文档内容
函数的单调性
一、 课堂目标
1．理解增函数，减函数的概念．
2．能够运用定义判断或者证明某些函数的单调性，会求解一些简单函数的单调区间．
3．能够利用函数的单调性求解函数的最值．
二、 知识引入
情境引入：
情境引入：
德国著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了研究.他经过测试，得到了有趣的数据：
1情境引入：
某明星企业最近五年的销售业绩
情境引入：
观察下面的函数图像，你能说说它们反映了函数的哪些变化规律么？
三、 知识讲解
1. 增函数与减函数的定义
一般地，设 的定义域为 :
（1）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，
那么就说函数 在区间 上是单调增函数，如下图，增函数 的图象在其对应区间内呈上升趋势．
2（2）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，
那么就说函数 在区间 上是单调减函数，如下图，增函数 的图象在其对应区间内呈下降趋势．
2. 单调性与单调区间
单调区间的定义
如果函数 在区间 上是单调增（减）函数，那么就说函数 在区间 上具有严格的单调
性，此时区间 叫做函数 的单调增（减）区间．
单调区间的写法
（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“ ”而是要用“和”或者“，”连接.
比如 在区间 和 上都是减函数，但是不能说它在 上是减函
数．
具体的区别需要看函数在端点处是否是连续的，而这种讨论比较复杂．
（2）书写函数的单调区间时，区间端点的开或者闭并没有严格的规定，习惯上来说，若函数在区间端
点有意义，则单调区间写成开和闭都可以，但是若在区间端点处没有意义，则必须写成开区间.
比如对于函数 ，其单调减区间可以写成 ，也可以写成 ，但是 的单调减区
间只能写成 而不能写成 ．
例题
1. 如图所示的是定义在区间 上的函数 的图像，则下列关于函数 的说法错误的是（
）．
3y
3
2
1
x
–5–4–3–2–1O 1 2 3 4 5 6
–1
–2
–3
A. 函数在区间 上单调递增 B. 函数在区间 上单调递增
C. 函数在区间 上单调递减 D. 函数在区间 上没有单调性
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 下列函数 图像中，满足 的只可能是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 已知函数 的图像如图所示，写出函数 的单调区间．
单调递增区间为： ；单调递减区间为： ．
y
x
O
例题
44. 在区间 上不是增函数的是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
5. 下列函数中，在区间 上是减函数的是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 下列四个函数中，在 上单调递增的是（ ）．
A. B. C. D.
7. 下列四个函数中，在 上为增函数的是（ ）．
A. B. C. D.
例题
8. 已知函数 ， 为减函数，则 的取值范围（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
59. 若函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是 ．
例题
10. 已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 已知函数 ，且 ，求 的取值范围．
3. 函数单调性的判断与证明
依据函数单调性的定义判断函数的单调性的步骤如下：
第一步：取值，在指定的区间任取 ，且令 ；
第二步：作差，构造差式 ，带入函数解析式进行化简变形，通常的手段为因式
分解，通分，配方，有理化等等，目的是将差式分解为连乘积的形式，方便判断符号；
第三步：定号，第二步完成顺利的情况下，利用已知的 以及定义域再结合其他条件判断差式
的符号，如果能够判定符号，直接进行第四步，如果不能判定，可能还需要将区间细分
或者分类讨论，直到可以确定差的符号为止；
第四步：判断，判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义．
例题
12. 判断下列函数在定义域 上是单调递增的为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
613. 证明：函数 在 上单调递减．
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
练习
14. 求证：函数 在 上是减函数．
15. 用定义证明：函数 在区间 上单调递增．
4. 函数的最值
函数最大值的定义：
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
①对于任意的 ，都有 ．
②存在 ，使得 ．
此时，我们称 是函数 的最大值．
思考：最小值怎么求解呢？
将最大值定义①中的“ ”改成“ ”，就相应得到了最小值的定义．
例题
16. 已知函数 ．
（ 1 ）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明你的结论．
（ 2 ）求该函数在区间 上的最大值与最小值．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
717. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求函数 的最值．
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
18. 下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）．
A. B. C. D.
19. 函数 的单调递减区间为（ ）．
A. B. C. D.
20. 已知 ．
（ 1 ）判断 在 的单调性，并用定义加以证明．
（ 2 ）求函数 在 的最值．
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