文档内容
东城区 2023-2024 学年度第一学期期末统一检测
初二数学
考生须知
1．本试卷共8页，28道题，满分100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两
边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边的长度 ，即 ．
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
2. 在 年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款 纳米车规级 芯片“龙鹰
一号”的量产和供货． 纳米 米， 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法：把一个数记成 的形式（其中 大于或等于 且小于 ），据此即可得出答案．
【详解】解：由科学记数法得： ．
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学科网（北京）股份有限公司故选： ．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘
法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及
同底数幂的除法可进行排除选项．
【详解】A． ，原计算错误，故不符合题意；
B． ，原计算正确，故符合题意；
C． ，原计算错误，故不符合题意；
D． ，原计算错误，故不符合题意；
故选：B．
4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代
表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形；
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式 与多边形
的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得： ，
∴这个多边形是六边形．
故选：D
6. 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：左边长方形的面积为： ，
右边的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积： ，
则表示的运算为： ，
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何运用，能够熟练运用面积表示平方差公式是解题关键．
7. 如图，在 中， ， ， ， ，则 （ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，求出
，根据等腰三角形的判定得出 ，根据含 角的直角三角形的性质得出
，再求出答案即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识
点，能求出 和 的度数是解此题的关键．
8. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图， 是一个正在修建的口袋
公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路 、 的距离相等，且使得 ，则凉
亭H是（ ）
A. 的角平分线与 边上中线的交点
B. 的角平分线与 边上中线的交点
C. 的角平分线与 边上中线的交点
D. 的角平分线与 边上中线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在 的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得
的面积 的面积， 的面积 的面积，然后利用等式的性质可得 的面
积 的面积，即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图：作 的平分线交 于D，作 的中线 交 于H，
∵ 平分 ，点H在 上，
∴点H到 、 的距离相等，
∵ 是 边上的中线，
∴ 的面积 的面积， 的面积 的面积，
∴ 的面积 的面积 的面积 的面积，
∴ 的面积 的面积，
∴凉亭H是 的角平分线与 边上中线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
9. 如图，在 中， ，D 是 的中点，在 的延长线上取点 E，连接 ，若
， ，则 为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角的和差等知识点，根据等腰三角形的性质求得
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学科网（北京）股份有限公司是解题的关键．
先根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，然后再运用角的和差即可解答．
【详解】解：∵ ，D是 的中点，
∴ ,
∴ ．
故选A．
10. 如图， ，点 是射线 上的定点，点 是直线 上的动点，要使 为等腰三
角形，则满足条件的点 共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当 为腰时，当 为底时，分别画出图形，即
可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
当 为腰时， ， ， 均是以 为腰的等腰三角形，
当 为底时， 为等腰三角形，
满足条件的点 共有 个，
故选：D．
二、填空题：（本题共16分，每小题2分）
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
12. 使分式 有意义的 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出
不等式并正确求解．
【详解】由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
13. 分解因式： ______.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公共项y，然后观察式子，继续分解
【详解】
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解基本方法 是解题关键
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学科网（北京）股份有限公司14. 如图，B，E，C，F 四个点在一条直线上． ， ，请添加一个条件使
，则添加的条件可以是_______．
【答案】答案不唯一，如 等
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、
、 、 ．添加时注意： 、 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图
形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【详解】解：要使 ，已知 ， ，
可以添加 ，运用 来判定其全等；
也可添加一组角 ，运用 来判定其全等；
添加 ，运用 来判定其全等．
故答案为： （答案不唯一）．
