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专题过关检测二 三角函数与解三角形
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
π
1.(2021·江西临川期中)已知角θ的终边经过点P( ,a),若θ=- ,则a=( )
√2
3
√6 √6
A.√6 B. C.-√6 D.-
3 3
π
2.(2021·北京房山区一模)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则
6
函数g(x)的图象的一条对称轴方程为( )
π π π π
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
6 12 12 6
3.(2021·北京西城区一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°,a+2b=8,sin A=6sin
B,则c=( )
A.√35 B.√31 C.6 D.5
( π)
4.(2021·山西吕梁一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 部分图象如图所示,则f
2
(π)
=( )
3
√3 1
A. B. C.-√3 D.√3
2 2
(π ) 1 ( 5π)
5.(2021·北京海淀区模拟)已知sin -α = +cos α,则sin 2α+ =( )
6 3 6
7 4√3 4√3 7
A.- B.- C. D.
9 9 9 9
6. (2021·福建福州期末)疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如
2π
图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC= ,C处是喷洒消毒水的喷头,且
3
π
喷射角∠DCE= .已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为( )
35√3
A.5√2-5 B.5√2 C. D.5√3
3
7.(2021·浙江宁波模拟)在△ABC中,“tan Atan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
π
8.(2021·安徽淮北一模)函数f(x)=2sin x+ +cos 2x的最大值为( )
4
3√3
A.1+√2 B.
2
C.2√2 D.3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的
是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B. ABC是钝角三角形
C. ABC的最大内角是最小内角的2倍
△
8√7
D.△若c=6,则△ABC的外接圆半径R为
7
10.(2021·江苏苏州月考)已知函数f(x)=(sin x+√3cos x)2,则( )
[ π]
A.f(x)在区间 0, 上单调递增
6
( π )
B.f(x)的图象关于点 - ,0 对称
3
C.f(x)的最小正周期为π
D.f(x)的值域为[0,4]
11.(2021·辽宁沈阳二模)关于f(x)=sin x·cos 2x的说法正确的为( )
A. x∈R,f(-x)-f(x)=0
B. T≠0,使得f(x+T)=f(x)
∀
C.f(x)在定义域内有偶数个零点
∃
D. x∈R,f(π-x)-f(x)=0
∀1 1 1
12.(2021·山东潍坊统考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 , , 依次成
tan A tanB tanC
等差数列,则下列结论不一定成立的是( )
A.a,b,c依次成等差数列
B.√a,√b,√c依次成等差数列
C.a2,b2,c2依次成等差数列
D.a3,b3,c3依次成等差数列
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
( 5π) √6
13.(2021·安徽合肥期中)已知cos α+ =- ,则sin 2α= .
4 3
( π)
14.(2021·北京东城区一模)已知函数f(x)=Asin(2x+φ) A>0,|φ|< ,其中x和f(x)部分对应值如下
2
表所示:
π π π π
x - 0
4 12 4 3
f(x) -2 -2√3 -2 2 2√3
则A= .
15.(2021·广东茂名二模)在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120 cm,AE=100√3
cm,EF=80√3 cm,FC=60√3 cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该矩形ABCD的面积为 cm2.(答案
如有根号可保留)
16.(2021·湖南长郡中学二模)如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个
水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据
更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足
AB=AC,∠BAC=90°.四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监
测覆盖区域”面积的最大值为 m2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
π
17.(10分)(2021·江西上饶一模)已知f(x)=2cos x·sin x+ -√3sin2x+sin xcos x.
3
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
( π π)
(2)若x∈ - , ,求y=f(x)的值域.
4 618.(12分)(2021·河北石家庄一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a-b=2ccos B.
(1)求角C;
(2)若a=2,D是AC的中点,BD=√3,求边c.
19.(12分)(2021·广东韶关一模)在以下三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.
√3
①cos C+(cos A-√3sin A)cos B=0;②cos 2B-3cos(A+C)=1;③bcos C+ csin B=a.
