文档内容
函数的单调性
一、 课堂目标
1．理解增函数，减函数的概念．
2．能够运用定义判断或者证明某些函数的单调性，会求解一些简单函数的单调区间．
3．能够利用函数的单调性求解函数的最值．
【备注】目标解读：
关联知识：函数及其运算、三角函数、数列、导数．
本讲解读：本讲的重点是增函数、减函数的定义，掌握单调性的定义以及单调区间的含
义；难点是判断函数单调性、求函数最值问题．
能力素养：数学运算、数学抽象．
二、 知识引入
情境引入：
情境引入：
德国著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了研究.他经过测试，得到了有趣的数据：
1【备注】引导学生观察图象变化趋势
情境引入：
某明星企业最近五年的销售业绩
情境引入：
观察下面的函数图像，你能说说它们反映了函数的哪些变化规律么？
三、 知识讲解
1. 增函数与减函数的定义
2一般地，设 的定义域为 :
（1）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，
那么就说函数 在区间 上是单调增函数，如下图，增函数 的图象在其对应区间内呈上升趋势．
（2）如果对于定义域 内某个子区间 上的任意两个自变量 ，当 时均有 ，
那么就说函数 在区间 上是单调减函数，如下图，增函数 的图象在其对应区间内呈下降趋势．
【备注】【教师可见】
（1）“定义域 内某个子区间 ”说明函数的某个单调区间是其定义域的一个子集．
（2）增、减函数的定义中的 需要满足三个条件：一是任意性，即不能用特殊值替
代；二是具有大小，至于谁大谁小可自行规定；三是必同属于规定的子区间 ．
（3） 自变量取值之间的大小关系和函数值取值之间的大小关系可以正逆互推，即若
是单调增（减）函数，则 ．
2. 单调性与单调区间
单调区间的定义
如果函数 在区间 上是单调增（减）函数，那么就说函数 在区间 上具有严格的单调
性，此时区间 叫做函数 的单调增（减）区间．
3【备注】
【教师可见】
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数的单调性一定是针对某一个特定区间
来说的，否则没有意义，例如函数 在 上是减函数，而在 上是增函
数．
（2）有的函数时不具备单调性的，比如 ，它的定义域并非连续区间，也不
能说它在定义域上具有单调性．
（3）若函数 在区间 上是单调（减）函数，那么对于任一 的子区间，函数
仍是单调（减）函数．
单调区间的写法
（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“ ”而是要用“和”或者“，”连接.
比如 在区间 和 上都是减函数，但是不能说它在 上是减函
数．
具体的区别需要看函数在端点处是否是连续的，而这种讨论比较复杂．
（2）书写函数的单调区间时，区间端点的开或者闭并没有严格的规定，习惯上来说，若函数在区间端
点有意义，则单调区间写成开和闭都可以，但是若在区间端点处没有意义，则必须写成开区间.
比如对于函数 ，其单调减区间可以写成 ，也可以写成 ，但是 的单调减区
间只能写成 而不能写成 ．
例题
1. 如图所示的是定义在区间 上的函数 的图像，则下列关于函数 的说法错误的是（
）．
y
3
2
1
x
–5–4–3–2–1O 1 2 3 4 5 6
–1
–2
–3
A. 函数在区间 上单调递增 B. 函数在区间 上单调递增
C. 函数在区间 上单调递减 D. 函数在区间 上没有单调性
【答案】C
【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“ ”连接．故选 ．
【标注】【知识点】求单调区间
4思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 下列函数 图像中，满足 的只可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 可得，
函数是先减后增型，故排除 、 ，
由于选项 的图象关于 对称，
在 上单调递减，在 上单调递增，
有 ，故排除 ，
由于 图象在 上递减且递减较快，
在 上单调递增，递增较慢，
可能满足 ，
故选： ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题；单调性；图象法
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
53. 已知函数 的图像如图所示，写出函数 的单调区间．
单调递增区间为： ；单调递减区间为： ．
y
x
O
【答案】 ;
【标注】【知识点】求单调区间
【素养】直观想象
例题
4. 在区间 上不是增函数的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据一次函数的性质可得 在区间 上是增函数，故排除 ．
