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班级 姓名 学号 分数
第六章 反比例函数单元测试（B 卷·提升能力）
（时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知点P为反比例函数 的图象上一点，且点P 到坐标原点的距离为 ，则符合条件的点P有（
）
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
【答案】C
【解析】
【分析】
设（x， ），再根据点P到原点的距离 是可得到关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】
解：设点P坐标为（x， ），
∵点P到原点的距离是 ，
∴x2+（ ）2= ，
解得： ， ．
故点P坐标为（3,1），（-3，-1），（1,3），（-1，-3）.
∴符合条件的点有4个．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据点P在反比例函数的图象上得出关于x的方程是解
答此题的关键．
2．已知 ， ， 在反比例函数 上，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数y=- 中k=-a2＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵（-3，y），（-15，y），（2，y）在反比例函数y=- 上，
1 2 3
∴（-3，y），（-15，y）在第二象限，点（2，y）在第四象限，
1 2 3
∴y＜y＜y．
3 2 1
故选A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的
解析式是解答此题的关键．
3．下列选项中，能写成反比例函数的是（ ）
A．人的体重和身高
B．正三角形的边长和面积
C．速度一定，路程和时间的关系
D．销售总价不变，销售单价与销售数量的关系
【答案】D
【解析】
根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断变量间是否为反比例函数关系，因
此可得：
A、人的体重和身高，不是反比例函数关系；
B、正三角形面积S，边长为a，则 ，不是反比例函数关系；
C、路程＝速度×时间，速度一定，路程和时间成正比例；
D、销售总价不变，销售单价与销售数量成反比例关系．
故选：D．4．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数 上一个动点，
轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会
A．先增后减 B．先减后增 C．逐渐减小 D．逐渐增大
【答案】D
【解析】
【分析】
过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大
小即可．
【详解】
过点P作PC⊥x轴于点C，
∵点P在y=- （x＜0）
∴矩形PBOC的面积为6
设A的坐标为（a，0），P坐标（x，− ）（x＜0），
△APC的面积为S，
当a＜x＜0时，
∴AC=x-a，
∴PC=-∴△APC的面积为S= （x-a）• =-3（1- ）
∵a＜0，
∴-a＞0，
∴- 在a＜x＜0上随着x的增大而减小，
∴1- 在a＜x＜0上随着x的增大而减小，
∴-3（1- ）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，
∴S=S +6
△APC
∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，
当x≤a时，
∴AC=a-x，
∴PC=-
∴△APC的面积为S= （a-x）• =-3（ -1）
∵a＜0，
∴ 在x＜a随着x的增大而增大，
∴ -1在x＜a上随着x的增大而增大，
∴-3（ -1）在x＜a上随着x的增大而减小，
∴S=6-S
△APC
∴S在x＜a上随着x的增大而增大，
∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，
故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是将点P的位置分为两种情况进行讨论，然后根据反比例函
数的变化趋势求出△APC的面积变化趋势．本题综合程度较高．
5．（2020·全国·九年级课时练习）若 ，则x的取值范围（ ）A． B． 或 C． 或 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】
在同一平面直角坐标系中作出反比例函数 与 、 的图象，观察图象可知，反比例函数
落在直线 下方且在直线 上方的部分所对应的x的取值，即为所求的x的取值范围．
【详解】
作出函数 与 、 的图象，
由图象可知交点为 ，
当 或 时，有 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质：
反比例函数 的图象是双曲线；
当 ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
当 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6．（2021·湖南新田·九年级期中）已知一次函数 与反比例函数 ，其中m，n为常数，且
