的延长线上时，作 ，交 的延长线于点H，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ；
当点 在 上时，作 ，交 于点H，
∵ ，
∴ ，
19 / 47
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ；
故答案为： 或 ．
5．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．点C
在直线l上，动点P从A点出发沿 的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿 路径向终
点A运动．点P和点Q分别以每秒 和 的速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运
动，分别过点P和Q作 直线l于M， 直线l于N．当 与 全等时，点P的运动时间
为 秒．
【答案】1或5
【知识点】全等三角形综合问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用，设点P的运动时间为 秒，分两种情况：
当点 在 上时，当点 在 上时，根据全等三角形的性质建立一元一次方程，求解即可，采用分类讨
论的思想是解此题的关键．
【详解】解：设点P的运动时间为 秒，
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学科网（北京）股份有限公司如图，当点 在 上时，此时 ， ，则 ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当点 在 上时，此时点 与点 重合， ， ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当 与 全等时，点P的运动时间为 或 秒，
故答案为：1或5．
6．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图， 在 中， 已知 ， ，
， 直线 ， 动点D从点C开始沿射线 方向以每秒 的速度运动，动点E也同时
从点C开始在直线 上以每秒 的速度运动，连接 ，设运动时间为t秒．
（1） 的长为 (用含 t 的式子表示)
（2）当 时， t的值应为 ．
【答案】 2或10
【知识点】全等三角形的性质、列代数式
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质：
（1）由题意得， ， ，再根据线段的和差关系求解即可；
（2）分两种情况讨论，当点 在射线 上时， 在 上，当点 在 的反向延长线上， 在 延
长线上时，根据全等三角形的性质得到 ，据此建立方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意得， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴
如图，当点 在射线 上时， 在 上，
∵
∴ ，
∴ ．
如图，当点 在 的反向延长线上时， 在 延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，当 或 时， ，
故答案为：2或10.
7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图， 中， ，直线 经过点
且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿
路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当点 到达终
点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ； 于点 ，设运动时间为 秒．
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学科网（北京）股份有限公司①当点 在 上时， （用含 秒代数式表示）；
②当 秒时， 与 全等．
【答案】 或 或
【知识点】全等三角形的性质
【分析】①根据题意可得 ，再由 即可求解；
②分三种情况： 在 上，点 在 上；点 与点 重合；点 与 重合，分别画出图形解答即可；
本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：①由题意得， ，
当点 在 上时， ，
故答案为： ；
②由题意得， ，
如图 ， 在 上，点 在 上时，作 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
此时只能是 ，则 ，
∴ ，
解得 ；
②如图 ，当点 与点 重合时，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司此时只能是 ，则 ，
∴ ，
解得 ；
③如图 ，当点 与 重合时，则 ， ， ，
∴ ，
此时只能是 ，则 ，
∴ ，
解得 ；
综上所述，当 秒或 秒或 秒时， 与 全等，
故答案为： 或 或 ．
8．（24-25八年级上·江西新余·期中）如图，直线 经过 的直角顶点 ， 的边上有两个动
点 、 ，点 以 的速度从点A出发，沿 移动到点 ，点 以 的速度从点 出发，
沿 移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点 、 分别作
， ，垂足分别为点 、 ，若 ， ，设运动时间为 ，则当
时，以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等．
【答案】1或 或12
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出
每种情况下 和 的长．
由以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等．可知 ，而 ，
的表示由 ， 的位置决定，故需要对 ， 的位置分：当 在 上， 在 上时；当 在 上，
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学科网（北京）股份有限公司在 上时；当 到达 ， 在 上时，分别讨论．
【详解】解：当 在 上， 在 上时，即 ，
则 ， ，
以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等．
，
，
，
当 在 上， 在 上时，即 ，
则 ， ，
，
当 到达 ， 在 上时，即 ，
则 ， ，
，
，
故答案为：1或 或12．
9．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图 ，在 中， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，现有一动点 从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停止，速度为
，设运动时间为 ．
(1)如图 ，当 时， _____ ．
(2)如图 ，当 ______ 时， 的面积等于 面积的一半；
(3)如图 ，在 中， ， ， ， ， 在 的边上，若
另外有一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止 在两点运动过程
中的某一时刻，恰好 ≌ ，求点 中的运动速度．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 运动的速度为 或 或 或
【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握
全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
（1）当 时，点P在线段 上，根据点P速度表示 的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在 上；②点P在 上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点 所走的路程，进而可求出 的运
动时间，即 的运动时间，再利用速度 路程 时间求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点P在线段 上，
