文档内容
椭圆的性质
一、 课堂目标
1．从范围，对称性，顶点，离心率几个角度出发研究并掌握椭圆的基本性质．
2．能够实现椭圆的标准方程和椭圆的几何性质之间的灵活转化．
【备注】目标解读：
关联知识：椭圆的定义和方程．
本讲解读：本讲的重点是掌握椭圆的范围、对称性、求顶点坐标以及离心率；难点是椭圆
性质的综合问题．
能力素养：本讲主要培养学生数学运算和逻辑推理的能力．
二、 知识引入
复习回顾
1.椭圆的定义及标准方程
复习回顾
2.圆的基本性质：
（1）半圆或直径所对的圆周角是直角．
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
（3）同圆或等圆的半径相等．
（4）过三个点一定可以作一个圆．
（5）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
1（6）经过圆心平分弦的直径垂直于弦．
那么，我们来思考一下，椭圆有哪些性质呢？本节课我们就来学习椭圆的性质．
三、 知识讲解
1. 范围
由方程 知，
椭圆 上任意一点的坐标 都适合不等式 ， ．
解得： ， ．
这说明：
①椭圆 位于直线 和 围成的矩形内，如下图：
②椭圆上任意一点的横纵坐标都是有范围的，有时候会将所求解的问题量化为关于 或 的函数，此时的
隐含条件是函数的定义域可由上得到．
例题
1. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程 ，即为 ，
由题意可得 ，
解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
2思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵方程 ，
即 表示焦点在 轴上的椭圆，
∴ ，故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由方程 ，化为 ．
方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
，化为 ，解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
32. 对称性
椭圆 既是分别以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．椭圆
的对称中心叫做椭圆的中心．
这个性质的直接应用如下：
若点 在椭圆 上，则点 、 、 也在椭圆 上．
例题
4. 已知椭圆 ， 、 、 、 四个点中恰有三个点在
椭圆 上，则椭圆 的方程是 ．
【答案】
【解析】根据对称性可知， 、 必在椭圆上，
又点 横坐标为 ，故 不在椭圆上，
∴ 在椭圆上，
∴ ，
∴ ，
代入 ，
，
得 ，
∴方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5.
4已知椭圆 ，四点 ， ， ， 中恰有三点在
椭圆 上，则 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆对称性可知， 与 只有 个点在椭圆上， 与 要么都在，要么都不在，
∴只能 ， ， 在椭圆上，
∴ 代入得 ，
代入 ，得 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
例题
6. 已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，如果 是直角三角形，这
样的点 有（ ）个．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆 的 ， ， ．
∵ 是直角三角形．
∴若 ，则有两个．
若 ，则有两个．
若 ，由于 ，以 为直径的圆与椭圆交于两点，则有两个．
共有 个．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的对称性
思路梳理
本题所考查的知识点：
51． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 已知椭圆 上一点 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若 为直角三角形，则满足
条件的点 有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】当 为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点 有两个；
同理当 为直角时，这样的点 有两个；
由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，
这里这个角恰好是直角 ，这时这样的点 也有两个．
故符合要求的点 有六个．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的对称性
3. 顶点
利用椭圆 的标准方程 可以求出它与对称轴的四个交点的坐标：
令 ，得 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，分别是 ， ；
令 ，得 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，分别是 ， ．
即 ， ， ， ，这四个点叫做椭圆的顶点，线段 叫做椭圆的长轴，它的
长度等于 ；线段 叫做椭圆的短轴，它的长等于 ．显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上． ， 分
别是椭圆的长半轴的长和短半轴的长．
例题
8. 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ） ； ， ．
6（ 2 ） ； ， ．
【解析】（ 1 ） ， ， ，椭圆的焦点在 轴上，故它的焦距为 ，顶点坐标
为 ， ．
（ 2 ） ， ， ，椭圆的焦点在 轴上，故它的焦距为 ，顶点坐标为
， ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 椭圆 的短轴端点坐标是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】由椭圆 ，得 ，
∴ ，得 ．
则椭圆短轴端点得坐标为 ， ．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
例题
10. 已知椭圆 ， ，则（ ）．
A. 与 顶点相同 B. 与 长轴长相同 C. 与 短轴长相同 D. 与 焦距相等
【答案】D
7【解析】因为椭圆 ，
所以 ， ， ，
椭圆 ，
所以 ， ， ，
所以两个椭圆有相同的焦距．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
11. 椭圆 的长轴和短轴的长分别是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ，
∴ 的长轴和短轴的长分别是 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 椭圆 的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 的值为（ ）．
8A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 即 ，
∵ 双曲线焦点在 轴上，
∴ 长轴 ，短轴
∴ ，解得 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 椭圆 的短轴长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在椭圆中 ， ，
∴ ，
故短轴长为 ，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的顶点与轴
14. 已知椭圆方程为 ，则椭圆的长轴长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵椭圆方程为 变形为 ，
9则 ，
∴该椭圆的长轴长为 ，故 正确．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程
例题
15. 中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，则椭圆的方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ， ，∴ ， ，∴椭圆的方程是 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
16. 与椭圆 有相同焦点，且短轴长为 的椭圆方程是 ．
【答案】
【解析】设与椭圆 有相同焦点的椭圆方程为 ．
椭圆的短轴长为 ，
，解得 ，
所求椭圆的方程为 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
103． __________________________________
练习
17. 中心在原点，焦点在 轴，且长轴长为 ，焦距为 的椭圆的标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆中心在 ，焦点在 轴，且长轴长为 ，焦距为 ，
则 ，即 ， ，即 ，
，
所以椭圆标准方程为 ．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的顶点与轴
18. 若椭圆对称中心在原点，焦距为 ，短轴的一个顶点坐标为 ，其标准方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意知 ， ，焦点在 轴上，
∴ ， ，
∴ ，
∴椭圆的标准方程是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程
19.
