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空间向量【题集】
1. 空间直角坐标系
空间中点的坐标
1. 点 位于（ ）．
A. 轴上 B. 轴上 C. 平面内 D. 平面内
【答案】C
【解析】由空间直角坐标系的性质，得：
点 位于 平面内．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
2. 在空间直角坐标系内，点 到 轴的距离是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】点 到 轴的距离等于 ，故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的模长与夹角
3. 如图，在长方体 中， ， ， ，以这个长方体的顶点 为
坐标原点，射线 ， ， 分别为 ， ， 的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点
的坐标是（ ）．
1A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于 ，故 坐标值为 ，同理， 坐标值为 ， 坐标值为 ，坐标为 ，故
正确．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
4. 下列命题中错误的是（ ）．
A. 在空间直角坐标系中，在 轴上的点的坐标一定是
B. 在空间直角坐标系中，在 平面上的点的坐标一定是
C. 在空间直角坐标系中，在 轴上的点的坐标可记作
D. 在空间直角坐标系中，在 平面上的点的坐标是
【答案】A
【解析】A 选项：在 中，在空间直角坐标系中，在 轴上的点的坐标一定是 ，故 错误；
B 选项：在 中，在空间直角坐标系中，在 平面上的点的坐标一定是 ，故 正确；
C 选项：在 中，在空间直角坐标系中，在 轴上的点的坐标可记作 ，故 正确；
D 选项：在 中，在空间直角坐标系中，在 平面上的点的坐标是 ，故 正确；
故选 A .
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
5. 点 在空间直角坐标系的位置是（ ）．
A. 在 轴上 B. 在 平面上 C. 在 平面上 D. 在 平面上
【答案】D
【解析】点 的 轴坐标为 ，在 平面上．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
6. 在空间直角坐标系中，点 位于（ ）．
A. 轴上 B. 轴上 C. 平面内 D. 平面内
2【答案】C
【解析】 ，因此，点 在 平面内．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
空间两点中点坐标公式
7. 已知点 ， ， 是 中点，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由中点坐标公式可得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
8. 空间直角坐标系中，已知 ， ，则线段 的中点为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵空间直角坐标系中，
， ，
∴线段 的中点坐标为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
空间两点距离公式
9. 设点 ， ， ，则线段 的中点与点 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
3【解析】∵点 ， ， ，
∴线段 的中点 ，
∴线段 的中点与点 的距离为：
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离
10. 在空间直角坐标系中，点 为坐标原点， ， ．若点 为 ， 的中点，则
．
【答案】
【解析】∵在空间直角坐标系中，点 为坐标原点， ， ．点 为 ， 的中
点，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离
11. 设 ， ， ，则 的中点 到点 的距离 ．
【答案】
【解析】
中点 ， ．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离
12. 空间直角坐标系中点 ， ，点 在 轴上，且 ，则点 的坐标
为 ．
【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，
4由题意得 ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离；向量法求空间距离
2. 空间向量的有关概念
13. 在平行六面体 中，模与向量 的模相等的向量有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】A
【解析】如图所示，模与向量 的模相等的向量有以下 个： ， ， ， ， ，
， ， 故选： .
【标注】【知识点】空间向量的概念
14. 如图，长方体 中， ， ， ，以八个顶点中的两点为
起点和终点的向量中，单位向量共有 个，模为 的向量是 ．
【答案】 ; ， ， ， ， ， ， ，
【解析】1 ：因为长方体中 ，所以向量 ， ， ， ， ， ， ，
是单位向量，而其他向量的模均不为 ，故单位向量有 个．
52 ：由于长方体中 ， ，故模为 的向量是 ， ， ， ， ，
， ， ．
【标注】【知识点】空间向量的概念
3. 空间向量的线性运算
15. 已知在空间四边形 中， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在空间四边形 中， ， ， ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
16. 在平行六面体 中，下列各式中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
6【答案】D
【解析】A 选项：
，故 错误；
B 选项：显然错误；
C 选项： ，故 错误．
D 选项：
，
，即选项 正确．
故选 D .
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
17. 如图，在平行六面体 中，已知 ， ， ，则用向量
， ， 可表示向量 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以选D．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
718. 如图，在三棱柱 中， 为 的中点，若 ， ， ，
则下列向量与 相等的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图：
，
，
，
，
，
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
19. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 为 的中点，若 ，
， ，则 （ ）．
8A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在四棱锥 中，底面 是正方形， 为 的中点，
， ， ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
4. 空间向量基本定理
20. 对于空间三个向量 、 、 ，它们一定是（ ）．
A. 共线向量 B. 不共线向量 C. 共面向量 D. 不共面向量
【答案】C
【解析】由题意 ，
由空间向量基本定理知空间三个向量 、 、 一定共面．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
21. 为空间内任意一点， 、 、 三点不共线，且 ，若 、 、 、
四点共面，则实数 ．
【答案】
【解析】∵ 是空间内任意一点，
、 、 、 四点共面，
，
∴ ，
9∴ ．
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】空间向量基本定理；空间向量共面问题
5. 空间向量的数量积
22. 棱长为 的正方体 中， 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接 ， ，
则 为等边三角形，且 ，
∴ 与 的夹角为 ，且 ，
∴
．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
23. 在长方体 中，设 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
10∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
24. 如图，在长方体 中，设 ， ， 是 的中点，则
所成角的大小为 ， ．
【答案】 ;
【解析】因为 ，
故 与 所成角即为 ，
不难计算为 ；
．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
25. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“✓”或“ ”）．
1. 空间中任意两个非零向量 ， 共面．（ ）
2. 在向量的数量积运算中 ．（ ）
3. 对于非零向量 ，由 、则 ．（ ）
4. 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．（ ）
5. 若 ， 、 ， 是空间任意四点，则有 ．（ ）
6. 若 ，则 是钝角．（ ）
11【答案】✓×××××
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量的概念；空间向量的数量积及其
坐标表示；空间向量基本定理
26. 如图，在长方体 中，设 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：
，
由垂直关系可得 ，
故原式 ．
故选 ．
【标注】【知识点】线性运算和数量积综合问题；空间向量的数量积及其坐标表示
27. 如图所示，已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于 ，点 、 、 分别是 、
、 的中点，求下列向量的数量积．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
12（ 4 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
【解析】（ 1 ）设 ， ， ，
依题意得 ， ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量线性运算的坐标表示；空间向量
的数量积及其坐标表示
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