文档内容
函数的概念
一、 课堂目标
1．理解函数的三个要素及同一函数的定义．
2．掌握求函数定义域的基本原则．
3．掌握求解函数值域的概念．
【备注】目标解读：
关联知识：集合，函数及其运算．
本讲解读：本讲的重点是掌握函数的概念及三要素，区间的定义，函数的值域；难点是求
解析式的方法．
能力素养：数学运算、数学抽象．
二、 知识引入
情境引入：
在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？
一次函数： ；
二次函数： ；
反比例函数： ．
初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数．
知识探究1：
一枚炮弹发射后，经过26 落到地面击中目标．炮弹的射高为845 ，且炮弹距离地面的高度 （单位：
）随时间 （单位： ）变化的规律是： ．
思考：这里的变量 的变化范围是什么？变量 的变化范围是什么？试用集合表示？
,
思考：高度变量 与时间变量 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
知识探究2：
1近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭
氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况．
思考：根据曲线分析，时间 的变化范围是什么？臭氧层空洞面积 的变化范围是什么？试用集合表示？
＝ ， ＝
思考：时间变量 与臭氧层空洞面积 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
知识探究3：
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 下表是“八
五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
思考：用 表示时间， 表示恩格尔系数，那么 和 的变化范围分别是什么？
， ， ， ,
， ， ， ， ， ， ， ，
思考：时间变量 t 与恩格尔系数 r 之间的对应关系是否为函数？
探究研讨：
以上三个实例有什么共同点？
都有两个非空数集 ，
两个数集间都有一种确定的对应关系
对于数集 中的任意一个数，数集 中都有唯一确定的数和它对应
思考：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？
2按照某种对应关系
三、 知识讲解
1. 函数的定义
函数的定义
设集合 是一个非空数集，对 中的任意的数 ，按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这
种对应关系叫做集合 上的一个函数．记作 ，
其中 叫做自变量．自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域．
所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域．
其中，定义域、值域、对应法则被称为函数的三要素．
【备注】【教师可见】
1、函数的定义域和值域必须均为数集，而且都不能是空集；另外，数集 的底线是能够保
证包含数集 中的所有元素经过对应关系 操作之后所得到的所有数值，有额外多余的数值
也完全可以（如数集 ，对应关系为 ，数集 ，此时结合定义
域和对应关系得到的值域为数集 ，数集 中的元素 是多余的，但是不影响三者构
成函数关系）．
2、对应的原则是可以是数集 中的元素一一对应（比如数集 ，对应关系为
），或者数集 中的多个元素对应数集 中的一个元素（比如数集 ，对应关系为
），但是不允许出现数集 中的一个元素对应数集 中的多个元素（比如数集 ，对应
关系为取平方根）．
例题
1. 下图中不能表示函数的图象的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】B中图像中一个 对应两个 ，不满足定义．
3【标注】【知识点】判定是否为函数；函数的定义
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 下列图象中表示函数图象的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据函数的定义，对任意的一个 都存在唯一的 与之对应，而 ， ， 都是一对多，只
有 是多对一．故选 ．
【标注】【知识点】函数的定义
映射的定义
设 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 ，对 中的任意一个元素 在 中有一个且仅有一个元素
与 对应，则称 是集合 到集合 的映射，这时称 是 在映射 的作用下的象，记作 ，于是
， 称为 的原象，
映射 也可记为： ，
4其中 叫做映射 的定义域．由所有象 构成的集合叫做映射 的值域．通常记作 ．
例题
3. 下列对应中为函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据函数的定义一一判断即可．
【标注】【知识点】判定是否为函数；映射
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
4. 给出下列四个对应，其中构成映射的是（ ）．
A. （ ）（ ） B. （ ）（ ） C. （ ）（ ）（ ） D. （ ）（ ）
【答案】B
5【解析】映射的含义是对于集合 中的任意一个元素，在集合 中都有唯一的元素与之对应，易知
（ ）（ ）正确．
【标注】【知识点】映射
函数的表示方法
（1）列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法；
（2）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（3）解析法：如果在函数 ， 是用代数式（或解析式）来表达出来的，则这种表
示函数的方法叫做解析法（也称公式法）.
