文档内容
抛物线
一、 课堂目标
1．掌握抛物线的定义及四种标准方程．
2．理解抛物线标准方程中参数 的作用，能够利用 进行标准方程与焦点坐标以及准线方程的自由转
化．
3．掌握抛物线的一系列几何性质，能够实现抛物线的几何性质与抛物线的标准方程之间的自由转化，
并由其几何性质解决相关问题．
二、 知识引入
椭圆与双曲线的复习
椭圆与双曲线的复习
（1）椭圆
平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定
点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
（2）双曲线
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹（或集
合）叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
探究
探究：
在画板上画一条直线 ，使 与画板左侧的边线平行；再在直线 外画一个定点 （如下图）．
取一把丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线 垂直相交于点 ，在丁字尺的另一端取一点 ．将一条
长度等于 的细绳，一端固定在点 ，另一端固定在点 ，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后
1上下平移丁字尺，笔尖滑动画出的曲线是什么？
由上图，我们可以得到笔尖滑动画出的曲线是部份抛物线．那么本节课我们就来学习抛物线．
生活中常见的抛物线
生活中常见的抛物线
三、 知识讲解
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点 叫做抛物线的焦
点，定直线 叫做抛物线的准线．
例题
21. 若点 到直线 的距离比到点 的距离小 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 到直线 与到定点 （ ， ）的距离相等的点的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 圆 C. 抛物线 D. 直线
2. 抛物线的标准方程
下面我们根据抛物线的定义来求它的标准方程．
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系
，如下图：
设 ，则焦点 的坐标为 ，准线 的方程为 ．设点 是抛物线上任
意一点，点 到直线 的距离为 ，由抛物线的定义可知，点 在抛物线上的充要条件是 ．因
为 ，所以上述条件转化为坐标表示，就是
．
将上式两边平方并化简，得 ．
3上面的方程叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点在 轴的正半轴上且坐标为 ；它的
准线方程是 ，其中 是焦点到准线的距离．
上面我们讨论的情形是定点（焦点 ）在定直线（准线 ）的右侧，因而得到的抛物线的标准方程是
．
同理定点与定直线还会有其他三种位置关系，我们在此直接将标准方程给出：
（1）焦点在 轴负半轴上：
焦点坐标 ；准线方程 ；标准方程 ；图象开口向左的抛物线；
（2）焦点在 轴正半轴上：
焦点坐标 ；准线方程 ；标准方程 ；图象开口向上的抛物线；
（3）焦点在 轴负半轴上：
焦点坐标 ；准线方程 ；标准方程 ；图象开口向下的抛物线．
例题
3. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
4. 已知抛物线 的焦点 到其准线的距离是 ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 抛物线 的焦点到其准线的距离是（ ）．
A. B. C. D.
4例题
6. 抛物线 的准线方程为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 抛物线 的准线方程是 ．
8. 抛物线 的准线方程是（ ）．
A. B. C. D.
例题
9. 抛物线 的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
10. 抛物线 的焦点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
11. 抛物线 的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
例题
12. 若抛物线的准线方程为 ，则抛物线的标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
5思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 准线为 的抛物线的标准方程是（ ）．
A. B. C. D.
3. 抛物线的几何性质
下面我们研究标准方程为 的抛物线的一系列几何性质：
范围
因为 ，故由上述方程可知抛物线上任意一点 满足 ，因此抛物线严格位于 轴右侧；
而且当 增大时， 也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无线延伸，开口向右．
对称轴
以 代替 ，抛物线的标准方程不变，因此这条抛物线是以 轴为对称轴的轴对称图形；抛物线的对称
轴简称为抛物线的轴．
6顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点；由 ，故抛物线的顶点为坐标原点．
离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用 表示．根据抛物线的定义可
知， ．
7抛物线方程的四种形式对应的几何性质
设抛物线的焦点到准线的距离为 ，则抛物线方程的四种形式对应的几何性质如下表：
例题
14. 对于抛物线 上任意一点 ，点 都满足 ，则 的取值范围是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
815. 抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点 ，则抛物线的方程是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
16. 顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点 的抛物线方程是 ．
17. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点 的抛物线的标准方程为 ．
例题
18. 下图所示为抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 ，水面宽 ．水面下降 后，水面宽为
（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面 米时，量得水面宽为 米，当水面下降 米后，水面的宽
为 米．
四、 思维导图
9你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
20. 抛物线 的焦点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
21. 抛物线 的准线方程是（ ）．
A. B. C. D.
22. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点 ，且过点 ，则该抛物线
的方程是 ．
23. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 时，水面宽 ．若水面下降 ，则水面宽度为 ．
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