文档内容
数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2． 作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或黑色签字笔完成．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号
为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑．
1. 日常生活中，我们会看到很多标志，在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A. 三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 五边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：在三角形、正方形、长方形、五边形中具有稳定性的是三角形，
故选：A．
3. 下列计算中，结果正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，根据同底数幂的乘法、单项式乘
以单项式、合并同类项的法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 要使分式 有意义，则x需满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列不等式进行求解即可．
【详解】解： 有意义，
，
解得： ，
故选：B．
5. 三角形的其中两边长分别是1和9，则第三边的长可能等于（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系，设第三边长为 ，由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小
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学科网（北京）股份有限公司于第三边可得出 ，从而得到答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：设第三边长为 ，
由三角形三边关系可得： ，即 ，
第三边的长可能等于 ，
故选：C．
6. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值，熟练掌握和运用平方差公式是解
本题的关键．
【详解】解： ， ，
故选：A
7. 某城市进行道路整改，需要重新铺设一段全长为6千米的道路，为尽量减少施工队对城市交通所造成的
影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高 ，结果提前25天完成这一任务，设原计划每天铺设
道路x米，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时
每天铺设管道 米，利用工作时间 工作总量 工作效率，结合实际比原计划提前25天完成任
务，可得出关于x的分式方程，此题得解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 实际施工时每天的工作效率比原计划提高 ，且原计划每天铺设管道x米，
实际施工时每天铺设管道 米，
根据题意得： ，
故选：C．
8. 如图，将一副三角板如图放置，则图中 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据三角形的外角的性质即可得出结论，熟练掌握三角形
的外角等于不相邻的两个内角的和是解此题的关键．
【详解】解：观察一副三角板得： ，
故选：C．
9. 如图，在等腰直角 中， ， ， 为 边上一点， 于 ，
，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理等，取
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学科网（北京）股份有限公司的中点 ，连接 ，先证 为等腰直角三角形，从而得 ，进而得
，再根据 ，得 ，由此可依据“
”判定 ，从而得出 ，由此可得 ，即
，然后证明 ，再由三角形外角定理 ，据此
可得出 的度数，正确地作出辅助线构造全等三角形，灵活利用三角形的外角定理找出相关角的关
系是解决问题的关键．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ，如图所示：
则 ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，即 ，
，
，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
，即 ，
故选：A．
10. 如图，点 ， ， 在同一条直线上，点 在点 ， 之间，点 ， 在直线 同侧，
， ， ，连接 ，给出下面三个结论：
① ；
② ；
③ ．
上述结论中，所有正确的结论序号是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过点 作 ，交 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，可知四边形
为矩形，从而 ，可得①②正确；在 中， ，可得
，故③正确；
【详解】解：如图，过点 作 ，交 于点 ；延长 交 的延长线于点 ；
，
∴四边形 为平行四边形，
，
四边形 为矩形，
是直角三角形，
故① ；
，
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学科网（北京）股份有限公司故② 正确；
∵在 中，
，
故③ 正确．
故①②③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，
熟练运用这些知识解决问题是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上．
11. 分解因式 =____________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】直接提取公因式 即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，
若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续
分解因式．
12. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有
克左右， 用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相
同，当原数绝对值 时， 是正整数，当原数的绝对值 时， 是负整数．
【详解】解：
故答案为： ．
.
13 若 ， ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方
计算即可．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：3．
14. 若n边形的每个外角都等于 ，则边数 _________．
【答案】18
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【详解】 多边形的外角和为 ,每个外角都等于 ,
的
n 值是 ，
故答案为：18．
【点睛】本题考查多外角和边形的为360°，正确理解多边形外角和定理是关键．
15. 若 ，且 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题求代数式的值、运用完全平方公式进行计算，先根据 得出 ，再利
用完全平方公式变形得出 ，结合 ，即可得出答
案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
16. 如图，在 中， ， ， 边的垂直平分线 交 于点D，交 于
点E， ，则 的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了含 角的直角三角形，三角形外角性质，线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的
性质，连接 ，利用线段垂直平分线的性质得出 ，利用三角形外角求出 ，利
用含 角的直角三角形特征求出最后结果即可．
【详解】解：如图，连接 ，
在 中， ， ，
，
边的垂直平分线 交 于点D，交 于点E，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为： ．
17. 若数a使得关于x的分式方程 有正数解，且使得关于y的不等式组 有解，
那么符合条件的所有整数a的和为______．
【答案】4
【解析】
【分析】主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，根据分式方程的解为正数解，求出 且 ，
根据关于y的不等式组有解，得出 ，从而可得符合题意的整数 的值有 ， ，即可得出答案，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：解分式方程 得： ，
分式方程的解为正数解，
且 ，
解不等式组 得 ，
关于y的不等式组 有解，
，
解得： ，
符合题意的整数 的值有 ， ，
符合条件的所有整数 的和为 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司18. 如果一个四位自然数 的各数位上的数字均不为0，且满足 ，那么称这个四位数为
“阶梯数”，并规定 ，例如四位数4725，∵ ，∴4725是“阶
梯数”，且 ；又如四位数5324，∵ ， ， ，即
，5324不是“阶梯数”；若一个“阶梯数”为 ，则 ______；若 ，
都是“阶梯数”，其中 ， ，a，n都是整数，且 的值是某
个正整数的平方，则满足条件的n的平均数为______．
【答案】 ①. ## ②. 6
