文档内容
双曲线的定义与方程
一、 课堂目标
1．掌握双曲线的定义并推导双曲线的标准方程．
2．掌握双曲线标准方程的两种形式，能够借助于方程判断双曲线的焦点位置及求解三个参量的数值．
【备注】目标解读：
关联知识：椭圆．
本讲解读：本讲的重点是掌握双曲线的定义和双曲线的标准方程；难点是推导双曲线标准
方程的过程．
能力素养：本讲主要培养学生数学运算和逻辑推理的能力．
二、 知识引入
复习回顾
复习回顾
平面内与两定点 的距离的和等于常数 ，的点的轨迹是椭圆．
即
想一想：平面内与两定点 的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
实验
用拉链画双曲线的实验
取一条拉链，拉开它的一部分；
取一张白纸，在纸上任选两点 ；
1在拉链拉开的两边上取不对称两点，分别固定在点 上；
把笔尖放在拉头点 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．
若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？
实验的结果
实验的结果
（1）动点在运动过程中满足 ，其运动轨迹是双曲线的右
支；
（2）若拉链被固定的两点互换，则动点满足 ，其运动轨
迹是双曲线的左支．
生活中的双曲线
2生活中的双曲线
三、 知识讲解
1. 双曲线的定义
通过上面的实验，我们可以得出双曲线的定义：
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹（或集
合）叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．则点 在双曲线上
的充分必要条件是 ，即 ．
【备注】【注意】
（1）距离之差的绝对值；
（2）两个定点 ， （双曲线的焦点）；
（3） （焦距）；
（4） ．
问题1
问题1：定义中为什么要强调差的绝对值呢？
3理由：（1）当 时，点 的轨迹是双曲线的右支；
（2）当 时，点 的轨迹是双曲线的左支．
问题2
问题2：
（1）若 ，则轨迹是什么？
答：轨迹是以 或 为端点的两条射线．
（2）若 ，则轨迹是什么？
答：此时轨迹不存在．
（3）若 ，则轨迹是什么？
答：轨迹是线段 的垂直平分线．
例题
41. 到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线
【答案】D
【解析】两个定点的距离之差的绝对值小于两个定点间距离的点的轨迹是双曲线，等于两个定点
间距离时，双曲线退化成了两条射线，分别以两个定点为射线的两个端点．
时，这三点共线，且点 在点 ， 之外；
也可通过求轨迹方程的办法求出，此时要注意自变量的取值范围．
【标注】【知识点】双曲线的定义
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 若点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
【答案】C
【解析】由双曲线定义可知 ，
表示点 与定点 ， 的距离的差为 ．
因为 ．
所以点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义；求点的轨迹
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
53. 已知 ， ， ，当 和 时，点 的轨迹为（ ）．
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线
C. 双曲线的一支和一条直线 D. 双曲线的一支和一条射线
【答案】D
【解析】当 时， ，
则点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的一支，
当 时， ，
则点 的轨迹是以 为端点且与 轴正方向同向的一条射线．
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
4. 动点 到定点 的距离比它到定点 的距离少 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 两条射线
【答案】B
【解析】由条件，知 ， ，
故点 的轨迹为双曲线的左半支，选 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义；求点的轨迹
5. 平面内到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 两条射线 D. 双曲线
【答案】D
【解析】根据双曲线的定义，
6，
且 ，
∴点 的轨迹是焦点在 轴上的双曲线，且焦距为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹
6. 动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
【答案】D
【解析】 ，而 ，
∴ 在线段 的延长线上．
【标注】【知识点】双曲线的定义
2. 双曲线的标准方程
焦点在x轴上
双曲线的焦距 ，双曲线上任意一点 满足 ，求 点的轨迹
方程．
以过焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 ，此时，焦点
， 的坐标分别为 ， ．
设
即
化简：
，设
则上式化为： ，我们称其为焦点在 轴上且关于原点对称的双曲线的标准
方程．
焦点在y轴上
7同样，如果双曲线的焦点在 轴上，则上下焦点分别为 ， ，此时将上述标准方程中的
互换就可以得到它的方程 ，其中 ．
这就是焦点在 轴上且关于原点对称的双曲线的标准方程．
【备注】【注意】
（1）求解双曲线方程时，最好先根据题目条件判断焦点的位置，然后待定标准方程，再根
据题目条件求解出 三者中的任意二者即可．
（2）当题目中给定的条件为双曲线上的定点坐标而又不确定双曲线的焦点位置的，可以待
定双曲线的方程为 ，然后将点坐标带入方程求解参数即可．
例题
7. 是双曲线 上一点， ， 分别是双曲线左右焦点，若 ，则 （
）．
A. B. C. 或 D. 以上答案均不对
【答案】B
【解析】双曲线 的 ， ， ，
由双曲线的定义可得 ，
，可得 或 ，
若 ，则 在右支上，应有 ，
不成立；
若 ，则 在左支上，应有 ，
成立．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
8.