15. 如图，在 中， ，点 是 的垂直平分线与 的交点，将 沿着 翻折得
到 ，则 的度数是_________
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到 ，由三角形外角的性质和三角形
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学科网（北京）股份有限公司内角和定理求得 ， ，根据翻折的性质求得 ，进而求得 的
度数．
【详解】解： 点 是 的垂直平分线与 的交点，
，
，
， ，
将 沿着 翻折得到 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查翻折 的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是
掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
16. 某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后
成功地连接到网络．他输入的密码是_______．
账号：shu xue le yuan
密码
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题 的关键；由题意可先进行单
项式除以单项式的运算，然后问题可求解．
【详解】解： ，
∴他输入的密码是2024；
故答案为：2024．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC3，BC4，AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是
AD和AC上的动点，则PCPQ的最小值是_____.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】作点 C 关于 AD 的对称点 D'，过点 D'作 D'Q⊥AC，则 PC+PQ 的最小值是 D'Q 的长；证明
△ACM'≌△AD'M（AAS），由 ，即可求解；
【详解】解：作点C关于AD的对称点D'，过点D'作D'Q⊥AC，
则PC+PQ的最小值是D'Q的长；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴△ACM'≌△AD'M（AAS），
∴AC=AD'，
∵AC=3，
∴AD'=3，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴QD'= ；
故答案为 ；
【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．
18. “回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊
体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．
在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”例如11，343等．
（1）在所有三位数中，“回文数”共有_______个；
（2）任意一个四位数的“回文数”一定是_______的倍数(1除外)．
【答案】 ①. 90 ②. 11
【解析】
【分析】本题考查整式的加减，分解因式，
（1）百位数字和个位数字相同时，三位数 是回文数，据此可得答案；
（2）由“回文数”定义，数字与数的关系求得任意四位数的“回文数”是11的倍数；
【详解】解：（1）解：当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为 1时，有10个回
文数，同理百位数字为2时，有10个回文数 ，
三位数的回文数共有90个；
故答案为：90；
（2）设任意四位数 的“回文数”千位，百位，十位和个位上的数字分别为 、 、 、 ，则有：
，
是11的倍数；
故答案为：11
三、解答题（本题共54分，19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分）解
答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可
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学科网（北京）股份有限公司能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分 角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根
据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．
已知： ．
求作：射线 、 ，使得 ．
作法：
①在射线 上取一点M，分别以点O、点M为圆心， 长为半径画弧，两弧在 内部交于点
C，连接 ，画射线 ；
②作 的平分线 ．
射线 、 为所求作射线．
证明：∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵OD平分 ，
∴ ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】画图见解析， ；
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌
握以上知识点．根据作法补全图形即可；首先证明出 为等边三角形，然后得到 ，
，然后根据角平分线定义可求出 ，即可得证．
【详解】解：画图如图，
证明：∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ， ．
20. 如图，在平面直角坐标系 中， 顶点A坐标为 ，顶点B坐标为 ，顶点C坐标
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学科网（北京）股份有限公司为 ．
（1）作 关于y轴的对称图形 （其中A，B，C的对称点分别是 ， ， ）并写出点
的坐标；
（2）画出两个与 全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作轴对称图形、坐标与图形、全等三角形的定义等知识点，熟练掌握轴对称的有
关性质是解题的关键．
（1）先确定点A、B、C关于y轴对称的点 ，然后顺次连接即可完成作图，然后直接写出点
的坐标即可；
（2）根据全等三角形的定义作图即可．
【小问1详解】
解：如图： 即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司点 的坐标为 ．
【小问2详解】
解：如图： 即为所求．
21. 已知：如图，点D在 上，点E在 上， ．
求证： ．
【答案】证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【详解】证明：∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AB＝AC，
在 ABE和 ACD中
△ △
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）
与书写步骤是解题的关键．
22. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，