∵点P速度为 ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
26 / 47
学科网（北京）股份有限公司∵ 的面积等于 面积的一半，
∴ ．
①当点P在 上时，
，
∴ ，
．
②当点P在 上时，
过点C作 于点D，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为： 或
（3）设点 的运动速度为 ，
①当点 在 上，点 在 上， 时，
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∴ ；
②当点 在 上，点 在 上， 时，
，
∴ ；
③当点P在 上，点 在 上， 时，
，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ；
④当点P在 上，点Q在 上， 时
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∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ．
∴ 运动的速度为 或 或 或
【考点四 利用三角形全等求证线段之间的关系问题】
例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【问题背景】如图1，在 中，已知 ， ，
是 的高， ， ，过点 的直线 ，动点 从点 开始沿射线 方向
以 的速度运动，动点 也同时从点 开始在直线 上以 的速度向远离 点的方向运动，连接
、 ，设运动时间为 秒．
【思考尝试】
（Ⅰ）请直接写出 、 的长度（用含有t的代数式表示）： ________ ， ________ ．
（Ⅱ）当 为多少时， 的面积为 ？
【深入探究】
（Ⅲ）如图2，当点D在线段 上，且 时， 是否与 全等？说明理由：此时
的值为多少？
（Ⅳ）请利用备用图探究，当点 在线段 的延长线上，且 时， 与 有什么数量关系？请
说明理由．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ） ，
（Ⅳ）
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式
【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定
和性质是解题的关键．
（Ⅰ）根据题意列代数式即可；
（Ⅱ）分点 在线段 上，点 在 延长线上两种情况计算即可；
（Ⅲ）由 得到 ，根据 得到 ，再根据 得到
，得出 ，即可得到 ；
（Ⅳ）证明 ，即可得到 ．
【详解】解：（Ⅰ）由题意得， ， ，
故答案为： ；
（Ⅱ）由题意得，当点 在线段 上时， ，
，
，
，
；
当点 在 延长线上时 ，
，
，
；
当 为 或 时， 的面积为 ；
（Ⅲ） ， ，
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
；
（Ⅳ） ，理由如下，
如图， ，
，
，
,
， ，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形 ， ， 为射线 上一动点，连
接 ，以 为边在直线 的右侧作等腰三角形 ， ， ，连接 ．
(1)如图1，当点 在边 上时，请探究 ， ， 之间的数量关系．
(2)如图2，当点 在 的延长线上时，（1）中 ， ， 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，
请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)不成立．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1）证明 ．再证明 ，可得 ，再进一步可得结论；
（2）证明 ．再证明 ，可得 ，再进一步可得结论；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
即 ．
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）不成立． ．
理由：∵ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图 为等腰三角形， ， D为直线 上
一动点，以 为腰向右侧作等腰三角形 且 ，连接直线 ．
(1)求证： ；
(2)若D恰好在 的中点上(如图)，求证： ；
(3)
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学科网（北京）股份有限公司①若点D为线段 上任一点(B，C点除外)时，试探究 与 的位置关系．
②若点D为直线 线除点B，C外任意一点， 与 的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)① ；② ，证明见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、同
旁内角互补两直线平行
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形外
角的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先说明 ，再利用 即可证明结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，再根据全等三角形的性质可得 ，
即 ；然后运用等腰三角形三线合一的性质可得 是线段 的垂直平分线，最后根据垂直
平分线的性质即可证明结论；
（3）①先说明 是等边三角形可得 ，进而得到 ，根据同
旁内角互补、两直线平行即可证明结论；②如图：当点D在 的延长线上，先说明
可得 ，再说明 是等边三角形可得 ，由三角形外角的性质可
得 ，即 ；再结合 可得 ，最后根据内错角
相等、两直线平行即可证明结论；同理可证点D在 的延长线上的情况．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即： ，
在 和 中， ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 是线段 的垂直平分线，
∴ ．
（3）解：①∵ ,
∴ ，即 ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，证明如下：
证明:a.如图：点D在 的延长线上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
b.如图：点D在 的延长线上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ 、 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，即 ,
∴ ，
∵ ,
∴ ；
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形 中， ， ， ， 分别是边 ，
上的动点，且 ．
(1)如图1，当 ， 分别在线段 ， 上时，
①填空：若设 ，则 之间的数量关系是______；
②猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)如图2，当 ， 分别运动到在线段 ， 延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍
然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．
【答案】(1)① ．②猜想： ．证明见解析
(2)（1）②中猜想不成立， ．证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（1）①根据四边形内角和是 求解即可；
②利用 证明 、 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
（2）在 上截取 ，连接 ，利用 证明 、 ，根据全等三角形的
性质及线段的和差求解即可．
【详解】（1）解：（1）①四边形 中， ，
∴
∵ ．
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ .
故答案为： ．
②猜想： ．
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
．
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
．
（2）解：（1）②中猜想不成立， ．
证明：如图，在 上截取 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
．
在 和 中，
，
．
．
，
．
．
．
在 和 中，
，
，
，
，
．
4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图1， 是 的平分线，要求利用该图形画一对位于
所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在 的两边上用圆规截取长度相等的两条线段 ，
，在角平分线上任取一点D，连接 ， ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
(1)如图2，在 中， 是直角， ， ， 分别是 和 的平分线， ，
相交于点F．
①在 上截取 ，连接 ．求证： ；
②请判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)如图3， 是 的外角 的平分线，D是射线 上的一个动点（不与点A重合），猜想
与 的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)①证明见解析；② ，证明见解析，
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，正确构造全等的三角形，理解两
个小题之间的联系是本题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要
时添加适当辅助线构造三角形．
（1）①根据图 的作法，在 上截取 ，证明 即可；
②由 ，可得 ； 根据 证明 ，得 ，故判断 ；
（2）在 的延长线上，截取 ，使 ，连接 ，判定 ，即可得到
，进而得出 ，再根据 ，可得
．
【详解】（1）解：①在 上截取 ，连接 ．
是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
② ，理由如下：
．
，
∵ 、 分别是 和 的平分线，
．
．
∵ ，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
又 ，
，
在 和 中，
，
，
．
．
（2） ．
如图 所示，在 的延长线上，截取 ，使 ，连接 ，
是 的角平分线，
，
又 ，
，
，
，
是射线 上的一个动点，不与点 重合，
，
．
【考点五 利用三角形全等求证角之间的关系问题】
例题：（23-24八年级上·湖南永州·期中）在 中， ， ，点D为 上一动点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足 ， ．求证： ；
(2)在（1）的条件下，求证： ；
(3)由（1）我们知道 ，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作 于F，连接AF．
那么 的度数是否发生变化？请证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，不变化，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，
解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．
（1）根据 ， 得出 ，即可根据
证明 ；
（2）易得 ，根据 ，得出 ，则 ，进
而得出 ，则 ，即可求证 ；
（3）过点A作 的垂线交 于点E，易得 ， ，即可得出
，通过求证 得出 ，则 是等腰直角三角形，即可求出
．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，不变化，理由如下：
过点A作 的垂线交 于点E
∵
∴
∴
同理
∵
∴
同（1）理得
在 和 中
，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）点P、Q分别是边长为 的等边 的边 、 上的动点，
点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．
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学科网（北京）股份有限公司(1)连接 、 交于点M，则在P、Q运动的过程中， 变化吗？若变化，则说明理由；若不变，
则求出它的度数；
(2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 交点为M，则
变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】(1)不变，
(2)不变，
【分析】（1）因为点 从顶点 、点 从顶点 同时出发，且它们的速度都为 cm/s，所以 ，
， ，因而运用边角边定理可知 ．再用全等三角形的性质定理及
三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得 的度数．
（2）首先利用边角边定理证得 ，再利用全等三角形的性质定理得到 ，再
运用三角形角间的关系求得 的度数．
【详解】（1）解： 不变．
等边三角形 中， ， ，
又由条件得 ，
，
，
；
（2）解： 不变．
在等边三角形 中， ，
，又由条件得 ， ，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意证明三角形全等是解题的关
键．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在 中， ，点E为 上一动点，过
点A作 于D，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)【观察发现】
如图①， 与 的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中， 的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求 的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为 中点，探索 与 的数量关系．
【答案】(1)
(2) 的大小不变，
(3)
【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）由 ，得 ，而 ，所以
，于是得到问题的答案；
（2）作 交 于点F，则 ，而 ，即可证
明 ，得 ，则 ，所以 的大小不改变， ；
（3）作 交 于点G，作 于点H，可证明 ，得 ，由
，得 ，则 ，由 ，得 ，则 ，所
以 ，即可推导出 ．
【详解】（1）∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2） 的大小不改变，
如图①，作 交 于点F，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
由（1）得 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的大小不改变， ．
（3） E，
理由：如图②，作 交 于点G，作 于点H，则
∴ ，
∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在 中， ，点 是射线 上一动点(不与点
重合)，以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时， 与 有何数量关系，请说明理由．
(2)在（1）的条件下，当 时，那么 ________度．
(3)设 ．
①如图2，当点 在线段 上， 时，请探究 与 之间的数量关系．并证明你的结论；
②如图3，当点 在线段 的延长线上， 时，请将图3补充完整并直接写出此时 与 之间
的数量关系．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ；
(3)① ，证明见解析；②图见解析， ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质
（1）由题意可得 ，即可证明 ，可得 ， ，即可解题；
（2）由题意可得 ，即可证明 ，可得 ， ，即可解题；
（3）①由题意可得 ，即可证明 ，可得 ，根据
即可解题；
②由题意可得 ，即可证明 ，可得 ，根据 ，
即可解题；
【详解】（1）解： ，理由：
， ，
，
在 和 中，
，
45 / 47
学科网（北京）股份有限公司，
；
（2）解： ，
，
，
；
故答案为： ；
（3）解：① ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
②作出图形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
46 / 47
学科网（北京）股份有限公司，
．
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