七年级数学·下 新课标[北师]
第六章 概率初步
1.能区分什么是确定事件和不确定事件,感受生活中的随机现象,并体会不确定事件发生的可能性大小.
2.通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性,理解概率的意义.
3.能求一些简单不确定事件发生的概率.
4.能设计符合要求的简单概率试验.
利用不确定事件发生的频率的稳定性理解概率的意义;能求一些简单不确定事件发生的概率.能判断游
戏是否公平,掌握概率与面积(转盘)的关系.
学会用数学知识来解决生活中的实际问题,增强创新精神和应用数学的意识,从而实现知识来源于生活,
又服务于生活的转化过程.
概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象.它通过对数据收集、整理、描述和分析
以及对事件发生的可能性的刻画,来帮助人们作出合理决策.它与其他数学领域的内容有着密切联系,本章
为学生提供了将各个领域内容联系起来的机会.教材先是从掷骰子入手介绍事件发生的可能性的大小,再让
学生知道事件的发生是有可能的,这也是事件发生的可能性从定性到定量的一个过渡.对事件发生的等可能
性理解的好坏在一定程度上将直接关系到对后面随机事件的理解.最后教材介绍了两类概率模型(古典概型
和几何概型),并要求学生能进行这两类概率的简单计算,会设计符合简单概率模型的方案.
本章主要内容是感受生活中的随机现象,并能体会不确定事件发生的可能性大小,通过试验感受不确定
事件发生的频率的稳定性,理解概率的意义;能求一些简单不确定事件发生的概率.本章内容是以后进一步
学习统计与概率的基础.本章主要涉及必然事件、不可能事件、确定事件、不确定事件等定义,事件A发生
的频率及频率的稳定性、事件A发生的概率等概念.
【重点】
1.概率的意义.
2.经历“猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证试验结果”的过程.
3.设计符合条件的简单概率模型.
4.会求几类事件发生的概率.【难点】
1.概率的意义.
2.设计符合条件的概率模型.
1.在具体情境中了解必然事件和不可能事件发生的概率,体会概率的取值在0~1之间.
2.理解游戏规则对双方是否公平,运用概率的语言说明游戏的公平性,并能按要求设计游戏.
3.通过试验,获得事件发生的频率,知道大量重复试验的频率可作为事件发生的概率的估计值.
4.进行简单的概率计算,了解概率的大小与面积的关系.
1 感受可能性 1课时
2 频率的稳定性 2课时
3 等可能事件的概率 4课时
回顾与思考 1课时
1 感受可能性
通过猜测与游戏的方式,让学生进入问题情境,切身感受什么是不可能事件、必然事件、确定事件与不
确定事件,知道事件发生的可能性是有大小的.
使学生在教师的指导下自主地发现问题、探究问题,获得结论,感受数学和实际生活的联系,进一步发展
学生合作交流的能力和数学表达能力.
通过创设游戏情境,使学生主动参与,做数学试验,增强学生的数学应用意识,初步培养学生以科学数据
为依据分析问题、解决问题的良好习惯.
【重点】 识别必然事件、不可能事件、确定事件与不确定事件.【难点】 判断事件发生可能性的大小.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P136~137.
导入一:
[过渡语] 生活中,在我们身边每天都会有一些事情发生,有些事情一定不会发生,而有些事情却是不可
预测到的.譬如,每天太阳从东方升起,不论刮风下雨,时光一定不会倒流,下周一下雨吗?不一定.
【问题】 你能猜出老师今天怎么提问同学回答问题吗?(与平时不一样,动画演示学号确定学生回答
问题)
动感学号:学号=45.
[设计意图] 利用学生好奇的“动感学号”激起学生的学习兴趣,为本节课打好基础,通过学生身边生
活的事例引导,让学生感受生活中的事件还有这么多的情形需要探索,引发思考,使学生初步感受到“数学来
源于生活”,直接切入本节课题.
导入二:
[过渡语] 生活中有些事情一定会发生,有些事情一定不会发生,还有些事情可能会发生、也可能不会
发生,下面就让我们一起去看一看.
【活动内容】
猜一猜、想一想.
1.随机投掷一枚均匀的骰子,掷出的点数会是10吗?
2.随机投掷一枚均匀的骰子,掷出的点数一定不超过6吗?
3.随机投掷一枚均匀的骰子,掷出的点数一定是1吗?
[处理方式]
1.这几个问题的答案很直接,可由学生独立完成.
2.根据学生的回答,引人新课,并板书课题——1感受可能性.
[设计意图] 通过问题情境的引入,引发思考,让学生感受生活中一些事件的多种变化.
[过渡语] 下面就让我们共同感受一下生活中的随机现象,并体会不确定事件发生的可能性大小吧!
探究活动1 三类事件
思路一
【活动内容1】
(多媒体出示)“下列事件一定发生吗?”
【思考1】
(1)普通玻璃杯从10米高处落到水泥地面上会破碎;
(2)太阳从东方升起;
(3)今天星期天,明天星期一;
(4)太阳从西方升起;
(5)一个数的绝对值小于0.
[处理方式] 通过“动感学号”让学生回答上述问题,引出本节的知识点,并引导学生分析总结,板书概
念,其中(1),(2),(3)说明“什么是必然事件?”(4),(5)说明“什么是不可能事件?”进而让学生了解何为确定事
件.
[设计意图] 分类说明可以让学生易于理解确定事件的意义,让学生学会用自己的方式理解问题,确定
事件分为两类,一类是(一定会发生的)必然事件,另一类是(一定不会发生的)不可能事件.
【活动内容2】
(多媒体出示)“下列事件一定发生吗?”
【思考2】
(1)掷一枚硬币,有国徽的一面朝上;
(2)买彩票恰好中奖;
(3)从商店买的饮料中奖;(4)通过“动感学号”找同学回答问题,你肯定被选中.
[处理方式] 让学生学会类比理解,这4件事和思考1明显不一样,它们具有不确定性,有可能发生,也有
可能不发生,像这样,事先无法肯定它会不会发生,这样的事件称为不确定事件(随机事件),不确定事件发生的
可能性有大有小.
[设计意图] 使学生在有趣的问题中体会不确定事件(随机事件),提高学生学习数学的兴趣,积累丰富的
数学活动经验,让学生感受到数学和实际生活的联系.
思路二
【活动内容1】
必然事件.
请同学们思考,下列事件一定会发生吗?说一说你的理由.(多媒体出示)
(1)普通玻璃杯从10米高处落到水泥地面上会破碎;
(2)太阳从东方升起;
(3)豆油滴入水中,油会浮在水面上.
[处理方式] 上面的3个事件一定会发生.像这样,在一定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定发生,
这些事情称为必然事件(师板书).例如:“随机投掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数不超过6”就是一个必
然事件.
[设计意图] 利用生活常识及课本知识,让学生体会现实生活中的必然事件,通过对这些事件的分析,理
解必然事件的特点,进一步体会数学来源于生活.
【活动内容2】
不可能事件.
请同学们思考,下列事件一定会发生吗?说一说你的理由.(多媒体出示)
(1)明天太阳从西方升起;
(2)一个数的绝对值小于0.
[处理方式] 以上2个事件一定不会发生.像这样,有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情
称为不可能事件(师板书).例如,“掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数是10”就是一个不可能事件(师板书).
我们把必然事件与不可能事件统称为确定事件.
[设计意图] 通过类比必然事件,结合生活常识,体会不可能事件的特点,通过分析必然事件和不可能事
件,进而让学生了解什么是确定事件.
【活动内容3】
不确定事件.
请同学们思考,下列事件一定会发生吗?说一说你的理由.(多媒体出示)
(1)打开电视机,正在播放足球比赛;
(2)买彩票恰好中奖;
(3)从商店买的饮料中奖;
(4)通过点名单找同学回答问题,“××”被选中.
[处理方式] 这些事件不一定会发生.比如:当我打开电视的时候,可能放我喜欢的动画片.我买饮料时,
许多时候是“谢谢品尝”,在我们的生活中,也有许多事情我们无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定
事件,也称为随机事件(师板书).例如,“掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是1”就是不确定事件.
[设计意图] 从学生身边熟悉的事物入手,结合生活实例,理解不确定事件(随机事件)的特点.通过举例
说明,不仅能提高学生的学习积极性,还能积累学生的数学活动经验,再一次感受数学来源于生活.
探究活动2 不确定事件发生的可能性是有大小的
【活动内容】
利用质地均匀的骰子和同桌做游戏,规则如下:(多媒体出示)(1)两人同时做游戏,各自掷一枚骰子,每人可以掷一次骰子,也可以连续地掷几次骰子.
(2)当掷出的点数和不超过10时,如果决定停止掷,那么你的得分就是所掷出的点数和;当掷出的点数和
超过10时,必须停止掷,并且你的得分为0.
(3)比较两人的得分,谁的得分多谁就获胜.
多做几次上面的游戏,并将结果填入下表,通过这个表格我们可以看出什么结果?
第1次 第2次 第3次
… 得分
点数 点数 点数
第一次 甲 1 4 5 … 10
游戏 乙 5 4 … 9
第二次 甲 2 3 6 … 0
游戏 乙 1 … 1
第三次 甲 5 4 … 9
游戏 乙 3 1 6 … 10
… … … … … … …
生活中,有许多不确定事件,它们发生的可能性有大有小,你能举出几个例子吗?
[处理方式] 同学之间做游戏,将结果记入课本表格,教师巡视指导.
第一次游戏甲获胜;第二次游戏乙获胜;第三次游戏乙获胜.通过掷骰子游戏的结果可以看出:一般地,不
确定事件发生的可能性是有大有小的(师板书).
举例:任意掷一枚质地均匀的骰子,结果是2的倍数比结果是3的倍数的可能性要大.
十字路口红绿黄灯时间设置不同,黄灯的时间最短,碰到它的可能性最小……
不透明的袋子中有3个红球,1个白球,所有的球除颜色外,其他完全相同.从中任意摸一个球,你认为摸
到哪种颜色的球的可能性较大,说说你的理由.(摸到红球的可能性大,因为红球的数量多).
[设计意图] 通过掷骰子游戏,让学生体会不确定事件的结果,会存在这样或那样的可能,而这种可能性
是有大小的.让学生自己在游戏中发现知识,总结知识,接受知识会更快、更自然、印象更深刻.让学生举例
说明不确定事件的大小,进一步培养学生发现问题、解决问题的能力,体会数学知识在生活中的应用.
探究活动3 摸球游戏
甲袋中有10个白球,乙袋中有10个红球,丙袋中有红球、白球共10个,且三个袋中所有的球除颜色外,
完全相同.
判断下列事件各是什么事件:
1.从甲袋中摸到一球是红球. ( )
2.从甲袋中摸到一球是白球. ( )
3.从乙袋中摸到一球是红球. ( )
4.从乙袋中摸到一球是白球. ( )
5.从丙袋中摸到一球是红球. ( )
6.从丙袋中摸到一球是白球. ( )
[游戏提示]
1.在甲、乙两袋中,摸到球的颜色是确定的,在丙袋中,摸到的球的颜色是不确定的.
2.在丙袋中,如果红球和白球的数量不等,那么摸到红球的可能性与摸到白球的可能性是不一样的.
3.一般地,不确定事件发生的可能性是有大小的.[设计意图] 通过摸球游戏进一步体会可能性的大小,体会数学知识在生活中的应用.通过游戏使学生
体会生活中许多不确定事件发生的可能性是有大小的.同时以游戏引入知识,学生接受起来会更自然,印象
会更深刻.通过亲身体验,把问题渗透到游戏中,找到求随机事件中可能性大小的方法,培养学生发现问题、
解决问题的能力.
1.在一定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定发生,这些事情称为必然事件.
2.有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件.
3.必然事件与不可能事件统称为确定事件.
4.许多事情我们无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件,也称为随机事件.
5.一般地,不确定事件发生的可能性是有大有小的.
1.袋子里有8个红球,m个白球,3个黑球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,若摸到红球的可
能性最大,则m的值不可能是 ( )
A.1 B.3
C.5 D.10
解析:因为从中任意摸出一个球,摸到红球的可能性最大,所以红球的数量最多,故白球不可能超过8个.
故选D.
2.下列事件中哪些是确定事件?哪些是不确定事件?
①阳历6月份只有30天;
②随手抛出的一个石块会落下来;
③明天是晴天;
④掷骰子掷出点数是5;
⑤1+1=2;
⑥1+1=3;
⑦我们班20号是女生;
⑧打开电视正在播放广告;
⑨刻舟求剑;
⑩拋一枚硬币,正面朝上.
解:确定事件:①②⑤⑥⑨.
不确定事件:③④⑦⑧⑩.
3.口袋里有10只黑袜子,6只白袜子,8只红袜子,任意摸出一只袜子,什么颜色袜子被摸出的可能性最大?
解:黑袜子,因为黑袜子的数量最多.
4.小明任意买一张电影票,座位号是2的倍数与座位号是5的倍数的可能性哪个大?
解:根据题意,座号是2的倍数的末位数为0,2,4,6,8,而5的倍数末位数是0,5,比较可得:任意买一张电影
票,得到的座号是2的倍数比是5的倍数的可能性要大.
5.某路口红绿灯的时间设置为:红灯40秒,绿灯60秒,黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时,遇到哪一种
灯的可能性最大,遇到哪一种灯的可能性最小?根据什么?
解:因为经过路口的红绿灯时间设置为:红灯40秒,绿灯60秒,黄灯4秒,所以绿灯时间>红灯时间>黄灯
时间,所以遇到绿灯可能性最大,遇到黄灯可能性最小.
1 感受可能性
探究活动1 三类事件
探究活动2 不确定事件发生的可能性是有大小的探究活动3 摸球游戏
一、教材作业
【必做题】
教材第138页习题6.1知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第138页习题6.1数学理解第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列事件中,随机事件是 ( )
A.没有水分,种子发芽
B.367人中至少有2人的生日相同
C.在标准气压下,- 1 ℃冰融化
D.小瑛买了一张彩票获得500万大奖
2.袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别,从袋中随机取出一个球,如果取到白球的可能性较大,
那么袋中白球的个数可能是 ( )
A.3个 B.不足3个
C.4个 D.5个或5个以上
3.(2015·龙岩中考)下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷1枚硬币,硬币落地时正面朝上;③任取两
个正整数,其和大于1;④长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形.
其中确定事件有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.下列说法正确吗?为什么?
(1)如果一件事发生的机会只有十万分之一,那么它就不可能发生;
(2)如果一件事发生的机会达到99.9%,那么它就必然会发生;
(3)如果一件事不是不可能发生的,那么它就必然发生;
(4)如果一件事不是必然发生的,那么它就不可能发生.
【能力提升】
5.口袋中有15个球,其中白球有x个,绿球有2x个,其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则甲获胜;
甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则乙获胜;则当x= 时,游戏对甲、乙双方都公
平.
【拓展探究】
6.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比为3∶7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,“落在海洋里”与
“落在陆地上”哪个可能性更大?
【答案与解析】
1.D(解析:A.是不可能事件,选项错误;B.是必然事件,选项错误;C.是不可能事件,选项错误;D.是随机事件,选项
正确.故选D.)
2.D(解析:因为袋中有红球4个,取到白球的可能性较大,所以袋中的白球数量大于红球数量,即袋中白球的个
数可能是5个或5个以上.故选D.)
3.B(解析:①在足球赛中,弱队战胜强队是随机事件,不是确定事件;②抛掷1枚硬币,硬币落地时正面朝上是
随机事件,不是确定事件;③任取两个正整数,其和大于1是必然事件,是确定事件;④长为3 cm,5 cm,9 cm的
三条线段能围成一个三角形是不可能事件,是确定事件.综上可得只有③④是确定事件,共2个.故选B.)
4.解:(1)是随机事件,因为机会只有十万分之一,也可能发生,故错误. (2)是随机事件,因为机会达到99.9%,也
可能不发生,故错误. (3)如果一件事不是不可能发生的,可能是随机事件,故错误.
(4)如果一件事不是必然发生的,可能是随机事件,故错误.5.3(解析:由题意甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则甲获胜;甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若
为黑球则乙获胜可知,绿球与黑球的个数应相等,也为2x个,列方程可得x+2x+2x=15,解得x=3.)
6.解:根据题意可得:地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3∶7,即相当于将地球总面积分为10份,陆地面积
占3份,海洋面积占7份,所以落在海洋里的可能性更大.
1.本节课通过一系列游戏活动,引导学生投入到有趣的数学活动中,不仅有利于提高学生学习数学的兴
趣,还可以帮助学生感受可能性的大小,发现身边的数学.让学生先通过猜想,再通过试验验证的过程,进行新
知识的学习.在自主探索活动中,真正理解和掌握数学基础知识、技能,收到良好的效果.
2.学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中,培养了学生动手、合作、概括能力,同时也提
高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识.
在上课过程中发现,学生对于不可能事件和确定事件的从属关系掌握不好,误把不可能事件当成不确定
事件,在课后练习和辅导中应注重这方面知识的反馈和纠正.
由于本节课的知识贴近生活,教师在课前除了自己多准备大量事例外,还应让学生多准备,生活中的例子
虽然多,但让学生说的时候,不一定能说出来,此外,留给学生游戏实践的时间要充分,把时间还给学生,把问题
留给学生,让学生去发现、去合作,然后共同解决,这对学生的学习非常有益.
随堂练习(教材第138页)
1.解:(1)是确定事件. (2)是不确定事件.
2.解:座位号是2的倍数的可能性大.
习题6.1(教材第138页)
知识技能
1.解:确定事件:(1)(4),不确定事件:(2)(3).
8 8 2 2 8 2
2.解:摸到红球的可能性大.摸到红球的可能性为 = ,摸到白球的可能性为 = ,因为 > ,
8+2 10 8+2 10 10 10
所以摸到红球的可能性大.
3.解:落在白色区域的可能性大,因为白色区域的面积比红色区域和黄色区域的面积都要大.
数学理解
4.解:摸到红球的可能性由大到小排列为:⑤>④>③>②>①.
问题解决
5.提示:策略:转出的较小的数放到右面的方格里,如转出的数是0,就放到最右面的方格里,转出的较大的数放
到左面的方格里,如转出的数是9,就放到最左面的方格里.
本节是七年级学生第一次接触有关概率的知识.初步学习“不可能”“必然”和“可能”的不同用法,
归纳出“确定”与“不确定”这两个概念,为后面机会的“均等”与“不均等”,即概率初步知识奠定基础.通过本节的学习帮助学生预测随机事件在每次试验中发生的可能性,并学会处理数据.同时也能为下几节课
的学习积累活动经验,并体会事件的随机性有大有小.
下列事件中,哪些是不确定事件?哪些是确定事件?
①一个数的平方是非负数;
②2016年9月1日会阳光明媚;
③在数学测验中,李飞把解答题都做对了;
④南极洲的地面温度在30 ℃以上.
解:①④是确定事件;②③是不确定事件.
2 频率的稳定性
1.了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
2.能通过试验获得事件发生的概率.
3.进一步培养试验、收集试验数据和分析试验结果的能力以及提高合作的意识.
通过“猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证猜测”的过程,了解事件发生的概
率有大小之分.以探究式、合作式学习为主.
由生活中的不确定现象引入,体会数学与人类生活的密切联系,通过对事件可能性的探索,使学生树立公
平的态度和正确的世界观.
【重点】 事件的等可能性.
【难点】 体会事件发生的等可能性及发生的频率是基于大量的重复试验.
第 课时
1.通过掷图钉等活动,经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程,体会数据的随机性.2.理解不确定事件(随机事件)的概念,使学生在教师的指导下自主地发现问题、探究问题,获得结论,感
受数学和实际生活的联系,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
1.通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验频率稳定在某一常数附近,并据此能估计出某一事件发
生的频率.
