文档内容
函数图象变换
一、 课堂目标
1．掌握函数的平移变换及应用．
2．掌握函数的对称变换及应用．
【备注】目标解读：
关联知识：一次函数、二次函数、平移运动、对称运动．
本讲解读：本讲的重点是掌握一次函数、二次函数的平移变换和对称变换，难点是二次函
数的平移变换与对称变换．
能力素养：本讲主要培养学生直观想象和逻辑推理的能力．
二、 知识讲解
我们已经学会了用描点法画正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象，现在我们进一步探
讨用平移和对称两种图形变换的方法来画函数的图象．
1. 平移变换
平移的定义
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图
形的平移运动，简称平移．平移不改变物体的形状和大小．
【备注】【注意】
①平移是几何变换的一种．通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；
通过几何变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几
何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用
到解题中．
②几何变换包括：平移、轴对称、旋转．
平移的性质
（ ）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．
（ ）平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．
1（ ）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
（ ）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等．
（ ）多次连续平移相当于一次平移．
（ ）偶数次对称后的图形等于平移后的图形．
（ ）平移是由方向和距离决定的．
【备注】【注意】
①平移的两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移
的依据．
②平移的方向不仅仅限于水平或竖直，还可以沿着某条直线平移．
③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，
而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
④要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．
平移变换
所谓平移变换，就是将一个图形上的所有点，沿同一方向移动相同的距离得到一个新的图形．
在坐标平面内，可以从函数图象中点的坐标变化来考察函数图象的整体变化．
例题
1. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）．
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向上平移 个单位 D. 向下平移 个单位
【答案】C
【解析】函数图象平移规律，上加下减，左加右减，故 正确．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 要从 的图象得到直线 ，则需要把 向下平移 个单位．
2【答案】
【解析】略．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 要从 的图象得到直线 的图象，就要把直线 （ ）．
A. 向上平移 个单位 B. 向下平移 个单位 C. 向上平移 个单位 D. 向下平移 个单位
【答案】C
【解析】左加右减，上加下减，把直线 上移 个单位得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
4. 如果通过平移直线 得到 的图象，那么直线 必须（ ）．
A. 向上平移 个单位 B. 向下平移 个单位 C. 向上平移 个单位 D. 向下平移 个单位
【答案】C
【解析】 ，故要得到 的图象，那么直线 必须向上平移
个单位．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
例题
5. 把函数 的图象向左平移 个单位所得的函数解析式为（ ）．
A. B. C. D.
3【答案】C
【解析】函数图象与解析式的变换关系：“左加右减，上加下减”
平移后的直线为 ，整理后为 .
【标注】【知识点】一次函数平移变换
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 将一次函数 的图象平移得到图象的函数关系式为 ，则移动方法为（ ）．
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向上平移 个单位长度 D. 向下平移 个单位长度
【答案】D
【解析】∵ ，
∴将一次函数 的图象向左平移 个单位或者向下平移 个单位，可得到函数
．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
例题
7. 将直线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得的直线的表达式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由“左加右减”的原则可知，将直线 向右平移 个单位后所得函数解析式为
，由“上加下减”原则可知，将直线 向上平移 个单位后
所得函数解析式为 ．
4故选 ．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
8. 直线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到直线 的解析式为 ，则直线 的解析
式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线 向上平移 个单位再向左平移 个单位得 ．
∴直线 向上平移 个单位得 ，
向左平移 个单位得 ．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 将 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的直线为 ．
【答案】直线
【解析】
5．
【标注】【知识点】一次函数平移变换
例题
10. 抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】平移口诀“左加右减，上加下减”，
∴ 平移后： ．
故选 ．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 将 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得抛物线解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后顶点坐标为 ， ，
所得的抛物线的解析式为 ．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
例题
12. 把抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的抛物线是（ ）．
6A. B. C. D.
【答案】A
【解析】平移变换规律：上加下减，左加右减．
故选 ．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
【能力】运算能力
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 将抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，那么得到的抛物线的表达式
为 ．
【答案】
【解析】抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到
．
故得到抛物线的解析式为 ．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
例题
14. 把抛物线 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，所得的抛物线的函数
关系式是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
7原抛物线的顶点坐标为 ，向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到新抛物线的顶点坐标为
．可设新抛物线的解析式为： ，代入得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
【能力】运算能力
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长
度，所得的抛物线的解析式是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将抛物线 先向上平移 个单位长度，得到 ，再向左平移
个单位长度，
得到 ．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
2. 对称变换
轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对
称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．
轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条
直线就是它的对称轴．
8轴对称的性质
（ ）关于某条直线对称的两个图形是全等形；
（ ）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；
（ ）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；
（ ）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．
对称变换
所谓对称变换，就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的图形（即两个图形关于此直
线对称）．
例题
16. 直线 关于 轴对称的函数图象的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线 关于 轴对称的函数图象的解析式为 ．
【标注】【知识点】一次函数图象关于坐标轴对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
17. 与直线 关于 轴对称的直线的解析式是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】可从直线 上找两点：
、 这两个点关于 轴的对称点是 、 ，
那么这两个点在直线 关于 轴对称的直线 上，
则 ， ，
9解得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】一次函数图象关于坐标轴对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
18. 若直线 与直线 关于原点对称，则直线 的解析式是 ．
【答案】
【解析】
【标注】【知识点】一次函数图象关于原点对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 已知一次函数 ，则与该一次函数的图象关于 轴对称的一次函数的表达式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】一次函数 的图象关于 轴对称的一次函数的表达式为： ，即
，综上故选 ．
【标注】【知识点】一次函数图象关于坐标轴对称
20. 直线 与直线 关于原点对称，则直线 的解析式为（ ）．
10A. B. C. D.
