文档内容
椭圆的定义与方程
一、 课堂目标
1．掌握椭圆的定义并推导椭圆的标准方程．
2．掌握椭圆标准方程的两种形式，能够借助于方程判断椭圆的焦点位置及求解三个参量的数值．
【备注】目标解读：
关联知识：圆．
本讲解读：本讲的重点是掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程；难点是推导椭圆的标准方程
的过程．
能力素养：本讲主要培养学生数学运算和逻辑推理的能力．
二、 知识引入
圆的复习
圆的复习
问题1：圆的定义是什么？如何画圆？
平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．
问题2：圆的标准方程是什么？
探究
探究：
平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是什么呢？
（1）取一条定长的细绳；
（2）把它的两端都固定在图版的同一点处；
（3）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉
开一段距离，分别固定在图版的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆．
1生活中的椭圆
生活中的椭圆
三、 知识讲解
1. 椭圆的定义
根据上面的探究，我们在画板上取两个定点 ，把一条长度为定值且大于 的细绳的两端固定在
两点 ，用铅笔把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，画出的图形是一个椭圆．
从上面画图过程，我们可以得出椭圆的定义：
平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定
点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
【备注】【注意】
定义中“大于 ”这个条件不能忽视，倘若去掉，则点的轨迹未必是椭圆，而是其他图
形，甚至不存在满足题意的点的轨迹．
例题
21. 已知圆 的圆心为 ，设 为圆上任一点， ，线段 的垂直平分线交 于点
，则动点 的轨迹是（ ）．
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ．
故动点 的轨迹是椭圆．
故选 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；椭圆的定义
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 设定点 ， ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段
【答案】D
【解析】 ，
当且仅当 时取等号．
当 时，点 的轨迹是线段 ；
当 时，点 的轨迹是椭圆．
【标注】【知识点】求点的轨迹
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
3练习
3. 回答下列各题：
（ 1 ）已知点 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆
（ 2 ）已知点 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆
【答案】（ 1 ）A
（ 2 ）C
（ 3 ）B
【解析】（ 1 ） ．
故选 ．
（ 2 ） ．
故选 ．
（ 3 ）略
【标注】【知识点】充要条件与解析几何结合；椭圆的定义
2. 椭圆的标准方程
现在我们根据椭圆的定义来推导平面直角坐标系下椭圆的标准方程．
【分析与解】
以过焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 ，如下图所示，
此时，焦点 ， 的坐标分别为 ， ．
4设 是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义可知，点 在椭圆上的充分必要条件是
，
根据平面上两点之间的距离公式，有
， ．
因此上述条件的代数表示就是：
（*）．
下面要对上式进行化简，在此我们提供如下两种思路：
思路1
（分母有理化）
①当 时， ，
此时（*）等价于 ，
整理得： ，
，
将上式与（*）相加得到： ，
将上式两边平方，再整理得：
．
∵ ，故 ，设 ，则上式可化为：
．
②当 时， ，则由 ，得 ，点 的坐标为 ，此时 的
坐标仍适合 ．
思路2
（暴力去根号）
尽管思路是暴力去根号，但是并不能将（*）式直接平方，需要委婉的移项之后再平方去根号，如下：
将（*）式移项得：
，
将上式两边平方展开得：
，
移项合并约分得：
，
再次移项平方（去根号）：
5，
移项整理得：
，
之后仿效①的后期工作同样可以得到：
．
【备注】【教师可见】
由上述两种方法体会在化简代数表达式中去根号的技巧．
椭圆的标准方程
由上面化简得结果，我们得到焦点位于 轴上,左焦点 ，右焦点 ,其椭圆的标准方程为
．三个参量之间满足的关系式为 ．
同理，若椭圆的焦点位于 轴上，上焦点 ，下焦点 ，其椭圆的标准方程为
．
【备注】【教师可见】
（1）当且仅当椭圆关于原点中心对称且双焦点在同一坐标轴上时，椭圆的标准方程才具有
上述形式．
（2）椭圆 与 的大小和形状完全相同，唯一区
别是摆放位置不一样。进一步， （ ， ）表示的椭圆形状
都一致（这里的“形状一致”类似于相似三角形中“相似”的概念，意思是将图形进行缩放可
以完全实现重合），只不过大小和摆放位置（焦点位置）不同．
例题
4. 分别求出如下椭圆方程所对应的 、 、 和焦点坐标：
（ 1 ） ；
【答案】（ 1 ） ， ， ， ， ．
（ 2 ）
， ， ， ， ．
（ 3 ） ， ， ， ， ．
【解析】（ 1 ） ， ， ， ， ．
（ 2 ）
， ， ， ， ．
（ 3 ） ， ， ， ， ．
6【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 分别求出如下椭圆方程所对应的 和 ．
（ 3 ） ．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ， ．
（ 3 ） ， ．
【解析】（ 1 ）略．
（ 2 ）略．
（ 3 ）略．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
例题
6. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵椭圆的焦点在 轴上，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是： ．
7故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
7. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
8. 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围．
【答案】 且 ．
【解析】方程可变为 表示椭圆，
则 ，
故 且 ．
∴满足条件的 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
8【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵椭圆 焦点在 轴上，
∴ ，
∴ ，故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
例题
