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6.4 多边形的内角和与外角和
课堂知识梳理
内角和：n边形内角和定理 （n-2）•180°
外角和定理：多边形外角和都等于360°。
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023·江苏南通·校考一模）正五边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．（2023春·北京昌平·八年级校联考期中）下列多边形中，内角和为540°的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正
△ABF，则∠EAF度数为（ ）
A． 30° B． 48° C． 45° D． 60°
4．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面
图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．如图，若干个一模一样的正六边形（各边相等，各角也相等）排成环状．图中所示的是
前3个六边形，要完成这一圆环，还需这样的六边形的数量为（ ）
1A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6．（2023·陕西西安·统考模拟预测）一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n=
___________．
7．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用
边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为___________．
8．（2023·河北保定·统考一模）如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出
发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为__________．
9．（2023·上海宝山·统考二模）如图，在正五边形ABCDE中，F是边BC延长线上一点，
连接AC，那么∠ACF的度数为__________．
10．（2023春·上海·八年级期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是
2880°，则原多边形的边数是__．
11．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若
∠BCD=80°，则∠A+∠B+∠D+∠E=_____．
212．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边
形没有对角线，k边形一共有k条对角线，正ℎ边形的内角和与外角和相等，求代数式
ℎ⋅(m−k) n的值．
13．已知一个正多边形的边数为n．
1
(1)若这个正多边形的内角和的 比外角和多90°，求n的值．
4
(2)若这个正多边形的一个内角为108°，求n的值．
14．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（OA=3米），向右转24°，再前进3
米后到达点B（AB=OA=3米），又向右转24°，……这样小明一直右转了n次刚好回到
出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)n的值为____________．
(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．
(3)若一个正m边形的内角和比外角和多720°，求这个正m边形的每一个内角的度数．
培优第二阶——拓展培优练
15．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=____度．
316．（2023·江苏泰州·模拟预测）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章ABCDE和正
六边形模具ABMNFG按如图所示的位置摆放，连接GE并延长至点P，则∠DEP=______．
17．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为________．
18如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5
米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了
50米，则每次旋转的角度为______．
19．（2023·河北石家庄·统考一模）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和
顺时针方向分别旋转，旋转角为α，所得的两条新线段夹角为β，以α为内角，以图中线段
为边作两个正多边形，正多边形边数为n．如图2，当α=120°时，得到两个正六边形．
边数n 4 5 6 …
旋转角 90° 108° 120° …
4α
夹角β 180° m 120° …
（1）用含α的代数式表示β，β=__________；
（2）边数n，旋转角α，夹角β的部分对应值如表格所示，其中m=__________°；
（3）若β≤10°，则n的最小值是__________．
20．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数？并求出该多
边形共可以引出几条对角线？
21．（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1180°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小
明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的
度数是多少吗？
22．三条边都不相等的△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F．
1
(1)求证：∠BFC=90°+ ∠A；
2
(2)若FE=FD，求∠A的度数．
523．(1)如图1，设∠A=x，则∠1+∠2= ；
(2)把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点A'处，记∠A'DB为∠1，∠A'EC
为∠2.
①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ；
②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由.
(3)如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么
图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .
24．【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平
分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．
在△ABC中，∠A=n°．
（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；
（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O'，求∠BO'C的度数；
（3）∠BOC与∠BO'C有怎样的数量关系？
【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：
如图1，在△ABC中，∠A=n°．
6(1) ∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为________；
(2)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O'，则∠BO'C的度数为________；
(3)∠BOC与∠BO'C的数量关系是_________．
(4)【问题深入】
如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得
点A与点O重合，请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式：
(5)如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O'，作直线PQ交AD于点
P，交AE于点Q．当∠APQ=∠AQP时，∠CO'Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接
写出结果．
培优第三阶——中考沙场点兵
25．（2022·上海·统考中考真题）有一个正n边形旋转90∘后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
26．（2022·河北·统考中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 ABC与四
边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）
△
A．α−β=0 B．α−β<0
C．α−β>0 D．无法比较α与β的大小
727．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长
为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟
跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟
后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B．2√3 C．2 D．0
28．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，
则n=_______．
29．（2022·青海西宁·统考中考真题）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝
________．
30．（2022·湖南常德·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过
任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶
点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一
条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最
后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一
张多边形纸片的边数为________．
31．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了
“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n−2)⋅180°”计算的
条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和
为540°．
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