文档内容
椭圆的定义与方程
一、 课堂目标
1．掌握椭圆的定义并推导椭圆的标准方程．
2．掌握椭圆标准方程的两种形式，能够借助于方程判断椭圆的焦点位置及求解三个参量的数值．
二、 知识引入
圆的复习
圆的复习
问题1：圆的定义是什么？如何画圆？
平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．
问题2：圆的标准方程是什么？
探究
探究：
平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是什么呢？
（1）取一条定长的细绳；
（2）把它的两端都固定在图版的同一点处；
（3）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉
开一段距离，分别固定在图版的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆．
生活中的椭圆
1生活中的椭圆
三、 知识讲解
1. 椭圆的定义
根据上面的探究，我们在画板上取两个定点 ，把一条长度为定值且大于 的细绳的两端固定
在两点 ，用铅笔把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，画出的图形是一个椭圆．
从上面画图过程，我们可以得出椭圆的定义：
平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定
点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
例题
1. 已知圆 的圆心为 ，设 为圆上任一点， ，线段 的垂直平分线交
于点 ，则动点 的轨迹是（ ）．
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 设定点 ， ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是
（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段
2思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 回答下列各题：
（ 1 ）已知点 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆
（ 2 ）已知点 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆
2. 椭圆的标准方程
现在我们根据椭圆的定义来推导平面直角坐标系下椭圆的标准方程．
【分析与解】
以过焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 ，如下图所
示，此时，焦点 ， 的坐标分别为 ， ．
设 是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点 在椭圆上的充分必要条件是
，
根据平面上两点之间的距离公式，有
， ．
因此上述条件的代数表示就是：
（*）．
3下面要对上式进行化简，在此我们提供如下两种思路：
思路1
（分母有理化）
①当 时， ，
此时（*）等价于 ，
整理得： ，
，
将上式与（*）相加得到： ，
将上式两边平方，再整理得：
．
∵ ，故 ，设 ，则上式可化为：
．
②当 时， ，则由 ，得 ，点 的坐标为
，此时 的坐标仍适合 ．
思路2
（暴力去根号）
尽管思路是暴力去根号，但是并不能将（*）式直接平方，需要委婉的移项之后再平方去根号，如下：
将（*）式移项得：
，
将上式两边平方展开得：
，
移项合并约分得：
，
再次移项平方（去根号）：
，
移项整理得：
，
之后仿效①的后期工作同样可以得到：
4．
椭圆的标准方程
由上面化简得结果，我们得到焦点位于 轴上,左焦点 ，右焦点 ,其椭圆的标准方程为
．三个参量之间满足的关系式为 ．
同理，若椭圆的焦点位于 轴上，上焦点 ，下焦点 ，其椭圆的标准方程为
．
例题
4. 分别求出如下椭圆方程所对应的 、 、 和焦点坐标：
（ 1 ） ；
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 分别求出如下椭圆方程所对应的 和 ．
（ 3 ） ．
例题
6. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
7. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是 ．
思路梳理
5本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
8. 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
例题
10. 已知椭圆 的左焦点为 ，则 = （ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 椭圆 的一个焦点是 ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
例题
12. 填空：
（ 1 ）一个动点到两定点 ， 的距离之和为 ，则动点的轨迹方程是 ．
（ 2 ）已知焦点坐标分别为 ， ，且 的椭圆方程是 ．
6思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 回答下列各题：
（ 1 ）已知焦点坐标为 ， ，且 的椭圆方程是 ．
例题
14. 若椭圆的两焦点为 和 ，且椭圆过点 ，则椭圆方程是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
15. 已知椭圆的两个焦点分别为 、 ，且经过点 ，则椭圆的标准方程
是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
16. 求焦点的坐标分别为 和 ，且过点 的椭圆的方程．
17.
若椭圆的一个焦点为 ，且过点 ，则椭圆的标准方程为 ．
例题
718.
求经过两点 ， 的椭圆的标准方程．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19.
已知中心在原点 的椭圆 过 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
20. 动点 到两定点 ， 的距离是 ，则动点 的轨迹为（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 直线 D. 无轨迹
21.
已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
22.
方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
23. 已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中
项，则该椭圆的方程为（ ）．
A. B. C. D.
8