3
问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+c=1, ,求角B和b的最小值.π 1
20. (12分)(2021·山东枣庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ< 的部分图象如图所示,f(0)=
2 2
(5π)
,f =0.
12
(1)求f(x)的解析式;
(A-B π ) 3 A-B 2√5
(2)在锐角△ABC中,若A>B,f - = ,求cos ,并证明sin A> .
2 12 5 2 5
21.(12分) (2021·福建宁德期末)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的
变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很
有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可
近似地用函数y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现
了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老张预计这只股票未来的走势可
用曲线DE描述,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定函数解析式中的常数
π
a,b,ω,φ,并且求得ω= .
72
(1)请你帮老张算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求点F的横坐标);
(2)老张如能在今天以点D处的价格买入该股票3 000股,到见顶处点F的价格全部卖出,不计其他费
用,这次操作他能赚多少元?
(ωx+φ)
22.(12分)(2021·深圳实验学校月考)已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)+2sin2 -1(ω>0,0<φ<π)为奇
2
π
函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 .
2
[ π π]
(1)当x∈ - , 时,求f(x)的单调递减区间;
2 4
π 1
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度,再把横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变),得到函数
6 2
[ π π]
y=g(x)的图象,当x∈ - , 时,求函数g(x)的值域;
12 64 [π 4π]
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)= 在区间 , 上的根从小到大依次为x,x,…,x,试确
1 2 n
3 6 3
定n的值,并求x+2x+2x+…+2x +x 的值.
1 2 3 n-1 n专题过关检测二 三角函数与解:三角形
1.C 解析: 由题意,角θ的终边经过点P(√2,a),可得|OP|=√2+a2(O为坐标原点),又由θ=-
π ( π) √2 1
,根据三角函数的定义,可得cos - = = ,且a<0,解得a=-√6.
3 3 √2+a2 2
π [ ( π)]
2.C 解析: 将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移 个单位长度,得到y=g(x)=sin 2 x+
6 6
=sin( 2x+ π),令2x+ π =kπ+ π ,k∈Z,解得x= kπ + π ,k∈Z,结合四个选项可知,函数g(x)的
3 3 2 2 12
π
图象的一条对称轴方程为x= .
12
3.B 解析: 因为sin A=6sin B,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以
1
c2=a2+b2-2abcos C,即c2=62+12-2×6×1× ,解得c= .
√31
2
π 3
4.D 解析: 由题中函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 的部分图象知,A=2, T=
2 4
11π − 2π =3π,所以T=4π= 2π ,所以ω= 1 .
3 3 ω 2
又f (2π) =2sin (1 × 2π +φ ) =2,可得 1 × 2π +φ=2kπ+ π ,k∈Z,解得φ=2kπ+ π ,k∈Z.
3 2 3 2 3 2 6
∵|φ|<
π
,∴φ=
π
,∴f(x)=2sin
(1
x+
π)
.
2 6 2 6
故f
(π)
=2sin
(1
×
π
+
π)
=2sin
π
=√3.
3 2 3 6 3
5.D 解析: 由sin (π -α ) = 1 +cos α可得sin π ·cos α-cos π ·sin α= 1 +cos α,∴ 1 cos α- √3 sin
6 3 6 6 3 2 2
1
α= +cos α,
3
∴ √3 sin α+ 1 cos α=- 1 ,∴sin ( α+ π) =- 1 ,
2 2 3 6 3
( 5π) [π ( π)] ( π) ( π) 7
∴sin 2α+ =sin + 2α+ =cos 2α+ =1-2sin2 α+ = .
6 2 3 3 6 9
6.C 解析: 在△CDE中,设定点C到底边DE的距离为h,则h=2+1·sin
(2π
-
π)
=
5
,又
3 2 2
1 1 π
S = DE·h= CD·CEsin ,即5DE= CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-
CDE √3
2 2 3
△
2CD·CEcos π =CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,当且仅当CD=CE时,等号成
35√3 5√3
立,故DE2≥CD·CE,而5DE= CD·CE,所以DE2≥ DE,则DE≥ ,故DE的最小值
√3
3 3
5√3
为 .