，则它们在同一坐标系中的图像可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值，然后根据m、n的值来确定反比例函数和一次函数所在的
象限．
【详解】
∵ ，
∴m、n异号，
∴当 时， ，
的图像位于第二、四象限，
的图像经过第一、二、四象限；
当 时， ，
的图像位于第一、三象限，
的图像经过第一、三、四象限，
∴只有选项A符合．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，属于基础题，要掌握它们的性质才能
灵活解题．
7．（2020·全国·九年级单元测试）如图，已知双曲线 经过直角三角形 斜边 的中点 ，
且与直角边 相交于点 ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设出点 的坐标，由点 为线段 的中点可表示出点 的坐标，再利用分割图形法求三角形的面积结合
三角形的面积公式以及反比例函数系数 的几何意义即可得出结论．
【详解】
解：设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
．
故选 ．
【点睛】
题考查了待定系数法求反比例函数、中点坐标公式以及三角形的面积公式以及函数图像上点的坐标特征，
体现了数形结合的思想，由S ＝S －S 是解决本题的关键．
△AOC △OAB △OBC
8．（2020·全国·九年级单元测试）如图，四边形 是矩形， 是正方形，点 ， 在 轴的正半
轴上，点 在 轴的正半轴上，点 在 上，点 ， 在反比例函数 的图象上， ， ，
则正方形 的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
先求出反比例函数的解析式，然后设 ，则 ，得到点E的坐标，把点E代入反比例函数的解
析式，求出 ，即可求出答案．
【详解】
解：如图：
∵ ， ，
∴ ，
将 点坐标代入 ，
，
∴反比例函数解析式为 ，
设正方形 的边长 ，则 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∴ 点坐标为 ．
∵ 点在反比例函数 的图象上，
∴ ．
整理，得 ．
解得 ， ．
∵ ，
∴ ．∴正方形 的边长为 ，
∴正方形 的面积为 ．
故选 ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，求反比例函数的解析式，解一元二次方程，正方形的性质，解题的关键是
正确求出反比例函数的解析式．
9．（2020·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点 是反比例函数
的图象上一点，过点 作 轴于点 ，当 为 的中点，且 的面积为 ，则 的
值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义 的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值．
【详解】
解：由题意知：如图：设点 ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ；
∵
∴ ；
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行解题．
10．（2021·全国·九年级课时练习）如图，点A是反比例函数 （ ）的图像上任意一点，AB平行
于x轴，与反比例函数 的图像交于点B，以AB为边作平行四边形 ，其中点C，D在x轴上，
则四边形 的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
设点 的纵坐标是 ，则点 的纵坐标也是 ，即可求得 、 的横坐标，则 的长度即可求得，然后利
用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】
解：∵AB平行于x轴，
设点 的纵坐标是 ，则点 的纵坐标也是 ，把 代入 得， ，则 ，即点 的横坐标是 ，
同理可得：点 的横坐标是： ,
则 ,
则 ．
故答案选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与平行四边形的综合题，理解点 、 的纵坐标是同一个值，表示出 的长度是
关键．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2020·全国·九年级课时练习）函数y＝ 是y关于x的反比例函数，那么m的值是_____．
【答案】﹣2
【分析】
由反比例函数的定义得x的次数为1，m－2≠0联立方程组即可解.
【详解】
解：由题意，得|m|﹣1＝1、m﹣2≠0．
解得m＝﹣2．
故答案是：﹣2．
【点睛】
此题考查反比例函数的定义，解题关键在于掌握反比例函数的定义.
12．已知函数 是反比例函数，则 的取值范围是______.
【答案】 且
【分析】
根据反比例函数的表达式y= (k为常数，k≠0)，列出系数不为0的式子进行求解.
【详解】∵ 是反比例函数，
∴ ，且 ,
解得， 且
故答案为： 且
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，根据定义的条件列式求解是解答此题的重要途径，同时使二次根式有意义的
条件也是解答此题的关键.
