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椭圆的性质【题集】
1. 范围
1. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，椭圆焦点在 轴上，故 ，
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
2. 若点 在椭圆 的内部，则 的取值范围是（ ）．
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】点 在椭圆 的内部，
可得 ，解得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程
3. 已知点 ， 是椭圆 上的点，求 的最大值．
【答案】 的最大值为 ．
【解析】设点 ，因为点 是椭圆 上的点，
所以 ，
1．
当且仅当 时，等号成立．
所以 的最大值为 ．
【标注】【知识点】两点间距离公式；椭圆坐标的取值范围；函数的值域
4. 点 的坐标 满足方程 ，点 ，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】点 的坐标 满足方程 ，点 ，
则
，当且仅当 时，表达式取得最大值．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；两点间距离公式
5. 若点 是椭圆 上的动点，定点 的坐标为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
又∵ 满足 ，
∴ 其中
，
关于 的二次函数，开口向上，它的对称轴是 ，
根据二次函数的性质，可知：
当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值 ．
所以， 的取值范围是 ．
2故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆中其他最值问题
2. 对称性
6. 已知 为椭圆 上的一点， ， 分别为椭圆的上、下顶点，若 的面积为 ，
则满足条件的点 的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在椭圆 中， ， ，所以椭圆的短轴
设椭圆上点 的坐标为 ，又因为 的面积为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
将 代入椭圆的方程解得 ，
因此符合题意的点 为 ，共四个满足条件的点．故选C．
【标注】【知识点】椭圆的对称性；椭圆坐标的取值范围
7. 设点 ， 分别是椭圆 ： 的左右焦点，点 为椭圆 上任意一点，则使得
成立的点 的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ， ， ，
，
，
，
， ，
．
3由椭圆对称性知，点 有 个，
故答案为： ．
【标注】【知识点】数量积的坐标表达式
8. 椭圆 的一个焦点为 ，点 在椭圆上，如果线段 的中点 在 轴上，那么点 的
纵坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设点 的坐标为 ，依题意不妨设 坐标为 ，
所以 ，解得 ，代入椭圆方程求得 ，
所以 的纵坐标为 ．
【标注】【知识点】椭圆的对称性
9.
已知椭圆 ，四点 ， ， ，
中恰有三点在椭圆 上．
（ 1 ）求椭圆 的方程.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）根据椭圆对称性，必过 ， ，又 横坐标为 ，椭圆必不过 ，所以过
三点．将 代入椭圆方程得 ，解得
，
，所以椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）①当斜率不存在时，设 ，
，得 ，此时 过椭圆右顶点，不
存在两个交点，
故不满足．
4②当斜率存在时，设 ， ，联立
，
消去 整理得 ， ，
，
则
，又 ，此时 ，存在 使得
成立．
所以直线 的方程为 ．
当 时， ，所以 过定点 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；定点问题
3. 顶点
10. 椭圆 的长轴长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆 的长轴长是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
11. 椭圆 的短轴长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆 的标准方程是 ，
它是焦点在 轴上的椭圆，
且 ， ，
5∴它的短轴长为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
12. 椭圆 的短轴长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 即 ．
∴ ．
∴ ， ， ．
故选： ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
13. 已知椭圆 ，则长轴等于 ．
【答案】
【解析】椭圆 ，则 ， ，长轴 ，故答案为： ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴
14. 椭圆 上的长轴长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】椭圆 的 ，则长轴长为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的顶点与轴
15. 已知焦点在 轴上的椭圆 的长轴长为 ，则 （ ）．
6A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵焦点在 轴上的椭圆 的长轴长为 ．
∴ ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程
16. 椭圆 与 有相同的（ ）．
A. 离心率 B. 焦距 C. 长轴长 D. 焦点
【答案】B
【解析】∵在椭圆 与 中，
，
∴椭圆 与 有相同的焦距．
故选 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率；椭圆的顶点与轴
17. 长半轴长为 ，短半轴长为 ，且焦点在 轴上的椭圆标准方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知， ， ，
∴ ，
∵焦点在 轴上，
∴方程为 即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的顶点与轴
18. 椭圆 的方程为 ，则椭圆的短轴长 ，焦点坐标为 ．
7【答案】 ; ，
【解析】椭圆的标准方程为 ，
∴ ， ，且焦点在 轴上， ，
∴短轴长为 ，焦点坐标为 和 ．
故答案为： ； ， ．
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的标准方程
19. 已知椭圆的标准方程为 ，则该椭圆的长半轴长为 ，焦距为 ．
【答案】 ;
【标注】【知识点】椭圆的顶点与轴；椭圆的定义
20. 已知椭圆长轴长是短轴长的 倍，且过 点，则椭圆的标准方程为 ．
【答案】 或
【解析】若椭圆焦点在 轴上，则 ， ，椭圆方程为 ，
若椭圆焦点在 轴上，则 ， ，椭圆方程为 ，
综上所述，椭圆的标准方程为 或 ．
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的顶点与轴
21. 中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，长轴长与短轴长的比为 ，且过点 ，则该椭圆
的方程是 ．
【答案】 或
【标注】【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的顶点与轴
4. 离心率
22. 椭圆 的离心率为（ ）．
8A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把椭圆方程化为标准方程得： ，得到 ， ，
则 ，所以椭圆的离心率 ．
故选： ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
23. 设 ， 且 ，则椭圆 ： 和椭圆 ： 具有相同的（
）．
A. 顶点 B. 焦点 C. 离心率 D. 长轴和短轴
【答案】C
【解析】椭圆 ： ，即 ，
离心率 ，故选 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
24. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
．
故选： .
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
25. 已知椭圆的长轴长是焦距的 倍，则椭圆的离心率为（ ）．
9A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由条件可知， ，椭圆离心率 ．
【标注】【知识点】求椭圆的离心率
【素养】数学运算
26. 已知椭圆的焦距，短轴长，长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设焦距 ，短轴长为 ，长轴长为 ， ．
则有 ，解得 ，或 （舍去），
所以 ， ，所以离心率 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求椭圆的离心率
27. 若椭圆 的离心率为 ，则 ．
【答案】 或
【解析】若椭圆的焦点在 轴上，则 ， ， ，
有 ，解得 ；
若椭圆的焦点在 轴上，则 ， ， ，
有 ，解得： ；
故 或 ．
【标注】【知识点】已知椭圆的离心率求其他参数
28.
已椭圆 的离心率为 ，则 ．
10【答案】 或
【解析】椭圆化成标准方程得 ，
∵椭圆的离心率为 ，
∴ ， ，
∴ 或 ，
故 或 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求椭圆的离心率
29.
已知椭圆 的离心率 ，则 的值为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
时， ； 时，
．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求椭圆的离心率
30. 若椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ）．
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
当 时， ，
；
当 时， ，
．
11【标注】【知识点】求椭圆的离心率
【知识点】椭圆的标准方程
【素养】数学运算
31. 已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意设椭圆的方程为 ．
因为椭圆 的右焦点为 ，所以 ，又离心率等于 ，
即 ，所以 ，则 ．
所以椭圆的方程为 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求椭圆的离心率
【知识点】椭圆的定义
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