文档内容
充分条件与必要条件
一、 课堂目标
1．理解四种条件的概念．
2．掌握利用集合思想判别四种条件的方法．
【备注】目标解读：
关联知识：集合，推理与证明．
本讲解读：本讲的重点是四种条件的概念，难点是利用集合思想判别四种条件的方法．
能力素养：数学运算、逻辑推理．
二、 知识引入
情境引入：
有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母亲带女儿去商店买布，母亲问营业员：“要做一件衬衫，应该买多
少布料？”
营业员回答：“买三米足够了！”
用数学符号来表示：
：有三米布料 ：做一件衬衫的布料足够
情境引入：
音乐《 我是一只鱼 》
歌词大意：离开水的鱼，活不下去
：鱼死 ； ：无水
把歌词用符号来表示：
三、 知识讲解
1. 充分条件与必要条件
一般地，“若 ，则 ”是真命题，我们就说由 可推出 ，记作 ，并且说 是 的充分条件， 是 的
1必要条件．
例题
1. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）．
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】根据等价命题，便宜 没好货，
等价于，好货 不便宜．
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中
“成仙”是“到蓬莱”的（ ）．
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】不到蓬莱 不成仙，逆否命题成立，∴成仙 到蓬莱，选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】充要条件与其他知识点结合
2. 充要条件
充分不必要条件
2一般地，如果 且 ，则称 是 的充分不必要条件．
例题
3. 设 ：实数 ， 满足 且 ， ：实数 ， 满足 ，则 是 的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，且 ，则 成立，所以 ；反之由 不能得到 ，
且 ．
所以 是 的充分不必要条件．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】不等式的性质
【知识点】充要条件与不等式结合
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
4. 设 ，则 是 的（ ）．
A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，一定能得到 ．但当 时，不能推出 （如 时），
是 的充分不必要条件，
故选： ．
【标注】【知识点】不等式的性质
【知识点】充要条件与不等式结合
3【素养】逻辑推理
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 设 ，则“ 且 ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 且 ，则 ， ，所以 ，即 ﹔
若 ，则 满足条件，但不满足 且 ．
所以“ 且 ”是“ ”的充分而不必要条件．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
必要不充分条件
一般地，如果 且 ，则称 是 的必要不充分条件．
例题
6. 设 ， 是两个集合，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ，则反之不一定成立．
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
4【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
7. “ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 或 ，充分性不满足；
，必要性满足．
故选B．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
【知识点】一元二次不等式
【素养】逻辑推理
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
8. 有两个命题： ：四边形的一组对边平行且相等； ：四边形是矩形．则 是 的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】命题： ：四边形的一组对边平行且相等，可知此四边形为平行四边形，
5：四边形是矩形，易知：矩形是平行四边形．
则 是 的必要不充分条件．
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
9. 设 ， 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 ， 时，满足 ，推导不出 ；
当 时，可得 ．
∴“ ”是“ ”的必要而不充分条件．
故选B．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
充要条件
一般地，如果 且 ，则称 是 的充分必要条件，简称为充要条件．
例题
10. 设 ，则“ ”是“ ”的 （ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】方法一：由于函数 在 上为增函数，所以当 时， 成立，反过来，
当 时， 也成立．因此 是 的充要条件．
故选 ．
方法二： ．
若 ，即 ，
解得 ．
综上可知，“ ”是“ ”的充要条件．
6故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
11. 设 ，“ ”是“ ”的（ ）条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
【答案】C
【解析】当 时， ，
所以“ ”是“ ”的充分条件，
当 时， ，
所以“ ”是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的充要条件．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
【素养】逻辑推理
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. “ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7【答案】C
【解析】由 ，解得： ，
故“ ”是“ ”的充要条件，
故选： ．
【标注】【知识点】不等式的性质
【知识点】充要条件与不等式结合
【素养】逻辑推理
13. 已知 ， 是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 且 可得 ， ．
由 可得 ， 中至少有一个为正．
由 可得 ， 同号．
两者同时成立，则必有 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
【知识点】不等式的性质
【素养】逻辑推理
既不充分也不必要条件
一般地，如果 且 ，则 是 成立的既不充分也不必要条件．
例题
14. 设 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
8【解析】方法一：若 ，则 ，故非充分条件；
若 ，也满足 ，故非必要条件.
方法二：令 ， ，满足 ，但不满足 ，即“ ”不能推出“
”；再令 ， ，满足 ，但不满足 ，即“ ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】不等式的性质
【知识点】充要条件与不等式结合
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】一方面 不能推出 ，
另一方面 也不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
【素养】逻辑推理
16. 下列各命题中，哪些 是 的充要条件？
① ：四边形是矩形， ：四边形的对角线互相平分且相等；
② ： ， ， ： ；
③ ：整数 是 的倍数， ：整数 是 和 的倍数；
9④ ： 为空集， ： 与 之一为空集.
【答案】①，③．
【解析】充要条件的定义：如果有事物情况 ，则必然有事物情况 ；如果没有事物情况 ，则必
然没有事物情况 ， 就是 的充分必要条件．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合；充要条件与其他知识点结合
3. 利用集合思想判别四种条件
设 { 满足条件 }， { 满足条件 }．
设若 且 ，则称 是 的充分不必要条件．
设若 且 ，则称 是 的必要不充分条件．
设若 且 ，则称 是 的既不充分也不必要条件．
设若 且 ，则称 是 的充分且必要条件．
例题
17. 集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ， ，且 ，所以 或 ，显然“ ”是“
或 ”的充分不必要条件，故选 ．
【标注】【知识点】子集
【知识点】充要条件与其他知识点结合
【素养】逻辑推理
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
10练习
18. 设 是两个集合，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，任取 ，则 ，
∴ ，故 ；若 ，任取 ，都有 ，
∴ ，
∴ ，
又 显然成立，
∴ ．
综上，“ ”是“ ”的充要条件.
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】充要条件与其他知识点结合
【知识点】子集
例题
19. 使得“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ．若 ，则 成立，即充分性成立，反之若 ，则 不一定成
立，即 是 成立的一个充分不必要条件；
．当 时，由 得 ，则 不成立，即 不是充分条件，不满足条件；
．由 得 或 ，则 不是充分条件，不满足条件；
．由 得 ，则 是 成立的充要条件，不满足条件．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
【素养】逻辑推理
11思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
20. 设 是实数，则 成立的一个必要不充分条件是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意： 的必要不充分条件，即 可推答案，
由此可知 符合题意．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
【素养】逻辑推理
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
12五、 出门测
21. 张大妈说“不到长城非好汉”，她这句话的意思是：“到长城”是“好汉”的 条件.
【答案】必要不充分条件
【解析】设 为不到长城，推出 为非好汉，
即 ，则 ．
即好汉 到长城故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
22. “ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“ ”是“ ”的充分而不必要条件．
【标注】【知识点】充要条件与不等式结合
23. 设 ， ，则 是 成立的（ ）．
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，反之不成立．
∴ 是 成立的必要不充分条件．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】充要条件与不等式结合
24. 若集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
13C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，“ ”是“ ”的充分不必要
条件
故答案选A．
【标注】【知识点】充要条件与其他知识点结合
【知识点】交集
【素养】逻辑推理
【素养】数学运算
14