13．（2021·全国·九年级课时练习）已知反比例函数的解析式为 ，则最小整数k＝______．
【答案】1
【详解】
根据反比例函数的意义，由反比例函数的解析式为 ，可得2k－1＞0，然后解不等式求出k的取
值范围 ，再找出此范围中的最小整数为1．
故答案为1．
14．（2020·四川井研·模拟预测）如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴
的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图
象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为_____．
【答案】-6．
【分析】
先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝ 的图象上，利用根据反比例函数图象上点
的坐标特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．
【详解】
解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．
设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），
∵点B、E在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝6t＝2（t﹣2），
解得t＝﹣1，k＝﹣6．
故答案为﹣6．
【点睛】
本题考查反比例函数中k的几何意义，注意，此题函数图像在第二象限，则k＜0．
15．如图，反比例函数 的图象与矩形 相较于 两点，若 是 的中点， ，
则反比例函数的表达式为__________．
【答案】
【分析】
设D（a， ），则B纵坐标也为 ，代入反比例函数的y= ，即可求得E的横坐标，则根据三角形的面
积公式即可求得k的值．
【详解】解：设D（a， ），则B纵坐标也为 ，
∵D是AB中点，
∴点E横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标： ，
∵BE=BC EC= ，
∴E为BC的中点，
S = ，
△BDE
∴k=8．
∴反比例函数的表达式为 ；
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，以及三角形的面积公式，正确表示出BE的长度是关键．
16．函数 （a为常数）的图像上三点（—1， ），（ ， ），（ ， ），则函数值
、 、 的大小关系是________________．
【答案】 < <
【解析】
因为-a2-1=-(a2+1)＜0，所以在每一个象限内，y随着x的增大而增大，且当x＜0时的函数值一定大于x＞0
时的函数值，所以y＜y＜y.
3 1 2
故答案为y＜y＜y.
3 1 2
点睛：本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数 （k是常数，且k≠0）的图象是双曲线，当k
＞0时，双曲线分布在第一，三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线分布在第
二，四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大.
17．（2021·陕西·西安市第八十五中学九年级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象过点A（0，3），且
1与反比例函数y＝ 的图象相交于B、C两点．若AB＝BC，则k•k 的值为_____．
1 2
【答案】﹣2．
【分析】
设一次函数的解析式为y=kx+3，反比例函数解析式y= ，都经过B点，得等式kx+3﹣ =0，再由
1 1
AB=BC，得到点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x=2x，列出x，x 关系等式，据此可以求出
2 1 1 2
k·k 的值．
1 2
【详解】
k•k=﹣2，是定值．理由如下：
1 2
∵一次函数y=kx+b的图象过点A（0，3），
1
∴设一次函数的解析式为y=kx+3，反比例函数解析式y= ，
1
∴kx+3= ，
1
整理得kx2+3x﹣k=0，
1 2
∴x+x=﹣ ，xx=﹣ ，
1 2 1 2
∵AB=BC，
∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x=2x，
2 1
∴x+x=3x=﹣ ，xx=2x2=﹣ ，
1 2 1 1 2 1
∴﹣ ，整理得，kk=﹣2，是定值．
1 2
故答案为﹣2．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，一元二次方程根于系数的关系，解答本题的关键是运用好
AB=BC这一条件，此题有一定的难度，需要同学们细心领会．
18．（2021·全国·九年级课时练习）为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量 （辆／小时）、速度 （千
米／小时）、密度 （辆／千米）来描述车流的基本特征．现测得某路段流量 与速度 之间关系的部分数
据如下表：
速度 （千米／小时） …… 15 20 32 40 45 ……
流量 （辆／小时） …… 1050 1200 1152 800 450 ……
若己知 、 满足形如 （ 、 为常数）的二次函数关系式，且 、 、 满足 ．根据监
控平台显示，当 时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度 的取值范围是______．
【答案】
【分析】
利用待定系数法求出 ，将 变形为： ，将 代入 ，再求出当
时，k的取值范围即可．
【详解】
由表格可知函数 过（15，1050）、（20，1200），可得：
解得
∴
∵
∴ ，将 代入 得：
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握待定系数法求反函数的解析式是解题
的关键．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）在反比例函数 的图像的每一条曲线上， 都随着 的增大而减小.
（1）求 取值范围；
（2）在曲线上取一点 ，分别向 轴、 轴作垂线段，垂足分别为点 、 ，坐标原点为点 ，若四边形
的面积为6，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）直接根据反比例函数的性质求解即可，k＞0；（2）直接根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一
点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为 ，所以 ，而k＞0，则k=6．
【详解】
（1）因为在同一象限内， 的值随 的增大而减小，所以 .