2.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力,发展学生的辩证思维能力.
通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值.进一步体会
“数学就在我们身边”,发展学生应用数学的能力.
【重点】 通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验的频率具有稳定性,并据此能初步估计出某一
事件发生的可能性大小.
【难点】 大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P140~141.
导入一:
[过渡语] 同学们,我国彩民通过购买彩票几乎每天都会产出一个或几个百万富翁,想知道他们是怎样
选号的吗?每当你路过彩票中心是不是会看到一群人聚精会神盯着大奖的走势图呢?他们究竟在找什么呢?
课件展示:
其实通过观察,我们能够发现数字的出现机会是稳定的,所以彩民朋友常常会通过观察其走势寻找可能
出现的号码,然后通过组合找到自己想买的号,由于得大奖机会非常小,所以只会有少数人比较幸运.
有人统计,在福彩30选7中,数字2在30天中出现的次数是6次,在60天中出现的次数是13次,在100
天中出现的次数是19次,在一年中出现的次数是75次,由此可知,随着天数的增加数字2出现的机会约为五
分之一,其他数字也一样,出现的频率也是稳定的.
下面我们来做个试验探究一下吧.请拿出你们准备的图钉.
[处理方式] 以学生比较熟悉的彩票为背景,结合抛图钉游戏展开交流,引出钉尖朝上和钉尖朝下的可
能性不同的猜测,进而产生通过试验验证的想法.
[设计意图] 培养学生猜测游戏结果的能力,并从中初步体会试验结果可能性有可能不同.让学生体会
猜测结果,这是很重要的一步,我们所学到的很多知识,都是先猜测,再经过多次的试验得出来的.而且由此引
出的猜测需要通过大量的试验来验证.这就是我们本节课要来研究的问题.
导入二:[过渡语] 生活中我们经常遇到不确定事件,它们发生的可能性大小不同,通过做试验可以判断事件发
生可能性的大小,这节课我们就来学习频率的稳定性.
小军和小凡在玩掷图钉的游戏,掷一枚图钉,落地后,通常会出现几种情况?它们是等可能的吗?那么你认
为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一样大吗?如果不一样,你认为哪种的可能性大?
[处理方式] 同学们进行了大胆的猜测,并且有些同学还对自己的见解进行了解释.引出钉尖朝上和钉
尖朝下的可能性不同的猜测,进而产生通过试验验证的想法.
[设计意图] 学生对生活中存在的问题进行猜测,并体会试验结果的可能性有可能不同,开始体会事件
发生的可能性有大有小,需要通过大量试验来验证,这就为下一环节用试验估算事件发生频率打好基础.
探究活动1 频率的试验1
从一定高度落下的图钉,落地后可能钉尖朝上,也可能是钉尖朝下.你估计哪种事件发生的可能性大.
(1)现在两人一组做20次掷图钉游戏,并将数据记录在下表中:
试验总次数
钉尖朝上的次数
钉尖朝下的次数
钉尖朝上的频率
钉尖朝上的次数
( )
试验总次数
钉尖朝下的频率
钉尖朝下的次数
( )
试验总次数
注意事项:
1.做试验一定要注意安全,不要受伤.
2.①图钉必须从同一高度自由落下,保证着地时的随机性和试验的可重复操作性;
②两人一组要进行适当的分工.
[处理方式] 引导学生明确钉尖朝上和钉尖朝下的频率大小,领会数学是来源于生活,进一步了解不确
定事件的特点,发展随机观念,培养求真意识;在动手操作的过程中认识到频率的稳定性.
[设计意图] 通过分组试验让学生体验不确定事件发生的可能性的发现过程,验证之前的猜想.当试验
次数较少时,规律不明显,甚至与开始的猜测有矛盾,让学生动脑得出造成这种结果的原因是试验的次数不够,
培养学生发现问题、解决问题的能力.
m
介绍频率的定义:在n次重复试验中,不确定事件A发生了m次,则比值 称为事件A发生的频率.
n
(2)累计全班同学的试验结果,并将试验数据汇总填入下表:
试验总
20 40 80 120160200240280320360400
次数n
钉尖朝上
的次数m
钉尖朝上
m
的频率
n[处理方式] 分小组试验,小组内成员要明确自己的分工任务,教师适时加以指导.试验结束要及时汇总
试验数据,对试验结果加以统计.
[设计意图] 学生经过试验对这一不确定事件发生的频率有了全面地认识,通过试验进一步使学生明
确钉尖朝上和钉尖朝下的频率大小,在动手操作的过程中认识到频率的稳定性,也培养了学生的小组合作能
力,动手能力和思维水平.
探究活动2 频率的试验2
(3)请同学们根据已填的表格,完成下面的折线统计图.
出示准备好的折线统计图与学生所作的折线统计图进行比较.
(4)小明共做了400次掷图钉游戏,并记录了游戏的结果,绘制了下面的折线统计图,观察图象,钉尖朝上
的频率的变化有什么规律?
【问题】 从折线统计图的绘制过程中,你发现了什么规律?
[处理方式] 引导学生思考、观察.学生可能会得出在试验次数很大时,钉尖朝上的频率都会在一个常
数附近摆动,即钉尖朝上的频率具有稳定性这样的结论.此时教师可以在此基础上强调并总结:在试验次数
很大时,钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动,即钉尖朝上的频率具有稳定性.
议一议
问题1
通过上面的试验,你认为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一样大吗?你是怎么想的?
问题2
小军和小凡一起做了1000次掷图钉的试验,其中有640次钉尖朝上,据此,他们认为钉尖朝上的可能性
大.你同意他们的说法吗?
[处理方式] 学生通过小组之间的合作、交流,绘制折线统计图,使学生学会独立处理数据.通过观察图
象分析,产生初步判断,再通过观察折线图进一步验证猜想.在议一议中,学生通过小组讨论交流后得出结论.
[设计意图] 通过绘制折线统计图,进一步对数据进行处理,进而得出结论,也就突出了本节课的重点.并
且也认识到频率的稳定性.在议一议环节,学生进行分组讨论,进一步加深对频率稳定性的认识,初步体会用
频率可以估计事件发生的可能性的大小.
探究活动3 即时训练,发展思维
[过渡语] 通过本节课的学习,同学们都有了一定的收获!收获的效果如何?让我们一起检测一下.
【活动内容】
某射击运动员在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心
9 16 41 88 168 429 861
的次数m
击中靶心m
的频率
n
(1)完成上表;
(2)根据上表,画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图;
(3)观察画出的折线统计图,击中靶心的频率的变化有什么规律?
[处理方式] 学生做题时教师检查,及时给个别学困生辅导,鼓励学生进行小组合作交流,做完的学生教
师当堂批改,指出对错.最后小组进行自我评价,然后互评,对表现突出的小组进行表扬.
[设计意图] 本题主要是衔接本节课的探索试验题,难度不大,可以独立完成.使学生形成分析数据、计
算频率、绘制图象、归纳总结的数学思维,同时进一步体会频率的稳定性.
[知识拓展] 不确定事件发生的可能性是有大小的,抛掷图钉落地后钉尖朝上和朝下的可能性不同,结
果只能通过做大量的重复试验才能得到.
m
1.在n次重复试验中,不确定事件A发生了m次,则比值 称为事件A发生的频率.
n
2.在试验次数很大时,钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动,即钉尖朝上的频率具有稳定性.
1.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球.每次摸球前先将盒子里
的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在
30%,那么可以推算出n大约是 ( )
A.6 B.10 C.18 D.20
6
解析:根据题意得 =30%,解得n=20,所以这个不透明的盒子里大约有20个除颜色外其他完全相同的
n
小球.故选D.
2.掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 ( )
A.每两次必有1次正面向上
B.可能有5次正面向上
C.必有5次正面向上
D.不可能有10次正面向上
1
解析:因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面,所以不管抛多少次,硬币正面朝上的可能性都是 ,所以
2
掷一枚质地均匀的硬币10次,可能有5次正面向上.故选B.
3.在科学课外活动中,小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的试验,结果如下表所示:
种子数(个) 100 200 300 400
发芽种子数(个) 94 187 282 376
由此估计这种作物种子的发芽率约为 .(精确到1%)
94+187+282+376
解析: =0.939≈94%.故填94%.
100+200+300+400
4.某商场为了吸引顾客,举行抽奖活动,并规定:顾客每购买100元的商品,就可以随机抽取一张奖券,抽
得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”,就可以分别获得100元、50元、20元的购物券,抽得
“谢谢惠顾”不赠购物券;如果顾客不愿意抽奖,可以直接获得购物券10元.小明购买了100元的商品,他看
到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下:
奖券 紫气 花开 吉星 谢谢
种类 东来 富贵 高照 惠顾出现张数(张) 500 1000 2000 6500
(1)求“紫气东来”奖券出现的频率;
(2)请你帮助小明判断,抽奖和直接获得购物券,哪种方式更合算?说明理由.
500 1
解:(1) = 或5%.
10000 20
500 1000 2000 6500
(2)平均每张奖券获得的购物券金额为100× +50× +20× +0× =14(元).
10000 10000 10000 10000
因为14>10,所以选择抽奖更合算.
第1课时
探究活动1 频率的试验1
探究活动2 频率的试验2
探究活动3 即时训练,发展思维
一、教材作业
【必做题】
教材第142页习题6.2知识技能第1题.
【选做题】
教材第142页习题6.2数学理解第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某种彩票的中奖机会是1%,下列说法正确的是 ( )
A.买一张这种彩票一定不会中奖
B.买一张这种彩票一定会中奖
C.买100张这种彩票一定会中奖
D.当购买彩票的数量很大时,中奖的频率稳定在1%
2.在做图钉落地的试验中,正确的是 ( )
A.甲做了4000次,得出钉尖触地的机会约为46%,于是他断定在做第4001次时,钉尖肯定不会触地
B.乙认为一次一次做,速度太慢,他拿来了大把材料,形状及大小都完全一样的图钉,随意朝上轻轻抛出,然后
统计钉尖触地的次数,这样大大提高了速度
C.老师安排每位同学回家做试验,图钉自由选取
D.老师安排同学回家做试验,图钉统一发(完全一样的图钉).同学交来的结果,老师挑选他满意的进行统计,他
不满意的就不要
3.在地面上有一组平行线,相邻两条平行线的距离都是5 cm,将长为3 cm的针任意投向这组平行线,下表是
九年级某班同学合作完成投针试验后统计的数据.
投针次数 100 600 1000250035005000
针与线相
48 281 454 861 13721901
交的次数
相交的频率
(1)分别求出表格中各相交频率的大小;
(2)在试验次数很大时,频率应稳定于 ;
(3)根据表格中试验频率的变化,说明在题设的情况下,针与平行线相交与不相交的可能性.
【能力提升】4.在一个不透明的袋子中,红色、黑色、白色的玻璃球共有60个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同.
小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色的球的个数
很可能是 个.
【拓展探究】
5.一粒木质中国象棋棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,反面是平的.将它从一定的高度掷下,落地反弹
后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,因此某试验小组做了棋子下
掷试验,试验结果如下表:
试验次数(n) 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次
14 38 47 52 66 78
数(m)
相应的频
(m)
0.7 0.45 0.590.52 0.560.55
率
n
(1)请将数据表补充完整;
(2)根据上表画出“兵”字面朝上的频率分布折线统计图;
(3)试验继续进行下去,根据上表的数据,这个试验的频率将趋于稳定,这个稳定值是多少?
【答案与解析】
1.D(解析:A.因为中奖机会是1%,可能性较小,但也有可能发生,故本选项错误;B.买1张这种彩票中奖机会是
1%,即买1张这种彩票中奖的机会很小,故本选项错误;C.买100张这种彩票不一定会中奖,故本选项错误;D.
当购买彩票的数量很大时,中奖的频率稳定在1%,故本选项正确.故选D.)
2.B(解析:A.在做第4001次时,钉尖可能触地,也可能不触地,故错误,不符合题意;B.符合模拟试验的条件,正确,
符合题意;C.应选择相同的图钉,再类似的条件下试验,故错误,不符合题意;D.所有的试验结果都有可能发生,
也有可能不发生,故错误,不符合题意.故选B.)
3.解:(1)自左向右依次填写:0.48,0.468,0.454,0.344,0.392,0.38. (2)0.40 (3)针与平行线相交的可能性为0.4,
不相交的可能性为0.6.
4.24(解析:因为小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%,所以口袋中
白色球的个数很可能是60×(1- 15%- 45%)=24(个).)
5.解:(1)从左向右依次填:18 0.63 0.55 88 (2)折线图如图所示. (3)根据表中数据,试验频率分别为
0.7,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.56,0.55,稳定在0.55左右,故这个稳定值为0.55.
1.精心选择素材,合理进行拓展应用.
本节课教材中的试验为学生体会随机事件发生的频率具有稳定性提供了充足的依据,所以设计本节课
件时选用了教材中的例子,更能体现本节的教学重点.在教学中引导学生进行猜想、试验、分析、交流、发
现、应用,学生在操作、思考、交流中不断地发现问题,解决问题,特别是学生的学习活动采取多样化的形式,
激发了学生的合作意识、动手操作意识.
2.以学生活动为主体,开展合作交流活动,创设高效课堂.相信学生,并为学生提供充分展示自己的机会,在教师的组织引导下,以自主探究、合作交流的形式让学
生思考问题,培养学生动手、动脑、动口能力,结合生活中的问题开发学生潜在智力因素,使学生真正成为学
习的主体.
3.学生在试验中发现规律,总结规律,应用规律.
学生通过试验学会了应用试验的方法去收集数据、分析数据、整理数据,最后得到结论,真正体会和感
受了事件的不确定性以及频率的稳定性.
在小组交流时没有关注到后进生,造成一些后进生没有参加到小组的讨论与交流,过于放任了,以后要注
意关注全体.
在小组做出猜测之前,应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其
他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组合作给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交
流合作中注意的问题及对学习困难的学生帮助等,使小组合作学习更具实效性.教师应注意激发学生的内在
动机,通过学生的发现给他们带来满意和内在的激励.
随堂练习(教材第142页)
解:(1)自左向右填表:0.9,0.8,0.82,0.88,0.84,0.858,0.861. (2)图略. (3)由折线统计图可知,击中靶心的频率在
0.86附近摆动,具有稳定性.
习题6.2(教材第142页)
知识技能
1.解:(1)表格从左往右依次填:0.9,0.95,0.94,0.93,0.935,0.934,0.935. (2)如图所示. (3)随着试验次数的增加,
产品的合格率稳定在0.935附近.
数学理解
2.提示:不一样大.可以通过大量的重复试验进行验证(盖口向上的可能性要大于盖口向下的可能性).
教法:通过具体的现实情境,从学生已有的生活经验出发,通过“猜想→试验和收集试验数据→分析试验
结果→验证试验结果→交流→发现→应用”,经历自主探索、分组试验、合作交流等活动形式,以学生为主
体,教师创设和谐、愉悦的环境,辅以适当的引导.
学法:学生在教师指导下进行“猜想→试验和收集试验数据→分析试验结果→验证试验结果”的一系
列活动,积极思考,独立探索,自己发现并掌握相应的规律.
第 课时1.经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程,体会数据的随机性.
2.理解不确定事件(随机事件)的概念,能区分确定事件和不确定事件,使学生在教师的指导下自主地发
现问题、探究问题,获得结论,感受数学和实际生活的联系,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
1.通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验频率稳定在某一常数附近,并据此估计出某一事件发生
的频率.
2.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力,发展学生的辩证思维能力.
通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值;进一步体会
“数学就在我们身边”,发展学生应用数学的能力.
【重点】 通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验的频率具有稳定性,并据此初步估计出某一事
件发生的可能性大小.
【难点】 大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P143~144.
导入一:
[过渡语] 同学们,回顾一下我们已经学过的三类事件分别是什么?
接着让学生抛掷一枚质地均匀的硬币,硬币落下后,会出现正面朝上、正面朝下两种情况,你认为正面朝
上和正面朝下的可能性相同吗?(让学生体验数学来源于生活)
[处理方式] 复习提问由学生回答完成,接着学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测,
而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,使猜测的结果更加准确.通过这一活动使学生能很快进入课堂角
色,并由掷硬币游戏培养学生猜测游戏结果的能力,并从中初步体会猜测事件的可能性.
[设计意图] 本活动的设计意在通过问题情境,让学生在回顾过程中积极思考,使学生回顾学过的三类
事件.事实上,学生对游戏发生的可能性进行猜测的过程,就已经开始体会事件发生的可能性,这就为下一环
节用试验验证事件发生的可能性打好基础.
导入二:
[过渡语] 同学们,结合实例想一想学过的三类事件是什么?
1.(1)举例说明什么是必然事件.(2)举例说明什么是不可能事件.
(3)举例说明什么是不确定事件.
2.结合图形完成下面问题.
(1)明天会下雨是什么事件?可能性多大?
(2)太阳从东方升起是什么事件?可能性大吗?
(3)如果随机抛出一枚骰子,抛出的点数会是7吗?这是什么事件?可能性大吗?
[处理方式] 学生回顾学过的三类事件,对生活中熟悉的事件的可能性做出直接的猜测和判断,教师不
予评价,让学生自己省悟,从而对这节内容产生浓厚兴趣,激发学生学习热情.
[设计意图] 使学生回顾学过的三类事件,让学生体验数学来源于生活,既复习了之前所学习的知识,也
为本节课知识的展开做好了铺垫.
探究活动1 概率
思路一
你认为一枚硬币抛出之后会怎么样?那么这几种情况哪种情况的可能性更大一些呢?
[处理方式] 学生议论,老师适时引导会出现正面或者反面.出现正面或者反面的可能性应一样大.学生
在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测,而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使
猜测的结果更加准确.
活动内容参照教材提供的任意掷一枚均匀的硬币,出现正面朝上和正面朝下两种结果,让同学猜想正面
朝上和正面朝下的可能性是否相同的情境,让学生来做做试验.每掷一次,完成表格填写并作出相应的折线
图.
[处理方式] (大屏幕出示)由掷硬币游戏培养学生猜测游戏结果的能力,并从中初步体会猜测事件发生
的可能性.让学生体会猜测结果,这是很重要的一步,我们所学到的很多知识,都是先猜测,再经过多次的试验
得出来的.由此引出猜测是需通过大量的试验来验证的.
(1)同桌两人做20次掷硬币的游戏,并将数据记录在下表中:
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
(2)累计全班同学的试验结果,并将试验数据汇总填入下表:试验总
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
次数
正面朝上
的次数
正面朝上
的频率
正面朝下
的次数
正面朝下
的频率
(学生分组搜集数据,组长负责统计数据.组长汇报,填写上表)
(3)根据上表,完成下面的折线统计图.
(4)观察上面的折线统计图,你发现了什么规律?
(当试验次数很大时,正面朝上的频率折线差不多稳定在“0.5水平直线”上)
[设计意图] 一是通过试验让学生体验等可能性事件发生的可能性的发现过程,二是培养学生的合作
精神,通过试验和收集试验数据的过程使学生之间增进感情,并明白团队精神的重要性.
【活动内容】
通过填表画图你有哪些收获?
[处理方式] 无论是出现正面的频率还是出现反面的频率,当试验的次数较少时,折线在“0.5水平直
线”的上下摆动的幅度较大,随着试验的次数的增加,折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度会逐渐变
小.
200个数据是不是太少了,能说明问题吗?你的疑问很有针对性,我们所做的试验不能说是大量的.但是
有些人的确做了很多次.(大屏幕显示)
正面朝上
试验总 正面朝上 m
试验者
次数n 的次数m 的频率
n
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺
80640 39699 0.4923
夫斯基
(5)表中的数据支持你发现的规律吗?
