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第六章 概率初步
6.3 等可能事件的概率
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·统考三模）中国古代数学有着辉煌的成就，《周牌算经》《算学启
蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著
中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：所有可能的结果共有4种，且每种结果出现的可能性相等，故恰好选中《算
学启蒙》的概率是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分
别标有数字1、2、3、4、5、6，则出现朝上的数字小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用朝上的数字小于3的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解： 抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上
一面的数字小于3的有2种，
朝上一面的数字小于3的倍数概率是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是关键．
3．（2023·贵州贵阳·统考二模）李老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种
生活现象分别写在6张卡片上（如图），卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后正面朝下．
从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
【详解】∵从6张卡片中随机抽取一张卡片，每一张卡片被抽中的可能性是相同的，而写
着物理变化的卡片有2张
∴抽中生活现象是物理变化的概率是
故选：C
【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法是进行求解的
关键．
4．（2023年浙江省绍兴市城关“六校联考”中考三模数学试题）有9个形状大小相同的
小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找
到，则至少需要天平的次数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选
一，两次即可.
【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：
①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就
是第三个，若不平衡，重的一边就是重球；
②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三
个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球.
综上所述，至少需要天平的次数是2.
故选：C.
【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键.
5．（2023·安徽安庆·校考三模）从正五边形 的各个顶点中任意选择三个作为三角形
的顶点，所得到的三角形为等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】利用正五边形的几何性质结合概率公式，即可得到答案．
【详解】因为五边形是正五边形，所以从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，都是等腰三角形
则为必然事件，故概率为1
故选：D．
【点睛】本题主要考查了概率公式，正五边形几何性质的应用，考查了逻辑推理能力，属
于基础题．
6．（2023·内蒙古包头·统考一模）质检人员从编号为 的五种不同产品中随机抽取
一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据五个编号中不小于 的两个数是 ，再利用概率的计算公式即可解答．
【详解】解：∵五个编号中不小于 的两个数是 ，
∴五个编号中不小于 的概率为 ，
故选 ．
【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键．
二、填空题
7．（2023年天津市南开区中考三模数学试题）在一个不透明的布袋中装有18个白球和9
个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是
________．
【答案】
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵在一个不透明的布袋中装有18个白球和9个黑球，它们除颜色不同外，其
余均相同
∴从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情
况数之比．
8．（2023·贵州贵阳·统考二模）为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办
“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共8名学生报名参加
演讲比赛．若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是
___________．
【答案】 /0.375
【分析】根据概率公式直接求解即可．【详解】解：∵该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛，
∴这名学生是女生的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（2023·广东珠海·珠海市第九中学校考三模）足球、篮球、排球，“三大球”单列成为
体育中考必考项目之一，考生需任选一项参加考试，甲生选择考排球的概率为________．
【答案】
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】足球、篮球、排球中甲生选择考排球的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率公式求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（2023·四川广元·统考三模）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，
当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，重新转一
次），这个数是一个奇数的概率是_______．
【答案】 /
【分析】由题意知，一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，标
有奇数的三角形有3个，用奇数的个数除以数字的总数即为这个数是一个奇数的概率．
【详解】解：指针指向的结果共有5种可能，
标有奇数的有3种可能，
则这个数是一个奇数的概率是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率， ，找到符合条件的可能数是解题的关键．三、解答题
11．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）一个口袋中放有20个球，其中红
球6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色外没有任何区别．某学习小组做摸球试验，
将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.共摸球800次，其
中有480次摸到白球，请你估计袋中黑球的个数．
【答案】估计袋中黑球的个数为2个．
【分析】先计算出摸到白球的频率，然后计算出白球的个数，即可求出黑球的个数．
【详解】设袋中黑球的个数为 ，
根据题意，可得 ，
解得
∴估计袋中黑球的个数为2个．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
12．（2022秋·九年级统考期中）小乐从标有1到20数字的20张相同的卡片中任取一张．
(1)求抽到的卡片的数字是5的倍数的概率；
(2)求抽到的卡片的数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）总共20张卡片，是5的倍数的有4张，根据概率公式即可求出答案；
（2）总共20张卡片，卡片的数字既是2的倍数，又是5的倍数的有2张，根据概率公式
即可求出答案．
【详解】（1）解：（1）∵总共20张卡片，是5的倍数的有4张，
∴抽到的卡片的数字是5的倍数的概率为 ；
（2）（2）∵总共20张卡片，卡片的数字既是2的倍数，又是5的倍数的有2张，