【答案】C
【解析】关于原点对称的两直线 相同、 互为相反数，则直线 的解析式为 ．
【标注】【知识点】一次函数图象关于原点对称
21. 函数 与函数 的图象关于（ ）对称．
A. 轴 B. 轴 C. 原点 D. 一三象限角平分线
【答案】B
【解析】 时， ，两直线的交点为 ，
当 时， ， 与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，解得 与 轴的交点坐标为 ，
函数 与函数 的图象关于 轴对称．
故选 ．
【标注】【知识点】一次函数图象关于坐标轴对称
例题
22. 函数 的图象先关于 轴对称，再关于 轴对称，得到函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】关于 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
直线 关于 轴对称的直线的解析式为
关于 轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，
直线 关于 轴对称的直线的解析式为 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】一次函数图象关于坐标轴对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
111． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 在平面直角坐标系中，将直线 先关于 轴作轴对称变换，再将所得直线关于 轴作轴对
称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵关于 轴对称的两直线上的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将直线 关于 轴作轴对称变换所得直线的解析式为： ；
∵关于 轴对称的两直线上的点横坐标不变，横坐标互为相反数，
∴将直线 关于 轴作轴对称变换所得直线的解析式为： ，即
．
【标注】【知识点】一次函数图象关于坐标轴对称
例题
24. 抛物线 关于 轴对称的抛物线解析式为 ．
【答案】
【解析】 的顶点坐标为 ，
点 关于 轴对称的点坐标 ，
∴所求抛物线解析式为： ．
【标注】【知识点】二次函数图象关于坐标轴对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
1225. 在平面直角坐标系中，将抛物线 关于 轴作轴对称变换后所得的新抛物线的解
析式为 ．
【答案】
【解析】 的顶点标为： ，关于 轴对称后： ，开口方向和大小均
不变， ，所以变化后： ．
【标注】【知识点】二次函数图象关于坐标轴对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
26. 将二次函数 的图象沿 轴翻折，所得图象的函数表达式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考察二次函数图像变换． 抛物线对称轴不变，
开口由向上变为向下，
顶点变为 ．
【标注】【知识点】二次函数图象关于坐标轴对称
例题
27. 与抛物线 关于 轴对称的抛物线解析式为 ．
【答案】
【解析】利用原抛物线上的关于 轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解
答．
【标注】【知识点】二次函数图象关于坐标轴对称
13思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
28. 与抛物线 关于 轴对称的解析式是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴顶点坐标为 ， ，顶点关于 轴对称为 ， ，
∵关于 轴对称，抛物线开口方向改变，
∴ .
【标注】【知识点】二次函数图象关于坐标轴对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
29. 抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【解析】由题意，得
抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】二次函数图象关于坐标轴对称
14例题
30. 抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，
∴抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式为
故选B．
【标注】【知识点】二次函数图象关于原点对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
31. 将抛物线 关于原点对称，则对称之后抛物线的解析式为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ，
∴顶点坐标为 ， ，
∴关于原点对称后顶点坐标为 ， ，
∵对称后抛物线开口方向发生改变，
∴ .
【标注】【知识点】二次函数图象关于原点对称
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
15练习
32. 已知二次函数 ，则其关于原点对称的二次函数的解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】二次函数解析式转化为顶点式为 ，顶点坐标为 ，
关于原点对称后顶点坐标为 ，开口大小不变，方向改变，
则对称后的解析式是 ，即 ．
【标注】【知识点】二次函数图象关于原点对称
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
33. 直线 关于 轴对称的函数解析式为 ，关于 轴对称的函数解析式为 ，关
于原点对称的函数解析式为 ．
A. ； ； B. ； ；
C. ； ； D. ； ；
16【答案】B
【解析】选B
【标注】【知识点】一次函数图象关于坐标轴对称
34. 已知抛物线的图象与 关于 轴对称，那么这个抛物线的解析式为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，顶点坐标为 ， ，
∴顶点关于 轴对称为 ， ，
∴ .
【标注】【知识点】二次函数图象关于坐标轴对称
35. 要将抛物线 平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（ ）．
A. 向左平移 个单位，再向上平移 个单位 B. 向左平移 个单位，再向下平移 个单位
C. 向右平移 个单位，再向上平移 个单位 D. 向右平移 个单位，再向下平移 个单位
【答案】D
【解析】 ，
该抛物线的顶点坐标是 ，抛物线 的顶点坐标是 ，
则平移的方法可以是：将抛物线 向右移 个单位，再向下平移 个单位．
故选： ．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
36. 把二次函数 的图象经过翻折、平移得到二次函数 的图象，下列对
此过程描述正确的是（ ）．
A. 先沿 轴翻折，再向下平移 个单位 B. 先沿 轴翻折，再向左平移 个单位
C. 先沿 轴翻折，再向左平移 个单位 D. 先沿 轴翻折，再向右平移 个单位
【答案】D
17【解析】 的图像沿 轴翻折，得 ，
再向右平移 个单位，得到 的图像，故选D．
【标注】【知识点】二次函数平移变换
18