提示:上表中正面出现的频率都接近0.5,这说明当抛硬币的次数足够多的时候,抛硬币正面和反面朝上
的频率基本是一样的.新知总结:由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度,频率越大,事件A发生越频繁,这就意味
着事件A发生的可能性也越大,因而,我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的大小.我们把刻画事
件A发生的可能性大小的数值,称为事件A发生的概率(probability),记为P(A).
m
一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫
n
做事件A发生的概率.
[设计意图] 学生通过小组之间的合作、交流,用对不确定事件发生的频率的分析来估计事件发生的
概率.再通过对历史上数学家所做掷硬币试验数据的讨论,学生的思维变得更加活跃,为回答接下来的新知
应用做好准备.
思路二
【活动内容1】
试验操作,分析问题.
请同学们拿出准备好的硬币,同桌两人做20次掷硬币的游戏,并将数据填在下表中:
试验总次数 20
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
(提示:硬币是均匀硬币,要从同一高度任意掷出)
[处理方式] 学生动手试验并收集数据,很快会发现问题(因为试验次数不多,事件发生的频率不稳定).
培养学生发现问题、解决问题的能力.两个同学把各自的试验结果相加,看看有什么共同之处或不同之处.
[设计意图] 通过掷硬币试验,发现在试验次数很少时,事件发生的频率不具有稳定性.可迅速吸引学生
的注意力和调动学生探究问题的欲望,对接下来该如何验证问题得到结论,产生了思考,是继续试验更多的次
数,还是……使学生树立在学习过程中找最佳解决办法的思想.
【活动内容2】
小组合作,探究问题.
各组分工合作,分别累计进行到20,40,60,80,100,120,140,160,180,200次正面朝上的次数,并完成下表:(也
可以继续追加表格)
试验总
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
次数
正面朝
上的次数
正面朝上
的频率
正面朝下
的次数
正面朝下
的频率
[处理方式] 学生自发地把小组试验的结果都统计出来,学会进行试验和收集试验数据的方法.
[设计意图] 通过试验和搜集数据,培养学生的合作精神,通过试验和收集试验数据的过程使学生之间
增进感情,并明白团队精神的重要性.
【活动内容3】
归纳总结,解决问题.
请同学们根据已填的表格,完成下面的折线统计图.[处理方式] 学生通过描点、连线,独立完成统计图.同时教师追问:
观察上面的折线统计图,你发现了什么规律?
[处理方式] 通过观察,分析统计图,总结自己的发现.在试验次数较小时,折线上下摆动的幅度较大;在
试验次数很大时,正面朝上和正面朝下的频率会在0.5附近,可能性相同.
[设计意图] 激发学生大胆发言.通过观察数据与图形,锻炼分析数据的能力和验证猜想的做法.
【活动内容4】
阅读材料.
下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据:
正面朝上
试验总 正面朝上 m
试验者
次数n 的次数m 的频率
n
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺
80640 39699 0.4923
夫斯基
表中的数据支持你发现的规律吗?
[设计意图] 通过对历史上数学家所做掷硬币试验数据的讨论,学生的思维变得更加活跃,为回答接下
来的新知应用做好准备.
【问题】 掷硬币和掷图钉有什么相同点和不同点?
[处理方式] 学生畅所欲言,教师把发现的结论板书,并纠错修改成最简洁的语言.
[设计意图] 总结不确定事件频率的特点,在试验次数很大时事件发生的频率会在一个常数附近摆动.
这个性质称为:频率的稳定性.
探究活动2 频率与概率的区别与联系
【问题】 频率与概率有什么区别与联系?
[处理方式] (学生交流)从定义可以得到二者的联系,可用大量重复试验中事件发生的频率来估计事件
发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近,说明概率是
个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.通过定义可以看出事件
A发生的概率P(A)的取值范围是0≤P(A)≤1.
(大屏幕显示)
必然事件发生的概率为 ,不可能事件发生的概率为 ,不确定事件发生的概率P(A)为
与 之间的一个常数.
必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,不确定事件发生的概率P(A)为0与1之间的一个
常数.
我们可以用线段表示事件发生可能性的大小.[设计意图] 突出本节课的重点,通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率,并掌握三类事
件的概率值.
探究活动3 即时讲练
[过渡语] 通过本节课的学习,同学们都有了一定的收获!收获的效果如何?让我们一起检测一下.
我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A的概率,记为P(A).
一般地,大量重复的试验中,我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.
问题1
事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么?必然事件发生的概率是多少?不可能事件发生的概率又是
多少?
[处理方式] 小组讨论探讨,通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率,并掌握三类事件的
概率值.
[设计意图] 学生通过小组之间的合作、交流,理解用不确定事件发生的频率的分析来估计事件发生
m m n
的概率.由上节课知道频率是 ,所以P(A)可以近似地等于 的值.必然事件发生的概率为P(A)= =1;不可
n n n
0
能事件发生的概率为P(A)= =0;不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数.
n
问题2
由上面的试验,请你估计抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上和正面朝下的概率分别是多少?它们相等
吗?
[设计意图] 体会在“掷硬币”的试验中正面朝上和正面朝下的频率,可以估计正面朝上和正面朝下
的概率相同,为后面的古典概率做准备.
[知识拓展] 频率与概率的区别与联系.
1.联系:当试验次数很大时,事件发生的频率稳定在相应概率的附近,即试验频率稳定于理论概率,因此可
以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
2.区别:某随机事件发生的概率是一个常数,是客观存在的,与试验次数无关.而频率是随机的,试验前无
法确定.概率的统计定义是用频率表示的,但它又不同于频率的定义,只用频率来估计概率.频率是试验值,有
不确定性,而概率是稳定值.
1.在试验次数很大时,事件发生的频率,都会在一个常数附近摆动,这个性质称为:频率的稳定性.
2.我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A的概率,记为P(A).
3.一般地,大量重复的试验中,我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.
4.必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0;不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的
一个常数.
1.口袋中有9个球,其中4个红球,3个蓝球,2个白球,在下列事件中,发生的可能性为1的是( )
A.从口袋中拿一个球恰为红球
B.从口袋中拿出2个球都是白球
C.拿出6个球中至少有一个球是红球D.从口袋中拿出的球恰为3红2白
解析:因为口袋中有9个球,其中4个红球,3个蓝球,2个白球,所以拿出6个球中至少有一个球是红球.故
选C.
2.一副扑克牌共54张,其中,红桃、黑桃、方块、梅花各13张,还有大、小王各一张.任意抽取其中一张,
则P(抽到红桃)= ,P(抽到黑桃)= ,P(抽到小王)= ,P(抽到大王)= .
解析:因为一副扑克牌共54张,其中红桃、黑桃、方块、梅花各13张,还有大、小王各一张,任意抽取其
13 13 1 1
中一张,所以P(抽到红桃)= ;P(抽到黑桃)= ;P(抽到小王)= ;P(抽到大王)= .
54 54 54 54
13 13 1 1
答案:
54 54 54 54
1
3.小明抛掷一枚均匀的硬币,正面朝上的概率为 ,那么,抛掷100次硬币,你能保证恰好50次正面朝上
2
吗?
解:因为频率即每个对象出现的次数与总次数的比值,它估计可能性的大小,所以抛硬币时,前一次试验
对后一次试验结果没有影响.所以不能保证恰好50次正面朝上.
第2课时
探究活动1 概率
探究活动2 频率与概率的区别与联系
探究活动3 即时讲练
一、教材作业
【必做题】
教材第146页习题6.3知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第146页习题6.3数学理解第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列事件发生的可能性为0的是 ( )
A.掷两枚骰子,同时出现数字“6”朝上
B.小明从家里到学校用了10分钟,从学校回到家里却用了15分钟
C.今天是星期天,昨天必定是星期六
D.小明步行的速度是每小时80千米
2.把标有号码1,2,3,…,10的10个乒乓球放在一个箱子中,摇匀后,从中任意取一个,号码为小于7的奇数的概
率是 ( )
3 7 2 3
A. B. C. D.
10 10 5 5
3.某事件发生的可能性如下,请选择:
(1)发生的可能性极大;( )
(2)发生与不发生的可能性一样;( )
(3)发生的可能性极小;( )
(4)不可能发生.( )
A.0.1% B.50%C.0 D.99.99%
【能力提升】
4.小颖有20张大小相同的卡片,上面写有1~20这20个数字,她把卡片放在一个盒子中搅匀,每次从盒中抽出
一张卡片,记录结果如下:
试验
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
次数
3的倍数
5 13 17 26 32 40 43 50 56 62
的频数
3的倍数
的频率
(1)完成上表;
(2)频率随着试验次数的增加,稳定于数值 左右;
(3)从试验数据看,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是 ;
(4)根据推理计算可知,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是 .
【拓展探究】
5.掷一枚质地均匀的骰子.
(1)会出现哪些可能的结果?
(2)掷出点数为1与掷出点数为2的可能性相同吗?掷出点数为1与掷出点数为3的可能性相同吗?
(3)每种结果出现的可能性相同吗?你是怎样做的?
【答案与解析】
1.D(解析:A.掷两枚骰子,同时出现数字“6”朝上,可能性不为0;B.小明从家里到学校用了10分钟,从学校回
到家里却用了15分钟,可能性不为0;C.今天是星期天,昨天必定是星期六,可能性为1;D.小明步行的速度是
每小时80千米,可能性为0.故选D.)
2.A(解析:因为所有机会均等的可能共有10种,而号码小于7的奇数有1,3,5,共3种,所以抽到号码为小于7
3
的奇数的概率是 .故选A.)
10
3.(1)D (2)B (3)A (4)C
4.解:(1)0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.33,0.31,0.31,0.31,0.31. (2)0.31 (3)0.31 (4)0.3
5.解:(1)投掷一枚质地均匀的骰子,向上的面的点数可能是1,2,3,4,5,6,这6种结果. (2)掷出点数为1与掷出
点数为2的可能性相同;掷出点数为1与掷出点数为3的可能性相同. (3)每种结果出现的可能性相同;通过
大量的试验进行验证.
本节课通过课堂上小组合作掷硬币试验,并展示试验结果的过程,为学生提供展示自己聪明才智的机会,
并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教
学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组
织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.
引导学生进行“猜想——试验——分析——交流——发现——应用”,学生在操作、思考、交流中
不断地发现问题、解决问题,极大地调动了学生的学习积极性,让学生尝到了成功的喜悦,激发了学生的发散
思维的火花,培养了学生独立探究和解决问题的能力.
由于分组不够均匀,个别小组基础较差,理解较慢,因此参与度不高,是今后教学要特别注意的地方.要精心设计自己的教学语言,数学的语言表达应该是简洁的,如果在上课之前从来没有考虑过,一个概念
该如何表达才能使学生听明白,而是对着课件把概念重复一下,解释的时候又显得十分啰嗦,学生要花很多时
间去理解老师的话,要是有一个环节没有跟上老师的思路,把本来有点懂的学生都讲糊涂了,所以现在我能理
解为什么有些学生讲,老师你说话能够直接点吗?有些问题我本来懂,被你一讲我又糊涂了.
现在有了多媒体,很多老师上课就是对着电脑讲,连板书都省略了,结果一堂课上完的时候,让学生总结
时,学生对着老师无语,或是绞尽脑汁去回忆老师讲的内容,结果只能回忆其中的某些细节,而不能把完整的
过程讲出来.如果教师能够精心设计板书的话,学生就能从你的板书中看到这节课的来龙去脉了.
随堂练习(教材第145页)
1.解:不同意,再多做几次试验,结果会不同.应该是正面朝上和正面朝下的概率均为0.5.
2.提示:抛100次硬币,不能保证恰好50次正面朝上.
习题6.3(教材第146页)
知识技能
1.解:(1)表格从左往右依次填:0.94,0.955,0.946,0.954,0.953,0.9496. (2)图略. (3)麦粒发芽的概率大约是
0.95.
2.解:(1)从左往右依次为0.7,0.8,0.86,0.81,0.82,0.828,0.825. (2)0.82. (3)不一定一样,试验次数越多,频率越
稳定在0.82左右,再取1000个做试验,数据也会在0.82左右波动,但是每组数据都可能会有偏差.
数学理解
3.解:(1)结果有6种:点数为1,2,3,4,5,6. (2)掷出点数为1和点数为2以及掷出点数为1和点数为3的可能性
都相同. (3)每一个结果出现的可能性都一样.可通过多次掷骰子,用试验结果来验证.
小云从装有除颜色外其他都相同的若干个红球和黑球的暗箱中连续摸出了5个红球,则暗箱中
的红球与黑球 ( )
A.一样多 B.红球多
C.黑球多 D.无法确定
〔错解〕 B
〔正解〕 D
〔易错辨析〕 小云从暗箱中连续摸出5个球,具有随机性,这是一个不确定事件.连续摸出5个红球并
不能作为判断出暗箱中红球与黑球个数多少的依据.
3 等可能事件的概率1.能在摸球游戏中体会概率的意义.
2.了解计算一类事件发生的概率的方法.
3.计算简单事件发生的概率.
4.会设计符合条件的简单事件概率模型.
从摸球游戏出发,运用前面所学知识来判断摸到白球或红球的可能性,及在事件的频率理解基础上引导
学生分析用分数来表示事件发生的概率,然后在概率意义的基础上学习如何计算事件发生的概率.
在学习过程中体会数学与日常生活的密切联系,了解数学的应用价值,增强学习数学的兴趣.
【重点】 计算简单事件发生的概率.
【难点】 从摸球游戏中体会概率的意义;设计符合条件的简单事件概率模型.
第 课时
1.通过摸球游戏,了解计算一类事件发生可能性的方法,体会概率的意义,根据已知的概率设计游戏方案.
2.掌握古典概型的概率计算方法,初步体会概率是描述不确定现象的数学模型.
通过本节课的学习,感受数学与现实生活的联系,体验数学在解决实际问题中的作用,培养实事求是的态
度及合作交流的能力.
通过环环相扣、层层深入的问题设置以及分组游戏的设置,培养自主、合作、探究的能力,培养学习数
学的兴趣.
【重点】 概率的意义及其计算方法的理解与应用以及根据已知的概率设计游戏方案.
【难点】 灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题.【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P147~148.
导入一:
[过渡语] 同学们喜欢足球运动吗?足球运动是世界上最精彩、最富有激情的运动之一.2014~2015赛
季欧冠半决赛中皇马主场战平尤文图斯,总比分2比3无缘决赛,斑马军团第8次打进冠军杯决赛.以下是比
赛截取视频,请同学们欣赏.
【思考】 足球比赛前裁判通过抛硬币让双方的队长猜正反来选场地,只抛了一次,而双方的队长都没
有异议,为什么?
[处理方式] 学生认真观看视频后,教师简单介绍足球比赛前选场地的规则,让学生了解一些课外知识.
小组合作解决提出的问题,得出结论.硬币正面朝上和反面朝上的概率相等,同时教师强调抛硬币的随机性.
[设计意图] 利用学生感兴趣的足球比赛视频激发学生学习的热情,让学生理解比赛抛硬币选场地的
公平性.同时让学生体会数学来源于生活,并为下面古典概型的学习做铺垫.
导入二:
【活动内容1】
知识链接.
1.概率:我们把刻画事件A发生的 的数值,称为事件A发生的概率,记为 .一般地,大量
重复的试验中,我们常用不确定事件A发生的 来估计事件A发生的概率.
2.事件A发生的概率P(A)的取值范围为 .
必然事件发生的概率为 ;
不可能事件发生的概率为 ;
不确定事件A发生的概率P(A)为 .
【活动内容2】
情境导入.
一些球类比赛中裁判用抛硬币的方法来决定哪个队先开球,这样做公平吗?你能说说理由吗?
[处理方式] 学生通过回忆或课本先复习上节课初步认识的概率的概念,并解决活动内容2,讨论公平
的理由,初步体会试验结果的等可能性.[设计意图] 本节课的内容是概率计算的方法,本环节设计两个活动内容,第一个“知识链接”主要复
习上节课所学,诊断学情,并为本节课学习做铺垫;第二个“情境导入”目的有两个:(1)结合生活实例,使学生
体会到数学在生活中的应用;(2)复习有关简单掷硬币正面朝上的概率,使学生体会试验结果的等可能性,为
学习理论概率打下基础.
[过渡语] 你们在前面的课堂活动中做过不少游戏,这些游戏对双方公平吗?
探究活动1 抽卡片游戏
思路一
1.让学生拿出准备好的五张卡片,卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,这五张卡片除了所标的数字不同外,大
小和颜色完全相同,把卡片反面朝上搅匀后从中任意抽出一张.
(1)会抽到什么号码的卡片?一共有几种结果?
(2)每种结果出现的可能性相同吗?猜一猜它们的概率分别是多少?
2.任意抛一枚质地均匀的硬币,会出现几种情况?每种结果出现的可能性相同吗?
3.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数有几种情况?每种结果出现的可能性相同吗?
4.以上的试验结果有什么共同的特点?
[处理方式] 以小组为单位,利用准备好的卡片按要求做第1题的试验,并通过试验的结果回答所提出
的问题,然后讨论第2,3题的答案,学生之间互相补充.教师适时点评,加以强调.最后老师引导学生根据试验
结果进行总结:
(1)试验的所有可能的结果是有限的;
(2)设一个试验的所有可能的结果有n种,每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种结果出现的
可能性相同,那么我们就称这个试验的结果是等可能的.
(3)概率的计算方法:一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件
m
A发生的概率为P(A)= .
n
[设计意图] 本活动从具体的抽卡片游戏出发,让学生了解古典概型的特点,在此基础上给出概率的计
算公式,这样便于学生理解计算公式,为下一步的应用作准备.由于问题简单,教师应注重给学生更多的展示
自己才能的机会,让学生根据自己的试验充分发表意见,调动学生的学习热情,培养学生多动脑的好习惯,从
而轻松掌握求在等可能试验中事件A发生的概率公式.
思路二
【活动内容1】
(多媒体出示)
一个袋中有5个球,分别标有1,2,3,4,5这5个号码,这些球除号码外都相同,搅匀后任意摸出一个球.
1.会出现哪些可能的结果?
2.每个结果出现的可能性相同吗?猜一猜它们的概率分别是多少?
[处理方式] 教师利用自制球箱,找学生摸球,展示结果:有5种等可能结果,即摸到1号球、摸到2号球、
摸到3号球、摸到4号球、摸到5号球,学生畅所欲言,表述自己发现的结论,准确说出所有结果.每个结果出
1
现的可能性相同,它们的概率都是 .
5
[设计意图] 通过摸球活动,让学生感受古典概型的特点,使本节课顺利地进入到下一个环节,同时培养
学生准确表达自己的思维结果的能力.
【活动内容2】
抛硬币、掷骰子和前面的摸球游戏有什么共同点?和我们学过的掷图钉试验一样吗?[处理方式]
1.通过小组合作交流讨论,教师引导,学生能够准确理解等可能事件的特点:(1)所有可能的结果是有限的;
(2)每种结果出现的可能性相同.
2.掷图钉不符合每种结果出现的可能性相同,所以它不是等可能事件.此处教师还可以举例发芽试验中
的发芽与不发芽,射击试验中的中靶与脱靶,让学生感受它们为什么不是等可能试验.
3.教师出示想一想:你能找一些结果是等可能的试验吗?
比如:抓阄,摸牌等.让学生说明理由.
4.师生共同合作得出求等可能试验中事件A发生的概率公式.教师应注重给学生更多的展示自己观点
的机会.
