文档文本内容
6.4 多边形的内角和与外角和
课堂知识梳理
内角和：n边形内角和定理 （n-2）•180°
外角和定理：多边形外角和都等于360°。
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023·江苏南通·校考一模）正五边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【详解】解：正五边形的内角和=180°×(5−2)=540°，
故选：C．
2．（2023春·北京昌平·八年级校联考期中）下列多边形中，内角和为540°的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵n边形的内角和公式为(n−2)×180°，
∴当(n−2)×180°=540°°，
则n=5．
∴四边形的内角和等于540°．
故选：C．
3．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正
△ABF，则∠EAF度数为（ ）
A． 30° B． 48° C． 45° D． 60°
【答案】B
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
11
∴∠EAB= (5−2)×180°=108°，
5
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=∠EAB−∠FAB=48°．
故选：B．
4．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面
图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【详解】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
故选：B．
5．如图，若干个一模一样的正六边形（各边相等，各角也相等）排成环状．图中所示的是
前3个六边形，要完成这一圆环，还需这样的六边形的数量为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【详解】解：如图，延长正六边形的两边交于点O，
∵正六边形的每个外角均为：360°÷6=60°，
∴∠O=180°−60°−60°=60°，
∴组成一个圆环共需：360°÷60°=6个正六边形，
∴还需要正六边形的个数为：6−3=3，
故选D．
26．（2023·陕西西安·统考模拟预测）一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n=
___________．
【答案】10
【详解】解：∵一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，
180°
∴正多边形的每一个外角为： =36°，
5
360°
∴n= =10，
36°
故答案为：10．
7．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用
边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为___________．
【答案】8
(n−2)×180°
【详解】解：正方形的每个内角为90°，正n边形的每个内角为 ，
n
(n−2)×180°
则根据题意有90°+2× =360°，
n
解得：n=8．
故答案为：8．
8．（2023·河北保定·统考一模）如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出
发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为__________．
3【答案】360°/360度
【详解】解：∵多边形的外角和等于360度，
∴琪琪跑完一圈时，身体转过的角度之和是360度．
故答案为：360度．
9．（2023·上海宝山·统考二模）如图，在正五边形ABCDE中，F是边BC延长线上一点，
连接AC，那么∠ACF的度数为__________．
【答案】144°/144度
1
【详解】解：∠B= (5−2)×180°=108°，
5
∵AB=BC，
1
∴∠ACB= (180°−108°)=36°，
2
∴∠ACF=180°−∠ACB=144°，
故答案为：144°．
10．（2023春·上海·八年级期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是
2880°，则原多边形的边数是__．
【答案】17，18或19
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则（n−2）⋅180°=2880°，
解得：n=18，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18，
则多边形的边数是17，18或19，
故答案为：17，18或19．
11．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若
∠BCD=80°，则∠A+∠B+∠D+∠E=_____．
4【答案】260°/260度
【详解】如图，连接BD，
则∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB+∠CDE+∠E=360°，
∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，
∵∠BCD=80°，
∴∠CBD+∠CDB=100°，
∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E=360°−100°=260°，
故答案为：260°．
12．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边
形没有对角线，k边形一共有k条对角线，正ℎ边形的内角和与外角和相等，求代数式
ℎ⋅(m−k) n的值．
【答案】500
1
【详解】解：由题可知：m−3=7，n=3， k(k−3)=k，(ℎ−2)×180=360，
2
解得：m=10，n=3，k=5或k=0（舍去），ℎ =4
则ℎ⋅(m−k) n=4×（10−5) 3=500
13．已知一个正多边形的边数为n．
1
(1)若这个正多边形的内角和的 比外角和多90°，求n的值．
4
(2)若这个正多边形的一个内角为108°，求n的值．
【答案】(1)n的值为12；
(2)n的值为5．
1
【详解】（1）解：依题意，得(n−2)⋅180× =360+90，
4
解得n=12，即n的值为12；
（2）解：∵正多边形的一个内角为108°，
5∴这个正多边形的外角为72°．
∵多边形的外角和为360°，
360
∴n= =5，即n的值为5．
72