3
sin AsinB
7.D 解析: 因为tan Atan B>1,所以 >1,因为00,cos Acos B>0,故A,B同为锐角,
因为sin Asin B>cos Acos B,
所以cos Acos B-sin Asin B<0,即cos(A+B)<0,
π π
所以 1”,故必要性不成立,所以为既
不充分也不必要条件.
8.B 解析: 因为f(x)=2sin ( x+ π) +cos 2x,
4
( π) [ ( π)] π ( π) ( π)
所以f(x)=2sin x+ +sin 2 x+ =2sin x+ +2sin x+ cos x+ .
4 4 4 4 4
π
令θ=x+ ,g(θ)=2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin 2θ,
4
则g'(θ)=2cos θ+2cos 2θ=2(2cos2θ-1)+2cos θ=4cos2θ+2cos θ-2,
1 1 1
令g'(θ)=0,得cos θ=-1或cos θ= ,当-1≤cos θ≤ 时,g'(θ)≤0;当 ≤cos θ≤1时,g'(θ)≥0,
2 2 2
[ 5π π ] [ π π ]
所以当θ∈ - +2kπ,- +2kπ (k∈Z)时,g(θ)单调递减;当θ∈ - +2kπ, +2kπ
3 3 3 3
π √3
(k∈Z)时,g(θ)单调递增,所以当θ= +2kπ(k∈Z)时,g(θ)取得最大值,此时sin θ= ,
3 2
√3 √3 1 3√3
所以f(x) max =2× +2× × = .
2 2 2 2
9.ACD 解析: 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设
a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin A∶sin B∶sin
C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A中结论正确;
由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,
a2+b2-c2 (4x)2+(5x)2-(6x)2 1
又cos C= = = >0,所以C为锐角,所以B中结论错误;
2ab 2×4x×5x 8
由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,
c2+b2-a2 (6x)2+(5x)2-(4x)2 3
又cos A= = = ,
2cb 2×6x×5x 41
所以cos 2A=2cos2A-1= ,所以cos 2A=cos C.
8
由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A∈(0,π),C∈( 0, π) ,所以2A=C,所以C中结论
2
正确;
c
由正弦定理,得2R= (R为△ABC外接圆半径),
sinC
3√7
又sin C=√1-cos2C= ,
8
6
所以2R= ,解得R=8√7,所以D中结论正确.
3√7
7
8
10.ACD 解析: f(x)=(sinx+√3cosx) 2=sin2x+3cos2x+2√3sin xcos x=2+cos 2x+√3sin
π
2x=2sin 2x+ +2;
6
对于A选项:∵x∈ [ 0, π] ,∴2x+ π ∈ [π , π] ,∴f(x)=2sin ( 2x+ π) +2在区间 [ 0, π] 上单
6 6 6 2 6 6
调递增,故A正确;
( π) [ ( π) π] π
对于B选项:f - =2sin 2× - + +2=0,由函数f(x)的图象(图略)可知- 是f(x)的一
3 3 6 3
个极小值点,故B错误;
对于C选项:由f(x)=2sin ( 2x+ π) +2可知,函数的最小正周期T= 2π =π,故C正确;
6 2
对于D选项,∵sin ( 2x+ π)∈[-1,1],
6
∴f(x)=2sin ( 2x+ π) +2∈[0,4],故D正确.
6
11.BD 解析: 对于A,当x= π 时,f ( - π) -f (π) =sin ( - π) cos 2π -sin π cos 2π =-
3 3 3 3 3 3 3
√3 × ( - 1) − √3 × ( - 1) = √3 ≠0,故A错误.
2 2 2 2 2
对于B,因为f(x+2π)=sin(2π+x)cos[2(x+2π)]=sin xcos 2x,所以∃T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),
故B正确.
对于C,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin xcos 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,
因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.