10. 已知椭圆 的左焦点为 ，则 = （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知在椭圆中 ，所以 ，
又 ，所以 ．
故答案选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆坐标的取值范围
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
92． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 椭圆 的一个焦点是 ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆 即 ，
∵焦点坐标为 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
例题
12. 填空：
（ 1 ）一个动点到两定点 ， 的距离之和为 ，则动点的轨迹方程是 ．
（ 2 ）已知焦点坐标分别为 ， ，且 的椭圆方程是 ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
【解析】（ 1 ） ；
设动点 ，
∵动点到两定点 ， 的距离之和为 ，
∴ ，
∴动点 的轨迹为椭圆，且 ， ．
∴ ， ， ．
又此椭圆的焦点在 轴上，
10则椭圆的方程为 ．
故答案为： ．
（ 2 ） ；
已知椭圆的焦点在 轴上，且 又 ，故 ，
从而所求的椭圆方程为 ．
故答案为： ．
（ 3 ）略
（ 4 ） ．
∵ ，且焦点在 轴上，故可设椭圆的方程为 ，
又椭圆过点 ，故有 ，解得 或 ，
又 ，故 ，从而得所求的椭圆的标准方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 回答下列各题：
（ 1 ）已知焦点坐标为 ， ，且 的椭圆方程是 ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）已知椭圆的焦点在 轴上，且 又 ，故 ，
从而所求的椭圆方程为 ．
故答案为： ．
（ 2 ）设动点 ，
∵动点到两定点 ， 的距离之和为 ，
11∴ ，
∴动点 的轨迹为椭圆，且 ， ．
∴ ， ， ．
又此椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的方程为 ．
故答案为： ．
（ 3 ）∵ ，且焦点在 轴上，故可设椭圆的方程为 ，
又椭圆过点 ，故有 ，解得 或 ，
又 ，故 ，从而得所求的椭圆的标准方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题；椭圆的标准方程
例题
14. 若椭圆的两焦点为 和 ，且椭圆过点 ，则椭圆方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知， ，焦点在 轴上，
∴ ，故可设椭圆的方程为 ，
把点 代入椭圆的方程可求得 ，
故椭圆的方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
15. 已知椭圆的两个焦点分别为 、 ，且经过点 ，则椭圆的标准方程是 ．
【答案】
12【解析】已知椭圆的焦点在 轴上，且 ，将点 代入方程 ，解得
， （舍），所以椭圆方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
16. 求焦点的坐标分别为 和 ，且过点 的椭圆的方程．
【答案】 ．
【解析】
法一：由椭圆的定义知 ，从而 ，
， ，又椭圆的焦点在 轴上，故所求的标准方程为 ．
法二：∵ ，且焦点在 轴上，故可设椭圆的方程为 ，又椭圆过 ，故有
，解得 或 ，又 ，故 ，从而所求椭圆的标准方程为
．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
17.
若椭圆的一个焦点为 ，且过点 ，则椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【解析】解： 焦点为 ，
，
设椭圆方程为 ，
点 在椭圆上，
13，解得 （舍）或 ，
椭圆的标准方程为 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
例题
18.
求经过两点 ， 的椭圆的标准方程．
【答案】 ．
【解析】设所求椭圆的方程为 ．
依题意有 ，解得 ，所以所求椭圆的方程为 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19.
已知中心在原点 的椭圆 过 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）1 直线 与椭圆 相切，理由见解析．
2 ．
【解析】（ 1 ）设中心在原点的椭圆 方程为： ，
∵椭圆 过 ， ，
14∴ ，
解得： ．
椭圆 方程为： ．
（ 2 ）1 当直线 斜率不存在时，设直线 方程为 ，
不妨设 在上方， 在下方，
则与圆 的交点分别为： ， ，
由 得： ，
故此时直线 与椭圆 相切．
当直线 斜率存在时，
设直线 方程为 ，
与圆 的交点记为 ， ，
联立方程组： ，
得 ， ， ；
∴ ，
代入化简得： ，
又 ，
∴ ，
代入化简得： ．
联立方程组： ，
得： ，
∴ ，
综上所述直线 与椭圆 相切．
2 原点 到直线 的距离 ，
由于 ，
故 ，
的面积为 ，
另一方面，由①的解答过程知：
当 斜率存在时，有 ，
∴
，
∴ ，
15当 斜率存在时， ， ， ，
综上， 的面积最小值为 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；面积问题；直线与圆锥曲线的位
置关系判断
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
20. 动点 到两定点 ， 的距离是 ，则动点 的轨迹为（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 直线 D. 无轨迹
【答案】A
【解析】∵动点 到两定点 ， 的距离和是 ，
且 ，
根据椭圆的定义可得动点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆．
故选 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；椭圆的定义
21. 已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
16【答案】C
【解析】椭圆 中， ，
为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，
由椭圆定义知： ．
，
．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
22. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 表示焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
23. 已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项，则
该椭圆的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 是 与 的等差中项，∴ ，即 ，
∴ ， ，∴椭圆的方程为 ．
【标注】【知识点】椭圆的基本量求解
17
