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2024 北京平谷初二（上）期末数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠直线两旁的部分完全重合．根据轴对称图形的定义判
定即可．
【详解】解：A、对称轴是3条，本选项不符合题意；
B、对称轴是4条，本选项符合题意；
C、对称轴是2条，本选项不符合题意；
D、对称轴是6条，本选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 与 不能合并，所以选项错误；
B、 ，所以选项错误；
C、 ，所以选项错误；
D、 ，所以选项正确；
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司3. 分式 ，化简结果为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分的应用，能根据分式的基本性质正确约分是解此题的关
键．
先对分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可．
【详解】解： ，
故选：B．
4. 如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得出 的
取值范围，从而得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：由三角形的三边关系可得： ，则 ，
a的值不可能是1，
故选：A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上；
B. 任意买一张电影票，座位号是偶数；
C. 射击运动员射击一次，命中10环；
D. 一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1~6点数朝上的可能性相同．
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了本题考查了随机事件、必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、
随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发
生的事件．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上，也可能是反面朝上，故此选项错误；
B、任意买一张电影票，座位号是偶数，也可能奇数，故此选项错误；
C、射击运动员射击一次，命中10环，也可能是9、7、6、5、4、3、2、1、0环，故此选项错误；
D、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1~6点数朝上的可能性相同，故此选项正确．
故选D．
6. 一个正六边形的内角和的度数为（ ）
A. 1080° B. 720° C. 540° D. 360°
【答案】B
【解析】
【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．
【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．
7. 下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，将选项中的各数化为最简二次根式，判断它们的被开方数是否与
相同，相同即是同类二次根式．
【详解】解：A、 ，与 是同类二次根式，符合题意．
B、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意．
C、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意．
D、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意．
故选：A．
8. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，则 的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形
解决问题．
先证明 ，进而得到角的关系，再由 的度数进行转化，最后利用三角形的内
角和即可得到答案．
【详解】解：∵等腰直角
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵等腰直角
∴ ， ，
，
∴ ，
，
在 和 中，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果 在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
10. 若分式 的值为0，则 的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
11. 计算： ______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算法则即可解题．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 已知 ，化简 =______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据题意化简二次根式，
即可求解．
【详解】解： ，
．
故答案为1．
13. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的m个球，其中有黄球3个，如果从中随机摸出一个，
那么摸到黄球的可能性为大小是 ，则m是______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查概率计算公式的使用，根据概率 黄球个数 总数，变形得到总数 黄球个数 概率，
即可解题．
【详解】解： （个），
故答案为：6．
14. 如图，在 和 中，若 ，且 ，请你添加一个适当的条件，
使 ．添加的条件是：______（写出一个即可）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角性质．
先证明 ，又因为 ，根据全等三角形的判定定理，在 与 中
只需要再加一对对应边相等即可使 ，所此求解即可．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴当添加 时，则在 与 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
故答案为： （答案不唯一）．
15. 如图，数轴上点A，B，C，D所对应的数分别是1，2，3，4，若点E对应的数是 ，则点E落在
_____之间．（填序号）
①A和B；②B和C；③C和D．
【答案】③
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴点 落在 和 之间，
故答案为：③．
16. 如图，在 中，根据尺规作图痕迹， ，若 的周长为18，则点F到线段 的距离
是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质，勾股定理，先根据图形得出． 为
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学科网（北京）股份有限公司的角平分线， 为 的垂直平分线，从而进一步求 ， ，再利用勾股定理求解．
【详解】解：由图可知， 为 的角平分线， 为 的垂直平分线，
，点F到线段 的距离等于 ，
的周长为18，
， ，
，
点F到线段 的距离等于3，
故答案为：3．
三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题105分，第19—23题每小题5分，第
24题4分，第，25—26题每小题5分，第27—28题每小题7分共68分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，立方根，零指数幂的意义，二次根式的化简，正确使用上述运算法则是
解题关键
【详解】解：原式
18. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与运算顺序是解题的关键．
（1）先把二次根式化 为最简二次根式，并运算平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，正确理解运算顺序是关键．
首先计算括号内的式子，把除法转化成乘法，然后进行约分即可求解．
【详解】解：
=
=
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学科网（北京）股份有限公司=
20. 解分式方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程．先去分母，将分式方程转化成整式方程，再移项，合并同类项，然后 系
数化为1，最后检验即可．
【详解】解：
检验：当 时，方程左右两边相等，所以 是原方程的解．
所以原方程的解是 ．
21. 已知：如图， ， ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明 ，再利用 证明∴
，即可证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ．
∴ ．
.
