文档内容
6．4 数据的离散程度
1．了解极差的意义，掌握极差的计算方法；
2．理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．(重点、难
点)
一、情境导入
从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环，但教练还是选择乙运动员参赛．
问题1：从数学角度，你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗？
问题2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？
二、合作探究
探究点一：极差
欢欢写了一组数据：9.5，9，8.5，8，7.5，这组数据的极差是( )
A．0.5 B．8.5 C．2.5 D．2
解析：这组数据的最大值是9.5，最小值是7.5，因此这组数据的极差是：9.5－7.5＝2.
故选D.
方法总结：要计算一组数据的极差，找出最大值与最小值是关键．
探究点二：方差、标准差
【类型一】 方差和标准差的计算
求数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差．
解析：一组数据的方差计算有两个常用的简化公式：(1)s2＝[(x＋x＋…＋x)－nx2]；
(2)s2＝[(x′2＋x′2＋…＋x′2)－nx′2]，其中x′＝x－a，x′＝x－a，…，x′＝x－
1 2 n 1 1 2 2 n n
a，a是接近原数据平均数的一个常数，x′是x′，x′，…，x′的平均数．
1 2 n
解：方法一：因为x＝(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝[(7－7)2＋(6－7)2＋(8
－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2]＝1.2.
第 1 页 共 4 页所以标准差s＝.
方法二：同方法一，所以s2＝[(72＋62＋82＋82＋52＋92＋72＋72＋62＋72)－10×72]＝
1.2，标准差s＝.
方法三：将各数据减7，得新数据：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0.而x′＝0，所以s2＝
[02＋(－1)2＋12＋12＋(－2)2＋22＋02＋02＋(－1)2＋02－10×02]＝1.2.所以标准差s＝.
方法总结：计算一组数据的方差和标准差的步骤：先计算该组数据的平均数(或需加减
的数值)，然后按方差(或标准差)的计算公式计算．
【类型二】 方差和标准差的应用
在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(单位：岁)如下：
甲队：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29；
乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26.
(1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？
(2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况．
解析：先求出两队参赛选手年龄的平均值，再由标准差的定义求出s 与s ，最后比较
甲 乙
大小并作出判断．
解：(1)x ＝×(26＋25＋28＋28＋24＋28＋26＋28＋27＋29)＝26.9(岁)，
甲
x ＝×(28＋27＋25＋28＋27＋26＋28＋27＋27＋26)＝26.9(岁)．
乙
(2)s＝×[(26－26.9)2＋(25－26.9)2＋…＋(29－26.9)2]＝2.29，
s＝×[(28－26.9)2＋(27－26.9)2＋…＋(26－26.9)2]＝0.89.
所以s ＝≈1.51，
甲
s ＝≈0.94，
乙
因为s >s ，
甲 乙
所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大．
方法总结：求标准差时，应先求出方差，然后取其算术平方根．标准差越大(小)其数据波
动越大(小)．
【类型三】 统计量的综合应用
甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成图
(a)、(b)所示的统计图．
第 2 页 共 4 页(1)在图(b)中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况．
(2)已知甲队五场比赛成绩的平均分x ＝90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x
甲
乙．
(3)就这五场比赛，分别计算两队成绩的方差．
(4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，你认为选派哪支球队参赛更能
取得好成绩？
解析：第(4)题可根据第(1)(2)(3)题的结果，从平均分、折线的走势、获胜场数和方差四
个方面分别进行简要分析．
解：(1)如图所示．
(2)x ＝(110＋90＋83＋87＋80)＝90(分)．
乙
(3)甲队成绩的方差s＝[(80－90)2＋(86－90)2＋(95－90)2＋(91－90)2＋(98－90)2]
＝41.2；乙队成绩的方差s＝[(110－90)2＋(90－90)2＋(83－90)2＋(87－90)2＋(80－90)2]
＝111.6.
(4)从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看，甲队比赛成绩呈
上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩
较好；从方差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．综上所述，选派甲
队参赛更能取得好成绩．
方法总结：本题是反映数据集中程度与离散程度的综合题．从图形中得到两队的成绩，
然后从平均数、方差的角度来考虑，在平均数相同的情况下，方差越小的越稳定．
三、板书设计
经历表示数据离散程度的几个量的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培
第 3 页 共 4 页养学生的数学应用能力．通过小组合作，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体
会数学与生活的密切联系．
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