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6.4 多边形的内角和与外角和
课堂知识梳理
内角和：n边形内角和定理 （n-2）•180°
外角和定理：多边形外角和都等于360°。
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023·江苏南通·校考一模）正五边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【详解】解：正五边形的内角和=180°×(5−2)=540°，
故选：C．
2．（2023春·北京昌平·八年级校联考期中）下列多边形中，内角和为540°的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵n边形的内角和公式为(n−2)×180°，
∴当(n−2)×180°=540°°，
则n=5．
∴四边形的内角和等于540°．
故选：C．
3．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正
△ABF，则∠EAF度数为（ ）
A． 30° B． 48° C． 45° D． 60°
【答案】B
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
11
∴∠EAB= (5−2)×180°=108°，
5
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=∠EAB−∠FAB=48°．
故选：B．
4．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面
图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【详解】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
故选：B．
5．如图，若干个一模一样的正六边形（各边相等，各角也相等）排成环状．图中所示的是
前3个六边形，要完成这一圆环，还需这样的六边形的数量为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【详解】解：如图，延长正六边形的两边交于点O，
∵正六边形的每个外角均为：360°÷6=60°，
∴∠O=180°−60°−60°=60°，
∴组成一个圆环共需：360°÷60°=6个正六边形，
∴还需要正六边形的个数为：6−3=3，
故选D．
26．（2023·陕西西安·统考模拟预测）一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n=
___________．
【答案】10
【详解】解：∵一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，
180°
∴正多边形的每一个外角为： =36°，
5
360°
∴n= =10，
36°
故答案为：10．
7．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用
边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为___________．
【答案】8
(n−2)×180°
【详解】解：正方形的每个内角为90°，正n边形的每个内角为 ，
n
(n−2)×180°
则根据题意有90°+2× =360°，
n
解得：n=8．
故答案为：8．
8．（2023·河北保定·统考一模）如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出
发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为__________．
3【答案】360°/360度
【详解】解：∵多边形的外角和等于360度，
∴琪琪跑完一圈时，身体转过的角度之和是360度．
故答案为：360度．
9．（2023·上海宝山·统考二模）如图，在正五边形ABCDE中，F是边BC延长线上一点，
连接AC，那么∠ACF的度数为__________．
【答案】144°/144度
1
【详解】解：∠B= (5−2)×180°=108°，
5
∵AB=BC，
1
∴∠ACB= (180°−108°)=36°，
2
∴∠ACF=180°−∠ACB=144°，
故答案为：144°．
10．（2023春·上海·八年级期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是
2880°，则原多边形的边数是__．
【答案】17，18或19
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则（n−2）⋅180°=2880°，
解得：n=18，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18，
则多边形的边数是17，18或19，
故答案为：17，18或19．
11．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若
∠BCD=80°，则∠A+∠B+∠D+∠E=_____．
4【答案】260°/260度
【详解】如图，连接BD，
则∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB+∠CDE+∠E=360°，
∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，
∵∠BCD=80°，
∴∠CBD+∠CDB=100°，
∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E=360°−100°=260°，
故答案为：260°．
12．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边
形没有对角线，k边形一共有k条对角线，正ℎ边形的内角和与外角和相等，求代数式
ℎ⋅(m−k) n的值．
【答案】500
1
【详解】解：由题可知：m−3=7，n=3， k(k−3)=k，(ℎ−2)×180=360，
2
解得：m=10，n=3，k=5或k=0（舍去），ℎ =4
则ℎ⋅(m−k) n=4×（10−5) 3=500
13．已知一个正多边形的边数为n．
1
(1)若这个正多边形的内角和的 比外角和多90°，求n的值．
4
(2)若这个正多边形的一个内角为108°，求n的值．
【答案】(1)n的值为12；
(2)n的值为5．
1
【详解】（1）解：依题意，得(n−2)⋅180× =360+90，
4
解得n=12，即n的值为12；
（2）解：∵正多边形的一个内角为108°，
5∴这个正多边形的外角为72°．
∵多边形的外角和为360°，
360
∴n= =5，即n的值为5．
72
14．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（OA=3米），向右转24°，再前进3
米后到达点B（AB=OA=3米），又向右转24°，……这样小明一直右转了n次刚好回到
出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多720°，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【答案】(1)15
(2)45
(3)135°
【详解】（1）解：根据题意得：n=360°÷24°=15．
故答案为：15
（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，
∴这n边形的周长为15OA=15×3=45（米）；
故答案为：45
（3）解：根据题意，得(m−2)×180°=720°+360°，
解得m=8，
1080°
∴这个正m边形的每一个内角的度数为 =135°．
8
培优第二阶——拓展培优练
15．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=____度．
6【答案】540
【详解】解：如图，
由题意知，∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G是五边形的内角和，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G=(5−2)×180°=540°，
