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函数的单调性【题集】
1. 单调性与单调区间
1. 已知函数 的图像如图所示，填空：
（ 1 ）从左至右图像是上升的还是下降的： ．
（ 2 ）在区间 上，随着 的增大， 的值 ，在此区间上函数是增函数还是减函
数： ．
【答案】（ 1 ）下降的
（ 2 ） ; 减小 ; 减函数
【解析】（ 1 ）从左至右图像是下降的，
故答案为下降的．
（ 2 ）在区间 上，随着 的增大， 的值减小，在此区间上函数是减函数．
故答案为 ，减小，减函数．
【标注】【知识点】图象法；求单调区间
2. 已知定义在区间 上的函数 的图象如图，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一
单调区间上，它是增加的还是减少的．
1【答案】函数 在区间 ， 上是减函数，在区间 ， ， 上是
增函数．
【解析】函数 在区间 ， 上是减函数，在区间 ， ， 上是
增函数．
【标注】【知识点】求单调区间
3. 下列图象中，可以用 上单调递减描述的是 ；可以用 和
上单调递减描述的是 ．
y y y
x
x
x
① ② ③
【答案】③ ; ①②③
【解析】略．
【标注】【知识点】求单调区间
4.
2函数 的图象如图所示，根据图象的单调性填空（填“单调递增”或“单调递减”）：
在 上 ，在 上 ．
【答案】单调递增 ; 单调递减
【标注】【知识点】求单调区间
5. 如图，给出了偶函数 的局部图象，根据图像信息下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于 为偶函数，则 ， ，则只需要比较 与 ，
观察图像可知 ，∴ 正确，而选项 ， ， 显然不对．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】函数奇偶性的运算
【知识点】单调性
6. 函数 的单调区间是（ ）．
A. 或 B. 或 C. ， D.
3【答案】C
【标注】【知识点】求单调区间
7. 下列函数中，在 上为增函数的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 在 上为减函数．
函数 在 上为减函数．
函数 在 上为减函数．
在 上为增函数．
故选 ．
【标注】【知识点】直接判断函数的单调性
8. 下列说法正确的是（ ）．
A. 是减函数
B. 的单调递减区间是
C. 在 上是增函数
D. 在 上单调递增
【答案】D
【标注】【知识点】单调性
9. 函数 在 上为减函数，且 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数 在 上为减函数，且 ，所以有：
，解得 ．所以实数 取值范围是 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
410. 已知偶函数 在区间 单调递增，则满足 的 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ 是偶函数，
∴ ，
∴ ，
再根据 的单调性，得 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
11. 已知 是定义在 上减函数，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】略
【标注】【素养】数学运算
12. 定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，
则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可知 在 上为单调减函数，又 为偶函数，
故比较 ， ， 的大小即可，易知 ，
∴ ．
【标注】【知识点】奇偶性
【知识点】用单调性比较大小
【素养】数学运算
52. 函数单调性的判断与证明
13. 证明函数 在 上是增函数．
【答案】证明见解析．
【解析】取 ， ，且 ，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 在 上是单调增函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
14. 证明：函数 在 上单调递增．
【答案】证明见解析．
【解析】第 步：任取 ， ，且 ．
第 步：
第 步：结论： ， ，故 在 上单调递增．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
15. 判断并证明函数 在 的单调性．
【答案】 在 单调递增；证明见解析．
【解析】任取 ， ，
，
∵ ，
6∴ ， ，
∴ ，
∴ 是 上的增函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
16. 判断并证明函数 在 上的单调性．
【答案】证明见解析．
【解析】任取 、 ，令 ，
、 时， ，所以 在 上单调递增；
、 时， ，所以 在 上单调递减．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
17. 判断并证明函数 在 上的单调性．
【答案】 是 上的增函数．
【解析】任取 ， ，
，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是 上的增函数．
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性
18. 已知函数 ， ．
（ 1 ）利用定义证明函数的单调性．
（ 2 ）求函数的值域．
7【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）值域为 ．
【解析】（ 1 ）任取 ， ，且 ．
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增．
（ 2 ）∵ 在 上单增，
∴ 的最小值为 ，最大值为 ， ， ，
∴值域为 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；用定义法证明函数的单调性
3. 函数的最值
19. 函数 在 上的最大值和最小值分别是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 在 单调递增，
在 单调递减．
．
， ．
．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】函数的值域
【知识点】利用单调性求函数最值
20. 函数 在 上的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
8【解析】函数 在 上为减函数，
所以当 时，函数取得最小值 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求复合函数的最值
21. 函数 在区间 上的最大值，最小值分别是（ ）．
A. 无最大值，最小值是 B.
C. 最大值是 ，无最小值 D.
【答案】C
【解析】 ，
则 在 ， 上为减函数．
∴ ，无最小值．
选 ．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域
22. 已知函数 在区间 上的最大值 ，最小值 ，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由反比例函数 在区间 上为减函数知，
，
；
故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值
23. 已知函数 （ ），则下列说法正确的是（ ）．
A. 有最大值 ，无最小值 B. 有最大值 ，最小值
C. D.
9有最大值 ，无最小值 有最大值 ，最小值
【答案】A
【解析】函数 ，
即有 在 递减，
则 处取得最大值，且为 ，
由 取不到，即最小值取不到，
所以 选项是正确的．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；用分离常数法求值域
24. 求函数 在 上的最大值和最小值．
【答案】 ， ．
【解析】 ， ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；函数的值域
25. 已知函数 ， ．
（ 1 ）判断函数的单调性并证明．
（ 2 ）求函数的最大值和最小值．
【答案】（ 1 ）函数单调递减，证明见解析．
（ 2 ）函数的最大值为 ，最小值为 ．
【解析】（ 1 ）设 ，则
，
因此 在 上单调递减．
（ 2 ）
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；用定义法证明函数的单调性
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