14．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（OA=3米），向右转24°，再前进3
米后到达点B（AB=OA=3米），又向右转24°，……这样小明一直右转了n次刚好回到
出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多720°，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【答案】(1)15
(2)45
(3)135°
【详解】（1）解：根据题意得：n=360°÷24°=15．
故答案为：15
（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，
∴这n边形的周长为15OA=15×3=45（米）；
故答案为：45
（3）解：根据题意，得(m−2)×180°=720°+360°，
解得m=8，
1080°
∴这个正m边形的每一个内角的度数为 =135°．
8
培优第二阶——拓展培优练
15．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=____度．
6【答案】540
【详解】解：如图，
由题意知，∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G是五边形的内角和，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠1+∠2+∠G=(5−2)×180°=540°，
故答案为：540．
16．（2023·江苏泰州·模拟预测）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章ABCDE和正
六边形模具ABMNFG按如图所示的位置摆放，连接GE并延长至点P，则∠DEP=______．
【答案】48°
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
180°×(5−2)
∴∠BAE= =108°，
5
∵六边形ABMNFG是正六边形，
180°×(6−2)
∴∠BAG= =120°，
6
∴∠EAG=360°−108°−120°=132°,
∵正五边形与正六边形的边长相等，
∴AE=AG，
∴△AEG是等腰三角形，
180°−132°
∴∠AEG= =24°，
2
∴∠DEP=180°−∠AED−∠AEG=180°−108°−24°=48°．
故答案为：48°．
17．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为________．
7【答案】∠α+∠β=225°
【详解】解：在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∵∠A=90°，∠C=45°，
∴∠ABC+∠ADC=225°，
∵∠ABC=∠α，∠ADC=∠β，
∴∠α+∠β=225°，
故答案为：∠α+∠β=225°．
18如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5
米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了
50米，则每次旋转的角度为______．
【答案】36°/36度
【详解】解：向左转的次数50÷5=10（次），
则左转的角度是360°÷10=36°．
故答案是：36°．
19．（2023·河北石家庄·统考一模）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和
顺时针方向分别旋转，旋转角为α，所得的两条新线段夹角为β，以α为内角，以图中线段
为边作两个正多边形，正多边形边数为n．如图2，当α=120°时，得到两个正六边形．
边数n 4 5 6 …
8旋转角
90° 108° 120° …
α
夹角β 180° m 120° …
（1）用含α的代数式表示β，β=__________；
（2）边数n，旋转角α，夹角β的部分对应值如表格所示，其中m=__________°；
（3）若β≤10°，则n的最小值是__________．
【答案】 360°−2α 144 72
【详解】解：（1）由题意可得：2α+β=360°，
∴β=360°−2α，
故答案为：360°−2α．
（2）由题意可得：当α=108°时，
∴m=β=360°−2×108°=144°，
故答案为：144；
（3）当β≤10°，
∴360°−2α≤10°，解得：α≥175°，
(n−2)·180
∴ ≥175，而n≥3且为整数，
n
∴(n−2)·180≥175n，
解得：n≥72，
∴n的最小值为：72．
故答案为：72．
20．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数？并求出该多
边形共可以引出几条对角线？
【答案】边数是11，对角线为44条
【详解】解：根据题意，得设这个多边形为n边形，
则(n−2)⋅180°=360°×4+180°，
解得：n=11．
91
对角线总条数：11×(11−3)× =44
2
则这个多边形的边数是11，对角线为44条．
21．（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1180°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小
明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的
度数是多少吗？
【答案】（1）六边形；（2）边数是8，度数是100°
【详解】（1）设这个多边形的边数是n，
由题意得：(n−2)×180=360×2，
∴n=6，
答：这个多边形是六边形；
（2）设这个多边形的边数是m，
由题意得：(m−2)×180<1180<(m−2)×180+180，
5 5
解得：7 <m<8
9 9
∵m为整数
∴m=8，重复加的那个角的度数是：1180°−(8−2)×180°=100°．
答：这个多边形的边数是8，重复加的那个角的度数是100°．
22．三条边都不相等的△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F．
1
(1)求证：∠BFC=90°+ ∠A；
2
(2)若FE=FD，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【详解】（1）证明：∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
1 1
∴∠CBF= ∠ABC,∠BCF= ∠ACB，
2 2
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BFC=180°−(∠CBF+∠BCF)