8已知双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离等
于 ．
【答案】
【解析】由双曲线的定义，可知 到两个焦点的距离差为实轴长，
由方程可知 ， ．
设两焦点为 ， ，则 ， ， 或 （舍），
故为 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 若双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线 上，且 ，则
等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线 上，且
，
∴ 或 ，
解得 （舍去）或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
10. 设双曲线 的焦点为 、 ， 为该双曲线上的一点，若 ，则
．
9【答案】
【解析】根据题意，双曲线的方程为： ，
其中 ，
则有 ，
又由 ，
可得 或 （舍），
故 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
例题
11. 双曲线 的焦点坐标为 ．
【答案】 ，
【解析】由双曲线方程 即 得
， ，
∴ ，
解得 ，
∴焦点坐标为 ， ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知焦点在 轴上，则 ，所以 ，解得 ．
10【标注】【知识点】双曲线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
13. 双曲线 的焦距是 ，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】首选应先将方程变为标准方程，但无法判断焦点所在的位置，因此要分类讨论．
∵双曲线 的焦距是 ，∴ ．
若焦点在 轴上，将双曲线 变形为 ．
， ， ， ．
若焦点在 轴上，将双曲线 变形为
．
， ， ， ．故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
14. 双曲线方程为 ，则它的右焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
11【答案】C
【解析】将双曲线的方程化为标准方程形式 . ， ，
. 右焦点坐标为 .
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
15. 已知双曲线 的一个焦点为 ，则 ．
【答案】
【解析】由方程知，双曲线焦点在 轴上，且 ， ， ，
∴ ，得 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
例题
16. “ ”是"方程 表示双曲线"的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ，方程 表示焦点在 轴的双曲线，充分性成
立，
反之，若 表示双曲线，
则 ，解得 或 ，
即有 表示双曲线， 不一定成立，必要性不成立，
故“ ”是“方程 表示双曲线”的充分而不必要条件．
故选 ．
【标注】【知识点】充要条件与解析几何结合；双曲线的标准方程
思路梳理
12本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
17. 若方程 表示双曲线，则 的取值范围为 ．
【答案】 或
【解析】 或 或 ．
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18. 是方程 表示双曲线的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 表示双曲线，
则 ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；充要条件与解析几何结合
19. 若 表示双曲线，则 的取值范围是 ．
13【答案】 .
【解析】 的取值范围是 .
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
例题
20. 已知 的顶点 ， ， ，则顶点 的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】因为 、 、 不能共线，且 ，所以点 的轨迹是双曲线的右支，且去掉点
．
【标注】【知识点】双曲线的定义
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 已知点 和点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵点 和点 ，动点 满足 ，
∴动点 是以点 和点 为焦点的双曲线的右支上的点，
且 ， ， ，
∴点 的轨迹方程是 ．
故选： ．
14【标注】【知识点】双曲线的标准方程
【素养】直观想象
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
22. 已知点 ， ，在满足下列条件的平面内，动点 的轨迹为双曲线的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ，故满足 的轨迹是双曲线．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的定义
23. 在双曲线 （焦距为 ）中， 满足（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，焦点坐标为 ， ， ；
，焦点坐标为 ， ， ；
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
1524. 双曲线 的左焦点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线 得 ， ，
∴ ，
则 ，
∴左焦点坐标为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的定义
25. 在平面直角坐标系 中，双曲线 的焦距是 ．
【答案】
【解析】双曲线 中， ， ，
∴ ，
∴双曲线 的焦距是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
26. 若双曲线 的焦点在 轴上，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】将双曲线化成焦点在 轴的标准形式 ，则
解得 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
1617
