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第六章 反比例函数
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
则 的值是（ ）
A．3 B．-3 C．-1 D．1
【答案】B
【分析】根据反比例函数、正比例函数图象上点的坐标特征，得到ab=1，b=a+2，再代入计算即可．
【详解】解：由于反比例函数 的图象与一次函数y=x+2的图象交于点A（a，b），
∴ab=1，b=a+2，
∴a ab b
=a b ab
= 2 1
= 3，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象和性质是正确解
答的前提．
2．（2022·全国·九年级课时练习）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y （kb≠0），下列能同时正确
描述这两种函数大致图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．
【详解】解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，
∴kb＜0，∴反比例函数经过二、四象限，
故A选项不符合题意；
B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，
∴kb＞0，
∴反比例函数经过一、三象限，
故B选项不符合题意；
C选项中，一次函数b=0，
∵kb≠0，
故C选项不符合题意；
D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，
∴kb＜0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系
是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图， 中，点 在第一象限，且 ， ，反比例
函数 图像经过点 ，反比例函数 图像经过点 ，且点 的纵坐标为2，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图:作 轴于 ， 轴于 ，则直线 与直线 交于点 ,在确定点B的坐标，进而
确定BE、OE的长，再证明 得到 、 ，则可确定A点坐标，然后将A
点坐标代入 求出k，最后再根据函数图像所在的象限解答即可．【详解】解：如图，作 轴于 ， 轴于 ，则直线 与直线 交于点 ，
反比例函数 图像经过点 ，点 的纵坐标为2，
点 ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中
，
， ，
，
，
反比例函数 图像经过点 ，
，
解得 ，
反比例函数 图像在第一象限，
，
．
故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数图像的性质是解答本题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）要确定方程 的解，只需知道一次函数 和反比例函数
的图象交点的横坐标．由上面的信息可知，k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】一次函数y=x+1和反比例函数 的图象交点的横坐标是方程x+1= 的解，整理后与方程
x2+x-5=0比较即可求得结论．
【详解】解：∵一次函数y=x+1和反比例函数 的图象交点的横坐标是方程x+1= 的解，
方程x+1= 整理得，x2+x-k=0，
由题意可知，k=5，
故选：C．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，明确一次函数y=x+1和反
比例函数 的图象交点的横坐标是方程x+1= 的解是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）反比例函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象
限．
【详解】解：由反比例函数y= 与一次函数y=kx-3可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质
是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图
象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为 ，另一交点B的纵坐标为 ，则 （ ）
A．4 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据点A既在正比例又在反比例上及其横坐标为－2可知－2k ；同理可知kk＝1；化简即
1 1 2
可得解
【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y （k≠0）的图象交于A，B两点，其
1 1 2
中点A在第二象限，横坐标为－2，另一交点B的纵坐标为－1，
∴ ，化简，得 ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是明确函数交点的特征，即交点坐标要
同时满足两个函数解析式．
7．（2022·全国·九年级课时练习）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 上在同一直角坐标系中的
1 1 2
图象如图所示，则当kx十b＜ 时，x的取值范围是（ ）
1
A．x＜1成0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3
C．﹣1＜x＜0 D．x＞3
【答案】B
【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1，3），（3，-1）．由图象可以直接写出当y＜y 时所
1 2
对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的交点是（-1，3），（3，-1），
1 2
∴当y＜y 时，-1＜x＜0或x＞3；
1 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思
想．
8．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y= 的图像交于点A、B，其中点
A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则 OAB的面积（ ）
△A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次
函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵A（- ，-2m）在反比例函数y= 的图像上，
∴m=(- ) • ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∴B（2，1），A（- ，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S AOB=S BOD+S AOD
△ △ △
= ×3×2+ ×3×
= ．
故选：D．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边 交x轴于点C，交反比例函数图象于点P．当点P是 的中点时，求得图中阴影部分的面积为
8，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形 的面积是8，设 ，则 ，
根据 ，可得 ，再根据反比例函数系数 的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
【详解】解：如下图所示，设矩形与y轴交于点D，
∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部
分的面积为8，
∴矩形 的面积是8，
设 ，则 ，
∵点P是AC的中点，
∴ ，
设反比例函数的解析式为 ，∵反比例函数图象于点P，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数 的几何意义，得出矩形 的
面积是8是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停
止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水
机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温
和时间 的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（ ）
A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟
【答案】A
【分析】首先求出反比例函数的解析式，然后把y＝50代入反比例解析式求得x后，减去7即可求得时间．
【详解】解：设反比例函数关系式为：y＝ ，
将（7，100）代入y＝ 得， ，解得k＝700，
∴y＝ ，
将y＝50代入y＝ ，解得x＝14；∴水温从100℃降到50℃所用的时间是14﹣7＝7分钟，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用题，解题关键是求出反比例函数解析式．
二、填空题
11．（2022·全国·九年级课时练习）若反比例函数 与一次函数 的图像的一个交点的坐标为
，则关于 的方程 的解是______________．
【答案】 ，
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解： 反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的坐标为 ，
反比例函数 与一次函数 的图象的另一个交点的坐标是 ，
关于 的方程 的解是 ， ；
故答案是： ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数图象的中心对称性．
关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数．
12．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数 是关于 的反比例函数，则实数 的值是
________．
【答案】2
【分析】根据反比函数的定义得出 且 ，计算即可得出结论．
【详解】解：∵函数 是关于 的反比例函数，
∴ 且 ，
∴m＝2或﹣2，且 ，
∴m＝2．
故答案为：2【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反
比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为 （k为常数，k≠0）或 （k为常数，
k≠0）．
13．（2022·全国·九年级课时练习）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图像交于A（m，6），B（3，
n）两点，则当kx+b﹣ ＜0时，x的取值范围是_____．
【答案】 或