对于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cos[2(π-x)]-sin xcos 2x=sin xcos 2x-sin xcos 2x=0,故D正确.1 1 1 2 1 1
12.ABD 解析: 因为 , , 依次成等差数列,所以 = + ,整理
tan A tanB tanC tanB tan A tanC
2cosB cosC cosA
得 = + ,
sinB sinC sin A
a2+c2-b2 a2+b2-c2 b2+c2-a2
所以2· = + ,整理得2b2=a2+c2,即a2,b2,c2依次成等差数列.但
2abc 2abc 2abc
数列a,b,c或√a,√b,√c或a3,b3,c3不一定是等差数列,除非a=b=c,但题目没有说△ABC是
等边三角形.
13.- 1 解析: 由cos ( α+ 5π) =- √6 可得cos ( α+ π) = √6 ,所以 √2 (cos α-sin α)= √6 ,即cos
3 4 3 4 3 2 3
2√3 4 1
α-sin α= ,两边平方可得1-sin 2α= ,故sin 2α=- .
3 3 3
{f (0)=-2√3, { Asinφ=-2√3,
14.4 解析: 由题意可得 (π) 即 (π )
f =2, Asin +φ =2,
4 2
{Asinφ=-2√3,
所以
Acosφ=2,
π
所以tan φ=- ,又因为|φ|< ,
√3
2
-2√3
所以φ=- π ,所以A= =4.
√3
3 -
2
15.14 400√3 解析: 连接AC交EF于点O(图略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE∥FC,所以
OE AE 5
△AEO与△CFO相似,所以 = = ,所以EO=50 √3 cm,FO=30 √3 cm,在△AEO中,由
OF CF 3
余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AE·EO·cos∠AEO=(100√3)2+(50√3)2-2×100√3×50√3cos
60°=22 500,所以AO=150 cm,同理CO=90 cm,所以AC=240 cm,从而BC=√AC2-AB2
=120√3 cm,所以矩形ABCD的面积为14 400√3 cm2.
16.(10 000√5+25 000) 解析: 在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100 m,OA=200 m,
∴AB2=OB2+OA2-2OB·OA·cos∠AOB,
1 1
即AB=100 √5-4cosθ ,∴S 四边形OACB =S OAB +S ABC = ·OA·OB·sin θ+ AB2,
2 2
△ △
于是S
四边形OACB
=1002 ( sinθ-2cosθ+ 5) =1002 √5sin(θ-φ)+ 5 (其中tan φ=2),所以当
2 2
sin(θ-φ)=1时,S
四边形OACB
取最大值10 000 ( √5+ 5) =10 000√5+25 000,即“直接监测覆盖
2
区域”面积的最大值为(10 000√5+25 000)m2.17.解: (1)f(x)=2cos xsin ( x+ π) − √3 (1-cos 2x)+ 1 sin 2x=2cos x
3 2 2
(1 sinx+ √3 cosx ) − √3 + √3 cos 2x+ 1 sin 2x= 1 sin 2x+ √3 (2cos2x-1)+ √3 cos 2x+ 1 sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2x=sin 2x+√3cos 2x=2sin( 2x+ π),
3
π π π
令2kπ- ≤2x+
≤
+2kπ,k∈Z,
2 3 2
5π π
解得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
12 12
[ 5π π ]
因此,函数f(x)的单调递增区间为 kπ- ,kπ+ ,k∈Z.
12 12
(2)∵x∈( - π , π) ,∴- π <2x+ π < 2π ,∴- 1 0,结合题中函数f(x)的图象可知 · > ,
2 ω 1212
所以0<ω< ,
5
2 12 1 7
所以有0< (6k-1)< ,即 ,所以A= + > + ,
2 2 2 4 2
又因为函数y=sin x在区间( 0, π)上单调递增,A∈( 0, π) , π + A-B ∈ ( 0, π) ,所以sin
2 2 4 2 2
π A-B √2 ( 3 1 ) 2√5
A>sin + = × + = .
