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椭圆的定义与方程【题集】
1. 椭圆的定义
1. 已知点 ， ，点 到两点的距离之和为 ，则动点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆
【答案】A
【标注】【知识点】椭圆的定义；求点的轨迹
2. 平面内有一长度为 的线段 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 直线 B. 射线 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】C
【解析】∵
∴动点 在以 、 为焦点、长轴等于 的椭圆上．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义；求点的轨迹
3. 已知 ， 是顶点， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段
【答案】A
【解析】根据椭圆的定义知，到两定点 ， 的距离之和为 ，
动点 的轨迹是：以 ， 为焦点的椭圆．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
4. 一圆形纸片的圆心为点 ，点 是圆内异于 点的一定点，点 是圆周上一点．把纸片折叠使点 与
重合，然后展平纸片，折痕与 交于 点．当点 运动时点 的轨迹是（ ）.
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
1【答案】B
【解析】把纸片折叠使点 与 重合，折痕为 的中垂线；
点 在圆内，因此 与折痕的交点 必在 之间，
进而可知 ＝ 为定值，
即动点 满足到定点 的距离之和为定值，等于圆的半径，且半径 ，
所以动点 的轨迹是椭圆.
【标注】【知识点】椭圆的定义
5. 如图， 、 分别是半长轴长为 的椭圆的左右焦点， 是椭圆上任意一点， 的中垂线与椭圆的一
个交点为 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 为 中垂线上一点，
则 ，
，
半长轴为 ，则 ，
所以 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
6. 已知平面内动点 到两定点 ， 的距离的和等于常数 ，关于动点 的轨迹正确的说法
是 ．
①点 的轨迹一定是椭圆；
② 时，点 的轨迹是椭圆；
③ 时，点 的轨迹是线段 ；
④点 的轨迹一定存在；
2⑤点 的轨迹不一定存在．
【答案】②③⑤
【解析】由平面内动点 到两定点 ， 的距离的和等于常数 ，可知：
当 时，点 的轨迹是椭圆；
当 时，点 的轨迹是线段 ；
当 时，动点 的轨迹不存在．
由以上结论可知：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．
【标注】【知识点】求点的轨迹；椭圆的定义
2. 椭圆的标准方程
7. 在椭圆 （焦距为 ）中， 满足（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，焦点是 ， ，且 ．
，焦点是 ， ，且 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
8. 分别求出下列椭圆的 ， ， 和焦点坐标：
（ 1 ） ；
（ 2 ） ；
（ 3 ） ．
【答案】（ 1 ） ， ， ，焦点 ．
（ 2 ） ， ， ，焦点 ．
（ 3 ）
， ， 焦点 ．
【解析】（ 1 ） ， ， ，焦点 ．
3（ 2 ）方程可化为 ，
， ， ，焦点 ．
（ 3 ）方程可化为 ，
， ， ，焦点 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
9. 判断下列方程是否表示椭圆，若表示椭圆，请求出 、 、 的值，并写出两个焦点的坐标．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
【答案】（ 1 ）不表示椭圆．
（ 2 ） ， ， ，焦点坐标为 ．
（ 3 ）不表示椭圆．
（ 4 ） ， ， ，焦点坐标为 ．
（ 5 ）
， ， ，焦点坐标为 ．
【解析】（ 1 ）不表示椭圆．
（ 2 ）表示焦点在 轴上的椭圆，
且 ， ， ，焦点坐标为 ．
（ 3 ）不表示椭圆．
（ 4 ） 可化为 ，
它表示焦点在 轴上的椭圆，且 ， ， ，
焦点坐标为 ．
（ 5 ） 可化为 ，
它表示焦点在 轴上的椭圆，且 ， ， ，焦点坐标为
．
4【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程
10. 椭圆 的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知 ，故焦点在 轴上， ， ，故
．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
11. 椭圆 的焦点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，所以焦点坐标为 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
12. 椭圆 的焦距为 ．
【答案】
【解析】因为椭圆： ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆的焦距为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
13. 椭圆 的焦距为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
5【解析】由椭圆方程 可知，
，
，
∴ ，即 ，
∴焦距 ．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