故答案为：540．
16．（2023·江苏泰州·模拟预测）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章ABCDE和正
六边形模具ABMNFG按如图所示的位置摆放，连接GE并延长至点P，则∠DEP=______．
【答案】48°
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
180°×(5−2)
∴∠BAE= =108°，
5
∵六边形ABMNFG是正六边形，
180°×(6−2)
∴∠BAG= =120°，
6
∴∠EAG=360°−108°−120°=132°,
∵正五边形与正六边形的边长相等，
∴AE=AG，
∴△AEG是等腰三角形，
180°−132°
∴∠AEG= =24°，
2
∴∠DEP=180°−∠AED−∠AEG=180°−108°−24°=48°．
故答案为：48°．
17．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为________．
7【答案】∠α+∠β=225°
【详解】解：在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∵∠A=90°，∠C=45°，
∴∠ABC+∠ADC=225°，
∵∠ABC=∠α，∠ADC=∠β，
∴∠α+∠β=225°，
故答案为：∠α+∠β=225°．
18如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5
米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了
50米，则每次旋转的角度为______．
【答案】36°/36度
【详解】解：向左转的次数50÷5=10（次），
则左转的角度是360°÷10=36°．
故答案是：36°．
19．（2023·河北石家庄·统考一模）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和
顺时针方向分别旋转，旋转角为α，所得的两条新线段夹角为β，以α为内角，以图中线段
为边作两个正多边形，正多边形边数为n．如图2，当α=120°时，得到两个正六边形．
边数n 4 5 6 …
8旋转角
90° 108° 120° …
α
夹角β 180° m 120° …
（1）用含α的代数式表示β，β=__________；
（2）边数n，旋转角α，夹角β的部分对应值如表格所示，其中m=__________°；
（3）若β≤10°，则n的最小值是__________．
【答案】 360°−2α 144 72
【详解】解：（1）由题意可得：2α+β=360°，
∴β=360°−2α，
故答案为：360°−2α．
（2）由题意可得：当α=108°时，
∴m=β=360°−2×108°=144°，
故答案为：144；
（3）当β≤10°，
∴360°−2α≤10°，解得：α≥175°，
(n−2)·180
∴ ≥175，而n≥3且为整数，
n
∴(n−2)·180≥175n，
解得：n≥72，
∴n的最小值为：72．
故答案为：72．
20．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数？并求出该多
边形共可以引出几条对角线？
【答案】边数是11，对角线为44条
【详解】解：根据题意，得设这个多边形为n边形，
则(n−2)⋅180°=360°×4+180°，
解得：n=11．
91
对角线总条数：11×(11−3)× =44
2
则这个多边形的边数是11，对角线为44条．
21．（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1180°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小
明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的
度数是多少吗？
【答案】（1）六边形；（2）边数是8，度数是100°
【详解】（1）设这个多边形的边数是n，
由题意得：(n−2)×180=360×2，
∴n=6，
答：这个多边形是六边形；
（2）设这个多边形的边数是m，
由题意得：(m−2)×180<1180<(m−2)×180+180，
5 5
解得：7 0 D．无法比较α与β的大小
【答案】A
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴ ABC与四边形BCDE的外角和α与β均为360°，
∴α−β=0，
△
故选：A．
27．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长
为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟
跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟
后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B．2√3 C．2 D．0
【答案】B
【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴674÷6=112⋅⋅⋅⋅⋅2,2022÷6=337，
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：
在正六边形ABCDEF中，AF=EF=2,∠AFE=120°，
171
∴AG= AE,∠FAE=∠FEA=30°，
2
1
∴FG= AF=1，
2
∴AG=√AF2−FG2=√3，
∴AE=2√3，
故选B．
28．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，
则n=_______．
【答案】5
【详解】解：∵正n边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，
∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，
∴3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴一个外角为2x＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n＝5，
故答案为：5．
29．（2022·青海西宁·统考中考真题）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝
________．
【答案】10
【详解】解：n=360°÷36°=10．
故答案为10．
30．（2022·湖南常德·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过
任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶
点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一
条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最
后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一
张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一
次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设
还有一张多边形纸片的边数为n，
∴(5−2)×180°+3×180°+(4−2)×180°×5+(n−2)×180°=360°+360°×9，
解得n=6．
18故答案为：6．
31．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了
“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n−2)⋅180°”计算的
条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和
为540°．
【答案】答案见解析
【详解】解：连接AD，AC，
∴五边形ABCDE的内角和等于ΔAED，ΔADC，ΔABC的内角和的和，
∴五边形ABCDE的内角和=180°×3=540°．
19