(1 1 )
=180°− ∠ABC+ ∠ACB
2 2
101
=180°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
=180°− (180°−∠A)
2
1
=90°+ ∠A．
2
（2）解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，作FN⊥AC于点N，连接AF，
则∠AMF=∠ANF=90°，
∵三条边都不相等的△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，
∴AF是∠BAC的角平分线，
∴FM=FN，
在Rt△EFM和Rt△DFN中，¿，
∴Rt△EFM≅Rt△DFN(HL)，
∴∠EFM=∠DFN，
∴∠MFN=∠DFM+∠DFN=∠DFM+∠EFM=∠DFE，
1
由对顶角相等和（1）可知，∠DFE=∠BFC=90°+ ∠BAC，
2
1
∴∠MFN=90°+ ∠BAC，
2
又∵∠MFN+∠BAC+∠AMF+∠ANF=360°，
1
∴90°+ ∠BAC+∠BAC+90°+90°=360°，
2
解得∠BAC=60°．
23．(1)如图1，设∠A=x，则∠1+∠2= ；
(2)把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点A'处，记∠A'DB为∠1，∠A'EC
为∠2.
①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ；
②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由.
(3)如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么
图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .
11【答案】(1)180°+x
(2)①∠1+∠2=2∠A，②∠1−∠2=2∠A，理由见详解
(3)360°
【详解】（1）解：由题意得：
∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=(∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A
=180°+x．
故答案：180°+x．
（2）解：①如图2，由折叠得：∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∴∠1=180°−2∠ADE，∠2=180°−2∠AED，
∴∠1+∠2=180°−2∠ADE+180°−2∠AED
=360°−2(∠ADE+∠AED)，
∵∠ADE+∠AED=180°−∠A，
∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)
=2∠A．
故答案：∠1+∠2=2∠A．
②如图3，∠1−∠2=2∠A，
12理由如下：设A'D与AC交于F，
∴∠DFE=∠2+∠A'
由①得：∠1=180°−2∠ADE，∠A'=∠A，
∴2∠ADE=180°−∠1，
∴∠DFE=∠2+∠A，
∵∠DFC=180°−∠DFE，
∴∠DFC=180°−∠A−∠2，
∵∠DFC=∠A+2∠ADE，
∴∠DFC=∠A+180°−∠1，
∴∠A+180°−∠1=180°−∠A−∠2，
∴∠1−∠2=2∠A．
（3）解：由（2）得：∠1+∠2=2∠A，
同理可得：∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠C，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=2∠A+2∠B+2∠C
=2(∠A+∠B+∠C)
=360°．
故答案：360°．
24．【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平
分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．
在△ABC中，∠A=n°．
（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；
（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O'，求∠BO'C的度数；
（3）∠BOC与∠BO'C有怎样的数量关系？
【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：
如图1，在△ABC中，∠A=n°．
13(1) ∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为________；
(2)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O'，则∠BO'C的度数为________；
(3)∠BOC与∠BO'C的数量关系是_________．
(4)【问题深入】
如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得
点A与点O重合，请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式：
(5)如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O'，作直线PQ交AD于点
P，交AE于点Q．当∠APQ=∠AQP时，∠CO'Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接
写出结果．
1
【答案】(1)90°+ n°；
2
1
(2)90°− n°；
2
(3)∠BOC+∠BO'C=180°；
(4)∠1+∠2=4∠BOC−360°；
1
(5)∠CO'Q=90°− ∠ABC
2
【详解】（1）解：∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−n°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=90°− n°，
2 2
( 1 ) 1
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°− 90°− n° =90°+ n°，
2 2
1
故答案为：90°+ n°；
2
（2）解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A=180°+n°，
14∵BO'平分∠CBD，CO'平分∠BCE，
1 1
∴∠CBO'= ∠CBD，∠BCO'= ∠BCE，
2 2
1 1
∴∠CBO'+∠BCO'= (∠CBD+∠BCE)=90°+ n°，
2 2
