拓展与数列结合的概率递推问题_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_十一章

MST老唐说题26版一轮 思维拓展 1 与数列结合的概率递推问题（马尔科夫链） 【背景知识】 俄国数学家 Andrey Andreyevich Markov 研究并提出一个用数学方法就能解释自然变化的一般规律模 型，被命名为马尔科夫链（Markov Chain）。马尔科夫链为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换 的随机过程，该过程要求具备“无记忆性 ”，即下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中 它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性 ”称作马尔可夫性质。 【知识拓展】 ①转移概率：对于有限状态集合S，定义：P P(X |X )为从状态i到状态 j的转移概率. i,j n1j ni ②马尔可夫链：若P(X |X ,X ,,X )P(X |X )P ，即未来状态X 只受当前状 n1j ni n1in1 0i0 n1j ni ij n1 态X 的影响，与之前的X ,X ,,X 无关. n n1 n2 0 ③完备事件组：如果样本空间中一组事件组{A,A ,A }符合下列两个条件： 1 2 n （1）A A ,i j,i, j1,2,n；（2）  n A . i j k k1 则称{A,A ,A }是的一个完备事件组，也称是的一个分割. 1 2 n ④全概率公式： 设{A 1 ,A 2 ,A n }是一个完备事件组，则有 P(B) n P(A k )P(B|A k ) k1 ⑤一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t 0时，位于点 xi(iN)，下一个时刻，它将以概率或者（(0,1),1）向左或者向右平移一个单位. 若记状态X 表示：在时刻t该点位于位置xi(iN)，那么由全概率公式可得： ti P(X )P(X )P(X |X )P(X )P(X |X ) t1i ti1 t1i ti1 ti1 t1i ti1 另一方面，由于P(X | X ),P(X | X )，代入上式可得： t1i ti1 t1i ti1 P P P .进一步，我们假设在x0与xm(m0,mN)处各有一个吸收壁，当点到达吸收 i i1 i1 壁时被吸收，不再游走.于是，P 0,P 1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某 0 m 个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a，原地不动，其概率为b，向右平移一个单位，其概 率为c，那么根据全概率公式可得：P aP bP cP . i i1 i i1 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 【例题1】（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮， 若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均 为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i次投篮的人是甲的概率；  n  n （3）已知：若随机变量X 服从两点分布，且PX 11PX 0q,i1,2,,n，则E X q． i i i i  i i i1 i1 记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求EY． 【例题2】（2024·山东省实验中学模拟）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会 2 员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开 7 始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为1 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 1 ．记该顾客 2 3 第n次摸球抽中奖品的概率为P． n (1)求P的值，并探究数列P的通项公式； 2 n (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 【例题3】（2024·成都模拟）某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的nn3位员工通过摸球游戏 抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰 有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个 球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第n1 位员工再从第n1个暗盒里面取出1个球并放入第n个暗盒里.第n位员工从第n个暗盒中取出1个球，游 戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第i1in 位员工获得奖金为X 元. i (1)求X 1000的概率； 2 (2)求X 的数学期望EX ，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大. i i 【例题4】（2024·安阳模拟）网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网 球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展 开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划 知，在封闭集训期间，若运动员第n  nN*,n89  天进行有氧训练，则第n1天进行有氧训练的概率为 5 ， 9 4 7 第n1天进行无氧训练的概率为 ；若运动员第n天进行无氧训练，则第n1天进行有氧训练的概率为 ， 9 9 2 第n1天进行无氧训练的概率为 ．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．(1) 9 封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X ，求X 的分布列与数学期望； (2)封闭集训期间，记某运动员第n天进行有氧训练的概率为P，求P ． n 45 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 【例题5】（2024·保定模拟）从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第 一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X ，求X 的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为 p ,n1,2,3,，①直接写出 p，p，p 的值；②求p 与 p 的关系式(nN*)，并求 p (nN*). n 1 2 3 n1 n n 【训练1】（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进 行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以 甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种 药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每 轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠 治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、 乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， p (i0，1，，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认 i 为甲药比乙药更有效”的概率，则 p 0，p 1，p ap bp cp (i1，2，，7)，其中aP(X 1)， 0 8 i i1 i i1 bP(X 0)，cP(X 1)．假设0.5，0.8． （ⅰ）证明：{p  p}(i0，1，2，，7)为等比数列； i1 i （ⅱ）求 p ，并根据 p 的值解释这种试验方案的合理性． 