4 2 2 √10 √10 5
21.解: (1)∵点C,D关于直线l对称,
∴点C坐标为(2×34-44,16),即(24,16).
把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,
22=asinφ+b, ①
{
(π )
19=asin +φ +b,②
得 6
(π )
16=asin +φ +b,③
3
[ (π ) ]
②-①,得a sin +φ -sinφ =-3,
6
[ (π ) ]
③-①,得a sin +φ -sinφ =-6,
3
∴2sin (π +φ ) -2sin φ=sin (π +φ ) -sin φ,
6 3
√3 3
∴cos φ+ sin φ= cos φ+ sin φ,
√3
2 2
( √3) (3 ) (√3 )
∴1- cos φ= -√3 sin φ=√3 -1 sin φ,
2 2 2√3 5π
∴tan φ=- .∵0<φ<π,∴φ= ,代入②,得b=19.
3 6
5π
将φ= ,b=19代入①得,a=6.
6
于是ABC段对应的函数解析式为y=6sin ( π x+ 5π) +19,由对称性得DEF段对应的函数
72 6
π 5π
解析式为y=6sin (68-x)+ +19.设点F的坐标为(x ,y ),
F F
72 6
π 5π π
则由 (68-x )+ = ,解得x =92.
F F
72 6 2
因此可知,当x=92时,股价见顶.
[ π 5π] π
(2)由(1)可知,y =6sin ×(68-92)+ +19=6sin +19=25,故这次操作老张能赚3
F
72 6 2
000×(25-16)=27 000(元).
22.解:
(1)由题意,函数f(x)=√3sin(ωx+φ)+2sin2(ωx+φ)
-1=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin
2
(
ωx+φ-
π),
6
π
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 ,
2
所以T=π,可得ω=2.
又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,可得f(0)=2sin ( φ- π) =0,
6
π π
所以φ- =kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ= ,
6 6
因此f(x)=2sin 2x.
π 3π π 3π
令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
2 2 4 4
[π 3π ]
所以f(x)的单调递减区间为 +kπ, +kπ ,k∈Z,
4 4
[ π π]
又因为x∈ - , ,
2 4
[ π π]
故函数f(x)的单调递减区间为 - ,- .
2 4
(2)将函数f(x)的图象向右平移 π 个单位长度,可得y=2sin ( 2x- π)的图象,再把横坐标缩
6 3
1 π [ π π]
小为原来的 ,得到函数y=g(x)=2sin 4x- 的图象,当x∈ - , 时,4x-
2 3 12 6π ∈ [ - 2π , π] ,当4x- π =- π 时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x- π = π 时,函数
3 3 3 3 2 3 3
g(x)取得最大值,且最大值为√3,故函数g(x)的值域为[-2,√3].
(3)由方程g(x)= 4 ,即2sin ( 4x- π) = 4 ,即sin 4x- π = 2 .(*)
3 3 3 3 3
[π 4π] π [π ] π [π ]
因为x∈ , ,可得4x- ∈ ,5π ,设θ=4x- ,其中θ∈ ,5π ,则方程(*)可转化
6 3 3 3 3 3
2
为sin θ= ,
3
2 [π ]
结合正弦函数y=sin θ的图象,如图,可得方程sin θ= 在区间 ,5π 上有5个解,设这5
3 3
个解分别为θ ,θ ,θ ,θ ,θ ,所以n=5,其中θ +θ =3π,θ +θ =5π,θ +θ =7π,θ +θ =9π,
1 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5
π π π π π π π π
即4x - +4x - =3π,4x - +4x - =5π,4x - +4x - =7π,4x - +4x - =9π,
1 2 2 3 3 4 4 5
3 3 3 3 3 3 3 3
11π 17π 23π 29π
解得x +x = ,x +x = ,x +x = ,x +x = ,所以x +2x +2x +2x +x =(x +x )+
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4 5 1 2
12 12 12 12
20π
(x +x )+(x +x )+(x +x )= .
2 3 3 4 4 5
3
