文档内容
椭圆的性质
一、 课堂目标
1．从范围，对称性，顶点，离心率几个角度出发研究并掌握椭圆的基本性质．
2．能够实现椭圆的标准方程和椭圆的几何性质之间的灵活转化．
二、 知识引入
复习回顾
1.椭圆的定义及标准方程
复习回顾
2.圆的基本性质：
（1）半圆或直径所对的圆周角是直角．
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
（3）同圆或等圆的半径相等．
（4）过三个点一定可以作一个圆．
（5）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
（6）经过圆心平分弦的直径垂直于弦．
那么，我们来思考一下，椭圆有哪些性质呢？本节课我们就来学习椭圆的性质．
三、 知识讲解
11. 范围
由方程 知，
椭圆 上任意一点的坐标 都适合不等式 ， ．
解得： ， ．
这说明：
①椭圆 位于直线 和 围成的矩形内，如下图：
②椭圆上任意一点的横纵坐标都是有范围的，有时候会将所求解的问题量化为关于 或 的函数，此时的
隐含条件是函数的定义域可由上得到．
例题
1. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2练习
3. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 对称性
椭圆 既是分别以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．椭圆
的对称中心叫做椭圆的中心．
这个性质的直接应用如下：
若点 在椭圆 上，则点 、 、 也在椭圆 上．
例题
4. 已知椭圆 ， 、 、 、 四个点中
恰有三个点在椭圆 上，则椭圆 的方程是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5.
已知椭圆 ，四点 ， ， ，
中恰有三点在椭圆 上，则 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
例题
6. 已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，如果 是直角三角
形，这样的点 有（ ）个．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
32． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 已知椭圆 上一点 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若 为直角三角形，则
满足条件的点 有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 顶点
利用椭圆 的标准方程 可以求出它与对称轴的四个交点的坐标：
令 ，得 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，分别是 ， ；
令 ，得 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，分别是 ， ．
即 ， ， ， ，这四个点叫做椭圆的顶点，线段 叫做椭圆的长
轴，它的长度等于 ；线段 叫做椭圆的短轴，它的长等于 ．显然，椭圆的两个焦点在它的长轴
上． ， 分别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长．
例题
8. 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 椭圆 的短轴端点坐标是（ ）．
A. ， B. ，
C. D. ，
，
例题
410. 已知椭圆 ， ，则（ ）．
A. 与 顶点相同 B. 与 长轴长相同 C. 与 短轴长相同 D. 与 焦距相等
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
11. 椭圆 的长轴和短轴的长分别是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 椭圆 的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 椭圆 的短轴长为（ ）．
A. B. C. D.
14. 已知椭圆方程为 ，则椭圆的长轴长为（ ）．
A. B. C. D.
例题
15. 中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，则椭圆的方程是（ ）．
A. B. C. D.
5思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
16. 与椭圆 有相同焦点，且短轴长为 的椭圆方程是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
17. 中心在原点，焦点在 轴，且长轴长为 ，焦距为 的椭圆的标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
18. 若椭圆对称中心在原点，焦距为 ，短轴的一个顶点坐标为 ，其标准方程是（ ）．
A. B. C. D.
19.
已知椭圆的长轴为短轴的 倍，焦点在 轴上，且过点 ，则该椭圆的标准方程为（
）．
A. B. C. D.
4. 离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值 叫做椭圆的离心率．
离心率有如下的性质：
① ；
② 越大，椭圆越扁平， 越小，椭圆越接近于圆．
例题
20. 椭圆 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
6思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
21. 已知椭圆长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
22. 椭圆 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
23. 椭圆 的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
例题
24. 回答下列各题：
（ 1 ）已知椭圆的一个焦点为 ，离心率为 ，则该椭圆的标准方程为 ．
（ 2 ）
已知椭圆的离心率 ，长半轴 ，则焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
25.
7已知椭圆的长轴长是 ，离心率是 ，则此椭圆的标准方程是（ ）．
A. 或 B.
C. D. 或
例题
26. 椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
27. 若椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ）．
A. B. 或 C. 或 D. 或
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
28. 已知点 在椭圆 上，则（ ）．
A. 点 不在椭圆上
B. 点 不在椭圆上
C. 点 在椭圆上
D. 无法判断点 ， ， 是否在椭圆上
29. 若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
830. 椭圆 的长轴长为 ，左顶点的坐标为 ．
31. 椭圆 的长轴长是 ，离心率是 ．
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