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函数的奇偶性【题集】
1. 函数的奇偶性
1. 下列函数中，对于任意的 ，都有 的是( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为对于任意的 ，都有 ，
故 为 上的偶函数，
故选 ．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
2. 下列函数中为偶函数的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为四个选项中的函数只有 的图像关于 轴对称，为偶函数，所以答案为 ．
【标注】【知识点】奇偶性
3. 若函数 为奇函数，则实数 的值是 ．
【答案】
【解析】显然函数的定义域中不含 ．
由奇函数的性质得 ，
即 ，
取 ，得 ， ．
经检验， 为奇函数，合题．
故 ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
14. 若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ;
【解析】由题可知 ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求参数
5. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．则 ．
【答案】
【解析】方法一：令 ，则 ．
∴ ．
∵函数 是定义在 上的奇函数，
∴ ．
∴ （ ）．
∴ ．
方法二： ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
【素养】数学运算
6. 判断
“若函数 是奇函数，则 ”这句话是否正确？（ ）．
【答案】错
【解析】若f(x)为奇函数， ， 可能无意义．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
2. 函数奇偶性的运算性质
7. 设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）．
A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数
2【答案】C
【解析】因为函数 是奇函数， 是偶函数，所以有 ， ，
，
故 是奇函数；所以选项 错误；
，所以 是偶函数，故选项 错误；
，所以 是奇函数，故选项 正确；
，故 是偶函数，选项 错误．
故答案为 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
8. ， 都是定义在 上且不恒为 的函数，下列说法不正确的是( )
A. 若 为奇函数，则 为偶函数
B. 若 为偶函数，则 为奇函数
C. 若 为奇函数， 为偶函数，则 为偶函数
D. 若 为奇函数， 为偶函数，则 非奇非偶
【答案】B
【解析】若 为偶函数，则 ，令 ，则
，所以 为偶函数，所以 不正确，故选 ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
9. 设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，则 (填“>”或“ < ”).
【答案】
【解析】根据偶函数的性质， ， ；
， ，
故答案是： ．
【标注】【知识点】函数奇偶性的运算
10. 若 为奇函数，且在 内是增函数， ，则 的解集为 ．
3【答案】
【解析】由题意可知 或
解得 ，或
．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
11. 若 为奇函数，且在 上是减函数，又 ，求 的解集．
【答案】 ．
【解析】画 的大致图像，可知 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题；单调性
3. 奇偶函数的图像特征
12. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】图象 不关于 轴或原点对称，
图象 出现了“一对多”的情况，不是函数的图象．
4中函数图象关于 轴对称，是偶函数．
故选 ．
【标注】【知识点】奇偶性的概念
13. 下列各图中，表示以 为自变量的奇函数的图像是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据奇函数的定义可知：对于 ， 不满足函数定义，不是函数；对于 图象关于 轴对
称，不是奇函数；对于 ，图象关于原点对称，是奇函数．
故选 ．
【标注】【知识点】判定是否为函数；利用定义判断函数奇偶性
14. 已知定义在区间 上的一个偶函数，它在 上的图像如图，则下列说法正确的是（ ）．
y
x
O
A. 这个函数仅有一个单调增区间 B. 这个函数有两个单调减区间
5C. 这个函数在其定义域内有最大值 D. 这个函数在其定义域内有最小值
【答案】C
【解析】根据偶函数在 上的图像及其对称性，作出其在 上的图像，如图所示．由图像
可知这个函数有三个单调增区间，有三个单调减区间，在其定义域内有最大值 ；最小值不是
．故选 ．
y
x
O
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
15. 下列说法中，不正确的是（ ）．
A. 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B. 奇函数的图象一定经过原点
C. 偶函数的图象若不经过原点，则它与 轴交点的个数一定是偶数
D. 图象关于 轴成轴对称的函数一定是偶函数
【答案】B
【解析】由奇、偶函数的图象及定义知 、 、 正确， 不正确．故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】利用定义判断函数奇偶性
16. 已知 是定义在 上的偶函数，部分图像如图 所示，则：
6图
（ 1 ） ， ．
（ 2 ）画出函数 的完整图像．
（ 3 ）函数 的单调递增区间为 ．
【答案】（ 1 ） ;
（ 2 ）画图见解析．
（ 3 ） ，
【解析】（ 1 ）由图像可知， ， ．
又 为定义在 上的偶函数，
∴ ， ．
（ 2 ）∵ 为 上的偶函数，
∴图像关于 轴对称，
∴补全图像如图．
（ 3 ）由图可知， 单调递增区间为： ， ．
【标注】【知识点】图象法；函数奇偶性的运算；根据奇偶性确定图象；求单调区间
17. 图中给出了奇函数 的部分图象，已知 的定义域为 ，试补全其图象，并比较 与
的大小．
7【答案】 ．
【解析】由奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．
由图象易知 ．
【标注】【知识点】图象法；用单调性比较大小；函数单调性与奇偶性综合问题
4. 证明函数奇偶性的方法步骤
18. 已知函数 ，则函数（ ）．
A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数
C. 是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【解析】函数 ，
定义域为 ，关于原点对称， 且 ，
所以函数 是偶函数不是奇函数．
故选 ．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
19. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
8【解析】解：函数 是偶函数；
函数 是奇函数；
函数 的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数；
函数 是偶函数；
故选：C．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
20. 若函数 是偶函数，则 的单调递减区间是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 是偶函数，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴单调递减区间为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
21. 证明题
（ 1 ）证明： 是偶函数．
（ 2 ）证明： 是奇函数．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）定义域为 ，
，
∴ 为偶函数．
（ 2 ）定义域为 ，
．
∴ 为奇函数．
9【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
22. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的定义域．
（ 2 ）判断 的奇偶性．
（ 3 ）用定义证明函数 在 上是减函数．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）奇函数
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） ．
（ 2 ）
∴函数是奇函数．
（ 3 ）证明：
所以函数 在 上是减函数．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
【知识点】用定义法证明函数的单调性
【知识点】利用定义判断函数奇偶性
23. 已知函数 ，且 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）证明 为奇函数．
（ 3 ）判断函数 在 上的单调性，并加以证明．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）函数 在 为增函数．
【解析】（ 1 ）由 ， 得 ，
解得： ．
10（ 2 ）由（ ）可知， ，
所以函数 ．
令 ，
则 ，
，
所以 ，
所以函数 为奇函数．
（ 3 ）函数 在 为增函数．
设 、 且 ，
，
因为 、 ， ，
所以 ， ， ．
所以 ．
，
所以函数 在 为增函数．
【标注】【知识点】函数的定义
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