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函数的性质
一、 选择
1. 已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得 的对称轴为 ，
①当 时，由复合函数的单调性可知， 在 单调递增，且 在 恒成立，
则 ，
∴ ，
② 时，由复合函数的单调性可知， 在 单调递增，且 在 恒成立，
则 ，此时 不存在，
综上可得， ．
故选： ．
【标注】【知识点】复合函数；判断复合函数单调性
2. 设函数 ， 则函数 （ ）．
A. 是偶函数且在 上单调递增 B. 是偶函数且在 上单调递减
C. 是奇函数且在 上单调递增 D. 是奇函数且在 上单调递减
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴ ，
，
，
1∴ 为偶函数，
故排除 ，
当 时， ，
∴令 ，有
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
3. 已知函数 ，则 （ ）．
A. 是奇函数，且在 上单调递增 B. 是奇函数，且在 上单调递减
C. 是偶函数，且在 上单调递增 D. 是偶函数，且在 上单调递减
【答案】C
【解析】∵ 的定义域为 ，且 ，
∴ 为偶函数，
∵当 时， 且 单调递增， 单调递减，
∴ 在 上单调递增．
故选 ．
【标注】【知识点】利用四则运算判断函数单调性；利用定义判断函数奇偶性
4. 函数 ，则使得 成立的 取值范围是（ ）．
A. B.
2C. D.
【答案】B
【解析】由题意知函数的定义域为 ，
当 时， ，
∴ 在 上单调递减．
∵
，
∴ 是偶函数．
∴ 在（─ ， 上单调递增．
∵ ，
∴ ．
两边平方后化简得 且 且 ，
解得 或 ，
故使不等式成立 的取值范围是 ．
故本题选 ．
【标注】【知识点】判断复合函数单调性；利用函数单调性解不等式；利用定义判断函数奇偶性
5. 若函数 是定义在 上的偶函数，在 上是增函数，且 ，则使得
的 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数 是定义在 上的偶函数，在 上是增函数，且 ，
所以 ，在 上， 的 的取值范围是 ，
又由对称性可知，在 上， 的 的取值范围是 ，
所以 或 ，
故 的取值范围为 ．
3故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
6. 若函数 的图像关于 轴对称，则实数 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：函数 为偶函数，
设 且 为奇函数，
故 也为奇函数，
而 ，
∴ ，
即 ，
，
，∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
7. 设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ．若对任意的 ，均有
，则实数 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当 时， ，
若对任意的 ，均有 即为 ，
由于 ，当 时， 为单调递增函数，
又∵函数 为偶函数，
∴ 等价于 ，即 （∵ ），
由区间的定义可知 ，若 ，于是 ，即 ，
由于 的最大值为 ，故 显然不可能恒成立；
∴ ，
∴ ，即 ，
4∴ ，即 ，
故 的最大值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
二、 填空
8.
的最大值为 ，最小值为 ，则 ．
【答案】
【解析】
，
令 ，则 ， 为奇函数，
设 时， 取得最小值，此时 也取得最小值，
，由奇函数关于原点对称，
则 时， 取最大值，此时 也为最大值，
，则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用奇偶性求值；利用定义判断函数奇偶性
9.
函数 是 函数（“奇”，“偶”，“非奇非偶”中选一合适的填空）
【答案】奇
【解析】由题意
∴ ，且 ，关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
∴函数是 奇函数．
5【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
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