已知椭圆的长轴为短轴的 倍，焦点在 轴上，且过点 ，则该椭圆的标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知设椭圆方程为 ，
11∵椭圆的长轴为短轴的 倍，焦点在 轴上，且过点 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴该椭圆的标准方程为 ．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程
4. 离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值 叫做椭圆的离心率．
离心率有如下的性质：
① ；
② 越大，椭圆越扁平， 越小，椭圆越接近于圆．
例题
20. 椭圆 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 可得 ， ，所以 ，所以 ，所以
．故答案为 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
21. 已知椭圆长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
12【答案】A
【解析】∵椭圆的长轴长是短轴长的 倍，
∴ ，得 ，
又∵ ，
∴ ，可得 ，
因此椭圆的离心率为 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求椭圆的离心率
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
22. 椭圆 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆 ，可得 ， ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
则椭圆 的离心率为
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求椭圆的离心率
23. 椭圆 的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
13【答案】A
【解析】由椭圆 ，可得 ，
∴ ，解得c=3．
∴椭圆的离心率 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
例题
24. 回答下列各题：
（ 1 ）已知椭圆的一个焦点为 ，离心率为 ，则该椭圆的标准方程为 ．
（ 2 ）已知椭圆的离心率 ，长半轴 ，则焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 ．
【备注】【注意】老师在讲解第（2）问时，根据离心率可以先求出 , 然后再根据
，可求出 .
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）根据题意，椭圆的一个焦点为 ，则其焦点在 轴上，
可以设其标准方程为： ，
其焦点坐标 ，则 ，
又由其离心率 ，即 ，
则 ，
，
故其标准方程为： ．
故答案为： ．
（ 2 ）利用已知条件求出椭圆的几何量，求出椭圆方程即可．
（ 3 ）利用离心率的计算公式及其已知即可得出．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率；椭圆的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
142． __________________________________
3． __________________________________
练习
25. 已知椭圆的长轴长是 ，离心率是 ，则此椭圆的标准方程是（ ）．
A. 或 B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】∵椭圆的长轴长是 ，离心率是 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当椭圆的焦点在 轴上时，其方程为 ，
当椭圆的焦点在 轴上时，其方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
例题
26. 椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】若 ， ，则 ，
由 ，即 得 ；
若 ， ，则 ，
由 ，即 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知椭圆的离心率求其他参数
思路梳理
15本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
27. 若椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ）．
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】当 时，焦点在 轴上， ， ， ， ，
则 ，解得： ，
当 时，焦点在 轴上， ， ，
， ，
则 ，解得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的定义
【知识点】椭圆的标准方程
【知识点】求椭圆的离心率
【素养】数学抽象
【素养】数学运算
【素养】逻辑推理
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
16五、 出门测
28. 已知点 在椭圆 上，则（ ）．
A. 点 不在椭圆上
B. 点 不在椭圆上
C. 点 在椭圆上
D. 无法判断点 ， ， 是否在椭圆上
【答案】C
【解析】∵点 在椭圆 上，椭圆的中心在原点，关于原点中心对称且关于 轴， 轴
对称，
∴ ， ， 均在椭圆上．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的对称性
29. 若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可知 ， ，故 ，所以 ，即
． 故选 ．
17【标注】【知识点】求椭圆的离心率
30. 椭圆 的长轴长为 ，左顶点的坐标为 ．
【答案】 ;
【解析】由椭圆 可知，椭圆焦点在 轴上，
∴ ，
∴长轴长 ，左顶点的坐标为 ．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
31. 椭圆 的长轴长是 ，离心率是 ．
【答案】 ;
【解析】由题意知： ， ，所以 ，长轴长 ；
离心率 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率；椭圆的顶点与轴
18
