文档内容
函数的奇偶性
一、 课堂目标
1．掌握函数的奇偶性的概念．
2．掌握具有奇偶性的函数的运算和图象上的性质．
3．掌握函数奇偶性的判断方法．
【备注】目标解读：
关联知识：函数及其运算、三角函数、数列、导数．
本讲解读：本讲的重点是奇函数、偶函数的定义，掌握奇偶性的运算和图像性质，难点是
判断函数奇偶性的方法步骤．
能力素养：数学运算、数学抽象．
二、 知识引入
情境引入：
思考：什么叫做轴对称图形？
如果把一个图形沿一条直线折起来，直线两侧部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
情景引入：
1思考：什么叫做中心对称图形？
如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图
形．
情境引入：
观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类
【备注】①③④是关于y轴对称，②⑤⑥是关于原点对称．
三、 知识讲解
1. 函数的奇偶性
2一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么 就叫做奇函数．
一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么 就叫做偶函数．
如果函数 是奇函数或者偶函数，我们就说函数 具有奇偶性．
【备注】【教师可见】
（1）函数奇偶性与单调性的差异：函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言，这一点与
研究函数的单调性不同．从这个意义上来说，函数的单调性时函数的“局部”性质，而函
数的奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数的定义域内每一个 ，都有
（ ）才能说函数是奇（偶）函数．
（2）从函数的奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数有以下特点：
①其定义域关于原点对称：在奇函数和偶函数的定义中，若 是其定义域内的一个数值，则
必然也在其中，也就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐
标原点对称，否则就不满足奇函数或者偶函数的初始条件，即这个函数既不是奇函数也不
是偶函数（非奇非偶函数）．例如 是偶函数，而在 上则无奇偶性可
言．
②同为奇函数的偶函数的函数是存在的，即 ，但是此时仍然要满足 定义域关
于原点对称．
③若奇函数在原点有定义，则 ．
例题
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
1. 判断下列函数的奇偶性
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨ ⑩
（ 1 ）奇函数：
（ 2 ）偶函数：
（ 3 ）既是奇函数，也是偶函数：
（ 4 ）既不是奇函数，又不是偶函数：
【答案】（ 1 ）①⑦⑧
（ 2 ）③⑤⑧⑨
3（ 3 ）⑧
（ 4 ）②④⑥⑩
【解析】（ 1 ）奇函数：①、⑦、⑧.
故答案为：①、⑦、⑧.
（ 2 ）偶函数：③、⑤、⑧、⑨.
故答案为：③、⑤、⑧、⑨.
（ 3 ）既是奇函数，也是偶函数：⑧.
故答案为：⑧.
（ 4 ）既不是奇函数，又不是偶函数：②、④、⑥、⑩.
故答案为：②、④、⑥、⑩.
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 的定义域为 ，不对称．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
3. 函数 是（ ）．
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
4【解析】易得函数 定义域为 ，
，
∴ 是偶函数．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
例题
4. 若 是定义在 上的偶函数，则 ．
【答案】
【解析】∵ 是定义在 上的偶函数，
∴ ，
即 ，
即 恒成立，
故 ，
故 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
5. 、 均是奇函数， ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】 ，∴ ．
又∵ 、 为奇函数，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
5【标注】【知识点】奇偶性
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 已知函数 是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】定义域为 ，关于原点对称
法一：由 是奇函数，∴ ， 即
，整理得 ， 由于上式对 定义域中任意 恒成立，∴
.
法二：特殊值法 由题意， ，即 ，解得 ；
法三：根据 . ∵ 在 的定义域内，∴ ，即 ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
2. 函数奇偶性的运算性质
下表是函数奇偶性的运算性质，这些运算性质均可以由奇偶性的基本定义推导而来
设 ， 的定义域分别为 ， ，则在公共定义域上，有如下结论：
6偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数 奇函数
偶函数 不能确定 不能确定 奇函数
偶函数 不能确定 不能确定 奇函数
偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
偶函数 偶函数 偶函数 奇函数
【备注】【教师可见】
推导举例：
可用第一个知识点中奇函数、偶函数的定义判断.
例题
7. 设函数 和 分别是 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
【答案】A
【解析】函数 和 分别是 上的偶函数和奇函数，
则 、 也为偶函数，
则 是偶函数，故 满足条件；
是偶函数，故 不满足条件；
与 的奇偶性均不能确定．
故选 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
7练习
8. 设函数 、 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是（
）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数
【答案】C
【解析】∵ 是奇函数， 是偶函数，
∴ ， ，
，故函数是奇函数，故 错误；
为偶函数，故 错误；
是奇函数，故 正确；
为偶函数，故 错误；
故选 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
3. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于 轴成轴对称图形，反之亦然．
根据上面的结论，因此在研究奇（偶）函数的性质时，只需要研究函数在 或者 上的性
质即可，然后利用结论可以得到函数在整个定义域内的性质（图象）．
根据奇偶函数图象的对称性可知，
若 在奇函数 的图象上，则 也在 的图象上，而 和
是关于原点对称的两个点（原点为其中点），因此不难得出奇函数的图象是由无数对这样
的点构成，故整体也关于原点对称．
对于偶函数，做同样的讨论也能得出：若 在偶函数 的图象上，则 也在
的图象上．
例题
9. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）．
A. B.
8C. D.
