文档内容
函数的概念
一、 课堂目标
1．理解函数的三个要素及同一函数的定义．
2．掌握求函数定义域的基本原则．
3．掌握求解函数值域的概念．
二、 知识引入
情境引入：
在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？
一次函数： ；
二次函数： ；
反比例函数： ．
初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数．
知识探究1：
一枚炮弹发射后，经过26 落到地面击中目标．炮弹的射高为845 ，且炮弹距离地面的高度 （单位：
）随时间 （单位： ）变化的规律是： ．
思考：这里的变量 的变化范围是什么？变量 的变化范围是什么？试用集合表示？
,
思考：高度变量 与时间变量 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
知识探究2：
近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭
氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况．
1思考：根据曲线分析，时间 的变化范围是什么？臭氧层空洞面积 的变化范围是什么？试用集合表示？
＝ ， ＝
思考：时间变量 与臭氧层空洞面积 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
知识探究3：
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 下表是“八
五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
思考：用 表示时间， 表示恩格尔系数，那么 和 的变化范围分别是什么？
， ， ， ,
， ， ， ， ， ， ， ，
思考：时间变量 t 与恩格尔系数 r 之间的对应关系是否为函数？
探究研讨：
以上三个实例有什么共同点？
都有两个非空数集 ，
两个数集间都有一种确定的对应关系
对于数集 中的任意一个数，数集 中都有唯一确定的数和它对应
思考：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？
按照某种对应关系
2三、 知识讲解
1. 函数的定义
函数的定义
设集合 是一个非空数集，对 中的任意的数 ，按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这
种对应关系叫做集合 上的一个函数．记作 ，
其中 叫做自变量．自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域．
所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域．
其中，定义域、值域、对应法则被称为函数的三要素．
例题
1. 下图中不能表示函数的图象的是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 下列图象中表示函数图象的是（ ）．
A. B.
C. D.
3映射的定义
设 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 ，对 中的任意一个元素 在 中有一个且仅有一个元素
与 对应，则称 是集合 到集合 的映射，这时称 是 在映射 的作用下的象，记作 ，于是
， 称为 的原象，
映射 也可记为： ，
其中 叫做映射 的定义域．由所有象 构成的集合叫做映射 的值域．通常记作 ．
例题
3. 下列对应中为函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
4. 给出下列四个对应，其中构成映射的是（ ）．
4A. （ ）（ ） B. （ ）（ ） C. （ ）（ ）（ ） D. （ ）（ ）
函数的表示方法
（1）列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法；
（2）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（3）解析法：如果在函数 ， 是用代数式（或解析式）来表达出来的，则这种表
示函数的方法叫做解析法（也称公式法）.
例题
5. 已知函数 ， 分别由下表给出：
则 的值为 ，当 时， ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
6. 已知函数 ，满足 ，则 ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
57. 观察如表：则 （ ）．
A. B. C. D.
8. 设 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
区间
设 是两个实数，且 ，规定：
1、满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，代数表示为 ，几何表示为：
2、满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，代数表示为 ，几何表示为：
3、满足不等式 的实数 的集合叫做左闭右开区间，代数表示为 ，几何表示为：
4、满足不等式 的实数 的集合叫做左开右闭区间，代数表示为 ，几何表示为：
5、 几何表示法为含有无穷一侧不封闭，例如区间 的几何表示如下：
6例题
9. 用区间法表示下列集合：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
10. 将下列集合表示为区间形式．
（ 1 ） .
（ 2 ） .
2. 函数的定义域
（1）若 是整式，则其定义域为实数集 ．
（2）若 是分式，则定义域是使分母不等于 的实数的集合．
（3）若 是偶次根式，则定义域是使根号内的式子大于或等于 的实数的集合．
（4） 的定义域是 ．
（5）若 是由若干结构的代数式构成，那么函数的定义域是使代数式都有意义的实数集合的交集．
例题
11. 求下列函数的定义域:
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
思路梳理
7本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. 函数 的定义域是 ．
13. 若 ，则 的定义域是（ ）．
A. B. C. D.
3. 函数的对应法则
函数的对应法则
函数 ， ，其中 叫做自变量．
如果自变量取值 ，则由法则 确定的值 称为函数在 处的函数值，记作 ．
分段函数
在函数的定义域内，对于自变量 的不同取值区别，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函
数．
例题
14. 若函数 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 已知分段函数 ，则 等于 ．
求函数解析式的方法
8把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式，本节课的
重点内容在于如何求解函数的解析式．
1．直接代入法
已知 的解析式，求 的解析式常用此法，如已知 ，则
， ．
例题
16. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
17. 已知函数 ，则 ．
2．配凑法
已知 的解析式，要求 的解析式时，可从 的解析式中配凑出 ，即把解析式变为关于
的表达式，然后再把解析式两边的 换为 即可．如 ，可以将右边凑成
的形式再求解，或者已知 ，可以将右边凑成 的形式再求
解．
例题
18. 已知 ，则函数 为 ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
919. 已知函数 ，则 ．
3．换元法
已知 的解析式，要求 的解析式时也可以令 ，反解此方程（即用 去表示 ），将解得的
结果带入到解析式中，从而求出 的解析式，再把解析式中的 换为 即可，如 ，令
，解得 ，带入到等号右边得到 ，再变换自变量得到 ．
例题
20. 已知 ，则 ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 已知函数 ,则函数 的解析式为 ．
4. 函数的值域
函数的值域
设集合 是一个非空数集，对 中的任意的数 ，按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这
种对应关系叫做集合 上的一个函数．记作 ，
其中 叫做自变量．自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域．
所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域．
例题
22. 函数 ， 的值域为[ ， ]．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
10练习
23. 求下列二次函数的值域．
函数 ， ，则值域是 ．
函数 ， ，则值域是 ．
函数 ， ，则值域是 ．
例题
24. 函数 在区间 上的值域为 ．
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
25. 函数 ， 的最大值为 ．
5. 判断同一函数
定义域与对应法则相同的函数被称为同一函数．
例题
26. 下列四组函数中，有相同图像的一组是（ ）．
A. ； B. ；
C. ； D. ；
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
27. 下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）．
A. ， B. ，
11C. ， D. ，
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
28. 函数 的定义域为（ ）．
A. B. C. D.
29. 求函数 ， 的值域（ ）．
A. B. C. D.
30. 下列表示同一函数的是（ ）．
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
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