一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为
m
P(A)= .
n
[设计意图] 让学生能够理解等可能事件的两个基本特点,并掌握古典概型的概率公式,注重培养学生
与他人合作的能力.
探究活动2 例题讲解
任意掷一枚质地均匀的骰子.
(1)掷出的点数大于4的概率是多少?
(2)掷出的点数是偶数的概率是多少?
解:任意掷一枚质地均匀的骰子,所有可能的结果有6种:掷出的点数分别是1,2,3,4,5,6,因为骰子是质地
均匀的,所以每种结果出现的可能性相等.
2 1
(1)掷出的点数大于4的结果只有2种:掷出的点数分别是5,6,所以P(掷出的点数大于4)= = .
6 3
3 1
(2)掷出的点数是偶数的结果有3种:掷出的点数分别是2,4,6,所以P(掷出的点数是偶数)= = .
6 2
把标有1,2,3,…,10共10个号码的乒乓球放在一个布袋里,任意取出一个,取得号码为奇数且不
超过7的乒乓球的概率是多少?
解:共有10个球,所以每次摸出一个球有10种情况,而标有数字不超过7的奇数的球有4个,即1,3,5,7,故
2
有4种情况,所以P(不超过7的奇数)= .
5
[处理方式] 引导学生认真读题,可以用以下问题提示学生:(1)一共有多少种不同的结果?(2)每种结果
出现的可能性是否相同?(3)其中要求的事件的结果有几种情况?(4)套用公式计算概率.在学生分析完题目后,
可以让学生尝试板演解题过程,并由学生互相补充,完善解题过程.
[设计意图] 在前面学生刚刚学习了概率的计算公式的基础上,此处通过两个例题求相关概率问题,来
巩固所学的计算公式,培养学生运用所学知识解决实际问题的能力.
[知识拓展] 必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能
事件)=0;如果A为不确定事件,那么0<P(A)<1.
1.等可能事件:设一个试验的所有可能的结果有n种,每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种
结果出现的可能性相同,那么我们就称这个试验的结果是等可能的.
2.等可能事件的概率的计算步骤:
(1)确定所有可能的结果的总数.
(2)判断每种结果发生的可能性是否相同.
(3)确定事件A发生的结果数.m
(4)利用公式P(A)= 计算出结果.
n
3.应用概率计算公式计算相应的概率.
1.掷一枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有1,2,3,4,5,6),“6”朝上的概率是多少?
解:掷一枚均匀的小立方体,所有可能出现的结果有6种:“1”朝上,“2”朝上,“3”朝上,“4”朝上,
“5”朝上,“6”朝上,每个结果出现的可能性即概率是一样的,其中“6”朝上的结果只有一种,因此
1
P(“6”朝上)= .
6
2.现有4根小木棒,长度分别为2,3,4,5(单位:cm),从中任意取出3根.
(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况;
(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接,求它们能搭成三角形的概率.
解:(1)从中任意取出3根,所有的可能情况有①2,3,4;②2,3,5,③2,4,5;④3,4,5.共4种.
3
(2)能搭成三角形的情况有①③④,共3种,所以P(能搭成三角形)= .
4
第1课时
探究活动1 抽卡片游戏
探究活动2 例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第148页习题6.4知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第149页习题6.4问题解决第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛,赛场只设1,2,3,4四个跑道,选手以随机抽签的方式决定各自的
跑道,若甲首先抽签,则甲抽到1号跑道的概率是 ( )
1 1 1
A.1 B. C. D.
2 3 4
2.在10个外观相同的产品中,有2个不合格产品,先从中任意抽取1个进行检测,抽到不合格产品的概率是
( )
1 1 2 4
A. B. C. D.
10 5 5 5
3.从分别标有1,2,2,3的4张背面完全一样的卡片中任意摸出一张卡片,则P(摸到1号卡片)= ,P(摸
到2号卡片)= .
4.掷一枚质地均匀的骰子(各面的点数分别为1,2,3,4,5,6).
①P(点数6朝上)= ;②P(掷出比3小的点数)= ;
③P(掷出的点数是7)= .
【能力提升】
5.如图所示,A是正方体小木块(质地均匀)的一顶点,将木块随机投掷在水平桌面上,则A与桌面接触的概率
是 .
6.在一个不透明的口袋中,装有15个红球和若干个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红
5
球的概率是 ,如果再往口袋中放入6个白球,求这时任意摸出一个球,摸到红球的概率.
8
【拓展探究】
7.(2015·恩施中考)质地均匀的小正方体,六个面分别有数字“1”,“2”,“3”,“4”,“5”,“6”,同时投掷
两枚,观察朝上一面的数字.
(1)求数字“1”出现的概率;
(2)求两个数字之和为偶数的概率.
【答案与解析】
1
1.D(解析:因为设1,2,3,4四个跑道,甲抽到1号跑道只有1种情况,所以甲抽到1号跑道的概率是 .故选D.)
4
2 1
2.B(解析:从中任意抽取一个检验,则抽到不合格产品的概率是 = .故选B.)
10 5
1 1
3.
4 2
1 1
4.① ② ③0
6 3
1 3 1
5. (解析:因为共有6个面,A与桌面接触的有3个面,所以A与桌面接触的概率是 = .)
2 6 2
5
6.解:白球有15÷ - 15=24- 15=9(个),再往口袋中放入6个白球后共有白球9+6=15(个),任意摸出一个,摸到红
8
1
球的概率为15÷(15+15)= .
2
7.解:(1)同时投掷两枚正方体,朝上一面数字所有情况如下:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)11
所有等可能的情况有36种,其中数字“1”出现的情况有11种,则P(数字“1”出现)= . (2)数字之和为
36
18 1
偶数的情况有18种,则P(数字之和为偶数)= = .
36 2
注重了知识的前后联系和知识体系的形成.让学生通过一系列教学活动(如试验、小组交流、分组竞赛
等),经历知识的产生、发展及应用的过程.通过各种试验、游戏,尽可能地调动学生学习的积极性和参与热
情,让学生在轻松有趣的学习过程中获得知识和方法.充分利用各种现实背景的问题,让学生“走进生活”,
并在教学环节中自然地设计了有关概率的现实问题,让学生在理解并掌握概率的计算方法的同时,培养起
“用数学”的意识和能力.
有意识地培养学生独立思考的习惯的同时,加强学生合作交流能力的培养,并注重培养学生不断反思总
结的意识和能力.
本节课还应多设置不同层次的问题.在表扬优等生敢于接受挑战、敢于迎难而上的精神的同时,忽略了
学习有困难的学生的点滴进步.
在课堂练习及作业设计中,要考虑各种层次的学生,同时设计活动类和写作类的作业,让同学们在练习或
作业中能得到相应的收获.
随堂练习(教材第148页)
1.解:可能摸出A,或B,或C,或D,或E,它们是等可能的.
1
2.解:一副扑克牌共有54张,大王只有一张,数字为3的有4张,方块有13张,因此P(抽到大王)= ,P(抽到
54
4 2 13
3)= = ,P(抽到方块)= ,因为摸到大王的概率比摸到3的概率小,所以摸到大王的机会比摸到3的机
54 27 54
会小.
习题6.4(教材第148页)
知识技能
1 1
1.解:(1)P(点数小于4)= . (2)P(点数是奇数)= . (3)P(点数是7)=0. (4)P(点数小于7)=1.
2 2
1
2.解:P(答对)= .
4
1 2 4
3.解:(1)P(3)= . (2)P(1)= . (3)P(奇数)= .
7 7 7
问题解决
4.解:答案不唯一.先把40名学生按1~40号排列,再选用40张从1号标到40号的一模一样的卡片,把它们翻
过来,背面朝上,任取一张,抽到几号,就让几号的学生为家长会做准备工作.从1,2,- 3三个数中随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是 ( )
1
A.0 B.
3
2
C. D.1
3
〔错解〕 C
〔正解〕 B
〔易错辨析〕 列举出所有情况,看积是正数情况占总情况数的多少即可.
第 课时
1.通过操作和推理,理解游戏的公平性,进一步掌握古典概型的概率的计算方法.
2.能设计简单、公平的游戏,初步体会概率是描述不确定现象的数学模型.
经历数据的收集、整理和简单分析、作出决策的合作交流过程,发展学生的随机意识,让学生在小组活
动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
在试验过程中体会数据的客观真实性,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,初步
培养学生以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯.
【重点】 概率的意义及古典概型的概率的计算方法的理解与应用.
【难点】 灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P149~150.导入一:
诊断题.
1.任意掷一枚质地均匀的骰子,完成下列问题.
(1)掷出的点数不大于4的概率是 ;
(2)掷出的点数是奇数的概率是 .
2.学校举行演讲比赛.班长和学习委员都想去,可是参加比赛的名额只有一个,于是两人做投骰子游戏来
决定谁去参加演讲比赛.若朝上的点数是6,则班长参加;若朝上的点数不是6,则学习委员参加.同学们,这个
游戏规则对班长、学习委员双方公平吗?
[处理方式] 第1题学生独立完成,学生给出答案,教师矫正.教师要强调不大于的意义,采用列举法.对于
第2题,先让学生回顾等可能事件的两个条件,再求出概率,判断概率大小是否相同.进一步判断游戏的公平
性.
1.任意掷一枚质地均匀的骰子,所有可能的结果有6种:掷出的点数分别是1,2,3,4,5,6,因为骰子是均匀的,
所以每种结果出现的可能性相等.
2
掷出的点数不大于4的结果有4种:掷出的点数分别是1,2,3,4,所以P(掷出的点数不大于4)= .掷出的
3
1
点数是奇数的结果只有3种:掷出的点数分别是1,3,5,所以P(掷出的点数是奇数)= .
2
1 5
2.P(掷出的点数是6)= ,掷出的点数不是6的结果有5种,所以P(掷出的点数不是6)= .所以游戏规则
6 6
对双方不公平.
[设计意图] 通过诊断题了解学生对上节课知识的掌握情况.选用学生身边熟悉的场景,能激起学生的
参与热情,让学生体会到数学来源于生活,又应用于生活.“通过判断一个简单游戏是否公平”这个环节,为
新课的学习做了铺垫.
导入二:
【活动内容】 (由实际问题引入课题)
在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外完全相同)的盒子中任意摸出一个球,摸到红球小明获
胜,摸到白球小凡获胜.
【问题】 这个游戏对双方公平吗?在一个双人游戏中,你是怎样理解游戏对双方公平的?
[处理方式] 先让学生思考一分钟后找学生回答,学生可能会说游戏是公平的,也有学生认为游戏对双
方是不公平的,教师追问:“你是怎样理解游戏对双方是公平的?”学生各抒己见后,教师提出我们这节课继
续探讨等可能事件的概率,同时板书课题.
[设计意图] 通过问题的创设,不但引入了本课的课题,而且激发了学生的好奇心和求知欲,调动了学生
的学习积极性,让他们体会探索的过程,经过对各种情况的分析、归纳、总结,对学生渗透分类讨论的数学思
想.
[过渡语] 生活中我们做的一些游戏,有的对参与游戏的人是公平的,有的则不是,我们一起来看一下吧.
探究活动1 等可能事件的应用
思路一一个袋子中装有2个红球和3个白球,每个球除颜色外都相同,任意摸出一个球,摸到红球的概率是多少?
小明和小颖产生了分歧,他们谁说的有道理?请同学们来当裁判评一评!
1
小明:摸出的球不是红球就是白球,所以摸到红球和摸到白球的可能性相同,也就是P(摸到红球)= .
2
小颖:红球有2个,而白球有3个,将每一个球都编上号码,1号球(红色)、2号球(红色)、3号球(白色)、4
号球(白色)、5号球(白色),摸到每一个球的可能性相同,共有5种等可能的结果.摸到红球可能出现的结果:
2
摸出1号球或2号球,共有2种可能出现的结果.所以P(摸到红球)= .
5
[处理方式] 学生学习小组讨论交流,关键是让学生说明原因.提醒学生并不是任何事件都是等可能的,
可以再举一些不是等可能事件的例子.学生小组讨论交流后发表看法.小颖说法是对的,因为摸到红球的概
率就是红球出现的结果数除以所有可能的结果数,不是看球有几种颜色.摸到红球的概率也可以用红球的个
数除以总球数.
【思考】 你能求出摸到白球的概率吗?摸到白球的概率和摸到红球的概率有什么关系?P(摸到白球)=
3 2
,P(摸到红球)= ,P(摸到白球)+P(摸到红球)=1.
5 5
[设计意图] 首先设计袋中有2个红球和3个白球,学生很容易求出摸到红球和白球的概率,通过分析
判断两位同学给出答案的对错,使学生真正理解等可能事件发生的概率的求法和意义.
小明和小凡一起做游戏.在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的盒子中任意摸出一
个球,摸到红球小明获胜,摸到白球小凡获胜,这个游戏对双方公平吗?在一个双人游戏中,你是怎样理解游戏
对双方公平的?
2 3
[处理方式] 通过小组合作交流讨论,教师引导,P(小明获胜)= ,P(小凡获胜)= ,学生能够准确理解当
5 5
两人获胜的概率不同时,游戏对双方不公平;在一个双人游戏中,当两人获胜的概率相同时,游戏对双方才公
平.
[设计意图] 关于游戏的公平性的问题是本节课的教学重点和教学难点.有学生会认为摸到红球和白
球的概率相同,认为游戏是公平的,从而产生学生认识问题上的矛盾冲突,激发学生的学习积极性.
思路二
【活动内容1】
每组准备一个不透明纸盒,纸盒内装有2个红球和3个白球,进行摸球试验,摸到红球小明获胜,摸到白球
小凡获胜,记录每次试验的结果,看一看在多次试验下究竟是小明获得胜利的机会多还是小凡获得胜利的机
会多,组长统计各小组的试验结果.
【问题】 随着试验次数的增加,摸到红球和白球的频率相同吗?
[处理方式] 各小组进行摸球试验,记录每次试验的结果,统计每个小组的试验结果并填在表格里,随着
试验结果的累计,摸到红球的频率会稳定在0.4附近,摸到白球的频率会稳定在0.6附近.然后学生可以得出结论:小凡获胜的可能性更大,从而确定这个游戏是不公平的.学生口述解题书写思路,课件展示解题的完整
过程.
【活动内容2】
一个袋中装有2个红球和3个白球,每个球除颜色外都相同,任意摸出一个球,摸到红球的概率是多少?
[处理方式] 将每个球都编上号码,分别记为1号球(红)、2号球(红)、3号球(白)、4号球(白)、5号球
(白),学生摸球,亲身体会事件发生的概率.任意摸出一个球,说出所有可能的结果,所有可能的结果有:1号球、
2号球、3号球、4号球、5号球,可能性都相同.但是摸到红球可能出现的结果有:1号球、2号球,共有两种
2 摸到红球可能出现的结果数
等可能的结果.所以P(摸到红球)= = .
5 摸一球可能出现的结果数
[设计意图] 利用小组合作探究的方式统一验证猜想,必须通过一定量的练习才能实现.应使学生“初
步学会运用所学知识解决简单的实际问题”.所以练习是学生学习过程中的重要环节.通过设计游戏的练习,
能让学生轻松巩固已学知识,激发学生内心深处的学习兴趣,同时也为教师及时检查学生的学习效果提供方
便条件.
探究活动2 生活应用,拓展提高
思路一
问题1
利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
1 1
(1)使得摸到红球的概率是 ,摸到白球的概率也是 ;
2 2
1 1
(2)使得摸到红球的概率是 ,摸到白球和黄球的概率都是 .
2 4
问题2
(1)你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗?
(2)你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗?
[处理方式] 这两个问题都是需要按要求来设计游戏,问题1中的两个小题可以先让学生独立思考,通
过小组讨论后,进行全班交流.完成了问题1,那么问题2中的第(1)小题相对比较简单,可以直接找同学回答,
第(2)小题学生可以小组讨论交流后得出结果.问题1中的第(1)小题预测学生的答案为:选取2个红球、2个
白球;第(2)小题预测学生的答案为:选取2个红球、1个白球、1个黄球.问题2中第(1)小题预测答案为:4个
白球,4个红球;第(2)小题预测答案为:不可能.
[设计意图] 这两个问题让学生根据题目条件自主设计游戏,这是一个具有挑战性的游戏,体现了概率
模型的思想.通过设计游戏的练习,能让学生轻松巩固已学知识,激发学生内心深处的学习兴趣,同时通过这
个例题,能让学生体会到数学是用来解决实际问题的,数学来源于生活又服务于生活.
思路二
[过渡语] 你能根据规则,设计一种公平的游戏吗?(多媒体出示)
利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
1 1
(1)使得摸到红球的概率为 ,摸到白球的概率也是 ;
2 2
1 1
(2)使得摸到红球的概率为 ,摸到白球和黄球的概率都是 .
2 4
[处理方式] 教师要求学生先独立完成,然后小组讨论交流,最后选出小组最有创意的设计,教师抽取小
组进行展示.1 1
(1)使得摸到红球的概率为 ,摸到白球的概率也是 ,只要红球和白球个数都为2即可.(2)摸到红球的概
2 2
1 1
率为 ,摸到白球和黄球的概率都是 ,选取2个红球,1个白球,1个黄球.
2 4
【思考1】 你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗?
解:(1)4个红球,4个白球;
(2)4个红球,2个白球,2个黄球.
【思考2】 你能用7个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗?
解:不能.
【思考3】 设计出符合上述概率要求的游戏,如果不限制用球的数量,选用球的原则是什么?
1
解:满足(1)的条件,只要白球和红球的数量相等;满足(2)的条件,红球占总球数的一半,白球和黄球各占 .
4
[设计意图] 这是一个具有挑战性的活动,学生根据要求设计游戏,这体现了概率模型的思想,教师应在
学生独立思考的基础上组织小组讨论,学生在解决问题后获得成功的体验.
[知识拓展] 判断游戏是否公平的方法:判断游戏是否公平的实质是看两个事件或多个事件是否有等
可能性,即获胜的可能性(概率)是否相等.若相等,则游戏公平,否则游戏不公平.
1.游戏公平性的含义 .
2.求等可能事件A的概率的步骤:
(1)审清题意,判断本试验是否为等可能事件.
(2)计算所有基本事件的总结果数n.
(3)计算事件A所包含的结果数m.
m
(4)P(A)= .
n
3.如何求等可能事件中的m?
m=P(A)×n.
1.一个袋中装有5个红球、4个白球和3个黄球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出一个球,则:
P(摸到红球)= ;
P(摸到白球)= ;
P(摸到黄球)= .
5 5 4 1 3 1
解析:P(摸到红球)= = ;P(摸到白球)= = ;P(摸到黄球)= = .
5+4+3 12 5+4+3 3 5+4+3 4
5 1 1
答案:
12 3 4
2.从一副扑克牌中任抽一张,则P(抽到红桃)= ,P(抽到黑桃5)= ;P(抽到10)= .
13 1 2
答案:
54 54 27
3.某超市为了促销一批新品牌的商品,设立了一个不透明的纸箱,装有1个红球、2个白球和12个黄球.
并规定:顾客每购买50元的新品牌商品,就能获得一次摸球的机会,如果摸到红球、白球或黄球,顾客就可以分别获得一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔.某顾客购此新品牌商品花费80元,他获得奖品的概率是
;他得到一把雨伞的概率是 ;得到一个文具盒的概率是 ;得到一支铅笔的概率是 .
解析:无论摸到什么球,都有相应的奖励,即中奖是必然事件,故获得奖品的概率为1.他得到一把雨伞,即
1 1 2 2
摸到红球,其概率为 = ,他得到一个文具盒,即摸到白球,其概率为 = ,他得到一支
1+2+12 15 1+2+12 15
12 4
铅笔,即摸到黄球,其概率为 = .