有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外
面的除法，最后代入求值．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
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学科网（北京）股份有限公司23. 解分式方程 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．先去分母把分式
方程化为整式方程，然后解方程，最后代入原方程检验即可．
【详解】解：
方程两边都乘 ，得 ．
解得： ．
检验：当 时， ．
所以分式方程的解是 ．
24. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同
类项，然后把 代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
∵
∴
第18页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
25. 2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校
篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，
采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别
是多少元？
【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元
【解析】
【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为 元，，再利用“采购相同数量的A，B
两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可．
【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为 元，
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
经检验， 是所列方程的根．
（元）．
所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键．
26. 利用整式的乘法运算法则推导得出： ．我们知道因式分解
是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ．通过观察
可把 看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二
次三项式的二项式系数 与常数项 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为
“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图 1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式
的 二 项 式 系 数 2 与 常 数 项 12 分 别 进 行 适 当 的 分 解 ， 如 图 2 ， 则
．
第19页/共28页
学科网（北京）股份有限公司根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式： ；
（2）用十字相乘法分解因式： ；
（3）结合本题知识，分解因式： ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【小问1详解】
解：
，
；
【小问2详解】
解：
，
第20页/共28页
学科网（北京）股份有限公司；
【小问3详解】
解：
，
．
27. 如图 1， 中， ， ，点 D 在 上，连接 ，在 的上方作
，且 ，连接 ．作点A关于 的对称点F，连接 ，交 于点M．
（1）补全图形，连接 并写出 （用含 的式子表示）；
（2）当 时，如图2．
①求证： ；
②直接写出 与 的数量关系： ．
【答案】（1）补全图形见解析，
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三
第21页/共28页
学科网（北京）股份有限公司角形全等的判定与性质和三角形相似的判定性质是解题的关键；
（1）根据三角形内角和定理可得到 ，再利用对称的性质得到 ，即可得到答
案；
（2）①连接 ， ，根据 、 都是等边三角形，易证得 ，进而得到
，再根据点A关于 的对称点是点F，可得到 ；
②取 ，证 ，进而证 ，再证 ，即可
得结论．
【小问1详解】
解：如图，
中， ， ，
点A关于 的对称点F，
∴ ；
故答案为： ．
【小问2详解】
解：连接 ， ，
第22页/共28页
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，
是等边三角形， 是等边三角形，
， ， ，
．
即 ，
，
，
，
，
，
点A关于 的对称点是点F，
，
∴ ，
，
．
②如图
第23页/共28页
学科网（北京）股份有限公司取 ，
由①可得， ， ，
，
， ， ，
， ，
；
在 和 中，
，
，
，
∴ ，
，
．
故答案为： ．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和点 ，若存在点 ，使得 ，且 ，则称
点 为点 关于点 的“链垂点”．
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司（1）如图 ，
①若点 的坐标为 ，则点 关于点 的“链垂点”坐标为；
②若点 为点 关于点 的“链垂点”，且点 位于 轴上方，试求点 的坐标；
（2）如图 ，图形 是端点为 和 的线段，图形H是以点 为中心，各边分别与坐标轴平行且
边长为 的正方形，点 为图形 上的动点，对于点 ，存在点 ，使得点 关于点 的
“链垂点”恰好在图形 上，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查的知识点是坐标与图形，用有序数对表示位置和写出直角坐标中点的坐标，解题关键是
正确理解定义“链垂点”．
（1）根据题意可知“链垂点”形成的是一个直角，可根据直角画出一个圆，便可利用圆的知识找到链垂
点的坐标，以及相关问题．
（2）由题意得， 为直角，故以 为直径作圆，圆心为 ，过圆心作 垂直于 ，交 轴上方
圆于点 ，可得其坐标；
（3）画出图形，解答即可；
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：①以原点为圆心 为半径作圆，在过点 作 垂直于 于点 ，交圆 于 ， 两点，便得
到链垂点坐标即为点 和点 坐标 和 ．
故答案： ， ．
②由题意得， 为直角，故以 为直径作圆，圆心为 ，过圆心作 垂直于 ，交 轴上方圆
于点 ，可得其坐标．
如图，设点 ，
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，
∴ .
∵ ，
∴ , .
解得
【小问2详解】
图形 所在直线表达式为 ，可设点 坐标为 ，其中 ，
设点 关于点 的“链垂点”恰好在图形 上，且为F点，
以 为斜边的两个直角三角形全等，
故由图形可得当 ，不能构成等腰直角三角形，
故可得到 ．
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
