文档内容
函数的奇偶性
一、 课堂目标
1．掌握函数的奇偶性的概念．
2．掌握具有奇偶性的函数的运算和图象上的性质．
3．掌握函数奇偶性的判断方法．
二、 知识引入
情境引入：
思考：什么叫做轴对称图形？
如果把一个图形沿一条直线折起来，直线两侧部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
情景引入：
思考：什么叫做中心对称图形？
1如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图
形．
情境引入：
观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类
三、 知识讲解
1. 函数的奇偶性
一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么 就叫做奇函数．
一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么 就叫做偶函数．
如果函数 是奇函数或者偶函数，我们就说函数 具有奇偶性．
例题
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
1. 判断下列函数的奇偶性
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
2⑦ ⑧ ⑨ ⑩
（ 1 ）奇函数：
（ 2 ）偶函数：
（ 3 ）既是奇函数，也是偶函数：
（ 4 ）既不是奇函数，又不是偶函数：
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 函数 是（ ）．
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
例题
4. 若 是定义在 上的偶函数，则 ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
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3． __________________________________
5. 、 均是奇函数， ，若 ，则 ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
3练习
6. 已知函数 是奇函数，则 ．
2. 函数奇偶性的运算性质
下表是函数奇偶性的运算性质，这些运算性质均可以由奇偶性的基本定义推导而来
设 ， 的定义域分别为 ， ，则在公共定义域上，有如下结论：
偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数 奇函数
偶函数 不能确定 不能确定 奇函数
偶函数 不能确定 不能确定 奇函数
偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
偶函数 偶函数 偶函数 奇函数
例题
7. 设函数 和 分别是 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
练习
8. 设函数 、 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是（
）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数
3. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于 轴成轴对称图形，反之亦然．
4根据上面的结论，因此在研究奇（偶）函数的性质时，只需要研究函数在 或者 上的性
质即可，然后利用结论可以得到函数在整个定义域内的性质（图象）．
根据奇偶函数图象的对称性可知，
若 在奇函数 的图象上，则 也在 的图象上，而 和
是关于原点对称的两个点（原点为其中点），因此不难得出奇函数的图象是由无数对这样
的点构成，故整体也关于原点对称．
对于偶函数，做同样的讨论也能得出：若 在偶函数 的图象上，则 也在
的图象上．
例题
9. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）．
A. B.
C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
10. 函数 的图象关于（ ）．
A. 轴对称 B. 坐标原点对称 C. 直线 对称 D. 直线 对称
思路梳理
本题所考察的知识点：
51． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
11. 下列结论正确的是（ ）．
A. 偶函数的图象一定与 轴相交 B. 奇函数 在 处有意义，则
C. 定义域为 的增函数一定是奇函数 D. 图象过原点的单调函数一定是奇函数
思路梳理
本题所考察的知识点：
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3． __________________________________
练习
12. 函数 的图象关于（ ）．
A. 坐标原点对称 B. 轴对称 C. 直线 对称 D. 直线 对称
13. 下列结论中正确的是（ ）．
A. 偶函数的图象一定与 轴相交 B. 奇函数 在 处有定义，则
C. 奇函数 的图象一定过原点 D. 图象过原点的奇函数必是单调函数
例题
14. 已知奇函数 在 时的图像如图所示，则不等式 的解集为 ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
6练习
15. 设奇函数 的定义域为 ，当 时，函数 的图象如图所示，则使函数值
的解集为 ．
例题
16. 设偶函数定义域为 ，当 时， 为增函数，则 ， ， 的大小关系为
（ ）．
A. B.
C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
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2． __________________________________
3． __________________________________
练习
17. 若偶函数 在 上是减函数，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 证明函数奇偶性的方法步骤
（1）求函数 的定义域
（2）若函数的定义域不关于原点对称，则直接下结论，函数 既不是奇函数也不是偶函数；若关于
原点对称，则进行下一步．
（3）求出 ．
（4）根据 与 的关系，判断函数 的奇偶性．
7例题
18. 已知函数 ，判断函数 的奇偶性．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19.
函数 是（ ）．
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
20. 证明：
（ 1 ） 是偶函数．
（ 2 ） 是奇函数．
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
21. 对于定义在 上的函数 ，下列判断正确的是（ ）．
①若 ，则 是偶函数；
②若 ，则 不是偶函数；
③若 ，则 不是奇函数；
④若 ，则 是奇函数．
A. ①②③④ B. ②③④ C. ② D. ①②
22. 已知函数 ．
（ 1 ）证明： 是奇函数．
（ 2 ）判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
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