探究代数表达式，函数方程来发力_高中三年全科资料_高中_高中知识点整理_数学

探究代数表达式，函数方程来发力 探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化 为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即 可求出参数的值即存在，否则不存在 .(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转 化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理 即可求出参数的值即存在。 类型一 参数值的探究 例1 【2016年高考四川理数】（本小题满分13分） x2 y2 已知椭圆E：  1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶 a2 b2 点，直线l:y x3与椭圆E有且只有一个公共点T. （Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标； （Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数，使得 PT 2 PA  PB ，并求的值.3 2 3 2 方程②的判别式为=16(92m2)，由>0，解得 m . 2 2 4m 4m2 12 由②得x x = ,x x  . 1 2 3 1 2 3 2m 2m 5 2m 所以 PA  (2 x )2(1 y )2  2 x ， 3 1 3 1 2 3 1 5 2m 同理 PB  2 x ， 2 3 2 5 2m 2m 所以 PA  PB  (2 x )(2 x ) 4 3 1 3 2 5 2m 2m  (2 )2 (2 )(x x )x x 4 3 3 1 2 1 2 5 2m 2m 4m 4m2 12  (2 )2(2 )( ) 4 3 3 3 3 10  m2. 9 4 故存在常数 ，使得 PT 2 PA  PB . 5类型二 恒等式成立探究 x2 y2 2 例2. 【2015高考四川，理20】如图，椭圆E： + 1(ab0)的离心率是 ， a2 b2 2 过点P（0,1）的动直线l 与椭圆相交于A，B两点，当直线l 平行与x轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2 . (1)求椭圆E的方程； QA PA （2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得  恒成立？ QB PB 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. （2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点. |QC| |PC| 如果存在定点Q满足条件，则  1，即|QC||QD|. |QD| |PD| 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0,y ). 0 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点. 则M(0, 2),N(0, 2)， |QM | |PM | | y  2| 21 由  ，有 0  ，解得 y 1或 y 2. |QN| |PN| | y  2| 21 0 0 0所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为Q(0,2). |QA| |PA| 下面证明：对任意的直线l，均有  . |QB| |PB| 当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为 y kx1，A、B的坐标分别为(x ,y ),(x ,y ). 1 1 2 2 x2 y2   1 联立 4 2 ,得(2k2 1)x2 4kx20.  y kx1 其判别式16k2 8(2k2 1)0， 类型三 面积最小值存在性 例3【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆 ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动， 且DN ON 1，MN 3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带 ． 动 ．N绕O转动，M处 的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角 坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设动直线l与两定直线l :x2y0和l :x2y0分别交于P,Q两点．若直线l总 1 2 与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在， 求出该最小值；若不存在，说明理由． y N N A D O B D O x M M 第22题图1 第22题图2 1 1 1 2m 2m 2m2 S  |PQ|d  |m||x x | |m|   . ② OPQ 2 2 P Q 2 12k 12k 14k2 2m2 4k2 1 1 将 ① 代 入 ② 得 ， S  8 . 当 k2  时 ， OPQ 14k2 4k2 1 4 4k2 1 2 1 4k2 1 2 S 8( )8(1 )8；当0k2  时，S 8( )8(1 ).因 OPQ 4k2 1 4k2 1 4 OPQ 14k2 14k2 1 2 2 0k2  ，则014k2 1， 2，所以S 8(1 )8，当且仅当k 0时 4 14k2 OPQ 14k2取等号.所以当k 0时，S 的最小值为8. OPQ 综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8. 类型四 面积关系探究 x2 y2 3 例4.（2011湖南理21）如图7,椭圆C :  1(a b 0)的离心率为 ,x轴被曲线 1 a2 b2 2 C :y  x2 b截得的线段长等于C 的长半轴长. 2 1 (Ⅰ)求C ,C 的方程; 1 2 (Ⅱ)设C 与 y 轴的交点为M ,过坐标原点O的直线l与C 相交于点 A,B,直线MA,MB 2 2 分别与C 相交于点D,E . 1 (ⅰ)求证:MD ME; S 17 (ⅱ)记MAB,MDE 的面积分别为S ,S .问:是否存在直线l,使得 1  ?请说明理 1 2 S 32 2 由.