文档内容
第 08 讲 解题技巧专题：全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型
目录
【模型一 全等三角形模型之倍长中线模型】........................................................................................................1
【模型二 全等三角形模型之截长补短模型】........................................................................................................6
【过关检测】............................................................................................................................................................11
【模型一 全等三角形模型之倍长中线模型】
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2， 为 的中点.
证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ;
若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点.
证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 .
例题1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
1 / 27
学科网（北京）股份有限公司如图1，在 中，若 ， ，求BC边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：如图2，延长 到点E，使 ，连结BE，请根据小明的方法思考：
（1）根据已知和作图，图2中 与 全等吗？为什么？
（2）根据已知条件，写出线段 的取值范围；
[解题感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的
已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图3， 是 的中线， 交 于点F，且 ，试说明： ．
【答案】（1）全等，见解析；（2） ；（3）见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值
范围
【分析】（1）根据 ， ， 推出 和 全等即可；
（2）根据全等得出 ， ，由三角形三边关系定理得出 ，求出即可；
（3）延长 到 ，使 ，连接 ，根据 证 ，推出 ，
，根据 ，推出 ，求出 ，根据等腰三角形的性质
求出即可．
【详解】解：（1）∵在 和 中，
，
∴ ．
（2）∵由（1）知： ，
∴ ， ，
∵在 中， ，由三角形三边关系定理得： ，
∴ ；
（3）证明：如图，延长 到M，使 ，连接 ，
2 / 27
学科网（北京）股份有限公司∵ 是 中线，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，
全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键．
例题2．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至E，使 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
3 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ （依据1），
∴ ，
在 中， （依据2），
∴ ．
（1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转化到一个三角
形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之
间的关系．
（2）任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是 ；
A． ； B． ； C．
（3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4， 中， ，D为 中点，求证： ．
【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
（2）C
（3）见解释
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可．
（2）依题意，与（1）同理，得出 ，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意
两边之差小于第三边”求解即可．
（3）先运用 证明 ，再证明 ，即可作答．
【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“ ”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
4 / 27
学科网（北京）股份有限公司故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）如图，延长 至点 ，使 ，连接 ．
是 的中线，
，
在 与 中，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长 至F，使 连接 ，
是 的中点，
∴ ，
又
∴ ，
， ，
∵ ，
∴ ，
，
即 ，
又∵ ，
5 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ．
【模型二 全等三角形模型之截长补短模型】
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，
可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例题1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 平分 交 于点
D．求证： ．
【答案】见解析
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在 上截取 ，连接 ，利用已知条件求
证 ，然后可得 ， ，再利用三角形外角的性质求证 ，然后问
题可解．
【详解】证明：如图，在 上截取 ，连接 ．
6 / 27
学科网（北京）股份有限公司的平分线 交 边于点 ，
，
在 与 中，
，
∴ ，
， ，
， ，
，
，
，
，
∵ ，
．
例题2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ，
与 的平分线 ， 交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、与
角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截
长或补短”的方法．
（1）利用三角形的内角和求出 的度数，再利用角平分线得到 、 的大小，最后求出外
角 的度数；
（2）在 上 ，构造 ，再利用条件证明 ，从而得到 解题．
7 / 27
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 与 的平分线 ， 交于点
∴ , ，
∵ 是 的外角，
∴ ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
例题3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形 中， ，点 ，点 分别在边
8 / 27
学科网（北京）股份有限公司， 上，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点 ，点 分别在边 ， 的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不成立， ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键．
（1）延长 至点 ，使 ，构造 ，得出 ， ，再利用
，得出 ，证明 ，得出 ，再利用线段的和差即可证
明；
（2）在 上截取 ，构造 ，得出 ， ，再利用
，得出 ，证明 ，得出 ，再利用线段的和差即可证
明．
【详解】（1）证明：如图，延长 至点 ，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
9 / 27
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图，在 上截取 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
10 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ．
【过关检测】
一、单选题
1．在 中， ， 是 边上的中线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键．
延长 到E，使 ，连接 ，证 ，推出 ，在 中，根据三角
形三边关系定理得出 ，代入求出即可．
【详解】解： 延长 到E，使 ，连接 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
11 / 27
学科网（北京）股份有限公司2．如图，在长方形 中，E为 的中点，F为 上一点，若 ，则 与 的数
量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角
形是解题的关键．延长 交 延长线于点 ，通过证明 得到 ， ，由
，可设 ，则 ，得到 ，利用三角形的面积公式得到
，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长 交 延长线于点 ，
长方形 ，
，
E为 的中点，
，
又 ，
，
， ，
，
12 / 27
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
3．如图，已知AC平分 ， 于E， ，则下列结论① ；②
；③ ；④ ．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，
再由AB=AD+2BE即可求解；