【分析】首先根据A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y＝ 的图象上，求出m，n的值各是多少；
画出函数图象，结合图象可直接得到x的取值范围．
【详解】解：∵A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y＝ （x>0）的图象上，
∴m=1，n=2，
∴A（1，6），B（3，2），
如图，若kx+b﹣ ＜0，即kx+b＜ ，由图象可知，x的取值范围为：03．
故答案为：03．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．
14．（2022·全国·九年级课时练习）已知点P（m，n）在直线y=-x+3上，也在双曲线y=- 上，则
m2+n2=___________
【答案】11
【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，
再利用完全平方公式将原式变形得出答案．【详解】解：∵点P（m，n）在直线y=-x+3上，
∴n+m=3，
∵点P（m，n）在双曲线y=- 上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n
之间关系是解题关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，函数y＝x+1与函数y＝ 的图象相交于点M（1，m），N（﹣
1 2
2，n）．若y＜y，则x的取值范围是x＜﹣2或 _____．
1 2
【答案】0＜x＜1
【分析】观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，y＜y 时的x的取值范围为：x＜−2或0＜x＜1，
1 2
故答案为：0＜x＜1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集
是解答此题的关键．
16．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间 与行驶的平均速度
之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在 内到达，则速度至少需要提高到__________
．【答案】240
【分析】由设 再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把 h代入函数解析式求解 的值，结
合图象上点的坐标含义可得答案.
【详解】解：由题意设
把 代入得：
当 h时， ，
所以列车要在 内到达，则速度至少需要提高到 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.
三、解答题
17．（2022·全国·九年级课时练习）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y 的图像交于A（﹣3，2）、B
（1，n）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)结合图像直接写出不等式kx+b 的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y
(2)8
(3)x＜﹣3或0＜x＜1
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S AOB＝S OCA+S OCB求解即可；
△ △ △
（3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
（1）
解：∵反比例函数y 的图象经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则 ，
解得k＝﹣2，b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y ；
（2）
解：如图，设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S AOB＝S OCA+S OCB 4×3 4×1＝8；
△ △ △
（3）
解：观察函数图象知，
不等式kx+b 的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象
上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可．
18．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限
内的图象交于 和 两点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，当一次函数 的值大于反比例函数 的值时，写出自变量x的取值范
围
(3)求 AOB面积．
△
【答案】(1) ．(2)1﹤x﹤3．
(3)4．
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得
出反比例函数的表达式；
（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；
（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用 可求得 的面积．
（1）
解：（1）∵点A在一次函数图象上，
∴n=-1+4=3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为
（2）
结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．
（3）
如图，设一次函数与x轴交于点C，
在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．
故 AOB的面积为4．
△【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点
坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
19．（2022·全国·九年级课时练习）已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点
和点 ．
(1)求这两个函数的关系式；
(2)观察图象，直接写出使得 成立的自变量 的取值范围；
(3)如果点 与点 关于 轴对称，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)12
【分析】（1）把 代入反比例函数解析式即可求出k值，根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再
利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当反比例函数图像在一次函数图象上方时， ，结合两个交点的横坐标即可求解；
（3）求出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求解．
（1）
解：将 代入 得， ，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ，又 点 在 上，
，
解得 ，
点B的坐标为 ，
点A和点B在一次函数 上，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ，
综上可得 ， ．
（2）
解： 时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
观察图象可知，当 或 时， ．
（3）
解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接AC，作 于点D，
点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，
又 点B的坐标为 ，
， ，
的面积 ．
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及求三角形的面积，其中第2问
用到了数形结合的思想，第3问用到了求坐标系内两点之间的距离，都是常考题型，需要多加练习．
20．（2022·江苏·八年级专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式；
（2）当气体体积为 时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于 时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
【答案】（1） ；（2） ；（3）不小于
【分析】（1）根据题意可知p与V的函数关系式为 ，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）直接把V=1代入解析式可求得；
（3）利用“气球内的气压小于等于140 kPa”作为不等关系解不等式求解即可．
【详解】解：（1）设p与V的函数关系式为 ，
将V=0.8，p=120代入上式，解得k=0.8×120=96，
所以p与V的函数关系式为 ；（2）当V=1时，p=96，即气压是96kPa；
（3）由 ≤140，得 ，所以气球的体积应大于等于 m3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数图象以及性质是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教
师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，
CD为双曲线的一部分）．
（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．
（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．
（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过
适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？
【答案】（1）5；（2） ； ．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这
道题．
【分析】（1）（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，得出第五分钟和第三十分钟的注意
力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．
【详解】（1）（2）设线段AB所在的直线的解析式为y ＝k x＋30，
1 1
把B（10，50）代入得，k ＝2，
1
∴AB解析式为：y ＝2x＋30（0≤x≤10）．
1
设C、D所在双曲线的解析式为y ＝ ，
2
把C（20，50）代入得，k ＝1000，
2
∴曲线CD的解析式为：y ＝ （x≥20）；
2
当x ＝5时，y ＝2×5＋30＝40，
1 1
当x ＝30时，y ＝ ，
2 2∴y ＞y
1 2
∴第5分钟注意力更集中．
故答案为：5；
（3）当 时， ．
．
∴ ．
∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中
找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