14. 若椭圆 的焦距等于 ，则 的值为（ ）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】 椭圆 的焦距为 ，
若椭圆的焦点在 轴上，则 ，解得 ；
若椭圆的焦点在 轴上，则 ，解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
15. 已知椭圆： 的焦距为 ，则 为 ．
【答案】 或
【解析】由题意，焦点在 轴上， ，所以 ；
焦点在 轴上， ，所以 ，
综上， 或 ．
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
16. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
6【解析】由方程 ，化为 ．
方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
，化为 ，解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
17. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程 ，即为 ，
由题意可得 ，
解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
18. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，
解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
19. 已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
方程可变为 表示椭圆，则 ，
故 ．
7∴满足条件的 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
20. 已知椭圆 的焦点是 、 ，点 在椭圆上，且满足 ，则椭
圆 的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题意， ， ，长袖在 轴上，所以椭圆方程为 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
21. 焦点的坐标分别为 和 ，且过点 的椭圆的方程是 ．
【答案】
【解析】∵ ，且焦点在 轴上，故可设椭圆的方程为 ，
又椭圆过点 ，故有 ，解得 或 ，
又 ，故 ，从而得所求的椭圆的标准方程为 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
22.
已知椭圆的焦点为 ， ，且经过点 ，则椭圆的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵椭圆的焦点为 ， ，且经过点 ，
∴设椭圆方程为 ， ，
且 ，解得 ， ，
∴椭圆的方程为 ．
8故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程
23. 求两焦点间的距离为 ，且经过点 的椭圆的标准方程．
【答案】 或 ．
【解析】由题意知 ，
当椭圆的焦点在 轴上时，设它的标准方程为 ，
此时 ， ， ，
∴所求的椭圆的标准方程为 ．
当椭圆的焦点在 轴上时，设它的标准方程为 ，
此时 ， ， ，
椭圆的标准方程为 ．
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
24. 回答下列各题：
（ 1 ）已知焦点坐标为 ， ，且 的椭圆方程是 ．
（ 2 ）一个动点到两定点 ， 的距离之和为 ，则动点的轨迹方程是 ．
（ 3 ）焦点的坐标分别为 和 ，且过点 的椭圆的方程是 ．
（ 4 ）已知椭圆的焦点在 轴上，椭圆上的点 到右焦点的距离为 ，且点 在椭圆
上，则椭圆 的方程是 ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
【解析】（ 1 ）已知椭圆的焦点在 轴上，且 又 ，故 ，
从而所求的椭圆方程为 ．
9故答案为： ．
（ 2 ）设动点 ，
∵动点到两定点 ， 的距离之和为 ，
∴ ，
∴动点 的轨迹为椭圆，且 ， ．
∴ ， ， ．
又此椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的方程为 ．
故答案为： ．
（ 3 ）∵ ，且焦点在 轴上，故可设椭圆的方程为 ，
又椭圆过点 ，故有 ，解得 或 ，
又 ，故 ，从而得所求的椭圆的标准方程为 ．
故答案为： ．
（ 4 ）由题意知 ，且 ，所以 ．
故所求椭圆方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；椭圆的标准方程
25. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） ，焦点在 轴上；
（2） ，焦点在 轴上；
（3）焦点为 ，且经过点 ．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1） （2） （3）
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
26. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 为 上不同于 、 的任意一点，则直
线 、 的斜率之积为（ ）．
A. B. C. D.
10【答案】C
【解析】由题意得，椭圆 焦点在 轴上， ， ，
设 ， ， ，
直线 的斜率 ， 的斜率为 ，
又点 在椭圆上，
∴ ， ，
∴ ，
直线 、 的斜率之积 ．
故选 ．
【标注】【知识点】斜率计算；椭圆的标准方程
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