根据二次函数的性质可得函数 在区间 上是增函数，故排除 ．
根据反比例函数的性质可得 在区间 上是减函数，故满足条件．
根据二次函数的性质可得函数 在区间 上是增函数，故排除 ，
故选 ．
【标注】【知识点】求单调区间
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
5. 下列函数中，在区间 上是减函数的是（ ）．
A. B. C. D.
6【答案】D
【解析】略
【标注】【知识点】求单调区间
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 下列四个函数中，在 上单调递增的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于 ， 在 上单调递减；
对于 ， 增区间为 ，减区间为 ；
对于 ， 增区间为 ，减区间为 ；
故选 ．
【标注】【知识点】求单调区间
7. 下列四个函数中，在 上为增函数的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 在 上为减函数，∴ 不正确．
∵ 的图象开口向上，对称轴为直线 ．
∴它在 上先减后增，∴ 不正确．
∵ 在 上为增函数，∴ 正确．
∵ 在 上为减函数，∴ 不正确．
7【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
例题
8. 已知函数 ， 为减函数，则 的取值范围（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数 的对称轴为 ，
所以函数在 单调递减，故 ，
所以 ．
【标注】【知识点】二次函数的单调性
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 若函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 的对称轴为 ， ．
【标注】【知识点】已知函数单调性求参数范围
例题
10. 已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
8【解析】∵ 为 上的减函数，
则由 ，
即 ．
∴ ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 已知函数 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】 ．
【解析】∵函数 是增函数且 ．
∴ ．
解得： ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
3. 函数单调性的判断与证明
依据函数单调性的定义判断函数的单调性的步骤如下：
第一步：取值，在指定的区间任取 ，且令 ；
第二步：作差，构造差式 ，带入函数解析式进行化简变形，通常的手段为因式
分解，通分，配方，有理化等等，目的是将差式分解为连乘积的形式，方便判断符号；
【备注】【教师可见】
（1）第一步中的 的大小规定对最后的结论并无影响．
（2）在第二步中的变形中一般尽量化成几个最简因式的积或者若干完全平方式的形式．
9第三步：定号，第二步完成顺利的情况下，利用已知的 以及定义域再结合其他条件判断差式
的符号，如果能够判定符号，直接进行第四步，如果不能判定，可能还需要将区间细分
或者分类讨论，直到可以确定差的符号为止；
第四步：判断，判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义．
例题
12. 判断下列函数在定义域 上是单调递增的为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；求具体函数（包括复合函数）的定义域
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
13. 证明：函数 在 上单调递减．
【答案】证明见解析．
【解析】设 ， 是 上的任意两个不相等的实数，且 ，
则 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递减．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
10练习
14. 求证：函数 在 上是减函数．
【答案】证明见解析．
【解析】任取 ，
因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ．故 ．
即 在区间 上是减函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
15. 用定义证明：函数 在区间 上单调递增．
【答案】证明见解析．
【解析】证明：取 ，且 ， ，
，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
4. 函数的最值
函数最大值的定义：
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
11①对于任意的 ，都有 ．
②存在 ，使得 ．
此时，我们称 是函数 的最大值．
思考：最小值怎么求解呢？
【备注】【教师可见】
（1） 首先是一个函数值，他是函数 值域中的一个元素，如 的
最大值是 ，且 ，注意对②中“存在”一词的理解；对于定义域内全部元素，都有
成立，“任意”是说每一个值都必须满足上述不等式．
（2）①和②两个条件缺一不可，只有①， 未必是最大值，如 ，对
任意 ，都有 成立，但是 并不是最大值，否则大于零的任意实数都变成
的最大值了，最大值其实是集合 中的最小元素，因此只能有一个．
将最大值定义①中的“ ”改成“ ”，就相应得到了最小值的定义．
【备注】【教师可见】
老师带领学生意思写出计算步骤.
例题
16. 已知函数 ．
（ 1 ）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明你的结论．
（ 2 ）求该函数在区间 上的最大值与最小值．
【答案】（ 1 ）增函数，证明见解析．
（ 2 ） ， ．
【解析】（ 1 ）因为 ，
所以 在 上为增函数，
任取 ， ，且 ，
．
∵ ， ，
所以， ， ，
所以函数 在 上是增函数．
（ 2 ）由（ ）得，函数 在 上是增函数，所以 在 上是增函数，
12故最大值为 ，
最小值为 ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
17. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求函数 的最值．
【答案】（ 1 ）最小值为 ，最大值为 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 时， ， ，
对称轴 ，
则 在 单调递减，在 单调递增．
， ， ，
∴ 值域为 ，
∴ 最小值为 ，最大值为 ．
（ 2 ） 对称轴为 ，开口向上，
，
又 在区间 上是单调函数，
则 图象与区间 关系如下所示：
13故 或 ，
∴ 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式；定轴定区间求值域
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
14五、 出门测
18. 下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知：
： ，为一次函数，易知在区间 上为减函数；
： ，为幂函数，易知在区间 上为增函数；
： ，为二次函数，开口向上，对称轴为 ，
∴在区间 上为减函数；
： ，为反比例函数，易知在 和 为单调减函数，
∴函数在 上为减函数．
故选 ．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
【素养】数学运算
19. 函数 的单调递减区间为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得函数的定义域为 ．
结合二次函数 的性质，可知函数 在 上单调递减，在 上单
调递增．
【标注】【知识点】判断复合函数单调性
20. 已知 ．
（ 1 ）判断 在 的单调性，并用定义加以证明．
（ 2 ）求函数 在 的最值．
【答案】（ 1 ）单调递增；证明见解析．
15（ 2 ）最大值为 ，最小值为 ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ 为奇函数，
∴ 在 的单调性相同，
在区间 上任取 ， ，
令 ，
作差：
，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 在 单调递增．
（ 2 ）∵ 在 上单调递增，
∴ 的最大值为 ，
最小值为 ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；用定义法证明函数的单调性
16
