文档内容
不等式的性质
一、 课堂目标
1．理解比较大小的最基本最常用方法----作差法的操作原理．
2．理解不等式的概念及性质，能够利用不等式的性质来解决简单的不等关系．
【备注】目标解读：
关联知识：等式的性质．
本讲解读：本讲重点是掌握作差法的原理，理解不等式的概念及性质并会简单应用；难点
是熟练掌握各不等式性质的使用前提．
能力素养：主要培养逻辑推理、数学运算能力．
二、 知识引入
你还记得小时候玩的跷跷板吗？你想过它的工作原理吗？其实跷跷板就是靠两端力量的不等来工作的．
这种不等关系在生活中随处可见：
（1）《铁路旅行常识》规定：旅客每人免费携带物品----杆状物不超过200cm，重量不得超过20kg．
（2）一班的数学成绩高于二班的数学成绩．
上面例子中的“不超过”“高于”就是展现的一种不等关系．
1三、 知识讲解
1. 不等式
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的．我们用数学符号“ ”、“ ”、“ ”、“
”“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．
2. 不等关系
对于任意两个实数 和 ，在 ， ， 三种关系中有且仅有一种关系成立．
在数学中我们比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这种方法就是在研究不等式中最基本
也是最常用的方法：作差法．
作差法的等价内容如下：
；
；
．
利用作差法比较大小的一般步骤：
（1）将两个数（式）作差后变形为下列形式之一：①常数；②常数与几个平方和的形式；③几个因式
积的形式；
（2）判断差的符号．
例题
1. 比较 与 的大小关系.
【备注】作差变形为上述形式之一即可
【答案】
【标注】【知识点】比较法；不等式的性质
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2练习
2. （1）比较 和 的大小．
（2）比较 与 的大小．
【备注】第（2）小题不要
【答案】见解析．
【解析】（1） ．
（2）
因为 恒成立，故有：
①当 时， ，所以 ；
②当 时， ，所以 ；
③当 时， ，所以 ．
【标注】【知识点】比较法
例题
3. 比较大小： （填入“ ”，“ ”，“ ”之一）．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】不等式的性质
【知识点】一元二次不等式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
3练习
4. 比较大小： ．(填写“ ”或“ ”)
【答案】
【解析】 ，
故 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】不等式的性质
例题
5. 比较 与 的大小为 ．（用“ ”，“ ”或“ ”填空）
【答案】
【解析】 ，
∵
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】针对不等式变形判断正误
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
4【备注】解法借鉴上面例题的作差法
【答案】
【解析】左右两边平方 ，
两式作差为 ．
欲证 ，
只需 ，
只需 ，
只需 ，
只需 ，
只需 ，
只需 ，
因为 ，
得证．
【标注】【知识点】分析法；综合法与分析法
7. 比较 ， 的大小 ．
【备注】解法借鉴上面例题的作差法
【答案】
【解析】
，
，
∵ ，
∴ ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】同号不等式的运算；比较法
3. 不等式的性质
（1）
（2） ，
5（3）
（4） ，则 ．
（5） ， ，则 ；如果 ， ，则 ．
（6） ，则 ．
（7） ，则 ．
（8） ，则
【备注】老师注意强调每个不等式性质的使用前提
例题
8. 下列说法正确的是（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】 ：当 时，若 ，则 ，故错误；
：若 ，则 ，故错误；
：若 ，当 时，则 ；
当 时，则 ，故错误；
：若 ，则 ，故正确．
故选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 下列命题中正确的是（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
6C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】选项 ：当 时错误；
选项 ，当 ， 时不一定正确；
选项 ，当 时，应有 ，故错误；
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】针对不等式变形判断正误
例题
10. 若 ， ，则下列命题中成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A选项不对，因为 的符号不知，当 时，此不等式不成立；B选项不对，当
时，此不等式无意义；C选项是正确的，因为 ，故 ；D选项不正确当
时，此不等式无意义，故选C．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】针对不等式变形判断正误
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 设非零实数 满足 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
7【答案】D
【解析】令 ，则 无意义，则A不正确；
当 时， ，当 时， ，故B不正确；
令 ，则 ，故C不正确；
当 时，则 ，故D正确．
故选D．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
例题
12. 如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法一：不妨设 ， ，
∵ ， ， ，排除 ；
， ，排除 ；
， ， ，排除 ；
故选 ．
方法二： 选项：∵ ，
两边同时乘 得 ，故 错误；
选项：令 ， ，满足 ，
但 ，故 错误；
选项， 选项：∵ ，
∴ ，
两边同除 得 ，故 错误；
两边同乘 得
，故 正确；
故选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
8思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 已知 ，则下列不等式成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，B错；
或 ，C、D错．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
例题
14. 下列结论正确的是（ ）．
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】A 选项： ，又 ， ，故 错误．
B 选项：由 ，又 ， ，故 正确．
C 选项：特例法： ， ，显然不能推出 ，故 错误．
D 选项：可取特例： ， ，不能推出 ，故 错误．
故选 B .
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
9思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 下列结论成立的是（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】A 选项：若 ，当 时，则 ，故 不成立；
B 选项：若 ， ， ，则 ，故 不成立；
C 选项：若 ， ， ， ，则 ，故 不成立；
D 选项：若 ， ，则 成立．
故选 D .
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
16. 已知 ， ， ， 为实数， 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令 ， ， ， ．
选项： ， ， ，故 错误；
选项： ， ， ，故 错误；
选项：∵ ， ，∴ ，根据不等式的加法性质 ，故 正确；
选项： ， ， ，故 错误．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】针对不等式变形判断正误
10例题
17. 已知 ， ，那么下列判断正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意： ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18. 若 ， ，则一定有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法一：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，给 两边同时除以 ，
∴ ．
故选 ．
方法二：根据给出的字母的取值范围，取特殊值验证．
令 ， ， ， ，则 ， ，故 错误；
11， ，所以 ，故 错误．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】针对不等式变形判断正误
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
19. 比较 与 的大小．
【答案】 ．
【解析】
∴ ．
【标注】【知识点】不等式的性质
20. 如果 ，则下列不等式成立的是（ ）．
12A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A 选项：∵ ，
，
例： ，
但 ，
∴ 错．
B 选项：由题意易知 在 上单调递减，
又因为 ，
所以易由 三次函数的性质得知 ，
所以再观察选项可知 项符合题意．
故 正确．
C 选项： ，
反例： ，
．
∴ 错．
D 选项： ，
反例：当 时，不等式成立．
故选 B .
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
21. 已知 ， ，且 ， 不为零，则一定有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ， ，所以 ， ，
∴ ，即 ．
答案选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
1322. 下列命题中，正确的是（ ）．
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】A
【解析】 ．∵ 即 ，∴ ，正确；
．∵ 即 ， 的正负不知道，则 ， 大小也无法判断，错误；
．∵ ， ，无法判断 与 的大小关系，错误；
．∵ ， ，不知道 ， ， ， 正负，无法判断 与 的大小关系．
故选 ．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误
【素养】逻辑推理
14