（2）设点 ，则由已知有 ，即 ，而 ，故 .
【点睛】
此题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，解题关键在于根据k值的大小进行求解.
20．（8分）（2021·黑龙江林甸·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比
例函数 (m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
【答案】（1） ，y=x-2；（2）点P的坐标为(4，0).
【分析】
(1)利用待定系数法，确定二函数的解析式即可；
(2)运用图形分割法，利用点P的坐标表示三角形的面积，求解即可.
【详解】
（1）∵反比例函数 （m≠0）的图象过点A(3，1)，
∴ ，
∴ m=3，
∴反比例函数的表达式为 ．
∵一次函数y=kx+b的图象过点A(3，1)和B(0，-2)，
∴ 解得
∴一次函数的表达式y=x-2．
(2)如图，设一次函数y=x-2的图象与x轴的交点为C，
令y=0，则x-2=0，x=2，
∴点C的坐标为(2，0)．∵
∴
∴PC=2
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，
∴点P的坐标为(4，0)．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定函数的解析式，交点的意义，用点的坐标表示三角形的面积，熟练使用待定系
数法，灵活运用图形的分割法表示三角形的面积是解题的关键.
21．（10分）如图，已知反比例函数y＝ 的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝ 的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．
【答案】(1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－ .
【详解】
试题分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析
式，可求出k的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
试题解析：（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为 ，∵A（4，m），∴m=
=1；
（2）∵当x=﹣3时，y=﹣ ；
当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数 在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣ ．
考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
22．（10分）如图，直线y＝kx+2与反比例函数y＝ (x＜0)相交于点A，且当x＜﹣1时，y＞y，当
1 2 1 2
﹣1＜x＜0时，y＜y．
1 2
(1)求出y 的解析式；
1
(2)若直线y＝2x+b与x轴交于点B(3，0)，与y 交于点C，求出△AOC的面积．
1
【答案】(1)y＝﹣x+2；(2)S ＝ .
1 △AOC
【解析】
【分析】
（1）根据当x＜﹣1时，y＞y，当﹣1＜x＜0时，y＜y 可得A点的横坐标，再将A点的横坐标代入反
1 2 1 2。
比例函数，计算A点的纵坐标，因此可得A点的坐标，代入一次函数，可得k的值，即可的一次函数的解
析式.
（2）根据B点的坐标计算b的值，在联立方程组计算C点的坐标，再求出直线y 与x轴的交点，进而计
1
算面积.
【详解】
解：(1)∵当x＜﹣1时，y＞y，当﹣1＜x＜0时，y＜y，
1 2 1 2
∴点A的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝ ＝3，则A(﹣1，3)，
把A(﹣1，3)代入y＝kx+2得﹣k+2＝3，解得k＝﹣1
∴y 的解析式为y＝﹣x+2；
1 1
(2)∵y＝2x+b与x轴交于点B(3，0)，
∴6+b＝0，解得b＝﹣6，∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
解方程组 得 ，则点C的坐标为( ， )，
直线y＝﹣x+2与y轴的交点坐标为(2，0)，
∴S ＝ ×(3+ )×2＝ ．
△AOC
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题，关键在于根据直线与反比例函数的联立方程组，求交点坐
标.
23．（10分）（2020·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线 与直线
交于点A（-1，a）．
（1）求a，m的值；
（2）点P是双曲线 上一点，且OP与直线 平行，求点P的横坐标．
【答案】（1）a=3，m=－3；（2）点P的横坐标为
【详解】
解：（1）∵点A的坐标是（-1，a），在直线 上，
∴a=3．
∴点A的坐标是（-1，3），代入反比例函数 ，
∴m=－3．（2）∵OP与直线 平行，
∴OP的解析式为 ，
∵点P是双曲线 上一点，
∴ ，
∴ ．
∴点P的横坐标为