例题
5. 已知函数 ， 分别由下表给出：
则 的值为 ，当 时， ．
【答案】 ;
【解析】 ； ，所以 ， ．
【标注】【知识点】列表法；复合函数
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
6. 已知函数 ，满足 ，则 ．
【答案】
6【解析】由 ，得 解得
，
．
【标注】【知识点】解析法；用直接带入法求解析式
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 观察如表：则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图表可知， ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数的定义；列表法
8. 设 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ．
【标注】【知识点】用直接带入法求解析式；解析法
7区间
设 是两个实数，且 ，规定：
1、满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，代数表示为 ，几何表示为：
2、满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，代数表示为 ，几何表示为：
3、满足不等式 的实数 的集合叫做左闭右开区间，代数表示为 ，几何表示为：
4、满足不等式 的实数 的集合叫做左开右闭区间，代数表示为 ，几何表示为：
5、 几何表示法为含有无穷一侧不封闭，例如区间 的几何表示如下：
【备注】【教师可见】
1、区间的几何表示中，用实心点表示包括区间内的端点，用空心圈表示不包括区间内的端
点．
2、区间符号里面两个字母（或者数字）之间用“，”隔开．
3、无穷大是一个符号，并不是一个具体的数，有了这个规定，所有的实数都不可能大于或
等于正无穷大，也不可能小于或等于负无穷大，因此涉及到正负无穷大作为区间一段时，
这一端必须是开的．
4、区间是数集的另一种表示方法，只能表示连续致密的数集，若数集内有个别间断点或者
间断数集，则用若干区间的并集表示；还有，区间内的端点一定是左小右大．
8例题
9. 用区间法表示下列集合：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【解析】（ 1 ）略．
（ 2 ）略．
（ 3 ）略．
（ 4 ）略．
（ 5 ）略．
（ 6 ）略．
【标注】【知识点】区间表示法；描述法；集合不同表示法的转化问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
10. 将下列集合表示为区间形式．
9（ 1 ） .
（ 2 ） .
【答案】（ 1 ） .
（ 2 ） .
【解析】（ 1 ）
（ 2 ） .
函数图像如下：
y
x
O
【标注】【知识点】区间表示法；集合不同表示法的转化问题
2. 函数的定义域
（1）若 是整式，则其定义域为实数集 ．
（2）若 是分式，则定义域是使分母不等于 的实数的集合．
（3）若 是偶次根式，则定义域是使根号内的式子大于或等于 的实数的集合．
（4） 的定义域是 ．
（5）若 是由若干结构的代数式构成，那么函数的定义域是使代数式都有意义的实数集合的交集．
例题
11. 求下列函数的定义域:
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
10【解析】（ 1 ）由题意得 ，解得 ．
（ 2 ）由题意得 ，解得 ．
（ 3 ）由题意得 ，解得 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. 函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】若函数有意义，则 ，
即 ，
解得 ．
故函数 的定义域为 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
13. 若 ，则 的定义域是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使函数有意义： ，
解得 ，且 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
113. 函数的对应法则
函数的对应法则
函数 ， ，其中 叫做自变量．
如果自变量取值 ，则由法则 确定的值 称为函数在 处的函数值，记作 ．
分段函数
在函数的定义域内，对于自变量 的不同取值区别，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函
数．
例题
14. 若函数 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数求值问题
【知识点】分段函数
【素养】数学抽象
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 已知分段函数 ，则 等于 ．
【答案】
【解析】∵函数 ，
12∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】分段函数；函数求值问题
求函数解析式的方法
把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式，本节课的
重点内容在于如何求解函数的解析式．
1．直接代入法
已知 的解析式，求 的解析式常用此法，如已知 ，则
， ．
例题
16. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】用直接带入法求解析式；解析法