1+2+12 5
1 2 4
答案:1
15 15 5
4.有这样一个游戏:一只袋子里装有5个完全一样的球,每个球上分别标有1,2,3,4,5,小明和小强摸球,如
果规定摸到球的号码大于3,小明赢,否则小强赢,你认为这个游戏公平吗?为什么?
2 3 2 3
解:P(摸到球的号码大于3)= ,P(摸到球的号码不大于3)= , ≠ ,所以这个游戏不公平.
5 5 5 5
第2课时
探究活动1 等可能事件的应用
探究活动2 生活应用,拓展提高
一、教材作业
【必做题】
教材第150页习题6.5知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第150页习题6.5数学理解第3,4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个袋中装有3个红球,2个白球和4个黄球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出一球,则:
P(摸到红球)= ,P(摸到白球)= ,P(摸到黄球)= .
2.请举出一个事件,此事件发生的概率是四分之三.
3.小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏:小明从中任意抽取一张牌(不放回),小颖从剩余的
牌中任意抽取一张,谁摸到的牌面大谁就获胜(规定牌面从小到大的顺序为2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A,且牌面
的大小与花色无关).若两人摸到的牌面相同,则重新开始.然后两人把摸到的牌都放回,重新开始游戏.
(1)现小明已经摸到的牌面为4,然后小颖摸牌,那么小明获胜的概率是多少?小颖获胜的概率又是多少?
(2)若小明已经摸到的牌面为2,情况又如何?小明已经摸到的牌面为A呢?
【能力提升】
1
4.选取10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏,使得摸到红球的概率为 ,摸到白球和黄球的概率都
5
2
是 .
5
【拓展探究】5.小明和小杰都想去看周末的足球赛,却只有一张球票,小杰提议用如下的办法决定到底谁去看比赛:小杰找
来三张扑克牌:红桃2,红桃3,红桃4,背面朝上洗匀后,任意抽出两张,若抽出两张的数字和是奇数,则小杰去;
若抽出两张的数字和是偶数,则小明去.你认为这个办法公平吗?如果不公平,你会怎么帮他们两个设计办法?
【答案与解析】
1 2 4
1.
3 9 9
3
2.解:一口袋中装有一个红球,三个白球,每个球除颜色外都相同,从中任取一球,摸到白球的概率为 .(答案不
4
唯一)
3.解:(1)现小明已经摸到的牌面为4,然后小颖摸牌(从剩余的51张牌中),若是摸到2,3时,那么小明获胜(2,3
8
一共是8张),所以概率是 ;小颖摸牌,若是摸到5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A时,那么小颖获胜(5到A一共是40张),
51
40
所以概率是 . (2)若小明已经摸到的牌面为2,他获胜的概率是0,则小颖只要从51张牌中摸到3到A(共
51
48 48
48张)就获胜,概率为 ;若小明已经摸到的牌面为A,他获胜的概率为 ,小颖获胜的概率为0.
51 51
4.解:一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为
m
P(A)= ,则m=P(A)n.选取红球个数为2个,白球和黄球都为4个.
n
1 2
5.解:2+3=5,2+4=6,3+4=7,从这三种情况来看,出现偶数的概率是 ,出现奇数的概率是 ,可见不公平.可以调
3 3
整游戏规则为:他俩可以选用两张牌红桃2和红桃3,将扑克牌背面朝上放在桌子上,约定:若抽出的牌面数字
为红桃2,则小明去;是红桃3,则小杰去.(游戏规则不唯一)
充分利用各种现实背景的问题,让学生“走进生活”,并在教学环节中自然地设计了有关概率的现实问
题,让学生在理解并掌握概率的计算方法的同时,培养起“用数学”的意识和能力;有意识地培养学生独立思
考的习惯的同时,加强学生合作交流能力的培养,并注重培养学生不断反思总结的意识和能力;在课堂练习及
作业设计中,考虑了各种层次的学生,并设计了活动类的作业,让同学们在练习或作业中能得到相应的收获.
在教学的过程中,给学生充分独立思考的时间有些少,使一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的
思考,掩盖了其他学生的疑问.
在教学的过程中,应该留给学生充分独立思考的时间,这有利于学生亲身经历知识的生成过程,同时在展
示环节,还可以放得更开,给学习小组更多的展示机会.
随堂练习(教材第150页)1 2 4
1.
3 9 9
3 3 5 5 3 5
2.解:P(摸到红球)= = ,P(摸到白球)= = ,因为 ≠ ,所以摸到白球和摸到红球的概率不相等,能
3+5 8 3+5 8 8 8
通过改变袋中红球和白球的数量,使摸到红球和摸到白球的概率相等.(只要袋中红球和白球的个数相等,就
能使摸到红球和摸到白球的概率相等)
习题6.5(教材第150页)
知识技能
5 1 1
1.
12 3 4
数学理解
3.解:答案不唯一,如:把四张分别标有1,2,3,4的一模一样的卡片翻过来,背面朝上,任取一张,数字不大于3的
3
概率是 .
4
1 1
4.解:(1)如:口袋里有5个红球和5个白球,任意摸出一个球,是红球的概率是 ,是白球的概率是 . (2)口袋
2 2
1 2
里有2个红球、4个白球和4个黄球,任意摸出一个球,是红球的概率是 ,是白球的概率是 ,是黄球的概率
5 5
2
是 .
5
8 40 48
5.解:(1)P(小明胜)= ,P(小颖胜)= . (2)若小明摸到的牌面为2,则P(小明胜)= 0, P(小颖胜)= .若小明
51 51 51
48
摸到的牌面为A,则P(小明胜)= ,P(小颖胜)= 0.
51
一个布袋中装有3个红球和4个白球,这些球除颜色外其他都相同.从袋子中随机摸出一个球,
这个球是白球的概率为 .
〔解析〕 根据题意可得一个不透明布袋中共有球7个,从中随机摸出一个,则摸出白球的概率为
4 4 4
= .故填 .
3+4 7 7
[解题策略] 本题考查的是概率的求法:如果一个事件有n种等可能结果,其中事件A出现m种结果,那
m
么事件A出现的概率为P(A)= .
n
(2015·武汉中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.
(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率;
(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:
①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率;②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.
解:(1)因为一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4,
1
所以随机摸取一个小球,“摸出的小球标号是3”的概率为 .
4
(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球所有结果如下表所示:
1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
则共有16种等可能的结果.
①因为两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的有2种情况,
2 1
所以两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率为 = .
16 8
②因为第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况,
1
所以第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为 .
16
第 课时
1.在具体情境中进一步了解概率的意义,体会概率的大小与面积的大小有关.
2.熟练地进行等可能事件概率的计算.
3.能设计符合要求的简单概率模型.
在试验过程中了解几何概型概率的计算方法,能进行简单计算,并能联系实际设计符合要求的简单概率
模型.
在试验过程中学会通过比较、观察、归纳等数学活动,选择较好的解决问题的方法,学会从数学的角度
研究实际问题,并且初步形成用数学知识解决实际问题的能力.体会到数学的应用价值,培养实践意识、创
新探索的精神、积极的学习习惯.
【重点】 体会概率的意义,能计算和面积(几何概型)有关的事件发生的概率.
【难点】 体会概率的意义,能设计符合要求的简单概率模型.【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P151~152.
导入一:
[过渡语] 同学们,想一想什么是等可能事件的概率,如何求等可能事件的概率.
问题1
五张分别写有- 1,2,0,- 4,5的卡片(除数字不同以外,其余都相同),现从中任意取出一张卡片,则该卡片上
的数字是负数的概率是 .
问题2
等可能事件的概率公式是什么?
[处理方式] 问题1让学生口答后,教师追问是如何计算的,通过实例再复习等可能事件的概率公式.
[设计意图] 通过实例复习概率公式,比直接让学生复述概率公式效果要好,为下面学习几何概型概率
的计算做好铺垫.
问题3
感受概率与面积的关系.
下图是卧室和书房地砖的示意图,图中每一块方砖除颜色外完全相同,一个小球分别在卧室和书房中自
由地滚动,并随机地停留在某块方砖上.
【思考】
问题1
在哪个房间里,小球停留在黑砖上的概率大?
问题2
你是怎样分析的?
问题3
你觉得小球停留在黑砖上的概率大小与什么有关?
[处理方式] 学生独立思考,口答结果,学生回答完问题3时,教师指出与几何图形有关的概率与面积有
关,从而提出问题:如何计算与几何图形有关的事件发生的概率,从而引出课题.
[设计意图] 由这些问题引发学生的思考,学生能直观初步体验几何概型的概率与图形的面积有关,这
个活动为课题的引入奠定了良好的基础,在课堂中用真实、有趣的活动展开教学,必将极大地激发学生学习
的积极性与主动性.让学生感知生活,体会数学与现实生活的联系.
导入二:
[过渡语] 我们上节课学习了等可能事件的概率,下面我们一起来做一个“击鼓传花”的游戏.
游戏规则:以教师的掌声代替击鼓,闭上眼睛开始击掌,当开始击掌时从第一位同学循环传花,当掌声停
止时传花游戏立即结束,当花传到谁的手中,谁就为同学们表演一个节目,表演完节目之后思考下面的问题:当我的掌声停止时,这朵花传到男生的概率大,还是传到女生的概率大?为什么?(本班有男生24人,女生30
人)
[处理方式] 通过做游戏让学生表演一个节目,然后思考问题并解答问题.最后教师评价并矫正,一是可
以根据男生和女生人数的多少判断概率,二是通过求出概率进行比较大小,即这朵花传到女生的概率大,即
30 5 24 4
P(女生)= = ,P(男生)= = ,P(女生)>P(男生).
54 9 54 9
[设计意图] 通过游戏引导学生分析问题的概率大小并求出事件发生的概率,体会数学来源于生活,服
务于生活,极大地激发同学们学习数学的兴趣和热情.由做游戏引发学生思考,使知识间的过渡自然、轻松、
直观.在课堂中用有趣的游戏展开教学,必将极大地激发学生学习的积极性与主动性.
[过渡语] 经过前面的学习,我们已经能用随机观念去解释生活中的一些随机事件.
探究活动1 几何概率的计算方法
思路一
【问题】
假如小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机停留在某块方砖上,它最终停留在黑色方砖上的概率
是多少?
[处理方式] 问题给出后,教师追问:题中所说“自由地滚动,并随机停留在某块方砖上”说明了什么?
然后先让学生思考、交流、总结出这一类事件发生概率的计算方法和相应的计算公式.球最终停留在黑砖
上的概率,与面积大小有关系.预设学生计算此事件的概率等于小球最终停留在黑砖上所有可能结果组成的
图形面积,即5块方砖的面积,除以小球最终停留在方砖上的所有可能结果组成的图形的面积,即20块方砖
5 1
的面积.所以P(小球最终停留在黑砖上)= = .
20 4
老师根据学生的回答,给予点拨,并进行追问:
1.小球停留在方砖上所有可能出现的结果有几种?停留在黑砖上可能出现的结果有几种?
2.小球停留在白砖上的概率是多少?它与停留在黑砖上的概率有何关系?
3.小明认为小球停留在黑砖上的概率与下面事件发生的概率相等.
一个袋中装有20个球,其中有5个黑球和15个白球,每个球除颜色外完全相同,从中任意摸出一球是黑
球.
你同意他的看法吗?你还能举出一些事件的概率和它相同吗?
[设计意图] 学生经历“猜测——试验——分析试验结果”的过程,总结出这一类事件发生概率的计
算方法和相应的计算公式,发挥学生的主体作用,再通过一组问题串,引导学生逐步深入的思考,使学生充分
体验随机性的必要性以及几何概型的含义,便于加深对本节课知识的理解,有助于掌握概率的计算方法.
思路二
【活动内容1】
出示例题:假如小球在如图所示的地砖上自由地滚动,并随机停留在某块方砖上,它最终停留在黑色方砖上的概率
是多少?
(播放录音,朗读例题)
[处理方式] 各小组讨论、交流后派代表说出自己的分析思路和答案(选3~4个小组代表讲解).
[设计意图] 让学生经历“猜测——试验——分析试验结果”的过程,总结出这一类事件概率的计算
方法和相应的计算公式,进而达到本节课知识的升华.学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自获取的知识,
而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使问题解决得更加全面.由此反映出学生善于观察事
物、发现问题的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价
值观.
【活动内容2】
根据活动内容1中的例题,继续思考下列问题,并由小组讨论得出结论并交流,互相补充完善,并派代表
回答.(以“题卡”形式给出题目)
1.题中所说“自由地滚动,并随机停留在某块方砖上”说明了什么?
2.小球停留在方砖上所有可能出现的结果有几种?停留在黑砖上可能出现的结果有几种?
3.小球停留在黑砖上的概率是多少?怎样计算?
4.小球停留在白砖上的概率是多少?它与停留在黑砖上的概率有何关系?
5.如果黑砖的面积是5平方米,整个地板的面积是20平方米,小球停留在黑砖上的概率是多少?
6.小明认为第3小题的概率与下面事件发生的概率相等:
一个袋中装有20个球,其中有5个黑球和15个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球是黑
球.
你同意他的想法吗?
[处理方式] 为尊重学生的个性差异,满足多样化的学习需要,可让学生充分表达自己的看法,只要有道
理即可,教师不可过多干涉.
[设计意图] 通过这一个问题串,使学生充分体验随机性的必要性以及几何概型的含义,并掌握概率的
计算方法,以问题串的形式引导学生逐步深入地思考,便于加深对本节课知识的理解,有助于相关知识的消化.
探究活动2 加深几何概率模型计算的理解
两个相同的可以自由转动的转盘A和B,A盘被平均分为12份,颜色顺次为红、绿、蓝;B盘被
平均分为红、绿和蓝3份.分别自由转动A盘和B盘,A盘停止时指针指向红色的概率与B盘停止时指针指
向红色的概率哪个大?为什么?
[处理方式] 让学生独立求各个图形的概率,并找两名同学上黑板板书,规范步骤.学生计算完后,发现所
求的概率一样大,再引导学生交流理由.最后教师强调:指针指向红色的概率大小,只与红色区域的面积有关,
面积越大,概率越大,面积越小,概率越小,与图形的形状无关.[设计意图] 设计这个活动,是为了巩固几何概率的求法,规范步骤的书写,从而加深学生对几何概率的
理解.
探究活动3 应用几何概率模型的计算解决问题
某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:顾客每购买100元
的商品,就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好对准红、黄或绿色区域,顾客就可以分别
获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形).
甲顾客购物120元,他获得购物券的概率是多少?他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多
少?
[处理方式] 让学生独立思考,然后进行交流,要让学生明确转盘被等分成20份,并且每一个顾客都是
自由地转动转盘.让学生上台板演,说明理由,并注意书写格式.发现错误,由学生自己解决,培养学生合作学习
的意识.学习时,要让学生体会“转盘被等分成20份,并且每位顾客都是自由转动转盘”的含义.
师:甲顾客购物的钱数超过了100元而不到200元,因此可以获得一次转动转盘的机会.转盘被等分成
20份,其中1份红色、2份黄色、4份绿色,因此对于甲顾客来说:
1+2+4 7
P(获得购物券)= = ;
20 20
1
P(获得100元购物券)= ;
20
2 1
P(获得50元购物券)= = ;
20 10
4 1
P(获得20元购物券)= = .
20 5
[设计意图] 通过具体的生活事例,进一步体会概率在生活中的应用,进一步体验几何概型概率的求法.
[知识拓展] 在几何概率模型中,若是等分图形,则只需求出总的图形的个数与某事件发生的图形个数
即可.若是不等分图形,则需要求出两种图形面积的大小.
用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度,转化为几何概型.
(2)把基本事件转化为与之对应区域的长度(面积、体积).
(3)把随机事件A转化为与之对应区域的长度(面积、体积).
(4)利用几何概率公式计算.
1.用扇形统计图反映地球上陆地与海洋所占的比例时,“陆地”部分对应的圆心角是108°,宇宙中一块
陨石落在地球上,落在陆地上的概率是 ( )
A.0.3 B.0.4C.0.5 D.0.2
答案:A
2.一只小狗在如图所示的方砖上走来走去,最终停在黑色方砖上的概率是 .(小狗的四只脚停在
一块方砖上)
1
答案:
3
3.如图所示,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是多少?
1
解:P(阴影)= .
7
第3课时
探究活动1 几何概率的计算方法
探究活动2 加深几何概率模型计算的理解
例1
探究活动3 应用几何概率模型的计算解决问题
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第153页习题6.6知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第153页习题6.6数学理解第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2014·苏州中考)如图所示,一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形,任意转动这个转盘1次,当转
盘停止转动时,指针指向阴影区域的概率是 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 32.(2014·绵阳中考)一儿童行走在如图所示的地板上,当他随意停下时,最终停在地板上阴影部分的概率是
( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 4 3
3.在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验,则针头扎在黑色区域内的概率为 ( )
1 1 1 3
A. B. C. D.
4 3 2 5
4.(2015·济南中考)小球在如图所示的地板上自由滚动,并随机地停留在某块方砖上,每一块方砖除颜色外完
全相同,它最终停留在黑色方砖上的概率是 .
【能力提升】
5.一张方桌的图案(被分割的各个图形全等)如图所示.将一颗豆子随机地扔到桌面上,假设豆子不落在线上,
求下列事件发生的概率:
(1)豆子落在红色区域;
(2)豆子落在黄色区域;
(3)豆子落在绿色区域;
(4)豆子落在红色或绿色区域;
(5)豆子落在黄色或绿色区域.【拓展探究】
6.一张写有密码的纸片被随意地埋在如图所示的长方形区域内(每个方格大小一样).
(1)埋在哪个区域的可能性大?
(2)分别计算出埋在三个区域内的概率;
(3)埋在哪两个区域的概率相同.
【答案与解析】
1.D(解析:设圆的面积为6,因为圆被分成6个相同的扇形,所以每个扇形的面积为1,所以阴影区域的面积为
4 2
4,所以指针指向阴影区域的概率为 = .故选D.)
6 3
1 1
2.A(解析:观察图形可知:阴影区域(3块)的面积占总面积(9块)的 ,故其概率为 .故选A.)
3 3
3.A(解析:根据正方形性质易得正方形的对角线把正方形分成的四个三角形均为等底等高的三角形,故其面
1
积相等,根据旋转易得阴影区域的面积=正方形面积4份中的一份,故针头扎在黑色区域的概率为 .故选A.)
4
4 4 4
4. (解析:观察图形可知:黑色区域(4块)的面积占总面积(9块)的 ,则它最终停留在黑色方砖上的概率是
9 9 9
.)
5.解:由图可知:桌面被等分成9部分,把每一部分看做一个基本事件,其基本事件的总数为9.其中红色区域包
4
括4个基本事件,黄色区域包括3个基本事件,绿色区域包括2个基本事.(1)豆子落在红色区域的概率为 .
9
3 1 2
(2)豆子落在黄色区域的概率为 = . (3)豆子落在绿色区域的概率为 . (4)豆子落在红色或绿色区域的
9 3 9
4 2 6 2 3 2 5
概率为 + = = . (5)豆子落在黄色或绿色区域的概率为 + = .
9 9 9 3 9 9 9
1 2 1
6.解:(1)埋在“2”号区域的可能性大. (2)P(埋在“1”号区域)= ,P(埋在“2”号区域)= = ,P(埋在
4 4 2
1
“3”号区域)= . (3)埋在“1”号和“3”号区域的概率相同.