22 先化简，再代入求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，利用平方公式和平方差化简题目中的式子，然后将
代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
．
．
∵
∴原式
23. 在证明等腰三角形的性质定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示，你能用
哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
已知：如图，在 中， ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司甲同学的方法：
乙同学的方法： 丙同学的方法：
证明：作 的平分线交
证明：作 证明：取 中点F，连接
于点D．
于点E． ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．选甲，根据 证明 ，即可；选
乙，根据 证明 ，即可；选丙，根据 证明 ，即可．
【详解】解：选甲，证明如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
∴ ．
∴ ．
选乙：证明如下：
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 和 均是直角三角形，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ．
选丙，证明如下：
∵点F为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
24. 已知排好顺序的一组数： ．
（1）在这组数中，有理数有＿＿＿个，无理数有＿＿＿个；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为m，右侧的数记为n，则m-n的值中共有＿＿＿个
正数；
（3）若从这组数中任取两个不同的数a和b，则ab的值中共有＿＿＿个有理数．
【答案】（1）3；5 （2）3
（3）5
【解析】
【分析】本题考查有理数与无理数的识别，二次根式的减法与科法运算．熟练掌握无限不循环的小数是无
理数，二次根式减法与乘法法则是解题的关键．
（1）先化简各根式，再根据有理和与无理数的定义判定即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据二次根式减法法则计算两个相邻的数的差，再判定即可；
（3）根据二次根式乘法法则计算两个不同的数的积，再判定即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ， ， ， ， ，
∴有理数有： ， ， ，共有3个；
无理数有： ， ， ， ， ，共有5个．
故答案为：3；5．
【小问2详解】
解：∵ ，
，
，
，
，
，
，
∴ 的值中共有3个正数．
故答案为：3．
【小问3详解】
解：∵ ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
∴从这组数中任取两个不同的数a和b，则ab的值中共有5个有理数．
故答案为：5．
25. 如图，在等边 中，D是 边上一点，E是 延长线上一点，连接 ，若
，求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形的性质得到 . 则 ，根据等边对等角得到
，再利用三角形外角性质得到答案.
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形性质、三角形的外角的性质等知识，熟练掌握等边三角形和等
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学科网（北京）股份有限公司腰三角形的性质是解题的关键.
【详解】∵ 是等边三角形
∴ .
∵
∴
∵ ，
.
∴
∵ ，
∴ .
26. 过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸
福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共
制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子
的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数．
【答案】妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个．
【解析】
【分析】此题考查分式方程的应用．设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个，根据爸爸擀面皮
的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，列出方程求解即可．
【详解】解：设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个
由题意知， ．
解得 ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
答：妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个．
27. 阅读下面材料：
已知，在 中， ， ，点D是射线 上任意一点，连接 ，过点C作
，垂足为点E，交 于点F，过点B作 交 的延长线于点G．
（1）如图1，当 ，点D是 边中点时，求 的长；
（2）当点D在 的延长线上时，根据题意补全图形2，用等式表示线段 、 和 的数量关系，
并证明．
【答案】（1） ；
（2）图见解析； ，证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由勾股定理求得 ，再证明 ，得 ，即可求解；
（2）根据题意画出图形，再证明 ，得 ，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵点D是 边中点， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
【
小问2详解】
解：如图，
，理由：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
28. 阅读理解：
定义：若分式A和分式B满足 （n为正整数），如：，则称A是B的 “n差分式”．
例如： ，我们称 是 的“3差分式”．
解答下列问题：
（1）分式 是分式 的“________差分式”；
（2）分式 是分式 的“2差分式”
① _______（用含x的代数式表示）；
②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值．
（3）已知 ，分式 是 的“4差分式”（其中x，y为正数），求 的值．
【答案】（1）1；（2）① ；②当 时， ；当 时， ；（3）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，分式的运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则．
（1）根据新定义运算进行计算即可；
（2）①由定义可知 ，进而可得 ，求解即可；
②由题意得 ，在根据A的值为正整数，x为正整数对 进行讨论即可求解；
（3）由定义可得 ，则 ，结合 ，得 ，即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得： ，
即：分式 是分式 的“1差分式”，
故答案为：1；
（2）①∵分式 是分式 的“2差分式”，
∴ ，即： ，
∴ ，
则
∴ ；
为
故答案 ： ；
②∵
∵A的值为正整数，x为正整数，
∴ ，则 ；
，则 ；
，则 （舍去）；
，则 （舍去）；
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时， ；当 时， ；
（3）∵分式 是 的“4差分式”（其中x，y为正数），
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司