4 4 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 【训练2】（2024·榆林模拟）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每 餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第 2 1 一天选择米饭套餐的概率为 ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 ，前一天选 3 4 1 择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 ，如此往复. 2 （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率 （2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为P n  2 5 （Ⅰ）证明：P  为等比数列；（Ⅱ）证明：当n2时，P  .  n 5 n 12 1 【训练3】（2024·成都模拟）现有甲、乙两名篮球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为 ，乙 2 2 每次投篮命中的概率为 . 3 (1)为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若 甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜；若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜；其它情况认定为平局， 获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得 游戏的胜利.求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率. (2)投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则对方投篮，第一次 投篮由甲完成，设P为第n次投篮由甲完成的概率. n （i）求P，P，P的值； 1 2 3 （ii）求P与P 的关系式，并求出P. n n1 n 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 【训练4】（2024·潍坊模拟）现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的2个 黑球和1个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放袋子中，重复进行n  nN* 次此操 作．记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为X ． n (1)求X 的分布列和数学期望； 1 (2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率P． n 【训练5】（2024·曲靖模拟）某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好， 开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力. 本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮给每个小组 提供5个实验操作的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则 得0分． (1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一个回答问题， 无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会抢答下一问题．记第n次 回答的是甲的概率是P，若P 1． n 1 ①求P和P； 3 4 ②写出P与P 之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小． n n1 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 【训练6】（2024·湖南模拟）中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被 体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者，为提高乒乓球水平，决定在假期针对乒乓 球技术的五个基本因素：弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项（将五个因 素分别对应五项，一次练一项）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的四个 项目中等可能地随机选一项训练. （1）若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练，求第三次训练的是“弧线”的概率； （2）若某天仅进行了6次训练，五个项目均有训练，且第1次训练的是“旋转”，前后训练项不同视为不同 的训练顺序，设变量X 为6次训练中“旋转”项训练的次数，求X 的分布列及期望； （3）若某天规定第一次训练的是“力量”，从第二次起，后面训练项的选择服从上述计划的安排，设P  iN i 表示第i次训练的是“力量”的概率，求P的值. 6 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 拓展2 基于24年高考的概率与数列综合问题 例一：（2024•新高考Ⅰ）设m为正整数，数列a1 ，a2 ，…，a4m+2 是公差不为0的等差数列，若从中删去两 项ai 和aj （i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1 ， a2 …，a4m+2 是（i，j）——可分数列． （1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1 ，a2 ，…，a6 是（i，j）——可分数列； （2）当m≥3时，证明：数列a1 ，a2 ，…，a4m+2 是（2，13）——可分数列； （3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1 ，a2 ，…，a4m+2 是（i，j）——可分 数列的概率为Pm ，证明：Pm ＞ ． 1 8 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 例二 已知有穷数列{an}共有m项（其中m≥4且m N*），集合A＝{（i，j，k）|ai ＜aj ＜ak 且i＜j＜k}，其 中i、j、k均为小于等于m的正整数． ∈ （1）若m＝5，数列{an}的各项依次为1、2、5、3、4，请写出集合A中所有的元素； （2）若m＝6，且数列{an}为单调递增数列，从集合A中任取一个元素（i，j，k），设随机变量X＝k， 求随机变量X的分布列和数学期望； （3）若数列{an}为公差大于0的等差数列，从集合A中任取一个元素（i，j，k），定义事件M＝“ai+ak ＝2aj ”，求事件M发生的概率P（M）（结果用m表示）． 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 训练一（多选）（2024•广州模拟）设m为正整数，数列a1 ，a2 ，…，a4m+2 是公差不为0的等差数列，若从 中删去两项ai 和aj （i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称 数列a1 ，a2 ，…，a4m+2 是（i，j）可分数列．从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数 列a1 ，a2 ，…，a4m+2 是（i，j）可分数列的概率为Pm ，则（ ） A．数列a1 ，a2 ，…，a6 是（1，6）可分数列 B．数列a1 ，a2 ，…，a10 是（2，9）可分数列 C． 1 1 = D． 5 1 2 = 7 学科网（北京）股份有限公司MST老唐说题26版一轮 训练二（2025•长沙模拟）已知数列A：a1 ，a2 ， ⋯ ，a2m 为2m个数1，2，…，2m的一个排列，其中m N*， 且m≥3．若在集合{1，2，…，2m﹣1}中至少有一个元素i使得|ai ﹣ai+1|＝m，则称数列A具有性质∈T． （1）当m＝3时，写出4个具有性质T的数列A； （2）若数列{a2n﹣1}和{a2n}（n＝1，2，…，m）均为等差数列，且a1 ＝1，a2m ＝2，证明：对于所有的偶 数项数列A：a1 ，a2 ， ⋯ ，a2m 不具有性质T； （3）在所有由1，2，…，2m的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为P（T）， 证明：对于任意 ， ＞ ． 1 ( ≥ 3) ( ) 2 学科网（北京）股份有限公司