4
1.本节课始终是利用精心设计的一组组问题串来引导学生往前走,培养学生产生想要分析问题、解决
问题的欲望,从而通过自己动手操作,解决问题,获得成功的喜悦,树立了自信心,培养了能力.2.本节课利用组织小组合作学习,为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中为教师发现学
生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区提供便利,以便指导今后的教学.课堂上通过运用各种
启发、激励的语言,帮助学生形成积极主动的求知态度.
教师掌握学情还不够到位,有的学生只是知其然不知其所以然.
教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对基础较差
学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.
习题6.6(教材第153页)
知识技能
12 2 7 1 6 1 17
1.解: P(花)= = ,P(太阳)= = ,P(月亮)= = ,P(星星)= .
42 7 42 6 42 7 42
7 3 7 3
2.解:P(A区域外的方格有雷)= ,P(A区域内的方格有雷)= .因为 < ,所以应踩在A区域外的小方格上.
72 8 72 8
数学理解
6 3 3 1
3.解:(1)图(甲),P(停留在黑色区域)= = .图(乙),P(停留在黑色区域)= = . (2)答案不唯一, 如图所示.
16 8 9 3
教法:本节课采用探究式和启发式教学相结合,以问题探究为主线,多媒体为教学环境,师生双方互动为
教学形式,创设和谐、愉悦的环境,辅以适当的引导.
学法:本节课通过有趣的游戏,使学生直观体验一种重要的概率模型,经过自主探索、合作交流等活动形
式,借助学生经验,了解一类事件发生概率的计算方法.
小吴用瓶盖设计了一个游戏:任意掷出一个瓶盖,若盖面着地,则甲胜;若盖口着地,则乙胜.你认
为这个游戏设计得合理吗?
〔错解〕 因为掷瓶盖有两种可能:一种盖口着地;另一种为盖面着地.因此这个游戏设计得合理,对甲、
乙双方都公平.
〔正解〕 瓶盖与硬币不同,硬币是均匀的,而瓶盖不均匀.因此,掷瓶盖时,盖面着地与盖口着地的概率
不相同.所以掷瓶盖这个游戏设计得不合理.第 课时
1.在具体情境中进一步了解概率的意义,体会概率是描述不确定现象的数学模型.
2.掌握古典概型及几何概型的概率计算方法.
3.能设计符合要求的简单概率模型.
在分组讨论、合作探究的过程中体会事件发生的不确定性,进一步体会“数学就在我们身边”.
1.进一步培养学生公平、公正的态度,使学生形成正确的人生观.
2.提高学生之间的合作交流能力和学习数学的兴趣.
【重点】 了解另一类(几何概率)事件发生的概率的计算方法,并能进行简单计算.
【难点】 设计符合要求的简单数学模型.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习前面课时的概率知识.
导入一:
一、复习回顾,铺设道路
【活动内容】
回顾前面学过的有关知识.
1.什么是概率?
2.如何计算一个事件的概率?
[处理方式]
m
1.如果一个事件有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为 .
n
2.重点求公式中的m,n的值.
二、创设情境,感悟问题
【活动内容】出示一个带指针的转盘,这个转盘被分成8个面积相等的扇形,并标上1,2,3,…,8,若每个扇形面积为单位
1,转动转盘,转盘的指针指向转盘的位置在不断地改变.
问题1
在转动的过程中,当转盘停止时,指针指向每一个扇形区域机会均等吗?
那么指针指向每一个扇形区域是等可能的吗?
问题2
怎样求指针指向每一个扇形区域的概率?它们的概率分别是多少?
[处理方式] 首先让学生独立思考、书写答案,然后小组交流,最后全班展示,教师总结.
(1)因为转盘被等分成8个扇形,所以指针指向每一个扇形区域的可能性相同.
1
(2)P(指针指向每个扇形区域)= .
8
[设计意图] 设计情境,从而突出等可能事件发生的概率.注意在整个教学过程中要充分发挥学生的主
体地位.
导入二:
【活动内容】
回顾前面学过的有关知识.
1.游戏的公平性.
2.概率及其计算方法.
[处理方式] 第1题学生独立思考后回答,由于问题较简单,学生回答踊跃;第2题是第1题的继续,学生
回答的方法较多,小组间的竞争提高了学习热情,使学生产生自信和竞争意识,开始在不知不觉中集中精力,
走入数学殿堂.
[设计意图] “学生原有的知识和经验是教学活动的起点”,通过复习古典概型、几何概型的计算方
法,使学生在学习本节知识前扫清障碍,并起到承上启下的作用.
探究活动1 探究问题,感悟问题
思路一
问题1
如图所示的是一个可以自由转动的转盘,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域和白色区域的概率
分别是多少?
[处理方式] 学生独立思考,书写答案,然后小组交流,最后全班展示,教师总结.
以下三种答案:答案一:指针不是落在白色区域就是落在红色区域,落在白色区域和红色区域的概率相等,所以P(落在
1
白色区域)=P(落在红色区域)= .
2
答案二:先把白色区域等分成2份,这样转盘被分成3个扇形区域,其中1个是红色,2个是白色,所以P(落
1 2
在红色区域)= ,P(落在白色区域)= .
3 3
120 1 360- 120 2
答案三:利用圆心角度数计算,所以P(落在红色区域)= = ,P(落在白色区域)= = .
360 3 360 3
结论:转盘应被等分成若干份.各种结果出现的可能性务必相同.
[设计意图] 苏霍姆林斯基说过:“应该让我们的学生在每一节课上都感到热烈的、沸腾的、多姿多
彩的精神生活.”课堂上,只有让学生真正“动”“活”起来,学生的学习热情才会高涨,创造力才会加强.
问题2
转动如图所示的转盘,当转盘停止时,指针落在白色区域和红色区域的概率分别是多少?
110 11 360- 110
[处理方式] 利用圆心角度数计算,所以P(落在红色区域)= = ,P(落在白色区域)=
360 36 360
25
= .
36
[设计意图] 巩固利用圆心角度数计算概率.
思路二
【活动内容1】
如图所示的是一个可以自由转动的转盘,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域和白色区域的概率
分别是多少?
小明做法:指针不是落在红色区域就是落在白色区域,落在红色区域和白色区域的概率相等,所以P(落
1
在红色区域)=P(落在白色区域)= .
2
小颖做法:先把白色区域等分成2份,这样转盘被分成3个扇形区域,其中1个是红色,2个是白色,所以
1 2
P(落在红色区域)= ,P(落在白色区域)= .
3 3
你认为谁做得对?说说你的理由,你是怎样做的?[处理方式] 让学生独立思考先分析出小明的做法不正确,因为转盘中红色区域和白色区域的面积不
同,因而指针落在这两个区域的可能性不同.小明把可能性不同的情况当成等可能的情况处理,这是不对的.
小颖的做法是正确的.红色区域和白色区域出现的可能性不同,因此不能当做等可能的情况处理.引导学生
继续思考,除了小颖的这种做法还有其他的做法吗?有提前预习的同学会想到还可以利用圆心角度数计算,
120 1 240 2
P(落在红色区域)= = .P(落在白色区域)= = .
360 3 360 3
书写答案,然后小组交流,最后全班展示,教师总结.
[设计意图] 把可能性不同的情况当成等可能的情况处理,这是学生容易犯的错误.这一问题意在纠正
一些学生的错误想法.课堂上,只有让学生真正“动”“活”起来,学生的学习热情才会高涨,创造力才会加
强.
【活动内容2】
如果换成转动如图所示的转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少?你有
什么方法?与同伴交流.
类似于转盘问题的概率计算方法是什么?
[处理方式] 这是一个比较有趣的问题,教师可以先让学生独立思考,然后组织学生进行交流.对于这一
问题可以类比上一例子,出现多种解答方式.根据小颖的做法,可以把白色区域等分成25份,红色区域等分成
11
11份,这样转盘被等分成36个扇形区域,其中11个是红色,25个是白色,所以P(落在红色区域)= ,P(落在
36
25 110 11 250 25
白色区域)= .利用圆心角度数计算,所以P(落在红色区域)= = ,P(落在白色区域)= = .进而
36 360 36 360 36
某一事件的份数 某一事件的圆心角度数
总结出类似于转盘问题的处理公式:P= 或 .
总份数 360
[设计意图] 通过上一环节学生已经了解了几何概型公式计算的前提是各种结果出现的可能性务必相
同.此时出示这两道例题,是让学生达到学以致用的目的.注意在此环节仍需给学生充分的时间解决问题.
探究活动2 例题讲解
某路口南北方向红绿灯的设置时间为:红灯20秒、绿灯60秒、黄灯3秒.小明的爸爸随机地由南往北
开车经过该路口,则:
(1)他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大?
(2)他遇到红灯的概率是多少?[处理方式] 由一个学生板书答案,其余学生在练习本上独立完成.
20 20 60 60 20 60
解:(1)因为P(遇到红灯)= = ,P(遇到绿灯)= = ,因为 < ,所以遇到绿
20+60+3 83 20+60+3 83 83 83
灯的概率大.
20 20
(2)P(遇到红灯)= ,所以他遇到红灯的概率是 .
83 83
在教学时,教师可以引导学生举出与本例叙述不同但本质相同的概率模型,使学生从中体会到概率模型
的思想.例如,有一个由83个小方块组成的区域,其中有20个红色方块,60个绿色方块,3个黄色方块,每个小
方块除颜色外完全相同,一个小球在地面上自由地滚动,并随机地停留在某方块上,它最终停留在红色小方块
上的概率是多少?
[知识拓展]
1.概率的求法有两种:一是类似于摸球,用结果数的比求概率;二是类似于转盘用面积的比求概率.
2.求概率时要注意各结果可能性是否相等,如果不相等,不能简单地用结果数相比,而应划分为各结果等
可能的情况,再来计算.
1.公式总结.
2.各种结果出现的可能性务必相同.
3.在生活中要善于应用数学知识.
1.一位汽车司机准备去商场购物,然后他随意把汽车停在某个停车场内,如图所示,停车场分A,B两区,停
车场内一个停车位置正好占一个格且每一个格除颜色外完全一样,则汽车停在A区深色区域的概率是
,停在B区深色区域的概率是 .
2
解析:A,B两区共有13个格,A区中颜色深的区域有2个,则汽车停在A区深色区域的概率是 ,B区中
13
4
深色区域有4个,则汽车停在B区深色区域的概率是 .
13
2 4
答案:
13 13
2.如图所示,当转盘转动停止时.
①指针落在红色区域的概率比落在绿色区域的概率 ;
②指针落在绿色区域的概率与落在黄色区域的概率 ;
③指针落在黄色区域的概率比落在蓝色区域的概率 ;
④指针落在绿色区域的概率比落在蓝色区域的概率 .
答案:①大 ②相等 ③小 ④小3.如图所示,把一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A,B,C,D四个扇形区域,自由转动转盘,停止后指针落
在B区域的概率为 .
1
答案:
5
4.如图所示的是一个可以自由转动的转盘,转盘被分成了6个扇形,其中标有数字1的扇形的圆心角为
90°;标有数字2,4及6的扇形的圆心角均为60°;标有数字3,5的扇形的圆心角均为45°.利用这个转盘甲、乙
两人开始做下列游戏:自由转动转盘,转盘停止时,指针指向奇数则甲获胜,而指针指向偶数则乙获胜,你认为
这个游戏对甲、乙双方公平吗?为什么?
解:公平.因为标有数字1的扇形的圆心角为90°,标有数字2,4及6的扇形的圆心角均为60°,标有数字
3,5的扇形的圆心角均为45°,所以标有奇数的圆心角度数为90°+45°+45°=180°,标有偶数的圆心角度数为
1
60°+60°+60°=180°,所以P(甲获胜)=P(乙获胜)= ,所以这个游戏对甲、乙双方公平.
2
第4课时
探究活动1 探究问题,感悟问题
探究活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第155页习题6.7知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第155页习题6.7数学理解第4题.
二、课后作业【基础巩固】
1.某商场为促销开展抽奖活动,让顾客转动一次转盘,当转盘停止后,只有指针指向阴影区域时,顾客才能获得
奖品,下列有四个大小相同的转盘可供选择,使顾客获得奖品可能性最大的是 ( )
2.如图所示,有三个同心圆,由里向外的半径依次是2 cm,4 cm,6 cm,将圆盘分为三部分,飞镖可以落在任何一
部分内,那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 .
【能力提升】
3.“五一”期间,张先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地旅游,甲地到乙地有2条公路,乙地到丙地有3条公
路,每条公路的长度如图所示(单位:km),张先生任选一条从甲地到丙地的路线,这条路线正好是最短路线的
概率为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 5 4 3
【拓展探究】
4.如图所示的是没有涂色的且可以自由转动的转盘,该转盘被分成6个相等的扇形区域.
(1)请你在转盘的适当地方涂上不同的颜色,使得自由转动这个转盘,当它停止转动后,指针落在涂有颜色的
5
区域的概率是 .
6
(2)如果利用你涂好颜色的转盘来决定甲、乙两位同学谁今天值日,你认为公平吗?若认为公平,请简要说明
理由;若认为不公平,请提出公平合理的涂色方案.【答案与解析】
240 180
1.A(解析:由题意可知,A中阴影部分占整个圆的 ;B中阴影部分占整个圆的 ;C中阴影部分占整个
360 360
180 216
圆的 ;D中阴影部分占整个圆的 .故选A.)
360 360
1
2. (解析:因为有三个同心圆,由里向外的半径依次是2 cm,4 cm,6 cm,将圆盘分为三部分,所以阴影部分的面
3
12π 1
积为π(42- 22)=12π,大圆的面积为36π,所以飞镖落在阴影圆环内的概率是 = .)
36π 3
3.A(解析:从甲地到丙地的路线可以有6种选择,分别是80+100(上),80+80,80+100(下),50+100(上),
1
50+80,50+100(下),最短的是50+80这条路线,故这条路线正好是最短路线的概率为 .故选A.)
6
4.解:(1)如图所示.(答案不唯一) (2)不公平,因为概率不相等.建议平均分成两份,分别涂色即可.
1.探究发现法.
把教的过程变成学生发现问题,发现方法的过程,本课时通过创设情境,诱导学生通过独立思考、主动探
索、小组讨论、全班展示、主动建构,完成知识的转化.
2.直观教学法.
结合直观演示法和多媒体展示,引导学生在轻松、愉快的氛围中学习数学,并且积极调动学生观察、动
手操作、动脑思考,多种感官参与,体现数学来源于生活、应用于生活的真谛.确保学生的主体、中心地位,
教师充当指挥员,调动学生的积极性,明白如何思考,课堂上通过运用各种启发、激励的语言,帮助学生形成
积极主动的求知态度.
没留给学生充分的交流讨论时间,错题纠正不够到位.
学生以实践者的身份去观察、思考、讨论、创新,体验建构知识的过程,弄清来龙去脉,调动起学生的主
动性和学习的热情,体现学生学习的个性化、自主化.
引导学生在小组交流和讨论中学习,相互启发,相互交流解决问题的策略,提高思维水平.通过学生自己
动手、动脑,主动解决问题的教学方法,培养学生通过观察、思考发现问题,从而产生想要解决问题的欲望,
通过自己动手操作、完成任务、解决问题,获得成功的喜悦,树立了自信心.这样教给学生的不单单是知识
和技能,而且还教给了学生获取知识的方法.注意留给学生充足的思考时间,不要让个别思维活跃的学生的回答,掩盖其他学生的思维活动.
随堂练习(教材第155页)
3
1.解:(1)只要将其中6个扇形涂成红色,则指针落在红色区域的概率就为 . (2)答案不唯一.箱子里有3个红
8
3
球,4个白球,1个黑球(除颜色外都相同),从中任意摸出一球,摸到红球的概率就是 .
8
2.提示:答案不唯一.如将转盘分成8等份,其中3份涂上红色,3份涂上白色,2份涂上黄色.
习题6.7(教材第155页)
知识技能
1 135 3
1.解:左边转盘,P(红色区域)= .右边转盘,P(红色区域)= = .
4 360 8
115 23
2.解:P(红色区域)= = .
360 72
7 7
3.解:P(看到正片)= = .
7+1 8
数学理解
4.解:(1)答案不唯一.把一个转盘平均分成9份,4份红色区域,3份白色区域,2份黄色区域. (2)这样的转盘设
3 3 3
计不出来,因为 + + >1.
8 8 8
复习题(教材第156页)
知识技能
1.解:确定事件有(2)(3),不确定事件有(1)(4).理由略.
2.解:③>⑤>①>④>②.
3.解:如图所示.
1 1 5 5 4
4.(1) (2)0 (3) (4)
9 3 9 9 9
20- (1+2+3+4+5) 5 1 1
5.解:(1)P(“6”朝上)= = = . (2)数字5和数字6朝上的概率最大,都是 .
20 20 4 4
数学理解
1 1 1
6.解:不对.由图可知P(停在红色区域)= ,P(停在黄色区域)= ,P(停在蓝色区域)= .
2 4 4
1 1
7.解:图(1)中,P(停在白格)= .图(2)中,P(停在白格)= .
2 31 3
8.解:P(落在阴影)= .概率为 时的阴影如图所示.(答案不唯一)
7 7
1 1 3
9.解:分别求出各种方法中的概率如下:(1)中,P(是奇数)= ,P(是偶数)= ;(2)中,P(是3的倍数)= ,P(不是3
2 2 10
7 4 2 6 3
的倍数)= ;(3)中,P(是大于6的数)= = ,P(不是大于6的数)= = .选择第(2)种猜法,并且猜“不是3
10 10 5 10 5
的倍数”(因为它的概率最大).
10.解:不同意.
问题解决
11.解:后天.因为后天降水的可能性较大.
1 1 1
13.解:(1)到区域2去找,P(区域1)= ,P(区域2)= ,P(区域3)= .宝藏不一定在区域2,只是可能性更大一些.
4 2 4
(2)埋在区域1和区域3的可能性相同. (3)一样的.
联系拓广
15.提示:(1)在所选的12个球中,使红球与白球的个数相等即可. (2)在所选的12个球中,使红、白、黑球的
个数相等即可. (3)在所选的12个球中,使红球与白球的个数相等,且比黑球的个数少即可.(答案不唯一)
总复习(教材第165页)
知识技能
4 4 4
1.解:V = πR3= π(6×104)3= ×3.14×216×1012≈9.0432×1014(km3).
土星 3 3 3
1 (1) 4 1
2.(1) 或 (2)- (a+b)7 (3)16a20 (4)- x3 (5)a6b2 (6)b9 (7)1 (8)a4n (9)x2 (10)106 (11)2
16 2 8
1
(12)-
7
1 1 1 a3 a2 a 7 3
3.(1)- a5b7 (2) xy4z3 (3) x2y (4)- 2a7b2 (5)- 6x3y3z+4x2y3z (6)- - - (7)x2- xy+ y2
4 5 2 3 9 6 2 2
2 1 1 1 3
(8)- 7a2- 23ab- 6b2 (9)9x2+7xy- 2y2 (10) p2- pq- q2 (11) a2x2+ ax (12)4r- 6h
9 4 8 3 2
1 2 9 1
4.(1)4x2- 9 (2) x2- 2xy+4y2 (3)- x2+2xy- y2 (4)- 9x2+36y2 (5)8m2n2- (6)4 (7)x2+4xy+4y2- 9z2
4 9 2 4
(8)10x
5.提示:∠1=∠2=142°,∠3=38°.
6.提示:∠1=∠3=∠5,∠2=∠4=∠6,并且这两组角之间分别互补,如∠1+∠2=180°.