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数的混合运算、求一组数据的平均数，根据 是“阶梯
数”可得 ，求解即可得出 的值；由 ， 都是“阶梯数”得出 ，在将
其代入 ，结合 的值是某个正整数的平方，可
得 的值，即可得出 的平均数，理解题意，正确列式计算即可．
【详解】解： 是“阶梯数”，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司， 都是“阶梯数”，
，即 ， ，
的值是某个正整数的平方，
， 时， ，
， 时， ，
， 时， ，
的平均数为 ，
故答案为： ， ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题
必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写
在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）根据单项式乘以单项式以及平方差公式去括号，再合并同类项即可；
（2）根据分式的混合运算法则进行计算即可得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解：
．
20. 学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对作一个
角等于已知角的两倍有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，注明其中蕴含的数学
依据：
用直尺和圆规，作线段 的垂直平分线 分别交 于点M，交 于点N，连接 ．（只保留作
图痕迹）
求证： ．
证明：∵ 是 的垂直平分线
∴ ① ，（依据： ② ）；
∴ ③ ，（依据：等边对等角）．
∵ 是 的外角
∴ （依据： ④ ）；
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【答案】解：作图见解析① ；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③ ；
④三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和；
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线
的性质．先利用基本作图作出 的垂直平分线得到 ，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，
则 ，然后根据三角形外角性质可得到结论．
【详解】解：作答如图；
证明：∵ 是 的垂直平分线
∴ ，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）；
∴ ，（依据：等边对等角）．
∵ 是 的外角
∴ （依据：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和）；
∴ ．
21. 先化简，再求值： ，再从0，1，2三个数中选择一个你认为合适的数作
为x的值代入求值．
【答案】 ，将 代入原式得
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则、分式有意义的条件是解题的关键，先去括号，
再算分式的乘除法化简式子，再根据 ， ，故 ，代入求值即可．
【详解】解：原式
由题知 ， ，即 ， ，
将 代入原式得，原式 ．
22. 如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1）作出 关于y轴的对称图形 ，并直接写出 的坐标：______；
（2）若 在第二象限内，且 ，求 的面积．
【答案】（1）作图详见解析，
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图，勾股定理．
（1）利用轴对称的性质作出 关于y轴的对称点，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用勾股定理求得 ，再利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解： 如图，
的坐标为 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵ 在第二象限内，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴点P坐标为 ，
∴ ．
23. 如图， 为等边三角形， 为 上一点， 为 上一点， ，连接 交于点
．
（1）求 的大小；
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学科网（北京）股份有限公司（2） 为 上一点， ，连接 ，若 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质，证明
和 是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得 ， ，证明 得出
，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案；
（2）证明 ，即可得出答案．
【小问1详解】
解： 为等边三角形，
∴ ， ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ；
【小问2详解】
证明： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
∴ ，
，
∵ ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24. “过了腊八就是年．”过腊八节，人们会喝“腊八粥”，嗦“腊八面”，腊八节当天，某餐馆腊八粥
的
销售额是2400元，腊八面的销售额是1800元，且卖出腊八粥的份数比腊八面的份数多6份．已知一碗
“腊八面”的售价要比一碗“腊八粥”的售价便宜 ．
（1）求“腊八粥”，“腊八面”的销售单价各是多少元；
（2）若每碗腊八粥的利润为5元，该餐馆当天售卖完所有腊八粥和腊八面最终总盈利660元，求每碗腊八
面的制作成本．
【答案】（1）“腊八粥”的销售单价是25元，“腊八面”的销售单价20元．
（2）每碗腊八面的制作成本为18元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）设“腊八粥”的销售单价为x元，则“腊八面”的销售单价为 元，根据题意列分式方程
求解，检验后即可得到答案；
（2）设每碗腊八面的制作成本为y元，根据题意列一元一次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设“腊八粥”的销售单价为x元，则“腊八面”的销售单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：“腊八粥”的销售单价是25元，“腊八面”的销售单价20元．
【小问2详解】
解：设每碗腊八面的制作成本为y元，
由题意得： ，
解得 ，
答：每碗腊八面的制作成本为18元．
25. 如图，四边形 和四边形 都是正方形， 三点在同一直线上，将图中阴影部分的
面积记为 ，将 的面积记为 ．
（1）若 ，求梯形 的面积；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ， ，且 ，求 的值；
（3）若 为 上一点， ， 的面积记为 ，设 ，满足
，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减以及其应用、运用完全平方公式进行计算，采用数形结合的思想是解此题
的关键．
（1）根据梯形的面积公式即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）设 ，根据三角形的面积列方程即可得出结论．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解： ， ，
；
【小问3详解】
解：设 ，则 ，
， ，
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
整理得， ，
配方得， ，
∴ ， ．
26. 如图，在 中， ， ， 是平面内两点，
（1）如图1，若 ， ，求 的大小；
（2）如图2，若 ， ， 交 延长线于 ，求证：
；
（3）如图3，若 ， ， ，直接写出 的面积．
【答案】（1）
（2）证明详见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用“ ”证明 ，即可得出答案；
（2）在 上取点 ，使 ，过 作 交 于 ，可证得 ，再证明
，即可得出结论；
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学科网（北京）股份有限公司（3）将 和 分别绕点 顺时针旋转 ，得到 和 ，连接 ， ， ，
交 于 ，延长 交 于 ，先证明 与 共线，证明 和 均为等腰直角
三角形，进而证得 ，得出 ， ，推出
，再利用三角形面积公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：在 上取点 ，使 ，过 作 交 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，且 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，即 ；
【
小问3详解】
解：如图，将 和 分别绕点 顺时针旋转 ，得到 和 ，连接 ， ，
， 交 于 ，延长 交 于 ，
则 ， ， ， ， ， ，
，
， ， ，
， ， ，
，
，
点 与点 重合，即 与 共线，
和 均为等腰直角三角形，
，
，
， ，
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积
等，综合性强，难度大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