②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据 即可求解；
③由②即可得解；
④由②即可得解．
【详解】解：①在AE取点F，使 ．
在Rt△BCE与Rt△FCE中，
∴ ，
∴△BCE≌△FCE，
13 / 27
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
，
，
，故①正确；
②AB上取点F，使 ，连接CF．
在 与 中， ， ， ，
，
．
垂直平分BF，
，
．
又 ，
，
，故②正确；
③由②知， ， ，
又 ，
，故③正确；
④易证 ，
，
又 ，
，
，故④正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
二、填空题
4．已知， 中， ， ， 为 的中点，则中线 的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，延长 到 ，
使 ，连接 ，可证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，在 中
利用三角形三边关系可求得 的范围，可求得 的取值范围．
【详解】解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
14 / 27
学科网（北京）股份有限公司为 的中点，
，
在 和 中，
，
（ ），
，
在 中，由三角形三边关系可得 ，
即 ，
，
，
，
故答案为： ．
5．如图， 中， 为 的中点， 是 上一点，连接 并延长交 于 ．若 ，
， ，那么 的长度为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长 到 使 ，连
接 ，通过 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代换得到
，由等腰三角形的性质得到 ，推出 即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长 到 使 ，连接 ，
15 / 27
学科网（北京）股份有限公司在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
，
，即 ，
，
故答案为： ．
6．在四边形 中， ， 与 互补，点E、F分别在射线 、 上，且
，当 ， ， 时， 的周长等于 ．
【答案】13
【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
在 上截取 ，先证 ，再证 ，可得 ，再由 的周长
即可解答．
【详解】解：在 上取点G，使 ，
16 / 27
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中
，
∴
∴ ．
∴
∴ 的周长等于 ，
∵ ， ， ，
∴ 的周长等于
故答案： ．
三、解答题
7．如图，在 中， 平分 ，E为 的中点， ，求证： ．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，线段中点的定义，三角形外角的性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，根据
全等三角形的性质得到 ，证出 ，根据全等三角形的性质得出 ，
17 / 27
学科网（北京）股份有限公司证得 ，由三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】证明：延长 到 ，使 ，连接 ，
点 是 的中点，
，
在 与 中，
，
∴ ，
，
， ，
，
平分 ，
，
在 与 中，
，
∴ ，
，
，
， ，
．
8．如图，已知 ， 的平分线与 的平分线相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，
试说明： ．
【答案】证明见解析
18 / 27
学科网（北京）股份有限公司【分析】在 上截取 ，连接 ，由 平分 可得 ，利用 可证得
，于是可得 ，由两直线平行同旁内角互补可得 ，结合
，进而可得 ，由 平分 可得 ，利用 可证得
，于是可得 ，然后利用等量代换即可得出结论．
【详解】证明：如图，在 上截取 ，连接 ，
平分 ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，线
段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．如图，在四边形 中， 与 交于点 ， 平分 ， 平分 ，
．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
19 / 27
学科网（北京）股份有限公司(2)见解析
【分析】（1）由四边形内角和性质求得 ．再由角平分线定义可得 ，
，最后由三角形内角和性质得到结论；
（2）作 的平分线交 于 ，证明 ，再由全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）在四边形 中， ，
又∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ．
（2） ．
如图，作 的平分线交 于 ．则 ．
在 和 中，
，
．
∴ ．
同理， ．
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证
明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1， 中，若 ，求证： ．
20 / 27
学科网（北京）股份有限公司（2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在 中， 是
边上的中线，E是 上一点，延长 交 于F．若 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加
恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）取 中点 ，连接 ．利用 证明 ，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）延长 到点 ，使得 ，连接 ，由“ ”可证 ，可得 ，
，进而可得 ，对顶角相等即可证明结论．
【详解】（1）证明：如图，取 中点 ，则 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如图所示：
21 / 27
学科网（北京）股份有限公司是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
，
，
，即 ．
11．【发现问题】
（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1， ， ，中线 的取值范围是多少？
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到 ，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 、 、 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
_____；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
22 / 27
学科网（北京）股份有限公司【问题拓展】
（2）如图2， ， ， 与 互补，连接 、 ， 是 的中点，求证：
：
（3）如图3，在（2）的条件下，若 ，延长 交 于点 ， ， ．求 的
面积．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）18
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据提示证 即可求解；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，证 得 ， ，
进而可得 ，再证 即可；
（3）由（2）可得： ， ，进一步得 ；
根据题意可证 ，据此即可求解．
【详解】解：（1）∵ 是 的中线．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
可得 ，
即： ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，如图2：
由题意得： ，
， ，
，
， ，
，
，
23 / 27
学科网（北京）股份有限公司，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）如图3，
由（2）可得： ， ， ，
．
．
， ，
．
，
，
，
．
12．学习理解：
（1）如图1， ， ，点D为 的中点，则 的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2， ， ， ，点F为 的中点．
求证： ；
思维拓展：
（3）如图3，在 中， ， 和 的角平分线 与 相交于点F，连接 ，
， ，则 ________．
24 / 27
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）见解析；（3）13
【分析】（1）延长 至点E，使 ，连接 ，证明 ，得出 的取值范围为
，从而得到 ；
（2）如图2，延长 至点G，使 ，连接 ，证明 ， ，通过
三角形面积转化得到结论；
（3）先证明 ，如图3，在 上截取 ， ，连接 ，通过
三角形全等和三角形面积转化，得出 的面积．
【详解】解：（1）如图1，延长 至点E，使 ，连接 ，
∵点D为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：如图2，延长 至点G，使 ，连接 ，
25 / 27
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ 分别平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
26 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图3，在 上截取 ， ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ， ， ， ，
过点N作 于点P，过点E作 于点Q，
则 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
，
∴ ，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题
的关键．
27 / 27
学科网（北京）股份有限公司