7.提示:△ABC≌△DCB,△ABE≌△DCE.8.解:(1)日照时间与一年之中的第几天之间的关系;一年中的第几天是自变量,日照时间是因变量. (2)2011
年12月26日(即一年中的第360天)的日照时间最短,大约为9.1 h. (3)2011年的第180天的日照时间最长,
大约为15.6 h. (4)从2011年的第1天到第180天日照时间在增加,从第180天到第360天日照时间在减少.
(5)略.
9.(1)解:圆柱的体积增加;圆柱的底面半径是自变量,圆柱的体积是因变量. (2)V=5πr2 (3)5π
500π
10.解:如图所示.
数学理解
11.提示:(1)(πd)m. (2)(2πr)m. (3)12740π km,(2πr)m. (4)无论开始时圆的半径为多少,如果半径增加r,那么
周长一定增加2πr.因为如果设开始时圆的半径为x,那么半径增加r后,周长增加:2π(x+r)- 2πx=2πr.
12.解:直线a与直线b平行.理由如下:同旁内角互补,两直线平行.∠2=∠4.理由如下:两直线平行,同位角相等.
13.解:可以选择长度为10 cm或12 cm的木棒.
15.(1)C (2)B (3)A
17.解:如图所示.
18.解:相邻两个图案之间成轴对称关系.
19.解:答案不唯一.如:把一个转盘平均分成5份,2份红色区域,2份白色区域,1份黄色区域,自由转动这个转
2
盘,指针停在红色区域的概率是 .
5
20.解:答案不唯一.如:一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有2,3,4,5,6,6六个数字,掷出“6”的概率
1
为 .
3
问题解决
21.提示:5×1018 kg,1.2×106倍.
22.(1)1 (2)39999 (3)998001
23.提示:以b为边长的正方形面积大.大1.
24.提示:20°,70°.
25.提示:∠C=40°,∠D=80°.
26.解:3根能搭成1种三角形,是等边三角形;4根不能搭成三角形;5根能搭成1种三角形,是等腰三角形;6根
能搭成1种三角形,是等边三角形;7根能搭成2种三角形,分别是边长为3,3,1或2,2,3的等腰三角形.
27.解:能.如图所示.28.解:等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴;等边三角形有三条对称轴;四边形可以有1条对称轴,如等
腰梯形,不能有三条对称轴.
29.解:如图所示,以A为圆心,以AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD,则△ABD和△ADC就是所求作的
等腰三角形.理由如下:因为AB=AD,所以△ABD是等腰三角形.因为∠B=2x,
所以∠ADB=2x.所以∠ADC=180°- 2x,因为∠DAC=180°- ∠ADC- ∠C=180°- (180°- 2x)- x=x,所以∠DAC=∠C,所
以△ADC是等腰三角形.
联系拓广
30.解:(1)因为AB=a,AP=x,所以BP=a- x,所以两个正方形的面积之和=x2+(a- x)2=x2+a2- 2ax+x2=2x2- 2ax+a2.
1 5 1 1
(2)当AP= a时,两个正方形的面积之和=x2+(a- x)2= a2,当AP= a时,两个正方形的面积之和=x2+(a- x)2=
3 9 2 2
1 5
a2. a2< a2.
2 9
3 2 (b) 2 1 3 π 2 π
31.解:因为a∶b=3∶2,所以a= b或b= a,S=ab- π =ab- πb2,所以结果为 b2- b2或 a2- a2.
2 3 4 16 2 16 3 36
32.解:(1)3.5a(a+2a+a)+2a·6a=26a2. (2)π(a+b)2- πa2- πb2=2abπ.
34.解:(1)关系式为y=2x- 4000.列表如下:
x/人 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
y/元 - 3000 - 2000 - 1000 0 1000 2000 3000 4000
(2)每月乘客达到2000人以上时,该公交车才不会亏损.
如图所示的是一飞镖游戏板,大圆的直径把一组同心圆分成四等份,假设飞镖击中圆面上每一
个点都是等可能的,则飞镖落在阴影区域的概率是多少?〔解析〕 首先确定阴影的面积在整个转盘中占的比例,根据这个比例即可求出飞镖落在阴影部分的
概率.
1 1
解:观察发现:阴影部分面积= 圆的面积,所以飞镖落在阴影区域的概率是 .
2 2
1.会判定三类事件(必然事件、不可能事件、不确定事件)及三类事件发生可能性的大小(即概率),用图
来表示事件发生可能性的大小.
2.理解概率的意义,会计算摸球等一类事件的概率.
3.会设计游戏使其满足某些要求.
能区分什么是确定事件和不确定事件,感受生活中的随机现象,并体会不确定事件发生的可能性大小,理
解频率的稳定性的意义.
利用不确定事件发生的频率的稳定性,理解概率的意义;能求一些简单不确定事件发生的概率.能判断
游戏是否公平,掌握概率与面积(转盘)的关系.
学会用数学知识来解决生活中的实际问题,增强创新精神和应用数学的意识,从而实现知识来源于生活,
又服务于生活的转化过程.
【重点】 能区分什么是确定事件和不确定事件;能求一些简单不确定事件发生的概率.能判断游戏是
否公平.
【难点】 在丰富的实际问题中认识到概率是刻画不确定现象的数学模型;并能用数学知识来解决生
活中的实际问题.专题一 事件的分类
【专题分析】
事件可分为必然事件、不可能事件和不确定事件三类,其中最常见的是不确定事件.本专题知识是学习
概率知识的起点,中考中单独命题的题不多,多渗透在概率有关计算中考查.
有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的面
点数为偶数.下列说法正确的是 ( )
A.事件A,B都是随机事件
B.事件A,B都是必然事件
C.事件A是随机事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是随机事件
〔解析〕 由于一年最多有366天,所以367人中至少有2人生日相同,故事件A是必然事件;抛掷一枚
质地均匀的骰子,朝上的面的点数既可能为偶数,也可能为奇数,所以事件B是随机事件.故选D.
[解题策略] 描述已被确认的真理或客观存在的事实的事件是必然事件,描述违背已被确认的真理或
客观存在的事实的事件是不可能事件,否则,就是不确定事件.
【针对训练1】 下列事件中,哪些是确定事件?哪些是不确定事件?
(1)随机开车经过某路口,遇到红灯;
(2)两条线段可以组成一个三角形;
(3)400人中有两人的生日在同一天;
(4)掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是质数.
解:确定事件:(2)(3).不确定事件:(1)(4).
专题二 概率的意义
【专题分析】
一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件
A的概率.概率是研究生活中可能问题的重要数学模型,中考中经常以选择、填空题的形式进行考查.
一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球,则红球有 ( )
A.15个 B.20个
C.29个 D.30个
〔解析〕 根据题意,每次从布袋中摸一个球,摸一次就一定摸到红球,说明摸一次摸到红球的概率为1,
即布袋里面装的应该全是红球.所以红球的个数为30.故选D.
[解题策略] 本题充分考查了概率的意义:刻画一个事件发生可能性大小的数值,叫做该事件的概率,必
然事件发生的概率为1.
【针对训练2】 如图所示,任意抛掷一只纸质茶杯,下列与此事有关的描述正确的是 ( )1
A.杯口向下的概率为
3
B.杯口向上的可能性很小,所以是不可能事件
C.小红掷了5次,有4次杯子横卧,所以杯子横卧的概率为0.8
D.当抛掷次数充分大时,杯口向上发生的频率可用来估计抛掷茶杯杯口向上的概率
〔解析〕 根据随机事件的频率、概率的关系分析各个选项即可.A.杯口向下的概率不能确定,错误;B.
杯口向上的可能性很小,所以是随机事件,错误;C.杯子横卧是随机事件,只有反复试验后才能用频率估计概
率,错误;D.是用频率估计概率的概念,正确.故选D.
专题三 利用频率估计概率的大小
【专题分析】
由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度,频率越大,事件A发生得越频繁,这就意味着事件A
发生的可能性越大,因而,我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的大小.我们把刻画事件A发生的
可能性大小的数值,称为事件A发生的概率,记作P(A).本专题是中考经常关注的考点之一,通常是给出一个
事件的试验频率,考查对这个试验频率的理解和运用.
在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸
球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有 ( )
A.16个 B.15个
C.13个 D.12个
〔解析〕 由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中红球所占的百分比,进而求出白球个数.设白
4
球个数为x个,因为摸到红球的频率稳定在25%附近,所以口袋中红球所占的百分比约为25%,所以 =
4+x
1
,解得x=12,故白球的个数可能为12个.故选D.
4
【针对训练3】 在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个,除颜色外其他完全相同.小明
从这个袋子中随机摸出一球,放回.通过多次摸球试验后发现,摸到黄色球的频率稳定在15%附近,则袋中黄
色球可能有 个.
〔解析〕 设袋中黄色球可能有x个.根据题意,随机摸出一球,摸到黄色乒乓球的频率稳定在15%附近,
x
所以15%= ,解得x=6.故填6.
40
专题四 概率的计算
【专题分析】
事件发生的概率实际上就是事件发生的可能性,一般用数值来刻画事件发生的可能性的大小,必然事件
的概率是1,不可能事件的概率是0,不确定事件的概率大于0且小于1.本专题是初中概率知识的核心内容,
是中考命题多年的一个热点,利用生活情境和结合几何知识进行考查是中考的主要题型.
某班共有50名同学,其中有2名同学习惯用左手写字,其余同学都习惯用右手写字,老师随机请
1名同学到黑板板演,习惯用左手写字的同学被选中的概率是 .
〔解析〕 根据题意,得老师随机抽1名同学,共有50种情况,而习惯用左手写字的同学被选中的有2
2 1 1
种情况,所以P= = .故填 .
50 25 25
[解题策略] 计算概率时,应先找到所有等可能发生的结果总数,再找到某事件可能发生的结果数,最后
代入概率计算公式进行计算即可.
【针对训练4】 如图所示,有10张卡片,分别写有0至9这十个数字.将它们背面朝上洗匀后,任意抽
出一张.P(抽到数字9)= ;P(抽到两位数)= ;
P(抽到的数字大于6)= ,P(抽到的数字小于6)= ;
P(抽到奇数)= ,P(抽到偶数)= .
1 3 3 1 1
〔答案〕 0
10 10 5 2 2
如图所示,一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形,任意旋转这个转盘1次,当旋转停止
时,指针指向阴影区域的概率是 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 6
〔解析〕 确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比,根据这个比即可求出转盘停止转动时指针指向
阴影部分的概率.如图所示,转盘被均匀分成6部分,阴影部分占2份,转盘停止转动时指针指向阴影部分的
2 1
概率是 = .故选B.
6 3
[解题策略] 本题考查了几何概率.用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比.
【针对训练5】 如图所示,墙上挂有一边长为a的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正
a
方形的顶点为圆心,半径为 的扇形,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能
2
性都一样,则他击中阴影部分的概率是 .
4- π
〔答案〕
4
专题五 游戏的公平性
【专题分析】
游戏的公平性的含义是指双方获胜的概率相等.如果甲、乙双方参加游戏,根据游戏规则求得甲获胜的
概率大于乙获胜的概率或者乙获胜的概率大于甲获胜的概率,那么这个游戏对甲、乙双方是不公平的.游戏
的公平问题实际就是根据概率大小比较问题,由于游戏的方法和游戏的规则的多样性,生活中大量涉及概率
是否相等的问题就成了中考命题的重要素材来源.特别是网络游戏、商业游戏等更是在中考中受到关注.
小杨、小刚用摸球游戏决定谁去看电影,在一个不透明袋中有5个红球和4个白球(除颜色不
同外都相同),从袋子中随机摸出一个球,摸到红球小杨去,摸到白球小刚去,这个游戏对双方是否公平?为什么?
〔解析〕 分别计算出他们获胜的概率,若概率相等,则游戏公平,否则不公平.
解:不公平.理由如下:
5 4
因为袋子中放有5个红球和4个白球,即9个球,所以P(小杨获胜)= ,P(小刚获胜)= .
9 9
5 4
因为 ≠ ,所以游戏对双方不公平.
9 9
【针对训练6】 如图所示,一个均匀的转盘被分成10等份,分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字.
转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.
两人参与游戏:一人转动转盘,另一人猜数,若所猜数字与转出的数字相符,则猜数的人获胜,否则转动转
盘的人获胜.猜数的方法从下面三种中选一种:
(1)猜“是奇数”或“是偶数”;
(2)猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”;
(3)猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”.
如果轮到你猜数,为了尽可能获胜,你将选择哪一种猜数方法?怎样猜?
解:选择(2).猜不是3的倍数.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列事件是必然事件的是( )
A.某运动员投篮时连续3次全中
B.太阳从西方升起
C.打开电视正在播放电视剧
D.若a≤0,则|a|=- a
2.下列事件:①掷一枚硬币,着地时正面向上;②在标准大气压下,水加热到100 ℃会沸腾;③买一张福利彩票,
开奖后会中奖;④明天会下雨.其中,必然事件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.气象台预报“本市明天降水概率是80%”,对此信息,下面的几种说法正确的是 ( )
A.本市明天将有80%的地区降水
B.本市明天将有80%的时间降水
C.明天肯定下雨
D.明天降水的可能性比较大
4.某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花,选到杜鹃花的概率是 ( )
1 1
A.0 B. C. D.1
2 3
5.从只装有4个红球的袋中随机摸出一球,若摸到白球的概率是P,摸到红球的概率是P,则 ( )
1 2A.P=1,P=1 B.P=0,P=1
1 2 1 2
1 1
C.P=0,P= D.P=P=
1 2 4 1 2 4
6.有一个正方体,6个面上分别标有1到6这6个整数,抛掷这个正方体一次,则出现向上一面的数字是偶数
的概率为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 6 2 4
7.某市民政部门五一期间举行“即开式福利彩票”的销售活动,发行彩票10万张(每张彩票2元),在这些彩
票中,设置如下奖项:
奖金(元) 1000 500 100 50 10 2
数量(个) 10 40 150 400 1000 10000
如果花2元钱购买1张彩票,那么所得奖金不少于50元的概率是 ( )
1 1 3 3
A. B. C. D.
2000 500 500 200
8.做重复试验:抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次.经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44,则可以由此估计抛
掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为 ( )
A.0.22 B.0.44 C.0.50 D.0.56
9.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
10.事件A:打开电视,它正在播广告;事件B:抛掷一个均匀的骰子,朝上的点数小于7;事件C:在标准大气压下,
温度低于0 ℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A),P(B),P(C),则P(A),P(B),P(C)的大小关系正确的是 (
)
A.P(C)<P(A)=P(B)
B.P(C)<P(A)<P(B)
C.P(C)<P(B)<P(A)
D.P(A)<P(B)<P(C)
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.下列6个事件中:(1)掷一枚硬币,正面朝上;(2)从一副没有大、小王的扑克牌中抽出一张恰为黑桃;(3)随意
翻开一本有400页的书,正好翻到第100页;(4)天上下雨,马路潮湿;(5)买奖券中特等奖;(6)掷一枚正方体骰子,
得到的点数大于7.其中确定事件为 ,不确定事件为 ;不可能事件为 ,必然事件为
;不确定事件中,发生可能性最大的是 ,发生可能性最小的是 .
12.甲、乙两人玩扑克牌游戏,游戏规则是:从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中,随机抽取一张,放回后,再
随机抽取一张,若所抽的两张牌面数字的积为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张牌面数字的积为偶数,则乙获
胜.这个游戏 .(填“公平”或“不公平”)
13.小芳掷一枚硬币10次,有7次正面向上,当她掷第11次时,正面向上的概率为 .
1
14.王刚设计了一个转盘游戏:随意转动转盘,使指针最后落在红色区域的概率为 .如果他将转盘等分成12
3
份,那么红色区域应占 份.15.如图所示,小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分,阴影部分是黑色石子,小华
随意向其内部抛一个小球,则小球落在黑色石子区域内的概率是 .
16.如图所示,在两个同心圆中,三条直径把大圆分成六等份,若在这个圆面上均匀地撒一把豆子,则豆子落在
阴影部分的概率是 .
17.从某玉米种子中抽取6批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:
种子
100 400 800 1000 2000 5000
粒数
发芽种
85 318 652 793 1604 4005
子粒数
发芽
0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801
频率
根据以上数据可以估计,该玉米种子发芽的概率约为 (精确到0.1).
18.一个口袋里有25个球,其中红球、黑球、黄球若干个,从口袋中随机摸出一球记下其颜色,再把它放回口
袋中摇匀,重复上述过程,共试验200次,其中有120次摸到黄球,由此估计袋中的黄球约有 个.
三、解答题(共58分)
19.(8分)一盒乒乓球共有6只,其中2只次品,4只正品,正品和次品大小和形状完全相同,每次任取3只,出现
了下列事件:(1)3只正品;(2)至少有一只次品;(3)3只次品;(4)至少有一只正品.指出这些事件分别是什么事件.
20.(10分)请用“一定”“很可能”“可能”“不太可能”“不可能”等语言来描述下列事件的可能性.
(1)袋中有50个球,1个红的,49个白的,从中任取一球,取到红色的球;
(2)掷一枚质地均匀的骰子,6点朝上;
(3)100件产品中有2件次品,98件正品,从中任取一件,刚好是正品;
(4)早晨太阳从东方升起;
(5)小丽能跳100 m高.
21.(10分)一只小猫在如图所示的方砖上走来走去,求最终停在黑色方砖上的概率是多少.
22.(10分)如图所示,有一个转盘,转盘被分成4个相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转
动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当做指
向右边的扇形),求下列事件的概率:
(1)指针指向绿色;(2)指针指向红色或黄色;
(3)指针不指向红色.
23.(10分)小颖和小红两名同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试
验,试验的结果如下:
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据上述试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大.”小红说:“如果投掷600次,那么出现6
点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗?为什么?
24.(10分)一只口袋中放着若干只红球和白球,这两种球除了颜色以外没有任何其他区别,袋中的球已经搅匀,
1
蒙上眼睛从口袋中取出一只球,取到红球的概率是 .
4
(1)取到白球的概率是多少?
(2)如果袋中的白球有18只,那么袋中的红球有多少只?
【答案与解析】
1.D(解析:A项和C项可能发生也可能不发生,是随机事件;B项不可能发生,是不可能事件;D项必然发生,是
必然事件.)
2.A(解析:②在标准大气压下,水加热到100 ℃会沸腾是必然事件.)
3.D(解析:本市明天降水概率是80%,只能说明明天降水的可能性比较大,是随机事件,A,B,C属于对题意的误
解,只有D正确.)
4.C(解析:因为是随机选取的,所以选取桂花、菊花、杜鹃花的可能性是相等的.)
5.B(解析:因为袋中只有红球,所以摸到白球是不可能事件,摸到红球是必然事件.)
1
6.C(解析:出现向上一面的数字有6种,其中是偶数的有3种,故概率为 .)
2
7.C(解析:因为从10万张彩票中购买一张,每张被买到的机会相同,所以有10万个结果,奖金不少于50元的
600 3
共有10+40+150+400=600(个),所以P(所得奖金不少于50元)= = .故选C.)
100000 500
8.D(解析:在大量重复试验下,随机事件发生的频率可以作为概率的估计值,因此抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹
面向上”的概率约为1- 0.44=0.56.)
9.B(解析:A.利用频率只能估计概率;B正确;C.概率是定值;D.可以相等,如“抛硬币试验”,可得到正面向上
的频率为0.5,与概率相同.)
10.B(解析:事件A:打开电视,它正在播广告是随机事件,0<P(A)<1;事件B:抛掷一个均匀的骰子,朝上的点数小
于7是必然事件,P(B)=1;事件C:在标准大气压下,温度低于0 ℃时冰融化是不可能事件,P(C)=0.所以
P(C)<P(A)<P(B).故选B.)