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
17. 已知函数 ，则 ．
【答案】
13【解析】根据题意，函数 ，
令 可得： ，即 ；
故答案为： ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式
2．配凑法
已知 的解析式，要求 的解析式时，可从 的解析式中配凑出 ，即把解析式变为关于
的表达式，然后再把解析式两边的 换为 即可．如 ，可以将右边凑成
的形式再求解，或者已知 ，可以将右边凑成 的形式再求
解．
例题
18. 已知 ，则函数 为 ．
【答案】 ， ．
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
【标注】【知识点】用配凑法求解析式；解析法
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 已知函数 ，则 ．
【答案】
14【解析】∵ ，
∴ ， ．
【标注】【知识点】用配凑法求解析式
3．换元法
已知 的解析式，要求 的解析式时也可以令 ，反解此方程（即用 去表示 ），将解得的
结果带入到解析式中，从而求出 的解析式，再把解析式中的 换为 即可，如 ，令
，解得 ，带入到等号右边得到 ，再变换自变量得到 ．
例题
20. 已知 ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
则由 ，得 ，
则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式；用直接带入法求解析式
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 已知函数 ,则函数 的解析式为 ．
【答案】
【解析】令 ， ，
∴ ，
从而 ．
15【标注】【知识点】解析法
4. 函数的值域
函数的值域
设集合 是一个非空数集，对 中的任意的数 ，按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这
种对应关系叫做集合 上的一个函数．记作 ，
其中 叫做自变量．自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域．
所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域．
例题
22. 函数 ， 的值域为[ ， ]．
【答案】 ;
【解析】略.
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 求下列二次函数的值域．
函数 ， ，则值域是 ．
函数 ， ，则值域是 ．
函数 ， ，则值域是 ．
【答案】 ; ;
【标注】【素养】数学抽象
【方法】配方法
16【知识点】用配方法求值域
例题
24. 函数 在区间 上的值域为 ．
【备注】【教师可见】
解析中提到的递减函数，实际是y随x增大而减小，可用后者给学生描述.
【答案】
【解析】函数 ．
∵ 在区间 上递减函数，
∴ ，
∴函数 在区间 上的值域为
故答案为： ．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
25. 函数 ， 的最大值为 ．
【备注】【教师可见】
解析中提到的单调递减，实际是y随x增大而减小，可用后者给学生描述.
【答案】
【解析】因为 在 上单调递减，
所以 ．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域
175. 判断同一函数
定义域与对应法则相同的函数被称为同一函数．
【备注】事实上值域是由定义域和对应关系共同作用得到的，因此，确定一个函数就只需要两个要
素：定义域和对应关系．只有当两个函数的定义域和对应关系都相同的时候，二者才可以
成为同一函数，即：
（1）定义域不同，两个函数不同．
（2）对应法则不同，两个函数不同．
（3）即使定义域和值域都相同的两个函数，它们也未必是同一函数，因为函数的定义域和
值域并不能唯一确定函数的对应关系（如定义域和值域均为 ，对应关系可以是
，可以是 ，还可以是 ，还可以是 ……）．
例题
26. 下列四组函数中，有相同图像的一组是（ ）．
A. ； B. ；
C. ； D. ；
【答案】B
【解析】定义域相同，又 ，故选择 ．
【标注】【知识点】相同函数
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
27. 下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
18【解析】 定义域不同； 满足； 定义域不同； 定义域不同．
故选 ．
【标注】【知识点】相同函数
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
28. 函数 的定义域为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
19【解析】由定义域知， ，即 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
29. 求函数 ， 的值域（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，又 ，
所以 ，
即函数 的值域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】用配方法求值域
30. 下列表示同一函数的是（ ）．
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】函数要一样必须要求定义域和对应法则一样， 三个都不满足定义域一样．
【标注】【知识点】相同函数
20