【答案】B
【解析】图象 不关于 轴或原点对称，
图象 出现了“一对多”的情况，不是函数的图象．
中函数图象关于 轴对称，是偶函数．
故选 ．
【标注】【知识点】奇偶性的概念
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
10. 函数 的图象关于（ ）．
A. 轴对称 B. 坐标原点对称 C. 直线 对称 D. 直线 对称
【答案】B
【解析】函数
的定义域为 且 ，
由 ，
9可得 为奇函数，
则函数 的图象关于坐标原点对称．
故选： ．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
11. 下列结论正确的是（ ）．
A. 偶函数的图象一定与 轴相交 B. 奇函数 在 处有意义，则
C. 定义域为 的增函数一定是奇函数 D. 图象过原点的单调函数一定是奇函数
【答案】B
【解析】略
【标注】【知识点】抽象函数；函数单调性与奇偶性综合问题
【素养】逻辑推理；数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. 函数 的图象关于（ ）．
A. 坐标原点对称 B. 轴对称 C. 直线 对称 D. 直线 对称
【答案】A
10【解析】∵ ，
∴函数 为奇函数，
∵奇函数的图象关于原点对称，
故选 ．
【标注】【知识点】奇偶性；函数对称性与奇偶性综合问题
13. 下列结论中正确的是（ ）．
A. 偶函数的图象一定与 轴相交 B. 奇函数 在 处有定义，则
C. 奇函数 的图象一定过原点 D. 图象过原点的奇函数必是单调函数
【答案】B
【解析】对于选项 ．举例函数 是偶函数，但不与 轴相交，故 错误；
对于选项 ．若奇函数 在 时有定义，则 ，所以 ，故 正确；
对于选项 ．函数 是奇函数，但不过原点，故 错误；
对于选项 ．函数 是奇函数，但不是单调函数，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】奇偶性的概念
例题
14. 已知奇函数 在 时的图像如图所示，则不等式 的解集为 ．
【答案】 或
【解析】方法一：因为 是奇函数，则 是偶函数，解集为 或
．
方法二：∵ ，
①当 时， ，
结合函数的图象可得， ，
11② 时， ，
根据奇函数的图象关于原点对称可得， ，
∴不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 设奇函数 的定义域为 ，当 时，函数 的图象如图所示，则使函数值
的解集为 ．
【答案】
【解析】当 时， ， ，∴ ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ， ，∴ ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】奇偶性
例题
1216. 设偶函数定义域为 ，当 时， 为增函数，则 ， ， 的大小关系为
（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ，
，
∵ 在 上增，
∴ ，
即 ．
【标注】【知识点】用单调性比较大小
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
17. 若偶函数 在 上是减函数，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】略
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
4. 证明函数奇偶性的方法步骤
（1）求函数 的定义域
13（2）若函数的定义域不关于原点对称，则直接下结论，函数 既不是奇函数也不是偶函数；若关于
原点对称，则进行下一步．
（3）求出 ．
（4）根据 与 的关系，判断函数 的奇偶性．
【备注】【教师可见】此处判断 与 的关系常用的手段是，判断 与 的关系
或 与 的关系（ 非零的情况下）．
例题
18. 已知函数 ，判断函数 的奇偶性．
【答案】奇函数．
【解析】 的定义域为
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上， 是奇函数.
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19.
函数 是（ ）．
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
【答案】A
14【解析】由 ，得 ，
由 ，得 ，
∴ 或 ．
又 ，
∴ 为奇函数．
故选 ．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
20. 证明：
（ 1 ） 是偶函数．
（ 2 ） 是奇函数．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）定义域为 ，
，
∴ 为偶函数．
（ 2 ）定义域为 ，
．
∴ 为奇函数．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
15五、 出门测
21. 对于定义在 上的函数 ，下列判断正确的是（ ）．
①若 ，则 是偶函数；
②若 ，则 不是偶函数；
③若 ，则 不是奇函数；
④若 ，则 是奇函数．
A. ①②③④ B. ②③④ C. ② D. ①②
【答案】C
【解析】
对于①，令 ，
为定义在 上的函数，且满足 ，
但函数 不是偶函数，故①错误；
对于②，对于定义在 上的函数 ，满足
16假设 是偶函数，则
这与 矛盾，故假设不成立，
函数 不是偶函数，故②正确；
对于③，令 满足 ，
易证 ，即函数 是奇函数，故③错误．
对于④，令 满足 ，
但 不是奇函数，故④错误．
故选 ．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
22. 已知函数 ．
（ 1 ）证明： 是奇函数．
（ 2 ）判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）函数 在区间 上是减函数，证明见解析．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域为 ，
对于任意 ，
因为 ，
所以 是奇函数．
（ 2 ）函数 在区间 上是减函数，
在 上任取 ， ，且 ，
则 ，
由 ，得 ， ， ， ， 所
以 ，即 ， 所以函数 在区间 上是减
函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；利用定义判断函数奇偶性
17