∴∠BO'C=180°−(∠CBO'+∠BCO')=180°− ( 90°+ 1 n° ) =90°− 1 n°，
2 2
1
故答案为：90°− n°；
2
1 1
（3）解：由（1）和（2）可知，∠BOC=90°+ n°，∠BO'C=90°− n°，
2 2
∴∠BOC+∠BO'C=180°，
故答案为：∠BOC+∠BO'C=180°
（4）解：∠1+∠2=4∠BOC−360°，理由如下：
由折叠的性质可知，∠AMN=∠OMN，∠ANM=∠ONM，
∴∠1=180°−∠AMN−∠OMN=180°−2∠AMN，
∠2=180°−∠ANM−∠ONM=180°−2∠ONM，
∵∠AMN+∠ANM=180°−∠A，
∴∠1+∠2=180°−2∠AMN+180°−2∠ANM=360°−2(∠AMN+∠ANM)=2∠A，
1
由（1）同理可证，∠BOC=90°+ ∠A，
2
∴2∠A=4∠BOC−360°，
∴∠1+∠2=4∠BOC−360°；
（5）解：∵四边形BCQP的内角和为360°，
∴∠CBP+∠BPQ+∠PQC+∠BCQ=360°，
∵BO'平分∠CBD，CO'平分∠BCE，
∴∠CBD=2∠CBO'，∠BCE=2∠BCO'，
∵∠APQ=∠AQP，
∴2∠CBO'+2∠BPQ+2∠BCO'=360°，
∴∠CBO'+∠BPQ+∠BCO'=180°，
∴∠CBO'+∠BCO'+∠BO'C=180°，
∴∠BO'C=∠BPQ，
∵∠BO'Q=∠BPQ+∠PBO'=∠BO'C+∠CO'Q，
∴∠CO'Q=∠PBO'，
∵∠ABC=180°−∠CBD=180°−2∠PBO'，
∴∠ABC=180°−2∠CO'Q，
151
∴∠CO'Q=90°− ∠ABC．
2
培优第三阶——中考沙场点兵
25．（2022·上海·统考中考真题）有一个正n边形旋转90∘后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90∘是30∘的3倍，则可以旋转得到．
A.
B.
C.
D.
观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合
故选C．
26．（2022·河北·统考中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 ABC与四
边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）
△
16A．α−β=0 B．α−β<0
C．α−β>0 D．无法比较α与β的大小
【答案】A
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴ ABC与四边形BCDE的外角和α与β均为360°，
∴α−β=0，
△
故选：A．
27．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长
为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟
跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟
后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B．2√3 C．2 D．0
【答案】B
【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴674÷6=112⋅⋅⋅⋅⋅2,2022÷6=337，
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：
在正六边形ABCDEF中，AF=EF=2,∠AFE=120°，
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∴AG= AE,∠FAE=∠FEA=30°，
2
1
∴FG= AF=1，
2
∴AG=√AF2−FG2=√3，
∴AE=2√3，
故选B．
28．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，
则n=_______．
【答案】5
【详解】解：∵正n边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，
∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，
∴3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴一个外角为2x＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n＝5，
故答案为：5．
29．（2022·青海西宁·统考中考真题）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝
________．
【答案】10
【详解】解：n=360°÷36°=10．
故答案为10．
30．（2022·湖南常德·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过
任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶
点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一
条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最
后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一
张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一
次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设
还有一张多边形纸片的边数为n，
∴(5−2)×180°+3×180°+(4−2)×180°×5+(n−2)×180°=360°+360°×9，
解得n=6．
18故答案为：6．
31．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了
“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n−2)⋅180°”计算的
条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和
为540°．
【答案】答案见解析
【详解】解：连接AD，AC，
∴五边形ABCDE的内角和等于ΔAED，ΔADC，ΔABC的内角和的和，
∴五边形ABCDE的内角和=180°×3=540°．
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