11.(4)(6) (1)(2)(3)(5) (6) (4) (1) (5)(解析:(1)因为一枚硬币有正、反两面,所以掷一枚硬币,正面朝上是
随机事件;(2)因为一副没有大、小王的扑克牌中有黑桃、红桃、梅花及方块共四种花色,故随机抽出一张恰是黑桃是随机事件;(3)因为一本书有400页,每页都有被翻到的可能,正好翻到第100页是随机事件;(4)天上
下雨后雨水落到地上,马路就湿了,是必然事件;(5)买奖券可能中特等奖,也可能不中特等奖,是随机事件;(6)正
1
方体骰子共有6个面,点数为1,2,3,4,5,6,得到的点数大于7是不可能事件.不确定事件中,(1)发生的概率为 ,
2
可能性最大;(5)发生的可能性最小,概率往往为数百万分之一.)
4 5
12.不公平(解析:甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率是 ,两个概率值不相等,故这个游戏不公平.)
9 9
1 1
13. (解析:掷一枚硬币正面向上的概率为 ,概率是个固定值,不随试验次数的变化而变化.)
2 2
1
14.4(解析:12× =4(份).)
3
1
15. (解析:圆形地面被分成面积相等的八部分,其中阴影占四部分,所以小球落在黑色石子区域内的概率是
2
1
.)
2
1 1
16. (解析:由图可知阴影部分的面积是大圆面积的一半,所以豆子落在阴影部分的概率是 .)
2 2
17.0.8(解析:由表知,种子发芽的频率在0.8左右摆动,并且随着统计量的增加,这种规律逐渐明显,所以可以把
0.8作为该玉米种子发芽概率的估计值.)
120 3
18.15(解析:因为口袋里有25个球,试验200次,其中有120次摸到黄球,所以摸到黄球的频率为 = ,所以
200 5
3
袋中的黄球约有25× =15(个).)
5
19.解:(1)(2)可能发生,也可能不发生,是随机事件.(3)一定不会发生,是不可能事件.(4)一定发生,是必然事件.
20.解:(1)不太可能. (2)可能. (3)很可能. (4)一定. (5)不可能.
9 1
21.解:因为方砖共有18块,而黑色方砖有9块,所以停在黑色方砖上的概率是 = .
18 2
22.解:转一次转盘,它的可能结果有四种:红、红、绿、黄,并且各种结果发生的可能性相等.(1)P(指针指向绿
1 3 1
色)= . (2)P(指针指向红色或黄色)= . (3)P(指针不指向红色)= .
4 4 2
6 1 20 1
23.解:(1)“3点朝上”的频率是 = ;“5点朝上”的频率是 = . (2)小颖的说法是错误的,因为“5
60 10 60 3
点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当试验的次数足够大时,该事
件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近;小红的说法也是错误的,因为事件的发生具有随机性,所以“6
点朝上”的次数不一定是100次.
1 3 x 1
24.解:(1)P(取到白球)=1- P(取到红球)=1- = . (2)设袋中的红球有x只,则有 = ,解得x=6.所以袋
4 4 x+18 4
中的红球有6只.综合与实践 设计自己的运算程序
在问题解决过程中综合运用所学数学运算及代数式的有关知识,体会知识之间的内在联系,形成对数学
整体性的认识.
通过丰富的活动使学生积极、主动地投入到数学学习活动中去,学会与他人合作,并能培养学生试验、
观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和计算能力.
在交流过程中对自己的观点进行有条理的论述,增强学习数学的信心和兴趣.
【重点】 在问题解决过程中综合运用所学数学运算及代数式的有关知识,体会知识之间的内在联系,
形成对数学整体性的认识.
【难点】 黑洞数规律的探索.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习新课,查阅资料.
[导入语]同学们认识大屏幕上的这个人吗?他就是斯蒂芬·威廉·霍金,英国剑桥大学应用数学与理论物
理学系物理学家,1979~2009年任卢卡斯数学教授(现为荣誉卢卡斯数学教授),牛顿曾任此教席,是人类历史
上最崇高的教授职位之一.霍金是爱因斯坦之后最杰出的物理学家,人类历史上最伟大的人物之一,被誉为
“宇宙之王”.他对“黑洞”这一宇宙现象有很多的重要的见解,大家知道什么是“黑洞”吗?(学生大多表
示不清楚)知识延伸:简单地说,宇宙中的黑洞就是这样一种天体:它的引力场是如此之强,就连光也不能逃脱出来.
是一种可以将任何物质牢牢吸住,不使它们逃脱.
[过渡语] 其实数学中也有一种黑洞叫做“数字黑洞”,也许你会认为数字运算是数学中常见而又枯
燥的内容,但实际上,它里面也蕴藏着许多不为人知的奥秘,你相信吗?我们共同来看一个.
325,重复该数,325325,除以7,除以11,再除以13,看看有什么样的结果?
结果:325325,除以7,除以11,再除以13,分别得到的结果是46475,4225,325.最后的结果竟然是325,太神
奇了.其实这里面的奥秘,学习完今天的课程之后大家也可以自己来进行设计,我们今天就来学习设计自己
的运算程序.
(板书课题:综合与实践 设计自己的运算程序)
[设计意图] 基本运算对于七年级的学生仍旧是一种重要的基本技能,通过交流希望学生对运算技能
发表自己的见解,学生之间互通有无.同时希望在交流过程中伺机引入本节课的主题:数字运算是数学中常
见而又枯燥的内容,但实际上,它里面也蕴藏着许多不为人知的奥秘.
【活动内容1】
(1)请你随便写出一个四位数,但不能四个数字完全相同,如3333是不可以的;
(2)把数中的各位数字按从大到小的顺序排列成一个新的四位数.
(3)然后把数的各位数字按从小到大的顺序重新排列成另一个四位数.
(4)将得到的这两个四位数,用最大的数减去最小的数,就得到另一个四位数.
对得到这个四位数施行同样的(2)至(4)操作,又得到另一个四位数……这样循环下去.我们共同算一个数
字5674.
原数 最大四位数 最小四位数 差 运算次数
5674 7654 4567 3087 1
3087 8730 378 8352 2
8352 8532 2358 6174 3
6174 7641 1467 6174 4
6174 7641 1467 6174 5
[处理方式] 同学们换个数字试试.
例如:取数8208,重新排列后最大数为8820,最小数为0288,8820- 0288=8532;对8532重复以上过程:
8532- 2358=6174.这次经过两步变换就掉入6174这个“黑洞”.
【问题】 重复这个过程,你一定在经过若干次变换之后,你会得到一个数6174.这是偶然的吗?有何猜
想?
猜想:通过验证这不是偶然,任何一个数字不全相同的4位整数,经有限次“重排求差”操作,总会得到
6174这个数,这个数即为黑洞数.“重排求差”操作,即用重排后的最大数减去重排后的最小数.
验证:以0开头的数,例如0288也得看成一个四位数.所有的四位数都会掉入6174的“黑洞”,不信你可
以随便取一些数进行验证.验证之后,你不得不感叹6174的奇妙.这就是卡普雷卡尔黑洞.
[设计意图] 为学生提供一个思考探究的平台,在活动中体现归纳、猜想,感悟处理问题的方法和策略,
积累数学活动的经验.
【活动内容2】
采用同样的程序,取一些三位数来试试,会得到什么结果呢?
149
263
941- 149=792
632- 236=396
972- 279=693
963- 369=594
963- 369=594
954- 459=495
954- 459=495
954- 459=495
954- 459=495生:数字最后回归到495.
师:对于不同的起始数字,反复运用一个固定的“运算程序”,由此产生的结果总是停留在某个或某几个
数字上,或者以某种重复的方式循环.
实际上除了一位数,任意位数都会有类似4位数那样的黑洞数字.2位数有唯一的黑洞数9,3位数有唯
一的黑洞数495,4位数有唯一的黑洞数6174,5位数有一组数字,所有的其他数字最后都要掉入这组数字里
面,再也出不去.这组数是:61974——82962——75933——63954,再高位的数字也基本上是一组或几组数字
的黑洞.
[设计意图] 本环节提供两个相近背景的具体问题,具有一定的开放性、研究性,第二个问题是对第一
个问题的探究方式的熟练、提升过程,对猜想的进一步确认和完善.但主要教学意图应是为学生提供一个思
考探究的平台,在活动中体现归纳、猜想,感悟处理问题的方法和策略,积累数学活动的经验.
【活动内容3】
请阅读下列内容:请写下任意一个三位数,百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字,百位数字
乘十位数字的积作为下一个数的十位数字,十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字,在上面每次
相乘的过程中,如果积大于9,则将积的个位数字与十位数字相加,若和仍大于9,则继续相加直到得出一位数,
重复这个过程……
师:请任意写下一个三位数,按照上述要求进行操作.
生1:比如,以832开始,运用以上规则依次可以得到832,766,669,999,….
生2:比如,以315开始,可得315,635,396,999,….
师:你有什么发现?有何猜想?
生:任何一个三位数字,运用以上规则依次经有限次操作,总会得到999这个数.
师:你还能提出哪些问题?
生:四位数,五位数……是否也有这样的规律?
师:那就需要我们具体的验证了.
[设计意图] 通过前一环节的学习,学生发现了此类问题的探究方法,通过类比可较快得出本题的规律
所在.由于探究过程所需的相关知识并不复杂,所以大部分学生都能亲身经历观察、比较、猜想、推理、交
流、反思的数学活动过程,有利于发展学生的思考.而且通过与同伴合作、克服困难,提升学生的自信心,进
一步提升学生学习的热情.课程标准指出我们的数学课程应当使“不同的人在数学得到不同的发展”,鼓励
学有余力的学生将问题进一步延伸与拓展,获得高层次能力的发展,努力使他们的创新思维及问题意识得以
提升.
[知识拓展] 西西弗斯串:
设定一个任意数字串,数出这个数中的偶数个数,奇数个数,及这个数中所包含的所有位数的总数,例如:
1234567890,
偶:数出该数数字中的偶数个数,在本例中为2,4,6,8,0,总共有5个.
奇:数出该数数字中的奇数个数,在本例中为1,3,5,7,9,总共有5个.
总:数出该数数字的总个数,本例中为10个.
列出一个新数:将答案按“偶——奇——总”的位序,排出得到新数为5510.
重复:将新数5510按以上算法重复运算,可得到新数:134.
重复:将新数134按以上算法重复运算,可得到新数:123.
结论:任意一个数经有限次重复后都会是123,任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞.数字黑洞153:
任意找一个3的倍数的数,先把这个数的每一个数位上的数字都立方,再相加,得到一个新数,然后把这
个新数的每一个数位上的数字再立方、求和……重复运算下去,就能得到一个固定的数153.
1.体会到数学就在自己的身边.
2.数字黑洞的特点和形成原因.
3.数字运算里面也蕴藏着许多不为人知的奥秘……
本节课是针对七年级学生的年龄特点、知识基础及活动经验制定的.针对学生学习数学运算相应内容,
依托实际情境,让学生经历设计解决问题的方案,参与实施的过程,在此过程中尝试发现、解决问题,并对所
得结果加以拓展提升.反思参与活动的全过程,并将研究的过程和结果形成报告和小论文,在教师有效引导
下予以交流展示,进一步获得数学活动的经验,有效保证了学生“四基”的落实和提高.
由于时间紧张,学生运算能力不是很强,为探索带来了障碍,运算失误造成学生不容易看到规律.
课前如果能让学生分组准备,然后课上展示效果会更好.
综合与实践 七巧板
通过七巧板的制作、拼摆等活动,进一步丰富对平行、垂直及角和轴对称等有关内容的认识,体会图形
的变换,发展空间观念,积累数学活动的经验.
通过丰富的活动使学生积极、主动地投入到数学学习活动中去,能用适当的图形和语言表达自己的思
考结果,初步建立图形——数学——生活之间的相互联系;学会与他人合作,并能与他人交流,提高观察、分
析、概括、想象等能力,初步形成评价与反思的意识.能够积极主动参与组内的数学活动,培养团队合作精神,体验数学问题的探索性和挑战性,培养学生的人
文、历史和艺术欣赏能力.
【重点】 对于拼成的图形,不仅能说明含义,而且能找出图形中的角及线段间的位置关系.
【难点】 探索七巧板的制作方法.
【教师准备】 多媒体课件、投影仪、七巧板.
【学生准备】 七巧板、彩笔、剪刀.
[导入语]首先,请同学们欣赏一组图案,观察图案像什么,并给它们命名(学生在欣赏的过程中命名),课件
演示至展台上(多媒体展示).
生:奔跑的人、帆船、小猫、骆驼.
师:这些图案美吗?其实,我们欣赏的每一幅图案都是由一副七巧板拼成的,七巧板是我们祖先的一项卓
越创造.19世纪初,七巧板流传到西方,引起人们广泛的兴趣,并迅速传播开来,被称为“东方魔板”.
师:既然七巧板是我们祖先的一项卓越的创造,是风靡全球的益智游戏,那同学们想不想拥有一副七巧板
呢?今天这节课我们就一起来探究七巧板的制作方法和七巧板中蕴含的数学知识,并用你们亲手制作的七巧
板拼出精美的图案.
(板书课题:综合与实践 七巧板)
[设计意图] 展出本组图案,让学生感受拼法,感受丰富多彩的生活中的数学美,也为下一环节同学们的
自由创意做了铺垫,激发学生的创作欲望.同时使学生明白七巧板是中华民族智慧的一个代表,是我们祖先
的卓越创造,激发学生对我国光辉灿烂的文化作进一步探究的兴趣,激发学生爱国热情.
[过渡语] 奇妙的七巧板是怎样做成的呢?为了更好的认识和制作七巧板,下面,我们一起来了解七巧板
的结构.请同学们观察屏幕上的图形,一副七巧板有几块呢?有几种基本的几何图形呢?你发现了什么?探究活动1 七巧板的结构
【活动内容】 播放七巧板一组动画,学生观察并从中得出结论.
[处理方式] 一共有七块,5个三角形,1个正方形,1个平行四边形.
七巧板的制作可以用一个正方形进行分割.那么怎么分割呢?
探究活动2 制作七巧板
活动要求:①自主完成,速度要快,制作规范;②制作的过程中可以相互交流方法;③分割线画好后先上色,
暂不分割;④小组内展示自己的七巧板;⑤分割七巧板.
[处理方式] 自己探索七巧板的制作方法.也可以小组相互讨论、研究,制作出自己的七巧板并相互交
流,让有不同想法的学生上台展示自己的方法.
[设计意图] 通过学生的动手操作活动,培养学生的动手实践能力和创新精神,让学生熟悉七巧板,为顺
利拼好七巧板的各种造型做好准备.通过七巧板中所蕴藏的数学知识,加深学生对线段、点、平行线、垂线、
锐角、直角、钝角等有关几何概念的认识,强化几何语言的正确表达,丰富学生的数学意识.
探究活动3 七巧板中的数学
师:请同学们看图,并在图中找一找互相平行、互相垂直的线段.
生:三组互相平行的线段:AG∥CK,HG∥EF,BF∥CE,
三组互相垂直的线段:AG⊥CE,BF⊥CK,AG⊥BF.
师:其实,在七巧板中像这样互相平行、互相垂直的线段还有很多,老师也找出了一些,请同学们结合图
形看一看.(课件显示)
师:下面,让我们再来认识一下七巧板中的角(课件呈现),你能说出图中有哪些度数的角吗?
生:45度、90度、135度的角.
师:(课件显示)你能说出∠ABO,∠DCE,∠OHG,∠KCG,∠FHG,∠FEG的度数吗?
生:∠ABO=45°,∠DCE=45°,∠OHG=45°,∠KCG=90°,∠FHG=135°,∠FEG=135°.师:我们刚才认识了七巧板中线段的位置关系和七巧板中的角,其实,我们画分割线只需找出一些线段的
中点,再把它们连接起来就可以了,下面就请同学们找出这些线段的中点.
生:C,E,H,K,G分别是BD,DF,OF,OB,CE的中点.
师:七巧板中最大板(三角形)是最小板(三角形)面积的几倍,平行四边形面积与七巧板总面积的关系.
生:4倍,八分之一.
师:七巧板的七块板只有几种不同的图形,能够完全重合的三角形有几对.
生:3种,两对.
[设计意图] 让学生学会观察问题、分析问题,加深对所学过的线段、平行线、垂线、锐角、直角、
钝角等有关概念的理解和掌握,丰富他们的数学意识,培养学好数学的自信心和兴趣.
探究活动4 利用七巧板拼图案
师:下面就请同学们用你制作的七巧板亲手拼一幅具有创意的图案,请看规则:
①每个同学完成一幅作品;
②以小组为单位选出一幅能够代表本组水平的作品;
③组长组织完成粘贴,并展示到黑板上;
④组长安排好创意解说的同学.
生:议论纷纷,跃跃欲试,都想动手拼一拼,可怎么拼呢?
师:时间到,看看我们的成果吧!一共完成了几幅作品,下面请各组的解说员上台解说作品的创意,限时30
秒.说完以后,由其他组的解说员作出点评.
生1:兔子.
生2:运动.
生3:小鸟.
生4:看书.
[设计意图] 此活动的目的通过学生的动手操作活动,培养学生的动手实践能力和创新精神;通过与组
内同学间的交流,培养学生的探究性学习能力和合作学习的意识;通过赋予图案的含义,培养学生的空间想象
能力,体验获得成功的喜悦.师:根据自己拼图经验,以《船》、《蜡烛》为题,进行一物多拼练习.
[设计意图] 给学生一个表现自己想象力和创造力的空间和时间,使学生各自的个性得到充分的体现,
实现不同的人在数学上得到不同的发展.
1.七巧板是我国人民的伟大发明.
2.通过七巧板的制作、拼摆等活动,丰富了对平行、垂直及角等有关内容的认识.
3.体验七巧板的组图功能,提高了图形组合能力及对美的事物的发现……
1.用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板(如图①),将它拼成“小天鹅”图案(如图②),则图②中
∠ABC+∠GEB等于( )
A.360° B.270°
C.225° D.180°
答案:B
2.下列拼图中,不是由原图这副七巧板拼成的是 ( )答案:B
3.图①,将一块正方形木板按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片,制成一副七巧板.用这副七
巧板拼成如图②所示的图案,则图②中阴影部分的面积是整个图案面积的 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 4 7 8
答案:D
4.如图所示的是用七巧板拼成的正方形,下列判断正确的有 ( )
①BG⊥OH;②LH∥AB;③OL∥CH;④HE⊥AO;⑤LF∥CH;⑥OG∥EH.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
答案:A
5.如图所示,将一副七巧板拼成一只小猫,则下图中∠AOB= 度.
答案:90
综合与实践 七巧板
探究活动1 七巧板的结构
探究活动2 制作七巧板
探究活动3 七巧板中的数学
探究活动4 利用七巧板拼图案本节是以信息技术为平台,采用数学活动课的形式,通过七巧板的拼摆,呈现平行、垂直及角的有关内容
的综合运用,从尝试拼图、实物抽象拼图、一物多拼到自主创作拼图等练习,体会七巧板变幻多姿的魅力及
其中蕴藏着的数学美,丰富学生的数学经历和体验,发展学生的空间想象能力、实践能力和创新能力,避免了
学生陷入盲目游戏的窘境,学生通过课堂小组进行数学交流,用适当的图形和语言表达自己思考的结果,培养
学生主动参与、合作交流的意识.
由于学生的动手能力上的差异,一少部分学生有点跟不上课堂节奏.
课前精心设计的教学环节在课堂上没有完全展开,可能是学生准备的不充分,学生发言的积极性没有完
全调动起来,没有敢于发言的勇气,在以后的教学中要让学生养成课堂发言的习惯.