∴抽到的卡片的数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率为 ．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
提升篇
一、填空题
1．（2023·辽宁锦州·统考二模）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球
除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4
附近，则口袋中黄球大约有______个．
【答案】15
【分析】设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为 ，
由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为 ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频
率的稳定值即概率值是解题的关键．
2．（2023·天津河北·统考二模）在一个不透明的袋子里装着1个黑球、3个绿球、4个红球，
它们除颜色不同外其余都相同，现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．
【答案】 /0.5
【分析】用红球的个数除以球的总数即可．
【详解】解：∵袋子里装着1个黑球、3个绿球、4个红球
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了概率公式，熟知概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到 岁的
概率为 ，活到 岁的概率为 ，活到 岁的概率为 ，现年 岁的这种动物活到
岁的概率为__________．
【答案】 /
【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根
据概率公式解答即可．
【详解】解：设共有这种动物 只，则活到 岁的只数为 活到 岁的只数为 ，
故现年 岁到这种动物活到 岁的概率为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）已知四根小棒的长度分别为 、 、 、
，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为______．
【答案】 /
【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合
题意的方案舍去，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：共有4种方案：
①取 、 、 ；由于 ，能构成三角形；
②取 、 、 ；由于 ，不能构成三角形；
③取 、 、 ；由于 ，能构成三角形；
④取 、 、 ；由于 ，能构成三角形．
∴一个有4种等可能性的结果数，其中能构成三角形的结果数有3种，
∴能围成三角形的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了简单的概率计算，构成三角形的条件，解题的关键在于要注意三
角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明
时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
5．（2022秋·八年级单元测试）某电视台在2010年春季举办的青年歌手大奖赛活动中，得
奖选手由观众发短信投票产生，并对发短信者进行抽奖活动．一万条短信为一个开奖组，
设一等奖1名，二等奖3名，三等奖6名．王小林同学发了一条短信，那么他获奖的概率
是____．
【答案】 /0.001
【分析】用获奖名额除以短信总条数即可所求的概率．
【详解】∵设一等奖1名，二等奖3名，三等奖6名，奖项共有 （个），
又短信为10000条，
∴获奖的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率的定义，如果一个事件有 种可能，且这些事件的可能性相同，其中事件 出现 种结果，那么事件 的概率为： ．
二、解答题
6．（2023春·江苏连云港·八年级东海实验中学校考阶段练习）在一个不透明的抽奖袋中装
有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄
色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是______事件；（填随机、必然、不可能）
(2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，
若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量．
【答案】(1)随机
(2)袋中白球数量为6个
【分析】（1）求出小明中奖的概率，若概率为1，则是必然事件，若概率为0，则为不可
能事件，若概率大于0小于1，则为随机事件；
（2）先求出平均每8个人中抽中三等奖的人数，再求出三等奖的中奖概率，即可求解．
【详解】（1）解：∵袋子中一共有4种颜色的球，其中3种颜色的球表示中奖，
∴小明有可能中奖，也有可能不中奖，
∴小明中奖是随机事件，
故答案为：随机．
（2）解：平均每8个人中抽中三等奖的人数： （人），
∴抽中三等奖的概率为 ，
∴袋中白球的数量 （个）．
答：袋中白球数量为6个．
【点睛】本题主要考查了事件的分类，概率的计算方法，解题的关键是掌握随机事件，必
然事件，不可能事件的定义，以及概率是计算方法．
7．（2020春·广东茂名·七年级统考期末）今年“6.18”互联网促销期间，某网红店开展有奖
促销活动，凡进店购物的顾客均有转动8等分圆盘的机会，（如图），如果规定当圆盘停
下来时指针指向1就中一等奖，指向3或8就中二等奖，指向2或4或6就中三等奖；指向
其余数字不中奖．(1)转动转盘，中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？
(2)顾客中奖的概率是多少？
(3)6月18日这天有1600人参与这项活动，估计这天获得一等奖的人数是多少？
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)200人
【分析】（1）分别找到1，3或8，2或4或6的份数即可得到概率；
（2）找到1，3，8，2，4，6所占份数之和占总份数的多少，即为中奖的概率；
（3）总人数乘以获得一等奖的概率即可．
【详解】（1）解：由题意知，P = ， P = ，P = ，
（一等奖） （二等奖） （三等奖）
即中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是 ， ， ；
（2）解：1，3，8，2，4，6份数之和为 6，
∴转动圆盘中奖的概率为： ；
（3）解：由（1）知，获得一等奖的概率是 ，
（人），
估计获得一等奖的人数为200人．
【点睛】本题主要考查了古典型概率，解题的关键是掌握概率公式：如果一个事件有n种
可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）喜迎中共二十大，为响应党的“文化自信”号召，初
二年级开展了汉字听写大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所
示的两幅不完整的统计图（ 表示 分， 表示 分， 表示 分， 表
示 分， 表示 分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图
中提供的信息，解答下列各题：(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，扇形统计图中a的值是______；
(3)从该样本中随机抽取一名同学的成绩，其恰好在“ ”范围的概率是______；
(4)如果全年级有1200名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得
优秀的学生有______人．
【答案】(1)抽样调查
(2)50；30
(3)
(4)240
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的概念可得答案；
（2）先求出E组所占比例，再用10除以其所占比例即可得出调查的学生总数，再用15除
以所抽查的学生总数即可得a的值；
（3）先求出成绩在“ ”范围的学生人数，再求其概率即可；
（4）用总人数乘以样本中在90分以上（含90分）范围的学生人数占被调查人数的比例即
可得．
【详解】（1）由题意可知，在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）由题意可得：本次调查一共随机抽取的学生人数为： （人），
，
故答案为：50，30；
（3）从该样本中随机抽取一名同学的成绩，其恰好在“70~80”范围的人数有：
（人），其概率为： ，
故答案为： ；（4）估计获得优秀的学生有： （人）
【点睛】本题主要考查了抽样调查与全面调查，条形统计图与扇形统计图信息相关联，用
样本估计总体，简单的概率计算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
